		년도별경향	2022.12.21
년도별경향	06	[수학2] [적분] 평가원 최근 10개년

04 수2	07 부정적분
02 부정적분의 계산
02 부정적분의 계산2 (부정적분의 성질)

년도별경향		년도별경향
06		[수학2] [적분] 평가원 최근 10개년

	년도별경향		년도별경향
	[수학2] [적분] 평가원 최근 10개년		06

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 09월 10

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[정답] ④

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {} LEFT ( {1} over {2} x ^{3} +2x+1 RIGHT ) dx- int _{} ^{} {} LEFT ( {1} over {2} x ^{3} +x RIGHT ) dx]
[eqn: = int _{} ^{} {} LEFT ( x+1 RIGHT ) dx][eqn: = {1} over {2} x ^{2} +x+c]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1]이므로 [eqn: c=1]이다.

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: = {1} over {2} TIMES 16+4+1][eqn: =13]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {} LEFT ( {1} over {2} x ^{3} +2x+1 RIGHT ) dx- int _{} ^{} {} LEFT ( {1} over {2} x ^{3} +x RIGHT ) dx]

이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1]일 때, [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {23} over {2}]	② [eqn: 12]	③ [eqn: {25} over {2}]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: {27} over {2}]

04 수2	07 부정적분
02 부정적분의 계산
03 부정적분의 계산3 (도함수로 표현된 함수의 부정적분)

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 11월 26

다항함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f`'(x)]가 [eqn: f`'(x)][eqn: =6x^2 +4]이다. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 점 [eqn: (0, ``6)]을 지날 때, [eqn: f(1)]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 12]

[해설]

[eqn: f`'(x)=6x ^{2} +4``]이므로

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {(6x ^{2} +4)dx=2x ^{3} +4x+C}]

이때 [eqn: f(0)=6``]이므로 [eqn: C=6]

[eqn: THEREFORE f(x)=2x ^{3} +4x+6]

[eqn: THEREFORE f(1)=2+4+6=12]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 23

함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2020^11^대수능고3나^중}}]에 대하여 [eqn: f `` ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3x ^{2} +4x+5]이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =4]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 12 }]

[해설]

주어진 식 [eqn: f `` ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3x ^{2} +4x+5]을 부정적분하면

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {LEFT ( 3x ^{2} +4x+5 RIGHT ) dx}][eqn: =x ^{3} +2x ^{2} +5x+C]

그런데, [eqn: f(0)=4]이므로 [eqn: C=4]

[eqn: therefore][eqn: f(x)=x ^{3} +2x ^{2} +5x+4]

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: f(1)=12]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 23

함수 [eqn: f(x)]가

[정답] [eqn: 9]

[해설]

[eqn: f(x)][eqn: = int{f`'(x) `dx]
[eqn: =int {(x^3 +x ) `dx]
[eqn: = 1over4 x^4 + 1 over2 x^2 +C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

이때 [eqn: f(0)=3]이므로 [eqn: C= 3]

따라서 [eqn: f(x) = 1over4 x^4 + 1over2 x^2 +3]이므로

[eqn: f(2) =4+2+3=9]

[eqn: f`'(x) =x^3 +x ,~f(0)=3]

을 만족시킬 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 23

함수 [eqn: f(x)]가

[정답] [eqn: 8]

[해설]

[eqn: f(x)][eqn: = int left(-x^{3}+3 right) d x]
[eqn: =-{1} over {4} x^{4}+3 x+C]
[eqn: (]단, [eqn: C]는 적분상수이다.)

[eqn: f(2) =-{1} over {4} times 2^{4}+3 times 2+C=10]에서 [eqn: C=8]

따라서 [eqn: f(x)=-{1} over {4} x^{4}+3 x+8]이므로

[eqn: f(0)=8]

[eqn: f `prime (x)=-x^{3}+3], [eqn: ~ f(2)=10]

을 만족시킬 때, [eqn: f(0)]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 2

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -2x]을 [eqn: x]에 대하여 적분하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -x ^{2} +C]

그런데, 조건에서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1]이므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1-1+C][eqn: =1], [eqn: C=1]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -x ^{2} +1]이므로 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =8-4+1][eqn: =5]

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -2x ,```` f LEFT ( 1 RIGHT ) =1]

을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 17

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f`prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2x]이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =2]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 4]

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{ } ^{ } { f `' LEFT ( x RIGHT ) }`dx]
[eqn: = int _{ } ^{ } { LEFT ( 3x^2 + 2 x RIGHT ) }`dx]
[eqn: = x^3 + x^2 + C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

이때, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) = 2]이므로 [eqn: C= 2]

따라서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = x^3 + x^2 + 2]이므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = 1+ 1+ 2 = 4]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 6

다항함수 [eqn: f(x)]가

[정답] ①

[해설]

[eqn: f(x)= x^3 - k over2 x^2 + x + 1]

[eqn: f(2) = 8 - 2k + 2 +1 = 1], [eqn: THEREFORE][eqn: k = 5]

[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}-k x+1], [eqn: ~ f(0)=f(2)=1]

을 만족시킬 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: rm 5]	② [eqn: rm 6]	③ [eqn: rm 7]

④ [eqn: rm 8]	⑤ [eqn: rm 9]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 17

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f `prime (x)=8 x^{3}+6 x^{2}]이고 [eqn: f(0)=-1]일 때, [eqn: f(-2)]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 15]

[해설]

[eqn: f(x)][eqn: = int left(8 x^{3}+6 x^{2} right) d x]
[eqn: left.=2 x^{4}+2 x^{3}+C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

이므로

[eqn: f(0)=C=-1]

따라서

[eqn: f(x)=2 x^{4}+2 x^{3}-1]

그러므로

[eqn: f(-2)=32-16-1=15]

04 수2	07 부정적분
03 부정적분의 활용
07 함수 구하기7 (도함수 구하기)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 22

최고차항의 계수가 [eqn: {1} over {2}]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 실수 [eqn: t]에 대하여 방정식 [eqn: f`prime LEFT ( x RIGHT ) =0]이 닫힌구간 [eqn: LEFT [ `t,~t+2` RIGHT ]]에서 갖는 실근의 개수를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 9]

[해설]

이차방정식 [eqn: f`' (x) = 0]이 근을 갖지 않는 경우에는

[eqn: g(t) = 0]

이는 조건 (나)에서

[eqn: g(t)]가 함숫값 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]를 갖는 것에 모순이다.

이차방정식 [eqn: f`' (x) = 0]이 중근 [eqn: alpha]를 갖는 경우에는 [eqn: y= g(x)]는 그림과 같다.

이는 조건 (나)에서

[eqn: g(t)]가 함숫값 [eqn: 2]를 갖는 것에 모순이다.

그러므로 이차방정식 [eqn: f`'(x) = 0]는 서로 다른 두 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta`` ( alpha < beta )]를 갖는다.

(ⅰ) [eqn: beta = alpha + 2]일 때,
함수 [eqn: y= g(t)]의 그래프는 다음과 같다.

이는 조건 (가)를 만족한다.

(ⅱ) [eqn: beta > alpha + 2]일 때,
함수 [eqn: y=g(t)]의 그래프는 다음과 같다.

이는 조건 (나)에서
[eqn: g(t)]가 함숫값 [eqn: 2]를 갖는 것에 모순이다.

(ⅲ) [eqn: beta < alpha + 2]일 때,
함수 [eqn: y=g(t)]의 그래프는 다음과 같다.

이때, [eqn: beta - 2 le a le alpha]인 [eqn: a]에 대하여 조건 (가)를 만족시키지 못한다.

따라서 위에서 조건을 만족시키는 것은 (ⅰ)의 경우이다.

한편, 함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1 over 2]이므로 함수 [eqn: f`' (x)]의 최고차항의 계수는 [eqn: 3 over 2]이다.

그러므로

[eqn: f`' (x)][eqn: = 3 over 2 ( x- alpha) left { x - ( alpha + 2 ) right }]
[eqn: = 3 over 2 left { x^2 - ( 2 alpha + 2 ) x + alpha^2 +2 alpha right }]

로 놓을 수 있다. 이때,

[eqn: f(x) = 1 over 2 x^3 - 3 over 2 ( alpha + 1 ) x^2 + 3 over 2 ( alpha^2 +2 alpha )x + C] (단, [eqn: C`]는 적분상수)	[eqn: cdots cdots] ㉠

한편, 조건 (나)에서

[eqn: g ( f(1) ) = g ( f(4) ) = 2]

이고 [eqn: g(t)]의 함숫값이 [eqn: 2]인 [eqn: t]의 값의 개수는 [eqn: 1]이므로

[eqn: f(1) = f(4)]

㉠에서

[eqn: 1 over 2 - 3 over 2 ( alpha + 1) + 3 over 2 ( alpha^2 +2 alpha ) + C]

[eqn: =32-24( alpha+1)+6( alpha ^{2} +2 alpha)+C]
따라서

[eqn: {1} over {2} - {3} over {2} ( alpha+1)+ {3} over {2} ( alpha^2 +2 alpha)][eqn: = 32 - 24 ( alpha +1 ) +6 ( alpha^2 + 2 alpha )]

양변에 [eqn: 2]를 곱하면

[eqn: 1 - 3 ( alpha + 1 ) +3 ( alpha^2 + 2 alpha )][eqn: = 64 - 48 ( alpha + 1 ) + 12 ( alpha^2 + 2 alpha )]

이 식을 정리하면

[eqn: 3 alpha^2 + 3 alpha - 2 = 12 alpha^2 - 24 alpha + 16]

[eqn: 9 alpha^2 - 27 alpha + 18 = 0]

[eqn: alpha^2 - 3 alpha + 2 =0]

[eqn: ( alpha - 1 ) ( alpha - 2 ) = 0]

[eqn: alpha = 1] 또는 [eqn: alpha = 2]

((ⅰ)-①) [eqn: alpha = 1]일 때,
[eqn: f(x) = 1 over 2 x^3 - 3 x^2 + 9 over 2 x +C]
이때, [eqn: f(1) =alpha]에서 [eqn: f(1) = 1]이어야 하므로
[eqn: 1 over 2 - 3 + 9 over 2 + C = 1]
[eqn: 2 + C = 1]
[eqn: C = it - 1]
이때, [eqn: f(0) = it - 1]이므로
[eqn: g(f(0) ) = g(-1) = 1]
그러므로 조건을 만족시킨다.

((ⅰ)-②) [eqn: alpha=2]일 때,
[eqn: f(x)= {1} over {2} x ^{3} - 9 over 2 x ^{2} + 12 x+C]
이때, [eqn: f(1) =alpha]에서 [eqn: f(1)=2]이어야 하므로
[eqn: {1} over {2} - {9} over {2} + 12 +C=2]
[eqn: 8+C=2]
[eqn: C= it -6]
이때, [eqn: f(0)= it -6]이므로
[eqn: g(f(0)) = g(-6)=0]
그러므로 조건을 만족시키지 못한다.

따라서, ((ⅰ)-①)에서

[eqn: f(x) = 1 over 2 x^3 - 3x^2 + 9 over 2 x - 1]

이므로

[eqn: f(5)][eqn: = 1 over 2 times 5^3 - 3 times 25 + 9 over 2 times 5 - 1]
[eqn: = 125 over 2 - 75 + 45 over 2 - 1]
[eqn: = 9]

(가) 모든 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: lim _{t`-> `a+} {`g LEFT ( t RIGHT )} + lim _{t`-> `a-} {`g LEFT ( t RIGHT )} LEQ 2]이다.

(나) [eqn: g LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( f LEFT ( 4 RIGHT ) RIGHT ) =2,~g LEFT ( f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT ) =1]

[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )]의 값을 구하시오.

04 수2	07 부정적분
03 부정적분의 활용
10 활용3 (극대와 극소)

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 09월 13

함수 [eqn: {f LEFT (x RIGHT ) }`]의 도함수 [eqn: { f `' LEFT (x RIGHT ) `]가 [eqn: { f `'(x) `=` x^2 -1 }``]이다.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: g(x) `=` f(x) - k x `]가 [eqn: x`=`-3 `]에서 극값을 갖기 위해서는 [eqn: g``'(-3)`=`0`]이어야 한다. [eqn: g `'(x) `=` f `'(x) - k `]로부터

[eqn: g `'(-3)`=` f `'(-3) - k `=`0][eqn: Lrarrow][eqn: 8-k `=`0]

∴ [eqn: k `=`8]

함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) = f LEFT (x RIGHT ) - k x `]가 [eqn: x =`-3 `]에서 극값을 가질 때, 상수 [eqn: k `]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

04 수2	08 정적분
01 정적분의 계산
02 정적분의 성질2 (정적분의 계산)

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 09월

[eqn: int _{0} ^{1} {3 x ^{2} dx }`]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: int _{0} ^{1} {3`x ^{2} `dx=} ` LEFT [ `x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{1} `=1`]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 09월 23

[eqn: int _{0} ^{3} { LEFT (x ^{2}} -4x+11 RIGHT )dx `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold24]

[해설]

[eqn: int _{0} ^{3} {(x ^{2}} -4x+11)dx`][eqn: = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} -2x ^{2} +11x RIGHT ] _0^3]
[eqn: =9-18+33]
[eqn: =24]

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 11월 9

[eqn: int_0^2 LEFT ( 6x^2 -x RIGHT )dx `]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: int_0^2 LEFT ( 6x^2 -x RIGHT )dx `][eqn: =LEFT [ 2x^3 - { 1} over { 2}x^2 RIGHT ]_0^2][eqn: =(16-2)-0 =14]

① [eqn: 15]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 11]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 09월 8

[eqn: int_0 ^2 LEFT ( 3x^2 + 2x RIGHT ) d x `]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: int_{0}^{2}(3x^{2}+2x)dx][eqn: =left[ pile{ `#` } x^{3}+x^{2}right]_{0}^{2}]
[eqn: =8+4]
[eqn: =12]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 09월 6

[eqn: int _{0}^{2} {`}(3x^{2 }+ 6x)`dx]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: int _{0} ^{2} {(3x ^{2} +6x)dx`= LEFT [ x ^{3} +3x ^{2} +c RIGHT ] _{0}^{2} =20}]

① [eqn: 20]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 26]	⑤ [eqn: 28]

04 수2	08 정적분
01 정적분의 계산
03 정적분의 성질3 (적분변수)

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 09월 5

[eqn: int _{0} ^{1} { LEFT ( 4x ^{3} +a RIGHT )} dx=8 `]일 때 상수 [eqn: a `]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: int _{0} ^{1} {(4x ^{3} +a} )dx`=`[x ^{4} +ax] _{0} ^{1} `=`1+a`=`8]  ∴[eqn: a=7]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 11월 6

[eqn: int_0^1 (2x+a)dx =4]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: int _{0} ^{1} {(2x+a)dx`= LEFT [ x ^{2} +ax RIGHT ] _{0} ^{1} `=1+a=4}]

[eqn: THEREFORE `a=3]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 11월 9

[eqn: int _{0} ^{a} { LEFT ( 3x ^{2} -4 RIGHT ) dx} =0`]을 만족시키는 양수 [eqn: a`]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: int _{0} ^{a} {LEFT ( 3x ^{2} -4 RIGHT )} dc][eqn: = LEFT [ x ^{3} -4x RIGHT ] _{0} ^{a}]
[eqn: =a ^{3} -4a]
[eqn: =a(a+2)(a-2)=0]

[eqn: a=-2] 또는 [eqn: a=0] 또는 [eqn: a=2]

따라서 [eqn: a>0]이므로

[eqn: a=2]

① [eqn: 2]	② [eqn: {9} over {4}]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: {11} over {4}]	⑤ [eqn: 3]

04 수2	08 정적분
01 정적분의 계산
09 계산과 해석2 (절댓값함수의 해석)

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 11월

이차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 [eqn: f LEFT (0 RIGHT )=0 `]이고 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold45]

[해설]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} +bx` LEFT ( a != 0 RIGHT )]라 하자.

조건 (가)에 의하여

[eqn: int _{0} ^{2} {} LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx=4], [eqn: int _{0} ^{2} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx= it -4]

이므로 구간 [eqn: LEFT [ 0,~2 RIGHT ]]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) LEQ 0]이다.

또한, 조건 (나)에 의하여

[eqn: int _{2} ^{3} {} LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx= int _{2} ^{3} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx]

이므로 구간 [eqn: LEFT [ 2,~3 RIGHT ]]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =4a+2b=0]

[eqn: THEREFORE ~b= it -2a]

즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} -2ax`]이므로

[eqn: int _{0} ^{2} {} LEFT ( ax ^{2} -2ax RIGHT ) dx][eqn: = LEFT [ {a} over {3} x ^{3} -ax ^{2} RIGHT ] _{0} ^{2}]
[eqn: = {8} over {3} a-4a= it - {4} over {3} a= it -4]

[eqn: THEREFORE ~a=3]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -6x`]이므로

[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =3 TIMES 5 ^{2} -6 TIMES 5=75-30=45]

(가) [eqn: int_0^2 { LEFT | f LEFT (x RIGHT ) RIGHT | }dx =`-int_0^2{f LEFT (x RIGHT )}dx =4`]

(나) [eqn: int_2^3 {LEFT | f LEFT (x RIGHT ) RIGHT | } dx=int_2^3{f LEFT (x RIGHT )}dx`]

[eqn: f LEFT (5 RIGHT )``]의 값을 구하시오.

04 수2	08 정적분
01 정적분의 계산
13 계산과 해석6 (추론과 해석)

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 06월

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)``]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: {{167}}]

[해설]

함수 [eqn: f(x) ``]가 점 [eqn: (3,~7),~(4,~8),~(5,~10),~(6,~13)``]을 지나고

[eqn: 1 LEQ `f'(x)` LEQ 3]이므로

(1) 두 점 [eqn: (3,~7)``], [eqn: (4,~8)``]의 기울기가 [eqn: 1``]이므로

[eqn: 3` leq x leq `4``]에서 [eqn: f(x) = x+ 4]

(2) 두 점 [eqn: (5,~10),~(6,~13)``]의 기울기가 [eqn: 3``]

이므로   [eqn: 5` leq x leq `6``]에서 [eqn: f(x) = 3x- 5]

(3) 주어진 조건에 의해 [eqn: (4,~8)]과 [eqn: (5,~10)]을 지나는 함수는 이차함수이고

[eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+c],  [eqn: f` prime (x)=2ax+b]

실수 전체의 집합에서 미분가능하므로

[eqn: f`'(4)=8a+b=1],  [eqn: f`'(5)=`-10a+b=3]

[eqn: a=1,~b=-7],  [eqn: f(4)=8]에서 [eqn: c=20]

(1), (2), (3)에 의해

[eqn: int _{3} ^{6} {`f(x)dx`][eqn: = int _{3} ^{4} {} (x+4)dx+ int _{4} ^{5} {} (x ^{2} -7x+20)dx]

[eqn: + int _{5} ^{6} {} (3x-5)dx]

[eqn: = {167} over {6}]

∴ [eqn: 6a`=`167]

(가) 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: 1 LEQ f'(x) LEQ 3``]이다.

(나) 모든 정수 [eqn: n``]에 대하여 함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프는 점 [eqn: (4n,~8n)], 점 [eqn: (4n+1,~8n+2)],
점 [eqn: (4n+2,~8n+5)], 점 [eqn: (4n+3,~8n+7)]을 모두 지난다.

(다) 모든 정수 [eqn: k``]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [2k,~2k+1]``]에서 함수 [eqn: f(x)``]의 그래프는 각각 이차함수의 그래프의 일부이다.

[eqn: int _{3} ^{6} {`f(x)dx=a}``]라 할 때, [eqn: 6a``]의 값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 20

실수 전체의 집합에서 연속인 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ③

[해설]

[eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}]

[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: -6]	[eqn: 13]	[eqn: -12]	[eqn: 4]
		[eqn: 1]	[eqn: -5]	[eqn: 8]	[eqn: -4]
[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: -5]	[eqn: 8]	[eqn: -4]	[eqn: 0]
		[eqn: 1]	[eqn: -4]	[eqn: 4]
[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: -4]	[eqn: 4]	[eqn: 0]
		[eqn: 2]	[eqn: -4]
	[eqn: 1]	[eqn: -2]	[eqn: 0]

[eqn: = LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} -4f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( x ^{2} +3x RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) LEFT ( 3x-1 RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( x ^{4} +6x ^{3} +9x ^{2} RIGHT )]

[eqn: - LEFT ( 12x ^{3} -4x ^{2} +12x-4 RIGHT )]

[eqn: =x ^{4} -6x ^{3} +13x ^{2} -12x+4]

[eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}]

조건 (가)에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT | ` LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) ` RIGHT |]

[eqn: =][eqn: LEFT { pile{it#it#it} RIGHT .]	[eqn: x ^{2} -3x+2]	([eqn: x<1]또는 [eqn: x>2])
	[eqn: -x ^{2} +3x-2]	([eqn: 1 LEQ x LEQ 2])

조건 (나)에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +3x]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {1} over {2} LEFT [ pile{it#it} LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } + LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } RIGHT ]]

[eqn: =][eqn: LEFT { pile{it#it#it} RIGHT .]	[eqn: x ^{2} +1]	([eqn: x<1]또는 [eqn: x>2])
	[eqn: 3x-1]	([eqn: 1 LEQ x LEQ 2])

따라서

[eqn: int _{0} ^{2} {`f LEFT ( x RIGHT ) `dx}][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) `dx+ int _{1} ^{2} {} LEFT ( 3x-1 RIGHT )} `dx]
[eqn: = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} +x RIGHT ] _{0}^{1} + LEFT [ {3} over {2} x ^{2} -x RIGHT ] _{1}^{2}]
[eqn: = LEFT ( {1} over {3} +1 RIGHT ) + LEFT { LEFT ( 6-2 RIGHT ) - LEFT ( {3} over {2} -1 RIGHT ) RIGHT } = {29} over {6}]

(가) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ g LEFT ( x RIGHT )]

(나) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +3x]

(다) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) LEFT ( 3x-1 RIGHT )]

[eqn: int _{0} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx}]의 값은?

① [eqn: {23} over {6}]	② [eqn: {13} over {3}]	③ [eqn: {29} over {6}]

④ [eqn: {16} over {3}]	⑤ [eqn: {35} over {6}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 12

[eqn: 0<a<b]인 모든 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여

[정답] ②

[해설]

[eqn: x ge 0]일 때 [eqn: f(x) =][eqn: x^3 - 3x+ k ge 0]

[eqn: f``'(x)= 3x^2 - 3], [eqn: x = 1]에서 극솟값(최솟값)이므로

[eqn: f(1) = -2 + k ge 0], [eqn: THEREFORE][eqn: k ge 2]

따라서 구하는 [eqn: k`]의 최솟값은 [eqn: 2`]이다.

[eqn: int_{a}^{b} left(x^{3}-3 x+k right) d x>0]

이 성립하도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값은?

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 14

최고차항의 계수가 [eqn: {1}{{from^2021^09^평가원^중}}]이고 [eqn: f prime (0)=f prime (2)=0]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 양수 [eqn: p]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] ⑤

[해설]

삼차함수 [eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 [eqn: f prime (0)=f prime (2)=0]이므로 [eqn: f prime (x)=3x(x-2)=3x ^{2} -6x]이다.

따라서

[eqn: f(x)][eqn: =int _{} ^{} {f prime (x)} dx]
[eqn: = x^3 -3x^2 +C] ([eqn: C] 는 적분상수)

따라서 [eqn: f(x)-f(0)= x^3 -3x^2]이고

[eqn: f(x+p)-f(p)]

[eqn: =(x+p)^3 -3(x+p)^2 +C -(p^3 -3p^2 +C)]
[eqn: = x^3 +(3p-3)x^2 +(3p^2 -6p)x]

이므로

[eqn: g(x)= {cases{ x ^{3} -3x ^{2}&&&(x LEQ 0)# x ^{3} +(3p-3)x ^{2} +(3p ^{2} -6p)x&&&(x>0)}}]

이다.

ㄱ. [eqn: p=1]이면
[eqn: g(x)= {cases{ x ^{3} -3x ^{2}&&&(x LEQ 0)# x ^{3}-3x&&&(x>0)}}]이므로
[eqn: g prime (x)= {cases{ 3x ^{2} -6x&&&(x<0)# 3x ^{2} -3&&&(x>0)}}]
따라서 [eqn: g'(1) = 3-3=0]	(참)

ㄴ. [eqn: lim _{x ``->`` 0-} { g(x)} =lim _{x ``->`` 0+} { g(x)} =g(0)=0]이므로
함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다.
이때 [eqn: lim _{x ``->`` 0-} { g prime (x)} = lim _{x ``->`` 0-} { (3x ^{2} -6x)} =0]

[eqn: lim _{x ``->`` 0+} { g prime (x)}][eqn: = lim _{x ``->`` 0+} { LEFT { 3x ^{2} +2(3p-3)x+(3p ^{2} -6p) RIGHT }}]
[eqn: = 3p^2 -6p]

이므로 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면
[eqn: 3p^2 -6p =0]이어야 한다..
따라서 양수 [eqn: p]의 값은 [eqn: p=2]뿐이므로 양수 [eqn: p]의 개수는 [eqn: 1]이다.

(참)

ㄷ. [eqn: int _{-1} ^{0} {g(x)} dx][eqn: = int _{-1} ^{0} {(x^3 -3x^2 )} dx]
[eqn: = LEFT [ {1} over {4} x ^{4} -x ^{3} RIGHT ] _{-1}^{0}]
[eqn: = 0- LEFT ( 1over4 + 1 RIGHT )]
[eqn: = it - 5over4]

이고,

[eqn: int _{0} ^{1} {g(x)} dx][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT { x ^{3} +(3p-3)x ^{2} +(3p ^{2} -6p)x RIGHT }} dx]
[eqn: = LEFT [ {1} over {4} x ^{4} +(p-1)x ^{3} + {3p ^{2} -6p} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{0}^{1}]
[eqn: = 1over4 +(p-1)+{3p^2 -6p}over2]
[eqn: = 3over2 p^2 -2p - 3over4]

이므로

[eqn: int _{-1} ^{1} {g(x)} dx][eqn: =int _{-1} ^{0} {g(x)} dx+int _{0} ^{1} {g(x)} dx]
[eqn: = LEFT ( - 5 over4 RIGHT )+ 3over2 p^2 - 2p - 3over4]
[eqn: = 3over2 p^2 -2p -2]
[eqn: = 1over2 (3p+2)(p-2)]

따라서 [eqn: p ge 2]일 때, [eqn: int _{-1} ^{1} {g(x)} dx ge0]이다.	(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[다른 풀이]

삼차함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고

[eqn: f prime (0)=f prime (2)=0]

이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극대이고 [eqn: x=2]에서 극소이다.

이때, 곡선 [eqn: =f(x) -f(0)]은 곡선 [eqn: y=f(x)]를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -f(0)]만큼 평행이동한 것이고, 곡선 [eqn: y=f(x+p)-f(p)]는 곡선 [eqn: y=f(x)]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: - p]만큼 평행이동한 것이다. 따라서 두 곡선 [eqn: y=f(x)-f(0)], [eqn: y=f(x+p)-f(p)]는 모두 원점을 지나고 함수 [eqn: g(x)]의 그래프는 다음과 같다.

ㄱ. [eqn: p=1]일 때, 곡선 [eqn: y=f(x+1)-f(1)]는 곡선 [eqn: y=f(x)]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -f(1)]만큼 평행이동한 것이다.
따라서 [eqn: g prime (1)=0]이다.	(참)

ㄴ. [eqn: lim _{x ``->`` 0-} { g(x)}=lim _{x ``->`` 0+} { g(x)}=g(0)=0]이므로 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다.
이때 [eqn: lim _{x ``->`` 0-} { g prime (x)} = lim _{x ``->`` 0-} { (3x ^{2} -6x)} =0]이므로 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 [eqn: lim _{x ``->`` 0+} { g prime (x)} =0]이어야 한다.
그런데 [eqn: f prime (x)=0]인 양수 [eqn: x]의 값은 [eqn: 2]뿐이므로 양수 [eqn: p]의 값은 [eqn: 2]뿐이다. 따라서 양수 [eqn: p]의 개수는 [eqn: 1]이다.	(참)

ㄷ. [eqn: p ge2]일 때 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: p=2]일 때, 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로 [eqn: int _{-1} ^{1} {g(x)} dx=0]
[eqn: p>2]일 때, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+p)-f(p) ge f(x+2)-f(2)]이므로
[eqn: int _{-1} ^{1} {g(x)} dx ge0]
따라서 [eqn: p ge2]일 때, [eqn: int _{-1} ^{1} {g(x)} dx ge0]	(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[eqn: g(x)= {cases{ f(x)-f(0)&&&(x LEQ 0)# f(x+p)-f(p)&&&(x>0)}}]

이라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: p=1]일 때, [eqn: g prime (1)=0]이다. ㄴ. [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 양수 [eqn: p]의 개수는 [eqn: 1]이다. ㄷ. [eqn: p ge2]일 때, [eqn: int _{-1} ^{1} {g(x)} dx ge0]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	08 정적분
02 여러가지 함수의 정적분
01 여러가지 함수의 정적분1 (우함수와 기함수의 계산)

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 예비 4

[eqn: int _{-1} ^{1} {} LEFT ( x ^{3} +3x ^{2} +5 RIGHT ) dx]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: int from -1 to 1 (x^3 +3 x^2 +5)dx]

[eqn: = 2 int from 0 to 1 (3x^2 +5)dx]

[eqn: =2 LEFT [ pile{ it#it } x ^{3} +5x RIGHT ] _{0}^{1}]

[eqn: = 2(1+5)=12]

① [eqn: rm 11]	② [eqn: rm 12]	③ [eqn: rm 13]

④ [eqn: rm 14]	⑤ [eqn: rm 15]

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 11월 23

실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: int _{-a} ^{a} {`(3x ^{2} +2x)`dx= {1} over {4}}]일 때, [eqn: 50a]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 25]

[해설]

[eqn: int _{ -a} ^{ a} { (3x^2 +2x)dx}][eqn: = int _{ -a} ^{ a} {3x^2 `dx }][eqn: = 2 int _{ 0} ^{ a} {3x^2 dx }]
[eqn: = 2 left[ x^3 right]_0 ^a][eqn: = 2a^3 = { 1} over { 4}]

따라서 [eqn: a ^{3`} = 1 over8]이므로 [eqn: a= 1 over2][eqn: therefore~ 50a = 25]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 2

[eqn: int_{-1}^{1} left(x^{3}+a right) d x=4]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: int_-1^1 ( x^3 + a) dx = 2 int_0^1 a dx = 2a = 4]

[eqn: THEREFORE][eqn: a = 2]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

04 수2	08 정적분
02 여러가지 함수의 정적분
02 여러가지 함수의 정적분2 (우함수와 기함수의 판단)

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 11월

두 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ,~g LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[정답] ①

[해설]

[eqn: h LEFT ( -x RIGHT ) =f LEFT ( -x RIGHT ) g LEFT ( -x RIGHT ) =it-f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) =it-h LEFT ( x RIGHT )]

이므로 다항함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이고,

[eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이다.

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =a _{2n+1} x ^{2n+1} +a _{2n-1} x ^{2n-1} +` CDOTS `+a _{1} x]

([eqn: n]은 [eqn: 0]또는 자연수, [eqn: a _{2n+1} ,~a _{2n-1} ,~ CDOTS ,~a _{1}]은 상수)

로 놓으면

[eqn: h` prime LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 2n+1 RIGHT ) a _{2n+1} x ^{2n} + LEFT ( 2n-1 RIGHT ) a _{2n-1} x ^{2n-2} +` CDOTS `+a _{1}]

이므로 [eqn: h` prime LEFT ( -x RIGHT ) =h` prime LEFT ( x RIGHT )]를 만족시킨다.

또한 [eqn: LEFT ( -x RIGHT ) h` prime LEFT ( -x RIGHT ) =it - LEFT { xh` prime LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }]이므로

[eqn: int _{-3} ^{3} {LEFT ( x+5 RIGHT ) h` prime LEFT ( x RIGHT )} dx][eqn: = int _{-3} ^{3} {LEFT { xh` prime LEFT ( x RIGHT ) +5h` prime LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }} dx]
[eqn: =0+2 int _{0} ^{3} {5h` prime LEFT ( x RIGHT )} dx]
[eqn: =10 LEFT [ pile{`#`} h LEFT ( x RIGHT )` RIGHT ] _{0} ^{3}]
[eqn: =10 LEFT { h LEFT ( 3 RIGHT ) -h LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: 10 LEFT { h LEFT ( 3 RIGHT ) -h LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT } =10]에서

[eqn: h LEFT ( 3 RIGHT ) -h LEFT ( 0 RIGHT ) =1]

따라서 [eqn: h LEFT ( 3 RIGHT ) =h LEFT ( 0 RIGHT ) +1=0+1=1]

[eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) =it-f LEFT ( x RIGHT ) ,~g LEFT ( -x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )]

를 만족시킨다. 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여

[eqn: int _{-3} ^{3} {LEFT ( x+5 RIGHT ) h` prime LEFT ( x RIGHT )} dx=10`]

일 때, [eqn: h LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

04 수2	08 정적분
02 여러가지 함수의 정적분
06 여러가지 함수의 정적분6 (주기함수)

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 11월 20

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]는 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f LEFT (x+3 RIGHT ) =f LEFT (x RIGHT )`]를 만족시키고,

[정답] ①

[해설]

곡선 [eqn: y = f(x)`]는 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이므로

[eqn: int_-a^a f(x) dx = 13`]에서

[eqn: 2 int_0^a f(x) dx = 13`]

[eqn: therefore~ int_0^a f(x) dx = 13 over 2`]

한편,

[eqn: int_0^3 f(x) dx = 1 over 2 times (3 + 1) times 1`]
[eqn: = 2`]

이고, [eqn: f(x +3) = f(x)`]이므로

[eqn: int_0^3 f(x) dx = int_3^6 f(x) dx = int_6^9 f(x) dx = 2]

[eqn: therefore~int_0^9 f(x) dx = 6`]

따라서 [eqn: int_0^9 f(x) dx + int_9^a f(x) dx = 13 over 2`]에서

[eqn: int_9^a f(x) dx = 1 over 2`]

한편

[eqn: int_9^10 f(x)dx = int_0^1 f(x) dx = 1 over 2`]

이므로

[eqn: a = 10`]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )= {cases{ ~~~`x &~ LEFT (0 LEQ x<1 RIGHT ) # ~~~``1 &~ LEFT (1 LEQ x<2 RIGHT ) # ``-x+3 &~ LEFT (2 LEQ x<3 RIGHT ) }}`]

이다. [eqn: int_-a^a f LEFT (x RIGHT )dx =13`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

04 수2	08 정적분
03 정적분으로 정의된 함수
01 정적분 전체를 치환하는 유형

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 17

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[정답] ①

[해설]

[eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( t RIGHT )} dt`=k]([eqn: k]는 상수)로 놓으면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} +kx]

이때

[eqn: k`][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT ( 4t ^{3} +kt RIGHT )} dt]
[eqn: = LEFT [ pile{`#`} t ^{4} + {k} over {2} t ^{2}` RIGHT ] _{0} ^{1}]
[eqn: =1+ {k} over {2}]

이므로 [eqn: k=2]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} +2x]이므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =4+2=6]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} +x int _{0} ^{1} {f LEFT ( t RIGHT )} dt`]

를 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

04 수2	08 정적분
03 정적분으로 정의된 함수
02 정적분으로 정의된 함수1 (적분함수)

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 09월 28

다항함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]에 대하여

[정답] [eqn: bold40]

[해설]

[eqn: int_0 ^x f(t)dt = x^3 -2x^2 -2x int_0^1 f(t)dt]에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: int_0^1 f(t)dt = 1 - 2 - 2 int_0^1 f(t)dt]

[eqn: int_0 ^1 f(t)dt = - 1over3]이므로

[eqn: int_0 ^x f(t)dt = x^3 - 2x^2 + 2 over 3 x]

위의 식을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x) = 3x^2 - 4x + 2over3]이므로 [eqn: f(0) = 2over3]

따라서 [eqn: a= 2over3]이므로 [eqn: 60a = 60 times 2over3 = 40]

[eqn: int_0 ^x f LEFT (t RIGHT )dt = x^3 -2x^2 -2x int_0 ^1 f LEFT (t RIGHT )dt`]

일 때, [eqn: f LEFT (0 RIGHT )=a `]라 하자. [eqn: 60a`]의 값을 구하시오.

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 09월

다항함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[정답] [eqn: 304]

[해설]

[eqn: int_0^x f(t)d t = x^3 + 4 x]의 양변을 [eqn: x]에 관하여 미분하면

[eqn: f(x)= 3 x^2 + 4][eqn: therefore``` f(10) = 3 times 10^2 + 4 = 304]

[eqn: int_0^x f LEFT (t RIGHT )d t = x^3 + 4 x `]

를 만족시킬 때, [eqn: f LEFT (10 RIGHT )`]의 값을 구하시오.

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 09월 25

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) = int from 0 to x LEFT (2at +1 RIGHT ) dt `]이고 [eqn: f `' LEFT (2 RIGHT ) = 17 `]일 때, 상수 [eqn: a `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold4]

[해설]

[eqn: f (x) `=` int from 0 to x (2a t +1) ` dt `]의 양변을 미분하면 [eqn: f `'(x) `=` 2ax +1]

[eqn: f `'(2) `=`17 `]이므로 [eqn: 4a +1 `=` 17]   ∴ [eqn: a `=` 4]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 09월 8

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )= int _{ 1} ^{x} { LEFT (t-2 RIGHT ) LEFT (t-3 RIGHT ) dt }`]에 대하여 [eqn: f `' LEFT (4 RIGHT )`]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: f`'(x)=(x-2)(x-3)]이므로

[eqn: f`'(4)=(4-2)(4-3)=2 TIMES 1=2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 11월 14

다항함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

주어진 식의 양변에 [eqn: x=1`]을 대입하면

[eqn: 0=1+a-2] 에서 [eqn: a=1]

한편 [eqn: {d} over {dt} f(t) =f`` prime(t)``]이므로

[eqn: int _{1} ^{x} {LEFT { {d} over {dt} f(t) RIGHT } dt`=][eqn: int _{ 1} ^{ x} { } f` prime(t)`dt]

[eqn: = LEFT [ pile{`#` } f(t) RIGHT ]_1^x =f(x)-f(1)]

이때 [eqn: int _{1} ^{x} {LEFT { {d} over {dt} f(t) RIGHT } dt`=`x ^{3} + x^2 -2}] 에서

[eqn: f(x)-f(1) =x^3 +x^2 -2]

따라서

[eqn: f`` prime (x) = 3x^2 +2x] 이므로

[eqn: f`` prime(a) =f`` prime(1) =3+2 =5]

[eqn: int _{1} ^{x} {LEFT { {d} over {dt} f LEFT (t RIGHT ) RIGHT } dt = x ^{3} +ax ^{2} -2}`]

를 만족시킬 때, [eqn: f `' LEFT ( a RIGHT )`]의 값은? (단, [eqn: a`]는 상수이다.)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

04 수2	08 정적분
03 정적분으로 정의된 함수
06 활용2 (극대와 극소)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 20

실수 [eqn: {a}{{from^2020^11^대수능고3나^5}}] ([eqn: a>1])에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT )]라 하자. 함수	[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} int _{0} ^{x} {} f LEFT ( t RIGHT ) dt- int _{0} ^{x} {} t ^{2} f LEFT ( t RIGHT ) dt]가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 [eqn: a]의 최댓값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: f(x)=(x+1)(x-1)(x-a)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: g(x)=x ^{2} int _{0} ^{x} {f(t) dt} - int _{0} ^{x} {t ^{2} f(t) dt }]의 양변을 미분하면

[eqn: g prime (x)][eqn: =2x ^{} int _{0} ^{x} {f(t) dt} - x ^{2} f(x)+x ^{2} f(x)]
[eqn: =2x ^{} int _{0} ^{x} {f(t) dt}]

(ⅰ) [eqn: 0<x<1]일 때,
[eqn: 2x >0], [eqn: int _{0} ^{x} {f(t) dt} >0]이므로 [eqn: g'(x)>0]

(ⅱ) [eqn: -1<x<0]일 때,
[eqn: 2x <0], [eqn: int _{0} ^{x} {f(t) dt} <0]이므로 [eqn: g'(x)>0]

따라서 [eqn: x=0]에서 [eqn: g(x)]는 극값을 갖지 않는다.

(ⅲ) [eqn: x < -1]인 경우
[eqn: int _{0} ^{x} {f(t) dt}]의 값이 [eqn: x < -1]인 어떤 점에서 [eqn: g'(x)]가 [eqn: -]에서 [eqn: +]으로 바뀌는 극솟값을 갖게 된다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: g(x)]가 극값을 [eqn: 1]개 가지므로 [eqn: x>1]인 경우에 극값을 갖지 않아야 한다.

즉 [eqn: x>1]에서 항상 [eqn: int _{0} ^{x} {f(t) dt} GEQ 0]이 성립해야 하므로 최대가 되는 [eqn: a]의 값은 [eqn: int _{0} ^{1} {f(x) dx} =- int _{1} ^{a} {f(x) dx}]일 때이다.

즉, [eqn: int _{0} ^{a} {f(x) dx =0}]이 성립할 때 [eqn: a]가 최대가 된다.

[eqn: int _{0} ^{a} {f(x) dx][eqn: =} LEFT [ {1} over {4} x ^{4} - {1} over {3} ax ^{3} - {1} over {2} x ^{2} +ax RIGHT ] _{0}^{a}]
[eqn: = {1} over {4} a ^{4} - {1} over {3} a ^{4} - {1} over {2} a ^{2} +a ^{2}]
[eqn: =a ^{2} (a ^{2} -6)=0]

[eqn: therefore][eqn: a=0,````-root6 ,````root6]

그런데 [eqn: a>1]이므로 [eqn: a= sqrt {6}]

① [eqn: {9 sqrt {2}} over {8}]	② [eqn: {3 sqrt {6}} over {4}]	③ [eqn: {3 sqrt {2}} over {2}]

④ [eqn: sqrt {6}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 20

실수 [eqn: a]와 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -12x ^{2} +45x+3]에 대하여 함수

[정답] [eqn: bold { 8 }]

[해설]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } TIMES LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt]
[eqn: =f LEFT ( x RIGHT ) int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt- int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{5}} dt]

양변을 미분하면

[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f prime LEFT ( x RIGHT ) int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt+f LEFT ( x RIGHT ) TIMES LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{4} - LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{5}]
[eqn: =f prime LEFT ( x RIGHT ) int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt]
[eqn: = LEFT ( 3x ^{2} -24x+45 RIGHT ) int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt]
[eqn: =3 LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x-5 RIGHT ) int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt]

[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=3] 또는 [eqn: x=5] 또는 [eqn: int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt=0]

그런데 조건에서 극값이 오직 하나이므로 [eqn: g' LEFT ( x RIGHT ) =0]의 근은 오직 하나이어야 한다.

즉, [eqn: int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt=0]이 [eqn: x=3] 또는 [eqn: x=5]를 반드시 근으로 가져야 한다. 즉, [eqn: int _{a} ^{3} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt=0] 또는 [eqn: int _{a} ^{5} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt=0]가 성립해야 한다.

따라서 [eqn: a=3] 또는 [eqn: a=5]

즉, 만족하는 모든 [eqn: a]값의 합은 [eqn: 8]이다.

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } TIMES LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt]

가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의 합을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 20

최고차항의 계수가 [eqn: rm 2]인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)= int_{x}^{x+1}|f(t)| d t]는 [eqn: x=1]과 [eqn: x=4]에서 극소이다. [eqn: f(0)]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 13]

[해설]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) geq 0]이면

[eqn: g(x)][eqn: = int_{x}^{x+1}|f(t)| d t]
[eqn: = int_{x}^{x+1} f(t) d t]

이므로 [eqn: g(x)]는 이차함수이고 이때 [eqn: g(x)]가 극소인 [eqn: x]의 값은 [eqn: rm 1]개뿐이다.

따라서 조건을 만족시키지 못한다.

[eqn: f(x)=2(x- alpha)(x- beta)( alpha< beta)]라 하면

함수 [eqn: y=|f(x)|]의 그래프는 그림과 같고

[eqn: x=1], [eqn: x=4]에서 함수 [eqn: g(x)]가 극소이므로 [eqn: g `prime (1)=0], [eqn: g `prime (4)=0]이다.

(i) [eqn: x< alpha<x+1]일 때

[eqn: g(x)]

[eqn: = int_{x}^{x+1}|f(t)| d t]

[eqn: = int_{x}^{ alpha} f(t) d t+ int_{ alpha}^{x+1} left{ -f(t) it right} d t]

[eqn: =- int_{ alpha}^{x} f(t) d t- int_{ alpha}^{x+1} f(t) d t]

[eqn: =- int_{ alpha}^{x} 2(t- alpha)(t- beta) d t][eqn: - int _{alpha } ^{x+1} {} 2(t- alpha )(t- beta )dt]

[eqn: =- int_{ alpha}^{x} 2(t- alpha)(t- beta) d t][eqn: - int _{alpha -1} ^{x} {} 2(t+1- alpha )(t+1- beta )dt]

[eqn: ~]이므로

[eqn: ~ g `prime (x)=-2(x- alpha)(x- beta)][eqn: -2(x+1`- alpha )(x+1- beta )]

[eqn: g `prime (1)=-2(1- alpha)(1- beta)-2(2- alpha)(2- beta)]

[eqn: =-6 alpha +6 beta -4 alpha beta -10=0]

[eqn: 3 alpha +3 beta -2 alpha beta -5=0 CDOTS CDOTS]㉠
(ii) [eqn: x< beta<x+1]일 때
[eqn: g(x)]
[eqn: = int_{x}^{x+1}|f(t)| d t]
[eqn: = int_{x}^{ beta} left{ -f(t) it right} d t+ int_{ beta}^{x+1} f(t) d t]
[eqn: = int_{ beta}^{x} f(t) d t+ int_{ beta}^{x+1} f(t) d t]
[eqn: = int_{ beta}^{x} 2(t- alpha)(t- beta) d t][eqn: ~ + int_{ beta}^{x+1} 2(t- alpha)(t- beta) d t]

[eqn: = int_{ beta}^{x} 2(t- alpha)(t- beta) d t][eqn: ~ + int_{ beta-1}^{x} 2(t+1- alpha)(t+1- beta) d t]

이므로

[eqn: g `prime (x)=2(x- alpha)(x- beta)][eqn: +2(x+1`- alpha )(x+1- beta )]

[eqn: g `prime (4)=2(4- alpha)(4- beta)+2(5- alpha)(5- beta)]

[eqn: =82-18 alpha-18 beta+4 alpha beta=0]

[eqn: 9 alpha +9 beta -2 alpha beta -41=0]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: alphabeta= 13over2]이므로

[eqn: f left ( 0 right ) = 2alphabeta = 2 times 13 over2 = 13]

04 수2	08 정적분
03 정적분으로 정의된 함수
07 활용3 (최대와 최소)

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 09월 29

구간 [eqn: LEFT [ 0,`` 8 RIGHT ]`]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]는

[정답] [eqn: bold43]

[해설]

[eqn: 0 LEQ a LEQ 4`]에서

[eqn: g(a)= int _{a} ^{a+4} {} f(x)`dx]라 하자

(ⅰ) [eqn: a=0`]일 때,

[eqn: g(0)= int _{0} ^{4} {} f(x)`dx]

[eqn: = int _{0} ^{4} {} LEFT { -x(x-4) RIGHT } `dx]

[eqn: = int _{0} ^{4} {} (-x ^{2} +4x)`dx]

[eqn: = LEFT [ - {1} over {3} x ^{3} +2x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{4}]

[eqn: =- {64} over {3} +32= {32} over {3}]

(ⅱ) [eqn: 0<a<4`]일 때,

[eqn: g(a)= int _{a} ^{4} {} f(x)`dx+ int _{4} ^{a+4} {} f(x)`dx]

[eqn: = int _{a} ^{4} {} LEFT { -x(x-4) RIGHT } `dx+ int _{4} ^{a+4} {} (x-4)`dx]

[eqn: = LEFT [ - {1} over {3} x ^{3} +2x ^{2} RIGHT ] _{a} ^{4} + LEFT [ {1} over {2} x ^{2} -4x RIGHT ] _{4} ^{a+4}]

[eqn: = {32} over {3} + {1} over {3} a ^{3} -2a ^{2} + {1} over {2} (a+4) ^{2} -4(a+4)-(8-16)]

[eqn: = {1} over {3} a ^{3} - {3} over {2} a ^{2} + {32} over {3}]

(ⅲ) [eqn: a=4`]일 때,

[eqn: g(a)= int _{4} ^{8} {} f(x)`dx]

[eqn: = int _{4} ^{8} {} (x-4)`dx]

[eqn: = LEFT [ {1} over {2} x ^{2} -4x RIGHT ] _{4} ^{8}]

[eqn: =32-32-(8-16)=8]

[eqn: 0<a<4`]에서

[eqn: g(a)= {1} over {3} a ^{3} - {3} over {2} a ^{2} + {32} over {3}]

이므로

[eqn: g prime (a)=a ^{2} -3a=a(a-3)]

[eqn: g prime (a)=0]에서

[eqn: 0<a<4`]이므로 [eqn: a=3]

함수 [eqn: g(a)]의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: a]	[eqn: (0)]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]	[eqn: cdots]	[eqn: (4)]
[eqn: g` prime (a)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: g(a)]	[eqn: {32} over {3}]	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	[eqn: 8]

따라서 [eqn: g(a)]는 [eqn: a=3]에서 최솟값

[eqn: g(3)= {1} over {3} TIMES 3 ^{3} - {3} over {2} TIMES 3 ^{2} + {32} over {3}]

[eqn: =9- {27} over {2} + {32} over {3}]

[eqn: = {54-81+64} over {6}]

[eqn: = {37} over {6}]

을 가지므로 [eqn: p=6,~q=37]

[eqn: p+q=43]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )= {cases{``-x LEFT (x-4 RIGHT ) &~ LEFT (0 LEQ x<4 RIGHT )# ~~~x-4 &~ LEFT (4 LEQ x LEQ 8 RIGHT )}}`]

이다. 실수 [eqn: a][eqn: LEFT (0 LEQ a LEQ 4 RIGHT )`]에 대하여 [eqn: int _{a} ^{a+4} {} f LEFT (x RIGHT ) dx`]의 최솟값은 [eqn: {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p `]와 [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

04 수2	08 정적분
03 정적분으로 정의된 함수
09 활용5 (함수 구하기)

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 11월 20

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ⑤

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: f`'(0)=0], [eqn: f`'(k)=0]이고, 함수

[eqn: f(x)]가 [eqn: x=0]에서 극댓값, [eqn: x=k]에서 극솟값을 가지므로 [eqn: f`'(x)=ax(x-k)][eqn: (a>0,~k>0)]라 하자.

ㄱ. 구간 [eqn: LEFT [ 0,~k RIGHT ]]에서 [eqn: f`'(x) LEQ 0]이므로

[eqn: int _{0} ^{k} {f`'(x)dx} <0]

ㄴ. 조건 (나)에서 [eqn: int _{0} ^{t} {LEFT | f`'(x) RIGHT | dx} =f(t)+f(0)]이므로 양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: LEFT | f`'(t) RIGHT | =f`'(t)][eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

㉠이 [eqn: t>1]인 모든 실수[eqn: t]에 대하여 성립하므로 함수 [eqn: y= LEFT | f`'(x) RIGHT |]의 그래프가 오른쪽 그림과 같아야 한다.

[eqn: THEREFORE `0<k LEQ 1]

ㄷ. [eqn: int _{0} ^{t} {LEFT | f` prime (x) RIGHT | dx}]

[eqn: = - int _{0} ^{k} {f` prime (x)dx} + int _{k} ^{t} {f` prime (x)dx}]

[eqn: = - LEFT [ f(x) RIGHT ] _{0}^{k} + LEFT [ f(x) RIGHT ] _{k}^{t}]

[eqn: = -f(k)+f(0)+f(t)-f(k)]

[eqn: = f(t)+f(0)-2f(k)]

이므로    [eqn: f(t)+f(0)=f(t)+f(0)-2f(k)]

[eqn: THEREFORE ``f(k)=0]

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값은 [eqn: 0]이다

(가) 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극댓값, [eqn: x=k]에서 극솟값을 가진다. (단, [eqn: k]는 상수이다.)

(나) [eqn: 1]보다 큰 모든 실수 [eqn: t]에 대하여
[eqn: int _{0} ^{t} {LEFT | f prime (x) RIGHT | dx} =f(t)+f(0)]
이다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: int _{0} ^{k} {f` prime (x)dx<0}] ㄴ. [eqn: 0<k LEQ 1] ㄷ. 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값은 [eqn: 0]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 11월 28

다항함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 7]

[해설]

조건 (가)에 주어진 등식의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} `f LEFT ( x RIGHT ) + {1} over {2} `f LEFT ( 1 RIGHT ) + {x-1} over {2} `f`' LEFT ( x RIGHT )]

즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT ) + LEFT ( x-1 RIGHT ) `f`' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

㉠의 좌변인 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 최고차항을

[eqn: a`x ^{n} ````]([eqn: a`]는 [eqn: 0`]이 아닌 상수, [eqn: n`]은 자연수)

라 하면 ㉠의 우변의 최고차항은

[eqn: x TIMES anx ^{n-1} =anx ^{n}]

이므로

[eqn: ax ^{n} =anx ^{n} `]에서

[eqn: n=1]

이때 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1`]이므로 일차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax+1]

로 놓을 수 있다.

이때

[eqn: int _{0} ^{2} {`f LEFT ( x RIGHT ) `dx} = int _{0} ^{2} {` LEFT ( ax+1 RIGHT ) `dx}]

[eqn: = LEFT [ {a} over {2} `x ^{2} +x RIGHT ] _{0} ^{2} =2a+2]

이고,

[eqn: int _{-1} ^{1} {`xf LEFT ( x RIGHT ) `dx} = int _{-1} ^{1} {` LEFT ( ax ^{2} +x RIGHT ) `dx}]

[eqn: =2` int _{0} ^{1} {`ax ^{2} `dx} =2 LEFT [ {a} over {3} `x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{1} = {2a} over {3}]

이므로 조건 (나)에서

[eqn: 2a+2=5 TIMES {2a} over {3}]

[eqn: a= {3} over {2}]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {3} over {2} x+1`]이므로

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) = {3} over {2} TIMES 4+1=7]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: int_{1}^{x} f(t) d t={x-1} over {2} left{ f(x)+f(1) it right}]이다.

(나) [eqn: int_{0}^{2} f(x) d x=5 int_{-1}^{1} x f(x) d x]

[eqn: f(0)=1]일 때, [eqn: f(4)]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 20

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 110]

[해설]

[eqn: f(x+1) - x f(x) = ax + b]에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: f(1) = b]

닫힌구간 [eqn: left [` 0,~ 1 ` right ]]에서 [eqn: f(x) = x]이므로

[eqn: b=1]

또, [eqn: f(x+1) - x f(x) = ax + 1]이므로 [eqn: 0 le x le 1]에서

[eqn: f(x+1)][eqn: = x f(x) + ax + 1][eqn: = x^2 + ax + 1]

[eqn: x+1 = t]로 치환하면

[eqn: f(t)][eqn: = (t-1)^2 + a (t-1) + 1]
[eqn: = t^2 + (a-2) t + 2 - a]	[eqn: cdots cdots] ㉠

[eqn: f`' (t) = 2t +( a-2)]이고,

닫힌구간 [eqn: left [` 0,~ 1 ` right ]]에서 [eqn: f(x) = x]이고, 함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수이므로 [eqn: f`' (1) = 1]이므로

[eqn: a=1]

따라서 ㉠에서 [eqn: 1 le x le 2]일 때 [eqn: f(x) =x^2 - x + 1]이다.

[eqn: int _{ 1} ^{ 2} { f(x)` dx}][eqn: = int _{1} ^{2} {(x ^{2} -x+1)`dx}]
[eqn: = left [ pile{ `#` } 1 over 3 x^3 - 1 over 2 x^2 + x ` right ]_1 ^2]
[eqn: = 8 over 3 - 5 over 6 = 11 over 6]

즉, [eqn: 60 times int _{ 1} ^{ 2} { f(x)` dx }][eqn: = 60 times 11 over 6][eqn: = 110]

(가) 닫힌구간 [eqn: LEFT [ `0,~1` RIGHT ]]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x]이다.

(나) 어떤 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 구간 [eqn: [`0,~ INF `)]에서 [eqn: f LEFT ( x+1 RIGHT ) -xf LEFT ( x RIGHT ) =ax+b]이다.

[eqn: 60 TIMES int _{1} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx}]의 값을 구하시오.

04 수2	08 정적분
03 정적분으로 정의된 함수
11 활용7 (추론과 해석)

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 11월

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold35]

[해설]

(나)에 주어진 등식에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]	[eqn: ······] ㉠

(나)에 주어진 등식의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: f`'(x)= sqrt {4-2f LEFT ( x RIGHT )}]

[eqn: THEREFORE ~ LEFT { f`'(x) RIGHT } ^{2} =4-2f LEFT ( x RIGHT )](단, [eqn: f`'(x) GEQ 0,~f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 2])[eqn: ······] ㉡

[eqn: x LEQ b`]일 때

[eqn: f`'(x)=2a LEFT ( x-b RIGHT )]이므로 ㉡에서

[eqn: 4a ^{2} LEFT ( x-b RIGHT ) ^{2} =4-2 LEFT { a LEFT ( x-b RIGHT ) ^{2} +c RIGHT }]	[eqn: ······] ㉢

㉢이 [eqn: x LEQ b`]인 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 성립하므로 [eqn: 4a ^{2} = it -2a`]이고 [eqn: 4-2c=0]이다.

[eqn: THEREFORE ~a= it - {1} over {2} ,~c=2]

따라서 [eqn: x LEQ b`]일 때

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = it - {1} over {2} LEFT ( x-b RIGHT ) ^{2} +2]

이때 [eqn: b<0]이면 [eqn: f LEFT ( b RIGHT ) =2]이고 ㉠에서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`'(x) GEQ 0]이라는 ㉡의 조건에 모순이다.

[eqn: THEREFORE ~b GEQ 0]

㉠에서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) = it - {1} over {2} b ^{2} +2=0]

[eqn: THEREFORE ~b ^{2} =4]

[eqn: THEREFORE ~b=2` LEFT ( BECAUSE ~b GEQ 0 RIGHT )]

이때 ㉡에서 [eqn: f`'(x) GEQ 0]이고 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) LEQ 2]이므로

[eqn: x>b`]일 때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2]이다.

따라서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{it - {1} over {2} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} +2&LEFT ( x LEQ 2 RIGHT )#~~~~~~2&LEFT ( x>2 RIGHT )}}]

이므로

[eqn: int _{0} ^{6} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx][eqn: = int _{0} ^{2} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx+ int _{2} ^{4} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx]
[eqn: = int _{0} ^{2} {} LEFT { - {1} over {2} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} +2 RIGHT } dx+ int _{2} ^{6} {} 2dx]
[eqn: = LEFT [ - {1} over {6} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{3} +2x RIGHT ] _{0} ^{2} + LEFT [ 2x pile{it#it} RIGHT ] _{2} ^{6}]
[eqn: = LEFT ( 4- {8} over {6} RIGHT ) + LEFT ( 12-4 RIGHT )]
[eqn: =12- {4} over {3} = {32} over {3}]

[eqn: THEREFORE ~p+q=3+32=35]

(가) [eqn: x le b`]일 때, [eqn: f LEFT (x RIGHT )=a LEFT (x-b RIGHT )^2 +c `]이다.
(단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c `]는 상수이다.)

(나) 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=int_0^x {root{4-2f LEFT (t RIGHT )} dt`]이다.

[eqn: int_0^6 {f LEFT (x RIGHT )}dx = q overp `]일 때, [eqn: p+q `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p `]와 [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 09월 21

사차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) = x^4 + ax^2 + b `]에 대하여 [eqn: x ge 0 `]에서 정의된 함수

[정답] ④

[해설]

사차함수 [eqn: f(x)=x^{4}+ax^{2}+b]의 그래프는 [eqn: y]축에 대칭이다.

[eqn: b]의 값에 따라 나누어보면

(ⅰ) [eqn: b le0]일 때

[eqn: 0<x<1]에서 [eqn: g(x)]는 감소함수이므로 조건 (가)를 만족하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: b>0]일 때

① [eqn: 0<x<1]에서 [eqn: g(x)]가 상수함수이므로
[eqn: f(x)-left|``f(x)``right|=0]에서 [eqn: alpha ge2]

② [eqn: 1<x<5]에서 [eqn: g(x)]가 감소하므로 [eqn: f(x)-left|``f(x)``right|<0]에서 [eqn: alpha le2]이고 [eqn: -beta le-5]
즉, [eqn: beta ge5]

③ [eqn: x>5]에서 [eqn: g(x)]가 상수함수이므로 [eqn: -beta ge-5]
즉, [eqn: beta le5]

①, ②, ③에 의해 [eqn: alpha=2 ,```` beta=5]

[eqn: therefore][eqn: f(x)=(x^{2}-4)(x^{2}-25)]

따라서 [eqn: f(root{2})=(-2)times(-23)=46]이다.

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = int _{-x} ^{2x} {} LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) - LEFT | f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | RIGHT } dt`]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: 0< x< 1 `]에서 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) = c_1] ([eqn: c_1 `]은 상수[eqn: )]

(나) [eqn: 1< x< 5 `]에서 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]는 감소한다.

(다) [eqn: x> 5 `]에서 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) = c_2] ([eqn: c_2 `]는 상수[eqn: )]

[eqn: f LEFT ( root 2 RIGHT )`]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b `]는 상수이다.)

① [eqn: 40]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 44]

④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 48]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 09월 21

함수 [eqn: f(x) = x^{3 }+ x^{2 }+ ax + b]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )]이므로 [eqn: h``' LEFT ( x RIGHT )]는 곱의 미분에 의해 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) + LEFT ( x-1 RIGHT ) f`' LEFT ( x` RIGHT )]이다. (참)

ㄴ. [eqn: x=-1]에서 극값 0을 가지므로 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =0`,`f`' LEFT ( -1 RIGHT ) =0]이다. 따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대입하여 연립하면 [eqn: a=-1`,b=-1]이므로  [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =`x ^{3} +x ^{2} -x-1][eqn: int _{0} ^{1} {g LEFT ( x RIGHT ) dx=[h LEFT ( x RIGHT ) ] _{0}^{1}} =[ LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{3} +x ^{2} -x-1 RIGHT ) ] _{0}^{1} =-1]이다. (참)

ㄷ. [eqn: int _{0} ^{1} {g LEFT ( x RIGHT ) dx=} [{LEFT ( x-1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) ] _{0}^{1} =-f LEFT ( 0 RIGHT )}]이다. 그런데 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )=0]이므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: 0]부터 [eqn: 1]까지 적분한 값이 [eqn: 0]이 된다. 따라서 어떤 경우에서도 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =0]이 되는 지점이 열린구간 [eqn: LEFT ( 0``,``1 RIGHT )]에서 적어도 하나 존재한다. (참)

[eqn: g(x) = f(x) + (x - 1)f`prime (x)]

라 하자. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

	<보 기>
ㄱ. 함수 [eqn: h(x)]가 [eqn: h(x) = (x - 1)f(x)]이면 [eqn: h prime (x) = g(x)]이다. ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x = it - 1]에서 극값 [eqn: 0]을 가지면 [eqn: int _{0}^{1} {`} g(x) `dx = it - 1]이다. ㄷ. [eqn: f(0) = 0]이면 방정식 [eqn: g(x) = 0]은 열린구간 [eqn: (0,``` 1)]에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 28

함수 [eqn: f(x)=-x^{2}-4 x+a]에 대하여 함수

[정답] [eqn: 5]

[해설]

[eqn: f(x)][eqn: =-x^{2}-4 x+a]

[eqn: g(x) = int_{0}^{x} f(t) d t]에서

[eqn: g `prime (x)][eqn: =f(x)]
[eqn: =-x^{2}-4 x+a]
[eqn: =-(x+2)^{2}+a+4]

함수 [eqn: g(x)]가 닫힌구간 [eqn: [0,``1]]에서 증가해야 하므로 [eqn: g `prime (1)=a-5 geq 0]

즉, [eqn: a geq 5]이어야 한다.

따라서 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: rm 5]이다.

[eqn: g(x)= int_{0}^{x} f(t) d t]

가 닫힌구간 [eqn: [0,``1]]에서 증가하도록 하는 실수 [eqn: a]의 최솟값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 14

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]와 최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 삼차함수 [eqn: g(x)]가

[정답] ④

[해설]

ㄱ. [eqn: x<0]일 때 [eqn: g `prime (x)=-f(x)]

[eqn: x>0]일 때 [eqn: g `prime (x)=f(x)]

그런데, 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 미분가능하고 함수 [eqn: f(x)]는 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} left{ -f(x) it right} = lim _{x ``rarrow`` 0+} f(x)]

[eqn: -f(0)=f(0)], [eqn: ~ 2 f(0)=0]

[eqn: f(0)=0] (참)

ㄴ. [eqn: g(0)= int_{0}^{0} f(t) d t=0]이고 함수 [eqn: g(x)]는 삼차함수이므로

[eqn: g(x)=x^{2}(x-a)](단, [eqn: a]는 상수)

로 놓으면

[eqn: g `prime (x)=2 x(x-a)+x^{2}]

[eqn: =x(3 x-2 a)]

(i) [eqn: a>0]일 때

[eqn: f(x)=cases{-x(3 x-2 a) && (x<0) #x(3 x-2 a) && (x geq 0)}]

이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과

같고 [eqn: x=0]에서 극댓값을 갖는다.

(ii) [eqn: a<0]일 때

[eqn: f(x)=cases{-x(3 x-2 a) && (x<0) #x(3 x-2 a) && (x geq 0)}]

이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과

같고 [eqn: x={a} over {3}]에서 극댓값을 갖는다.

(iii) [eqn: a=0]일 때

[eqn: f(x)=cases{-3 x^{2} && (x<0) #3 x^{2} && (x geq 0)}]

이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 극댓값이 존재하지 않는다.

(거짓)

ㄷ. (i) ㄴ. (i)의 경우

[eqn: f(1)=3-2 a]이므로 [eqn: 2<3-2 a<4]에서

[eqn: 0<a<{1} over {2}]

또한, [eqn: x<0]일 때

[eqn: f `prime (x)=-(3 x-2 a)-3 x=-6 x+2 a]

이므로

[eqn: lim _{x rarrow 0-} {} f` prime (x)=2a]

이때 [eqn: 0<2 a<1]이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]는 그림과 같이 세 점에서 만난다.

따라서, [eqn: ~ 2<f(1)<4]일 때, 방정식 [eqn: f(x)=x]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: rm 3]이다.

(ii) ㄴ. (ii)의 경우

[eqn: f(1)=3-2 a]이므로 [eqn: 2<3-2 a<4]에서

[eqn: -{1} over {2}<a<0]

또한, [eqn: x>0]일 때

[eqn: f `prime (x)=(3 x-2 a)+3 x=6 x-2 a]

이므로

[eqn: lim _{x rarrow 0+} {} f` prime (x)=-2a]

이때 [eqn: 0 < it - 2 a<1]이므로 함수 [eqn: y=f(x)]

의 그래프와 직선 [eqn: y=x]는 그림과 같이

세 점에서 만난다.

따라서, [eqn: ~ 2<f(1)<4]일 때, 방정식 [eqn: f(x)=x]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: rm 3]이다.

(iii) ㄴ. (iii)의 경우

[eqn: f(1)=3]이고 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]는 그림과 같이 세 점에서 만난다.

따라서, [eqn: 2<f(1)<4]일 때, 방정식 [eqn: f(x)=x]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: rm 3]이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[다른풀이]

ㄷ. (i) ㄴ. (i)의 경우

[eqn: 0<a<{1} over {2}]이고

① [eqn: x<0]일 때, [eqn: -x(3 x-2 a)=x]

[eqn: -3 x+2 a=1], [eqn: x={2 a-1} over {3}]

② [eqn: x geq 0]일 때, [eqn: x(3 x-2 a)=x]

[eqn: x(3 x-2 a-1)=0]

[eqn: x=0] 또는 [eqn: x={2 a+1} over {3}]

따라서 [eqn: 2<f(1)<4]일 때,

방정식 [eqn: f(x)=x]은 서로 다른 실근

[eqn: {2 a-1} over {3}], [eqn: 0], [eqn: {2 a+1} over {3}]을 갖는다.

[eqn: g(x)=cases{- int_{0}^{x} f(t) d t && (x<0) # int_{0}^{x} f(t) d t && (x geq 0)}]

을 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f(0)=0] ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]는 극댓값을 갖는다. ㄷ. [eqn: 2<f(1)<4]일 때, 방정식 [eqn: f(x)=x]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: rm 3]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	09 정적분의 활용
01 정적분과 넓이
02 정적분과 넓이2 (그래프 조건)

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 09월 13

그림은 두 곡선 [eqn: y=x ^{2}], [eqn: y= {1} over {4} x ^{2} `]과 꼭짓점의 [eqn: rm O LEFT (0,`` 0 RIGHT )], [eqn: rm A it LEFT (n,`` 0 RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( n,`` n ^{2} RIGHT )], [eqn: rm C it LEFT ( 0,`` n ^{2} RIGHT ) `]인 직사각형 [eqn: \OABC `]를 나타낸 것이다. (단, [eqn: n `]은 자연수이다.)

[정답] ②

[해설]

위의 그림에서 [eqn: n=4]일 때, 구하는 넓이는

[eqn: int _{0} ^{4} left(x ^{2} - {1} over {4} x ^{2} right) dx][eqn: = int _{0} ^{4} {{3} over {4}} x ^{2} `dx][eqn: =left[ {1} over {4} x ^{3} right] _{0} ^{4} =16][eqn: therefore 16]

[eqn: n=4 `]일 때, 두 곡선 [eqn: y=x ^{2}], [eqn: y= {1} over {4} x ^{2} `]과 직선 [eqn: rm AB `]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: 14]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 11월

자연수 [eqn: n `]에 대하여 좌표가 [eqn: LEFT (0,`` 2n+1 RIGHT )`]인 점을 [eqn: rm P `]라 하고, 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=nx^2`]의 그래프 위의 점 중 [eqn: y `]좌표가 [eqn: 1 `]이고 제 [eqn: 1 `]사분면에 있는 점을 [eqn: rm Q `]라 하자.

[정답] ③

[해설]

[eqn: n=1]일 때,

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2}]이고 [eqn: {rmP} LEFT ( 0,~3 RIGHT ) ,~{rmQ} LEFT ( 1,~1 RIGHT )]이므로 구하고자 하는 넓이 [eqn: S`]는

[eqn: S][eqn: = {1} over {2} TIMES 2 TIMES 1+ int _{0} ^{1} {} LEFT ( 1-x ^{2} RIGHT ) dx]
[eqn: =1+ LEFT [ x- {1} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{1}]
[eqn: =1+ LEFT ( 1- {1} over {3} RIGHT ) = {5} over {3}]

[eqn: n=1`]일 때, 선분 [eqn: rm PQ `]와 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )] 및 [eqn: y `]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: {19} over {12}]	③ [eqn: {5} over {3}]

④ [eqn: {7} over {4}]	⑤ [eqn: {11} over {6}]

04 수2	09 정적분의 활용
01 정적분과 넓이
03 정적분과 넓이3 (그래프 그리기)

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 예비 26

함수 [eqn: y=4 x^{3}-12 x^{2}+8 x]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

[정답] [eqn: 2]

[해설]

[eqn: f(x)=4x^3 -12x^2 +8x]라 하면

[eqn: f(x)=4x(x-1)(x-2)]이므로 [eqn: f(x)]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

따라서, 구하는 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S= int _{ 0} ^{1 } (4x^3 -12x^2 +8x)dx][eqn: +int _{ 1} ^{2 } (-4x^3 +12x^2 -8x)dx]

[eqn: = LEFT [ x ^{4} -4x ^{3} +4x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{1} + LEFT [ -x ^{4} +4x ^{3} -4x ^{2} RIGHT ] _{1} ^{2}]

[eqn: =(1-4+4)+(-16+32-16)][eqn: -(-1+4-4)]

[eqn: =1+1=2]

04 수2	09 정적분의 활용
01 정적분과 넓이
04 정적분과 넓이4 (포물선의 넓이공식)

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 11월 8

곡선 [eqn: y = x^2 - 4x +3]과 직선 [eqn: y = 3]으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

[정답] ③

[해설]

곡선 [eqn: y = x^2 - 4x + 3]과 직선 [eqn: y = 3]의 교점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: x^2 -4x + 3 = 3]에서 [eqn: x(x-4) = 0]

이므로 [eqn: x = 0] 또는 [eqn: x = 4]

닫힌구간 [eqn: [ 0 ,```` 4 ]]에서 [eqn: x ^2 - 4x + 3 le 3]이므로 곡선 [eqn: y = x^2 - 4x + 3]과 직선 [eqn: y = 3]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S][eqn: = int _{0} ^{4} {} left{ 3 - ( x^2 - 4x + 3 ) right } dx]
[eqn: = int _{0} ^{4} {} ( -x^2 + 4x )dx]
[eqn: = left [ - 1 over 3 x^3 + 2x^2 right ]_{0} ^{4}]
[eqn: = it - 64 over 3 +32]
[eqn: = 32 over 3]

① [eqn: 10]	② [eqn: 31 over 3]	③ [eqn: 32 over 3]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 34 over 3]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 09월 26

곡선 [eqn: y=6x ^{2} -12x]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

[정답] [eqn: bold{ 8]

[해설]

[eqn: 6x ^{2} -12x=6x(x-2)=0]에서

[eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

[eqn: THEREFORE ` & int _{0} ^{2} {LEFT ( -6x ^{2} +12x RIGHT )} dx# = & LEFT [ -2x ^{3} +6x ^{2} RIGHT ] _{0}^{2}# =&-16+24=8]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 11월 26

곡선 [eqn: y=-2x^2 +3x`]와 직선 [eqn: y=x`]로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: { q} over { p}`]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold4]

[해설]

곡선 [eqn: y=-2x^2 +3x`]와 직선 [eqn: y=x`]의 교점의 [eqn: x`]좌표는

[eqn: -2x^2 +3x=x], [eqn: 2x^2 -2x=0], [eqn: 2x(x-1)=0`]에서

[eqn: x=0] 또는 [eqn: x=1]

곡선 [eqn: y=-2x^2 +3x `]와 직선 [eqn: y=x`]로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: int_{0}^{1}{ left{left(-2x^2 +3x right)-x right}`dx]

[eqn: =int_{0}^{1}{left(-2x^2 +2x right)`dx]

[eqn: =left[- { 2} over { 3}x^3 +x^2 right]_{0}^{1}]

[eqn: =- { 2} over { 3}+1= { 1} over { 3}]

따라서 [eqn: p=3], [eqn: q=1`]이므로

[eqn: p+q=3+1=4]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 09월 15

함수 [eqn: f(x) = x^{2 }- 2x]에 대하여 두 곡선 [eqn: y = f(x)], [eqn: y = it - f(x - 1) - 1]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

[정답] ③

[해설]

두 이차함수가 둘러싸인 부분의 넓이는 제[eqn: 4]사분면에 존재한다. 그러므로 두 이차함수를 [eqn: x]축으로 대칭 이동하여 정적분으로 넓이를 구한다.

[eqn: y=-f(x-1)-1=-(x-1) ^{2} +2(x-1)=-x ^{2} +4x-4]

[eqn: y=x ^{2} -2x] 와 교점은 [eqn: (2,~0),~(1,~-1)]이다. 두 그래프를 [eqn: x]축으로 대칭이 이동하여 정적분을 구하면

[eqn: int _{1} ^{2} {(-x ^{2} +2x)-(x ^{2} -4x} +4)dx= int _{1} ^{2} {(-2x ^{2} +6x-4)dx}]

[eqn: LEFT [ - {2} over {3} x ^{3} +3x ^{2} -4x RIGHT ] _{1}^{2} =- {4} over {3} + {5} over {3} = {1} over {3}]

① [eqn: {1}over{6}]	② [eqn: {1}over{4}]	③ [eqn: {1}over{3}]

④ [eqn: {5}over{12}]	⑤ [eqn: {1}over{2}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 6

곡선 [eqn: y=3x^2 -x]와 직선 [eqn: y=5x]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

[정답] ④

[해설]

곡선 [eqn: y=3x^2 -x]와 직선 [eqn: y=5x]의 교점을 구하면

[eqn: 3x^2 -x=5x], [eqn: 3x(x-2)=0]

[eqn: THEREFORE ```` x=0] 또는 [eqn: 2]

즉 곡선 [eqn: y=3x^2 -x]와 직선 [eqn: y=5x]으로 둘러싸인 부분의 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S][eqn: =int _{ 0} ^{2 } { }left {5x-(3x^2 -x) `right} }dx]
[eqn: =int _{ 0} ^{2 } { }left (6x-3x^2 right)}dx]
[eqn: = left [ pile{ `#` } 3x^2 -x^3 right]_0 ^2]
[eqn: =12-8]
[eqn: =4]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

04 수2	09 정적분의 활용
01 정적분과 넓이
05 정적분과 넓이5 (중근관련)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 13

곡선 [eqn: y=x ^{3} -2x ^{2}]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

[정답] ②

[해설]

[eqn: y][eqn: =x ^{3} -2x ^{2}]
[eqn: =x ^{2} LEFT ( x-2 RIGHT )]

곡선 [eqn: y=x ^{3} -2x ^{2}]은 다음과 같다.

따라서 구하는 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S][eqn: = int _{0} ^{2} {LEFT | x ^{3} -2x ^{2} RIGHT | dx}]
[eqn: = int _{0} ^{2} {LEFT ( -x ^{3} +2x ^{2} RIGHT ) dx}]
[eqn: = LEFT [ `- {1} over {4} x ^{4} + {2} over {3} x ^{3}` RIGHT ] _{0} ^{2}]
[eqn: =it-4+ {16} over {3}]
[eqn: = {4} over {3}]

① [eqn: {7} over {6}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {6}]

04 수2	09 정적분의 활용
01 정적분과 넓이
08 정적분과 넓이8 (함수결정 후 넓이)

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 09월 14

함수 [eqn: {f LEFT (x RIGHT ) }`]의 도함수 [eqn: { f `' LEFT (x RIGHT ) `]가 [eqn: { f `' LEFT (x RIGHT ) = x^2 -1 } `]이다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: f `'(x) `=` x^2 -1 `]로부터 [eqn: f (x)`=` 1 over 3 x^3 -x + C]

그런데 [eqn: f(0) `=`0]이므로 [eqn: f (x) `=` 1 over 3 x^3 -x]

[eqn: 1 over 3 x^3 -x `=`0][eqn: Lrarrow][eqn: x `=` - root{3}], [eqn: 0], [eqn: root{3}]

[eqn: f(x) `]가 기함수이므로 구하고자 하는 넓이는

[eqn: 2 ` times int from 0 to root{3}left{ -left( 1 over 3 x^3 -x right)right} ` dx `=` 2 ` times left[ - 1 over 12 x^4 + 1 over 2 x^2 right]_0^root{3}]

[eqn: `=` 2 ` times left{ left( - 3 over 4 + 3 over 2 right) - left( 0-0 right) right}]

[eqn: `=` 3 over 2]

[eqn: f LEFT (0 RIGHT ) =0 `]일 때, 곡선 [eqn: y = f LEFT (x RIGHT ) `]와 [eqn: x `]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: {9} over {8}]	② [eqn: {5} over {4}]	③ [eqn: {11} over {8}]

④ [eqn: {3} over {2}]	⑤ [eqn: {13} over {8}]

04 수2	09 정적분의 활용
02 정적분과 넓이의 해석
02 넓이와 해석2 (넓이의 Mm)

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 09월 30

두 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]와 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]가

[정답] [eqn: bold{200]

[해설]

[eqn: f(x-a) = cases { ~~~0 &~~~ ( x le a ) # ~x-a & ~~~ (x >a )]

[eqn: f(x-b)= cases{ ~~~0~~~&(x le b ) #~x-b &(x >b) }]

[eqn: f(x-2) = cases{ ~~~0~~~& (x le 2 ) #~x-2 &(x >2 ) }]

이므로 [eqn: 0 le x le 2]에서

[eqn: h(x) = cases{~~kx ~~ & (0 le x le a ) #~~ ak ~~ &(a< x le b ) #k(-x + a +b )~~ &( b < x le 2 )}]

따라서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: 0 le h(x) le g(x)]이고

[eqn: int _0 ^2 left { g(x) - h(x) right } dx]의 값이 최소가 되기 위해서는 두 함수 [eqn: y = g(x)], [eqn: y =h(x)]의 그래프가 그림과 같아야 한다.

따라서, [eqn: rm R ( it t,~ t(2-t) )~](단, [eqn: `0`<`t`<`1])이라 하면

[eqn: rm Q ( it 2-t ,~t(2-t))]이고

사다리꼴 [eqn: rm OPQR]의 넓이 [eqn: S(t)]가 최대가 되어야 하므로

[eqn: S(t)][eqn: = 1over 2 times left { 2 + (2-2t ) right } times t (2-t)]
[eqn: = t^3 -4t^2 +4t]

[eqn: S`'(t) = 3t^2 -8t +4 =(3t-2) (t-2)]

따라서 [eqn: S(t)]는 [eqn: t = 2 over 3]에서 극대이면서 최댓값을 가지고 그때

[eqn: int_0 ^2 left { g(x) - h(x) right } dx]의 값은 최솟값을 가지므로

[eqn: k = { 2 over 3 times 4 over 3 } over { 2 over 3 } = 4 over 3], [eqn: a= 2 over 3], [eqn: b= 4over 3]

따라서

[eqn: 60 ( k +a +b) = 60 times 10 over 3 =200]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )= {cases{`` 0 &~ LEFT (x LEQ 0 RIGHT )# ``x &~ LEFT (x>0 RIGHT )}}], [eqn: g LEFT (x RIGHT )= {cases{ ``x LEFT (2-x RIGHT ) &~ LEFT ( LEFT | x-1 RIGHT | LEQ 1 RIGHT )#~~~ 0 &~ LEFT ( LEFT | x-1 RIGHT | >1 RIGHT )}}`]

이다. 양의 실수 [eqn: k], [eqn: a], [eqn: b][eqn: LEFT (a<b<2 RIGHT )`]에 대하여, 함수 [eqn: h LEFT (x RIGHT )`]를

[eqn: h LEFT (x RIGHT )=k LEFT { f LEFT (x RIGHT )-f LEFT (x-a RIGHT )-f LEFT (x-b RIGHT )+f LEFT (x-2 RIGHT ) RIGHT }`]

라 정의하자. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: 0 LEQ h LEFT (x RIGHT ) LEQ g LEFT (x RIGHT )`]일 때, [eqn: int _{0} ^{2} { LEFT { g LEFT (x RIGHT )-h LEFT (x RIGHT ) RIGHT } dx}`]의 값이 최소가 되게 하는 [eqn: k], [eqn: a], [eqn: b`]에  대하여 [eqn: 60 LEFT (k+a+b RIGHT )`]의 값을 구하시오.

04 수2	09 정적분의 활용
02 정적분과 넓이의 해석
05 넓이와 해석5 (함수의 대칭성)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 8

곡선 [eqn: y=x ^{2} -5x]와 직선 [eqn: y=x]로 둘러싸인 부분의 넓이를 직선 [eqn: x=k]가 이등분할 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: x^2 - 5 x = x]에서

[eqn: x LEFT ( x-6 RIGHT ) =0]

[eqn: x=0] 또는 [eqn: x= 6]

곡선 [eqn: y= x^2 - 5 x]와 직선 [eqn: y= x]가 만나는 점은 원점과 [eqn: LEFT ( 6, ~ 6 RIGHT )]이다.

곡선 [eqn: y= x^2 - 5 x]와 직선 [eqn: y=x]로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: int _{ 0} ^{6 } left{ x - LEFT ( x^2 - 5 x RIGHT ) right}`dx][eqn: = int _{ 0} ^{ 6} { LEFT ( 6x - x^2 RIGHT ) }`dx]
[eqn: = left[ 3x^2 - 1 over 3 x ^3 right]_0^6]
[eqn: = 36]

따라서 직선 [eqn: x= k]가 넓이를 이등분하므로

[eqn: 18][eqn: = int _{ 0} ^{k } left{x- LEFT ( x^ 2 - 5 x RIGHT ) right} ` d x]
[eqn: = int _{ 0} ^{k } LEFT ( 6x - x^2 RIGHT )`dx]
[eqn: = left[ 3x^2 - 1over 3 x^3 right]_0^k]
[eqn: = 3k^2 - 1 over 3 k^3]

정리하면

[eqn: k^3 - 9k^2 + 5 4=0]

[eqn: LEFT ( k-3 RIGHT ) LEFT ( k^2 - 6k -18 RIGHT ) =0]

즉, [eqn: 0< k< 6]이므로 [eqn: k=3]

① [eqn: 3]	② [eqn: {13} over {4}]	③ [eqn: {7} over {2}]

④ [eqn: {15} over {4}]	⑤ [eqn: 4]

04 수2	09 정적분의 활용
03 속도와 거리
01 속도와 거리1 (위치, 위치조건)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 15

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t(t geq 0)]에서의 속도 [eqn: v(t)]가

[정답] ④

[해설]

[eqn: v(t)=-4 t+5]

이므로

점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t]에서의 위치를 [eqn: x(t)]라 하면

[eqn: x(t)=-2 t^{2}+5 t+C] (단, [eqn: C]는 적분상수[eqn: )]

이때 [eqn: x(3)=11]이므로

[eqn: -2 times 9+5 times 3+C=11] 에서

[eqn: C=14]

따라서

[eqn: x(0)=C=14]

[eqn: v(t)=-4 t+5]

이다. 시각 [eqn: t=3]에서 점 [eqn: {rm{P}} it]의 위치가 [eqn: rm 11]일 때, 시각 [eqn: t=0]에서 점 [eqn: {rm{P}} it]의 위치는?

① [eqn: rm 11]	② [eqn: rm 12]	③ [eqn: rm 13]

④ [eqn: rm 14]	⑤ [eqn: rm 15]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 19

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t ```` LEFT ( t GEQ 0 RIGHT )]에서의 속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: v LEFT ( t RIGHT ) =3t ^{2} -4t+k]이다. 시각 [eqn: t=0]에서 점 [eqn: rm P]의 위치는 [eqn: 0]이고, 시각 [eqn: t=1]에서 점 [eqn: rm P]의 위치는 [eqn: -3]이다. 시각 [eqn: t=1]에서 [eqn: t=3]까지 점 [eqn: rm P]의 위치의 변화량을 구하시오. (단, [eqn: k]는 상수이다.)

[정답] [eqn: bold { 6 }]

[해설]

시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: rm P]의 위치를 [eqn: S LEFT ( t RIGHT )]라 하자.

[eqn: v LEFT ( t RIGHT ) =3t ^{2} -4t+k]이므로

[eqn: S LEFT ( t RIGHT )][eqn: =S LEFT ( 0 RIGHT ) + int _{0} ^{t} {v LEFT ( t RIGHT )} dt]
[eqn: =S LEFT ( 0 RIGHT ) + int _{0} ^{t} {LEFT ( 3t ^{2} -4t+k RIGHT )} dt]
[eqn: =S LEFT ( 0 RIGHT ) + LEFT [ pile{ ` #` } t ^{3} -2t ^{2} +kt RIGHT ] _{0}^{t}]
[eqn: =S LEFT ( 0 RIGHT ) +t ^{3} -2t ^{2} +kt]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

시각 [eqn: t=0]에서 점 [eqn: rm P]의 위치는 [eqn: 0]이고, 시각 [eqn: t=1]에서 점 [eqn: rm P]의 위치는 [eqn: -3]이므로 [eqn: S LEFT ( 0 RIGHT ) =0], [eqn: S LEFT ( 1 RIGHT ) =-3]이다.

㉠에서 [eqn: t=1]을 대입하면 [eqn: -3=-1+k], [eqn: k=-2]

[eqn: therefore][eqn: v LEFT ( t RIGHT ) =3t ^{2} -4t-2]

따라서 시각 [eqn: t=1]에서 [eqn: t=3]까지 점 [eqn: rm P]의 위치의 변화량은

[eqn: int _{1} ^{3} {v LEFT ( t RIGHT )} dt][eqn: = int _{1} ^{3} {LEFT ( 3t ^{2} -4t-2 RIGHT )} dt]
[eqn: = LEFT [ pile{ ` # `} t ^{3} -2t ^{2} -2t RIGHT ] _{1}^{3}]
[eqn: =3- LEFT ( -3 RIGHT )]
[eqn: =6]

04 수2	09 정적분의 활용
03 속도와 거리
02 속도와 거리2 (속도, 가속도 조건)

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 09월 28

시각 [eqn: t =0 `]일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q `]의 시각 [eqn: t][eqn: LEFT ( t ge 0 RIGHT ) `]에서의 속도가 각각

[정답] [eqn: bold { 12 }]

[해설]

[eqn: v_1 (t) = 3t^2 + t ,```` v_2 (t) = 2t^2 + 3 t]에서 속도가 같아지는 순간은

[eqn: 3t^{2}+t=2t^{2}+3t]이므로 [eqn: t^{2}-2t=0]

[eqn: therefore][eqn: t=2]

즉 [eqn: t=2]에서 두 점 [eqn: rmP ,```` Q]의 속도가 같아진다.

따라서 [eqn: t=2]일 때 두 점 [eqn: rmP ,```` Q]의 위치를 구하면

[eqn: int_{0}^{2}v_{1}(t) dt=int_{0}^{2}(3t^{2}+t) dt=left[t^{3}+{1}over{2}t right]_{0}^{2}=10]

[eqn: int_{0}^{2}v_{2}(t) dt=int_{0}^{2}(2t^{2}+3t) dt=left[{2}over{3}t^{3}+{3}over{2}t right]_{0}^{2}={34}over{3}]

이므로 두 점 [eqn: rmP ,```` Q]사이의 거리 [eqn: a]는

[eqn: a=left|``10-{34}over{3}``right|={4}over{3}]

[eqn: therefore][eqn: 9a=12]

[eqn: v_1 LEFT (t RIGHT ) = 3t^2 + t], [eqn: v_2 LEFT (t RIGHT ) = 2t^2 + 3 t `]

이다. 출발한 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q `]의 속도가 같아지는 순간 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q] 사이의 거리를 [eqn: a`]라 할 때, [eqn: 9 a`]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 14

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t]에서의 가속도가

[정답] ④

[해설]

[eqn: a(t)= 3t^2 - 12t + 9], [eqn: v(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + k]

ㄱ. [eqn: t > 3]이면
[eqn: a(t)= 3 (t-1)(t-3)][eqn: > 0]이므로 [eqn: v(t)]는 증가한다. [eqn: therefore] 참

ㄴ. [eqn: k =-4]이면 [eqn: v(1) =0](극댓값)이므로 [eqn: v(t)= 0]은 그림과 같다.
따라서 점 [eqn: rm P`]의 운동 방향은 한 번 바뀐다. [eqn: therefore] 거짓

ㄷ. [eqn: 0 le t le 5]에서 [eqn: v(t) ge 0]이면 된다.
이 구간에서 최솟값은 [eqn: v(3) = k]이므로 [eqn: k ge 0]
따라서 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 0`]이다.
[eqn: therefore] 참

[eqn: a(t)=3 t^{2}-12 t+9(t geq 0)]

이고, 시각 [eqn: t=0]에서의 속도가 [eqn: k]일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 구간 [eqn: (3,`` inf )]에서 점 [eqn: {rm{P}} it]의 속도는 증가한다. ㄴ. [eqn: k=-4]이면 구간 [eqn: (0,`` inf )]에서 점 [eqn: {rm{P}} it]의 운동 방향이 두 번 바뀐다. ㄷ. 시각 [eqn: t=0]에서 시각 [eqn: t=5]까지 점 [eqn: {rm{P}} it]의 위치의 변화량과 점 [eqn: {rm{P}} it]가 움직인 거리가 같도록 하는 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: rm 0]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	09 정적분의 활용
03 속도와 거리
03 속도와 거리3 (이동거리)

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 11월 12

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP `]의 시각 [eqn: t][eqn: LEFT (t GEQ0 RIGHT ) `]에서의 속도 [eqn: v LEFT (t RIGHT ) `]가

[정답] ①

[해설]

[eqn: int _{ 0} ^{ 4} { } LEFT | `-2t+4`RIGHT |`dt][eqn: = int _{ 0} ^{2 } { } (-2t+4)`dt + int _{ 2} ^{ 4} { }(2t-4)`dt]
[eqn: =left[`-t^2 +4t{pile{`#`}} right]_0^2 +left [`t^2 -4t {pile{`#`}}right]_2^4]
[eqn: =(-4+8)+ LEFT { (16-16) -(4-8) RIGHT }]
[eqn: =4+4 =8]

[eqn: v LEFT (t RIGHT )=`-2t+4`]

이다. [eqn: t=0 `]부터 [eqn: t=4 `]까지 점 [eqn: rmP `]가 움직인 거리는?

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 14

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: {rmP}{{from^2020^11^대수능고3나^중}}]의 시각 [eqn: t][eqn: (t ge0)]에서의 속도 [eqn: v(t)]가

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: rmP]가 시각 [eqn: t=3]에서 [eqn: t=k][eqn: (k>3)]까지 움직인 거리는

[eqn: int _{3} ^{k}|`` {v(t) ``|dt]이므로

[eqn: int _{3} ^{k}|`` {v(t) ``|dt][eqn: =][eqn: int _{3} ^{k} {LEFT |`` 2t-6`` RIGHT | dt]
[eqn: = int _{3} ^{k} {LEFT ( 2t-6 RIGHT ) dt][eqn: ( because][eqn: k>3])
[eqn: = LEFT [ pile{ `#` } t ^{2} -6t RIGHT ] _{3}^{k}}]
[eqn: =k ^{2} -9-6 LEFT ( k-3 RIGHT )]
[eqn: =k ^{2} -6k+9]

즉, 조건에서 움직인 거리가 [eqn: 25]이므로

[eqn: k ^{2} -6k+9=25], [eqn: k ^{2} -6k-16=0],

[eqn: LEFT ( k-8 RIGHT ) LEFT ( k+2 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE ```` k=8][eqn: LEFT ( because```` k＞3RIGHT )]

[eqn: v(t)=2t-6]

이다. 점 [eqn: rmP]가 시각 [eqn: t=3]에서 [eqn: t=k][eqn: (k>3)]까지 움직인 거리가 [eqn: 25]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 13

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t(t geq 0)]에서의 속도 [eqn: v(t)]가

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: {rm{P}} it]가 움직이는 방향을 바꾸는 시각을

[eqn: k(k>0)]이라 하면

[eqn: v(k)=k^{2}-a k=0]에서 [eqn: k=a]

따라서 점 [eqn: {rm{P}} it]가 시각 [eqn: t=0]일 때부터 시각 [eqn: t=a]일 때까지 움직인 거리는

[eqn: int_{0}^{a}|v(t)| d t]

[eqn: = int_{0}^{a} left(-t^{2}+a t right) d t]

[eqn: = left[ pile{it #it} -{t^{3}} over {3}+{a t^{2}} over {2} right]_{0}^{a}]

[eqn: =-{a^{3}} over {3}+{a^{3}} over {2}]

[eqn: ={a^{3}} over {6}]

이므로 [eqn: {a^{3}} over {6}={9} over {2}]에서

[eqn: a^{3}=27]

따라서 [eqn: a=3]

[eqn: v(t)=t^{2}-a t ~ (a>0)]

이다. 점 [eqn: {rm{P}} it]가 시각 [eqn: t=0]일 때부터 움직이는 방향이 바꿜

때까지 움직인 거리가 [eqn: {9} over {2}]이다. 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 14

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x LEFT ( t RIGHT )]가 두 상수 [eqn: a,~b]에 대하여

[정답] ③

[해설]

[eqn: x(0)=0], [eqn: x(1)=0]이므로 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: t=0]일 때 수직선의 원점이고, [eqn: t=1]일 때도 수직선의 원점이다.

또, [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT | `v(t)` RIGHT |} dt=2]이므로 점 [eqn: rmP]가 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=1]까지 움직인 거리가 [eqn: 2]이다.

ㄱ. 점 [eqn: rmP]의 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=1]까지 위치의 변화량이 [eqn: 0]이므로 [eqn: int _{0} ^{1} {v(t)} `dt=0] (참)

ㄴ. [eqn: LEFT | `x(t _{1} )` RIGHT | >1]이면 점 [eqn: rmP]와 원점 사이의 거리가 [eqn: 1]보다 큰 시각 [eqn: t_1]이 존재하므로 점 [eqn: rmP]가 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=1]까지 움직인 거리가 [eqn: 2]보다 크다. (거짓)

ㄷ. [eqn: 0 le t le 1]인 모든 시각 [eqn: t]에서 점 [eqn: RMP]와 원점 사이의 거리가 [eqn: 1]보다 작고, 점 [eqn: RMP]가 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=1]까지 움직인 거리가 [eqn: 2]이므로 점 [eqn: rmP]는 [eqn: 0<t<1]에서 적어도 한 번 원점을 지나간다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[eqn: x LEFT ( t RIGHT ) =t LEFT ( t-1 RIGHT ) LEFT ( at+b RIGHT ) ~ LEFT ( a!=0 RIGHT )]

이다. 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT | `v LEFT ( t RIGHT ) ` RIGHT | `dt=2}]를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: int _{0} ^{1} {v LEFT ( t RIGHT ) `dt=0}] ㄴ. [eqn: LEFT | x LEFT ( t _{1} RIGHT ) RIGHT | >1]인 [eqn: t _{1}]이 열린구간 [eqn: LEFT ( `0,~1` RIGHT )]에 존재한다. ㄷ. [eqn: 0 LEQ t LEQ 1]인 모든 [eqn: t]에 대하여 [eqn: LEFT | `x LEFT ( t RIGHT ) ` RIGHT | <1]이면 [eqn: x LEFT ( t _{2} RIGHT ) =0]인 [eqn: t _{2}]가 열린구간 [eqn: LEFT ( `0,~1` RIGHT )]에 존재한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 11

시각 [eqn: t=0]일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]의 시각 [eqn: t(t geq 0)]에서의 속도가 각각

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t(t geq 0)]에서의 위치를 [eqn: x_{1}(t)]라 하면

[eqn: x_{1}(t)][eqn: = int_{0}^{t}(2-t) d t]
[eqn: = left[ pile{it #it} 2 t-{1} over {2} t^{2} right]_{0}^{t}]
[eqn: =2 t-{1} over {2} t^{2}]

따라서, 출발 후 점 [eqn: {rm{P}} it]가 다시 원점으로 돌아온 시각은

[eqn: 2 t-{1} over {2} t^{2}=0], [eqn: t^{2}-4 t=0]

[eqn: t(t-4)=0]

[eqn: t=4]

이므로

출발한 시각부터 점 [eqn: {rm{P}} it]가 원점으로 돌아

올 때까지 점 [eqn: {rm{Q}} it]가 움직인 거리는

[eqn: int_{0}^{4}|3 t| d t][eqn: = int_{0}^{4} 3 t d t]
[eqn: = left[ pile{it #it} {3} over {2} t^{2} right]_{0}^{4}]
[eqn: =24]

[eqn: v_{1}(t)=2-t], [eqn: ~ v_{2}(t)=3 t]

이다. 출발한 시각부터 점 [eqn: {rm{P}} it]가 원점으로 돌아올 때까지 점 [eqn: {rm{Q}} it]가 움직인 거리는?

① [eqn: rm 16]	② [eqn: rm 18]	③ [eqn: rm 20]

④ [eqn: rm 22]	⑤ [eqn: rm 24]

04 수2	09 정적분의 활용
03 속도와 거리
04 속도와 거리4 (그래프)

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 예비 10

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t(0 leq t leq 6)]에서의 속도 [eqn: v(t)]의 그래프가 그림과 같다. 점 [eqn: {rm{P}} it]가 시각 [eqn: t=0]에서 시각 [eqn: t=6]까지 움직인 거리는?

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: rm P]가 움직인 거리를 [eqn: S`]라 하면

[eqn: S= int _{0} ^{6} {} |` upsilon (t)|dt]

[eqn: = {1} over {2} CDOT 1 CDOT 1+ {1} over {2} CDOT (1+2) CDOT 2+ {1} over {2} CDOT 1 CDOT 2]

[eqn: + {1} over {2} CDOT 2 CDOT 1]

[eqn: = 1 over 2 +3+1+1]

[eqn: = 11 over 2]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: {7} over {2}]

④ [eqn: {9} over {2}]	⑤ [eqn: {11} over {2}]

[수학2] [적분] 평가원 최근 10개년(빠른 정답)
년도별경향	2022.12.21

[정답] ④

[정답] [eqn: 12]

[정답] [eqn: bold { 12 }]

[정답] [eqn: 9]

[정답] [eqn: 8]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 4]

[정답] ①

[정답] [eqn: 15]

[정답] [eqn: 9]

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] [eqn: bold24]

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ①

[정답] [eqn: bold45]

[정답] [eqn: {{167}}]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] [eqn: 25]

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ①

[정답] [eqn: bold40]

[정답] [eqn: 304]

[정답] [eqn: bold4]

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 8 }]

[정답] [eqn: 13]

[정답] [eqn: bold43]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 7]

[정답] [eqn: 110]

[정답] [eqn: bold35]

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 5]

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ③

[정답] [eqn: 2]

[정답] ③

[정답] [eqn: bold{ 8]

[정답] [eqn: bold4]

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ④

[정답] [eqn: bold{200]

[정답] ①

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 6 }]

[정답] [eqn: bold { 12 }]

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[수학2] [적분] 평가원 최근 10개년(해설)
년도별경향	2022.12.21