		년도별경향	2022.12.21
년도별경향	05	[수학2] [미분] 평가원 최근 10개년 PART2

04 수2	05 함수의 증가와 감소
01 함수의 증가와 감소
02 증가와 감소2 (삼차함수의 증가와 감소)

년도별경향		년도별경향
05		[수학2] [미분] 평가원 최근 10개년 PART2

	년도별경향		년도별경향
	[수학2] [미분] 평가원 최근 10개년 PART2		05

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 06월 27

함수 [eqn: f(x) = 1over3 x^3 - 9 x+3]이 열린구간 [eqn: (`-a,~a`)]에서 감소할 때, 양수 [eqn: a]의 최댓값을 구하시오.

[정답] [eqn: 3]

[해설]

[eqn: f(x) = 1over3 x^3 - 9x +3]에서

[eqn: f`'(x) = x^2 - 9 = (x+3)(x-3)]

[eqn: f`'(x) =0]에서 [eqn: x=it-3] 또는 [eqn: x=3]이므로 함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: -3]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 3]	[eqn: {CDOTS }]
[eqn: {f` prime (x)}]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: {f(x)}]	↗	[eqn: 21]	↘	[eqn: -15]	↗

[eqn: -3<x<3]에서 함수 [eqn: f(x)]는 감소하므로 열린구간 [eqn: (`-a,~a`)]에서 함수 [eqn: f(x)]가 감소하기 위한 양수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 3]이다.

04 수2	05 함수의 증가와 감소
01 함수의 증가와 감소
05 증가와 감소5 (사차함수의 증가와 감소)

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 09월 21

사차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]의 도함수 [eqn: f `' LEFT (x RIGHT ) `]가

[정답] ③

[해설]

[eqn: (- INF ,0)]에서 감소하고 [eqn: (2, INF )]에서 증가하는 그래프가 되기 위한 [eqn: f prime (x)]의 그래프 개형은 [eqn: x=`-1`]에서 접하는 그래프가 나와야 된다.

[eqn: f prime (x)=(x+1)(x- alpha )(x- beta )][eqn: ( alpha < beta )]라 하면

[eqn: alpha =-1]

[eqn: a=-( alpha + beta )], [eqn: b= alpha beta]

[eqn: a ^{2} +b ^{2} = alpha ^{2} +2 alpha beta + beta ^{2} +( alpha beta ) ^{2}]

[eqn: =1-2 beta +2 beta ^{2} =2 left ( beta - {1} over {2} right ) ^{2} + {1} over {2}]

따라서 [eqn: beta = {1} over {2}]일 때 최솟값을 갖고,

[eqn: beta =2]일 때 최댓값을 갖는다.

[eqn: m= {1} over {2}, M= 5]

[eqn: THEREFORE ````M+m= {11} over {2}]

[eqn: f `' LEFT (x RIGHT )= LEFT (x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) `]

이다. 함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT ) `]가 구간 [eqn: LEFT ( - INF ,`` 0 RIGHT ) `]에서 감소하고 구간 [eqn: LEFT ( 2,`` INF RIGHT ) `]에서 증가하도록 하는 실수 [eqn: a], [eqn: b `]의 순서쌍 [eqn: LEFT (a,`` b RIGHT ) `]에 대하여, [eqn: a ^{2} +b ^{2} `]의 최댓값을 [eqn: M`], 최솟값을 [eqn: m `]이라 하자. [eqn: M`+m `]의 값은?

① [eqn: {21} over {4}]	② [eqn: {43} over {8}]	③ [eqn: {11} over {2}]

④ [eqn: {45} over {8}]	⑤ [eqn: {23} over {4}]

04 수2	05 함수의 증가와 감소
02 함수의 극대와 극소
02 극대와 극소2 (삼차함수의 극대와 극소)

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 예비 25

함수 [eqn: f(x)=x^{3}-9 x^{2}+24 x+5]의 극댓값을 구하시오.

[정답] [eqn: 25]

[해설]

[eqn: f(x)=x^3 -9x^2 +24x+5]에서

[eqn: f`'(x)=3x^2 -18x+24]

[eqn: =3(x-2)(x-4)]

[eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	⋯	[eqn: 2]	⋯	[eqn: 4]	⋯
[eqn: f`'(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	↗	극대	↘	극소	↗

따라서, [eqn: f(x)]의 극댓값은

[eqn: f(2)=8-36+48+5=25]

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 11월 25

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=2x^3 -1 2x^2 +ax -4`]가 [eqn: x=1`]에서 극댓값 [eqn: M``]을 가질 때, [eqn: a+M``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`]는 상수이다.)

[정답] [eqn: bold22]

[해설]

삼차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 극댓값을 가지므로

[eqn: f`'(1)=0]이다. [eqn: f`'(x)=6x^2 -24x+a]이므로

[eqn: f`'(1)=6-24+a=0][eqn: therefore][eqn: a=18]

따라서, [eqn: f(x)=2x^3 -12x^2 +18x-4]이고

[eqn: f(1)][eqn: =2-12+18-4][eqn: =4= M]

[eqn: therefore][eqn: a+ M=18+4=22]

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 06월

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) = x^3 -9 x^2 + 24 x +a `]의 극댓값이 [eqn: 10 `]일 때, 상수 [eqn: a `]의 값은?

[정답] ②

[해설]

극댓값을 구하기 위하여 주어진 식을 미분하여 정리해보면

[eqn: f prime (x)=3x ^{2} -18x+24=3(x-2)(x-4)]이다.

이를 증감표를 이용하여 극댓값을 구해보면

[eqn: x]		2		4
[eqn: f`'(x)]	+	0	-	0	+
[eqn: f(x)]	증가		감소		증가
		극대		극소

[eqn: x=2]일 때 극댓값이다.

따라서 [eqn: f(2)=8-36+48+a=10]이다. [eqn: a=-10]

① [eqn: -12]	② [eqn: -10]	③ [eqn: -8]

④ [eqn: -6]	⑤ [eqn: -4]

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 09월

함수 [eqn: f(x) =][eqn: x^3 -3x^2 +a`]의 모든 극값의 곱이 [eqn: -4`]일 때, 상수 [eqn: a `]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: f(x) =][eqn: x^3 -3x^2 +a]에서 [eqn: f`prime(x) =][eqn: 3x^2 -6x =3x (x-2)]이므로

[eqn: f`prime(x)=0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

따라서, 모든 극값의 곱이 [eqn: -4]이므로

[eqn: f(0) times f(2) =a(a-4) = it -4]

[eqn: LRARROW][eqn: a^2 -4a +4 =0]

[eqn: LRARROW][eqn: (a-2)^2 =0][eqn: therefore][eqn: a=2]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 06월 6

함수 [eqn: f(x)= x^3 -ax +6]이 [eqn: x=1]에서 극소일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: f(x) =x^3 -ax+ 6]에서    [eqn: f'(x) =3x^2 -a]

이때 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 극소이므로

[eqn: f'(1)=0]

따라서 [eqn: f'(1) =3-a]에서

[eqn: 3-a=0]    ∴ [eqn: a=3]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 11월 9

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=x^3 -3x+a `]의 극댓값이 [eqn: 7`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f(x)=x^3 -3x+a`]에서

[eqn: f`` prime(x) =3x^2 -3 =3(x+1)(x-1)]

[eqn: f`` prime(x) =0``]에서

[eqn: x ={it}- 1``]또는 [eqn: x=1]

함수 [eqn: f(x)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: -1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f` prime(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	↗		↘		↗

함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x ={it}- 1``]에서 극대, [eqn: x=1]에서 극소이다.

이때, 함수 [eqn: f(x)`]의 극댓값이 [eqn: 7`]이므로

[eqn: f(-1) ={it}- 1+3+a=2+a=7]

따라서 [eqn: a=5]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 09월 17

함수 [eqn: f(x) = x^{3 }- 3ax^{2 }+ 3(a^{2 }- 1)x]의 극댓값이 [eqn: 4]이고  [eqn: f(- 2) > 0]일 때, [eqn: f(- 1)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[정답] ②

[해설]

[eqn: f prime (x)=3x ^{2} -6ax+3(a ^{2} -1)=(3x-(3a+3))(x-(a-1))]

즉 [eqn: x=a-1]일 때 극댓값 4를 갖는다. [eqn: f(-2)>0]이므로

[eqn: f(-2)=-6a ^{2} -12a-2], [eqn: 3a ^{2} +6a+1<0]이 된다.

[eqn: {-3- sqrt {6}} over {3} <a< {-3+ sqrt {6}} over {3}] 이므로 [eqn: a<0]이다.

[eqn: f(a-1)=(a-1) ^{3} -3a(a-1) ^{2} +3(a ^{2} -1)(a-1)# `````````````````````````````=(a-1) ^{2} (a+2)=4#]

정리하면 [eqn: a ^{3} -3a+2=4] , [eqn: a ^{2} -3a-2=(a+1) ^{2} (a-2)=0]이다.

[eqn: THEREFORE ~a=-1(a<0)]

그러므로 [eqn: f(x)=x ^{3} +3x ^{2}][eqn: f(-1)=2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 10

함수 [eqn: f(x) =it- 1 over3 x^3 +2x^2 +mx +1]이 [eqn: x=3]에서 극대일 때, 상수 [eqn: m]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: f(x) =it- 1 over3 x^3 +2x^2 + mx +1]에서

[eqn: f`'(x)=it- x^2 + 4x+m]

이때 함수 [eqn: f(x)]가 미분가능한 함수이고 [eqn: x=3]에서 극대이므로

[eqn: f`'(3) =0]이다.

[eqn: f`'(3) = it-9 +12+m=0]

따라서 [eqn: m=it-3]

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 5

함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} +3x ^{2} -12x+1}{{from^2021^09^평가원^중}}]의 극댓값과 극솟값을 각각 [eqn: M ,```` m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} +3x ^{2} -12x+1]에서

[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =6x ^{2} +6x-12][eqn: =6 LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )]

이므로 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT ) =0]이 되는 [eqn: x]의 값은 [eqn: x= it -2] 또는 [eqn: x=1]이다.

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x= it -2]에서 극댓값 [eqn: M=f LEFT ( -2 RIGHT ) = it -16+12+24+1=21]을 갖고, [eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: m=f LEFT ( 1 RIGHT ) =2+3-12+1= it -6]을 갖는다.

따라서 [eqn: M+m=15]

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

04 수2	05 함수의 증가와 감소
02 함수의 극대와 극소
03 극대와 극소3 (사차함수의 극대와 극소)

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 11월 12

함수 [eqn: f(x)=-x^{4}+8 a^{2} x^{2}-1]이 [eqn: x=b]와 [eqn: x=2-2 b]에서

[정답] ①

[해설]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =-4x ^{3} +16a ^{2} x]
[eqn: =-4x LEFT ( x ^{2} -4a ^{2} RIGHT )]
[eqn: =-4x LEFT ( x+2a RIGHT ) LEFT ( x-2a RIGHT )]

이므로 함수의 증감을 조사하면 [eqn: x=2a], [eqn: x=-2a`]에서 극댓값을 갖는다. 즉, [eqn: b+ LEFT ( 2-2b RIGHT ) =2a+ LEFT ( -2a RIGHT ) =0`]이므로

[eqn: b=2]

또, [eqn: b LEFT ( 2-2b RIGHT ) =2a times LEFT ( -2a RIGHT ) `]이므로

[eqn: -4=-4a^2]

[eqn: a>0`]이므로 [eqn: a=1]

따라서 [eqn: a+b=1+2=3]

극대일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 [eqn: a>0], [eqn: b>1]인 상수이다.)

① [eqn: rm 3]	② [eqn: rm 5]	③ [eqn: rm 7]

④ [eqn: rm 9]	⑤ [eqn: rm 11]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 19

실수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=x^{4}+k x+10]이 [eqn: x=1]에서 극값을 가질 때, [eqn: f(1)]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 7`]

[해설]

[eqn: f`'(x) = 4x^3 + k], [eqn: f``'(1)= 4+k = 0], [eqn: k = -4]

[eqn: THEREFORE][eqn: f(1)= 1 + k + 10 = 7]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 19

함수 [eqn: f(x)=x^{4}+a x^{2}+b]는 [eqn: x=1]에서 극소이다.

[정답] [eqn: 2]

[해설]

[eqn: f(x)=x^{4}+a x^{2}+b]에서

[eqn: f `prime (x)=4 x^{3}+2 a x]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 극소이므로 [eqn: f `prime (1)=4+2 a=0]

에서

[eqn: a=-2]

그러므로

[eqn: f `prime (x)=4 x^{3}-4 x=4 x(x-1)(x+1)]

이므로 [eqn: f `prime (x)=0]에서

[eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=1]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극댓값 [eqn: rm 4]를 가지므로

[eqn: f(0)=b=4]

따라서 [eqn: a+b=(-2)+4=2]

함수 [eqn: f(x)]의 극댓값이 [eqn: rm 4]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 상수이다.)

04 수2	05 함수의 증가와 감소
02 함수의 극대와 극소
07 극대와 극소7 (곱함수와 뺀함수)

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 11월 29

두 다항함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[정답] [eqn: 16]

[해설]

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=1]에서 극솟값 24를 가지므로

[eqn: g(1)=24`,``g`'(1)=0]

[eqn: g(x)=(x ^{3} +2)f(x)`]에서

[eqn: g(1)=3f(1)=24``]이므로, [eqn: f(1)=8]

또, [eqn: g`'(x)=3x ^{2} f(x)+(x ^{3} +2)f`'(x)`]이므로

[eqn: g`'(1)=3f(1)+3f`'(1)=0]

[eqn: THEREFORE f`'(1)=-f(1)=-8`````````( BECAUSE `f(1)=8```)]

[eqn: THEREFORE f(1)-f`'(1)=8-(-8)=16]

[eqn: g(x)=(x^3 +2) f(x)]

를 만족시킨다. [eqn: g(x)]가 [eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: 24]를 가질 때, [eqn: f(1)-f`'(1)]의 값을 구하시오.

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 06월 18

삼차함수 [eqn: y = f LEFT (x RIGHT )`]와 일차함수 [eqn: y = g LEFT (x RIGHT )`]의 그래프가 그림과 같고, [eqn: f`' LEFT (b RIGHT ) = f`' LEFT (d RIGHT ) =0`]이다.

[정답] ②

[해설]

[eqn: y`'=f`'(x)g(x)+f(x)g`'(x)]이므로 그래프를 이용하여 [eqn: x]의 값의 범위에 따라 [eqn: y`']의 값의 부호를 확인하면 다음 표와 같다.

[eqn: x]	[eqn: f`'(x)g(x)]	[eqn: f(x)g`'(x)]	[eqn: y`']
[eqn: x<a]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: -]
[eqn: x=a]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: a<x<b]	[eqn: -]	[eqn: +]
[eqn: x=b]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: +]
[eqn: b<x<c]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]
[eqn: x=c]	[eqn: 0]	[eqn: 0]	[eqn: 0]
[eqn: c<x<d]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: -]
[eqn: x=d]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: -]
[eqn: d<x<e]	[eqn: +]	[eqn: -]
[eqn: x=e]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: x>e]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]

함수 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x=c]에서 극대이고, [eqn: a<x<b]와 [eqn: d<x<e]

에서 극소이다.

따라서 [eqn: p<q]이므로 [eqn: a<p<b]이고 [eqn: d<q<e]이다.

함수 [eqn: y = f LEFT (x RIGHT ) g LEFT (x RIGHT )`]는 [eqn: x =p `]와 [eqn: x =q `]에서 극소이다. 다음 중 옳은 것은? (단, [eqn: p <q`])

① [eqn: a <p<b `]이고 [eqn: c <q<d`]	② [eqn: a <p<b `]이고 [eqn: d <q<e`]

③ [eqn: b<p<c `]이고 [eqn: c<q<d`]	④ [eqn: b <p<c `]이고 [eqn: d<q<e`]

⑤ [eqn: c<p<d `]이고 [eqn: d<q<e`]

04 수2	05 함수의 증가와 감소
03 증가감소와 극대극소의 활용
02 활용2 (미정계수와 관계식)

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 06월 20

함수

[정답] ③

[해설]

[eqn: f prime (x)=x ^{2} -2kx=x LEFT ( x-2k RIGHT )]이고

[eqn: {rmA} LEFT ( alpha ,~ {1} over {3} alpha ^{3} -k alpha ^{2} +1 RIGHT )], [eqn: {rmB} LEFT ( beta ,~ {1} over {3} beta ^{3} -k beta ^{2} +1 RIGHT )]

[eqn: LEFT ( alpha < beta RIGHT )]라 하면 주어진 조건을 만족시키는 경우는 다음 그림과 같고 도형의 모양은 평행사변형이다.

또한 [eqn: f`' LEFT ( alpha RIGHT ) = alpha ^{2} -2k alpha =3k ^{2}]에서

[eqn: alpha ^{2} -2k alpha -3k ^{2} =0], [eqn: LEFT ( alpha -3k RIGHT ) LEFT ( alpha +k RIGHT ) =0]

이므로

[eqn: alpha = it -k~ LEFT ( alpha <0< beta RIGHT )]

즉, [eqn: beta =3k`]이다.

그리고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1]

[eqn: f(2k)= {8k ^{3}} over {3} -4k ^{3} +1=1- {4} over {3} k ^{3}]이므로

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) -f LEFT ( 2k RIGHT ) = {4} over {3} k ^{3}]

또한, 점 [eqn: A``]에서의 접선 [eqn: l`]의 방정식은

[eqn: y- LEFT ( - {4} over {3} k ^{3} +1 RIGHT ) =3k ^{2} LEFT ( x+k RIGHT )]

[eqn: y=3k ^{2} x+ {5} over {3} k ^{3} +1]

점 [eqn: B``]에서의 접선 [eqn: m`]의 방정식은

[eqn: y-1=3k ^{2} LEFT ( x-3k RIGHT )]

[eqn: y=3k ^{2} x-9k ^{3} +1]

따라서 직선 [eqn: y=1]과 두 접선 [eqn: l,~m`]의 교점의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: x _{1} ,~x _{2}]라 하면

[eqn: x _{1} = it - {5} over {9} k], [eqn: x _{2} =3k`]이므로

[eqn: x _{2} -x _{1} =3k+ {5} over {9} k= {32} over {9} k]

이때 평행사변형의 넓이는 [eqn: 24]이므로

[eqn: {4} over {3} k ^{3} TIMES {32} over {9} k=24], [eqn: k ^{4} = {81} over {16}]

따라서 [eqn: k= {3} over {2}]이다.

[eqn: f(x) = {{1} over{3}}x^{3}-kx^{2}+1] ([eqn: k`][eqn: >0`]인 상수)

의 그래프 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서의 접선 [eqn: l], [eqn: m`]의 기울기가 모두 [eqn: 3k^{2}`]이다. 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접하고 [eqn: x`]축에 평행한 두 직선과 접선 [eqn: l], [eqn: m`]으로 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: 24]일 때, [eqn: k`]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

04 수2	05 함수의 증가와 감소
03 증가감소와 극대극소의 활용
03 활용3 (구간정의함수)

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 06월 21

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``a LEFT ( 3x-x ^{3} RIGHT ) &~ LEFT ( x<0 RIGHT )#~``x ^{3} -ax &~ LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}`]의 극댓값이 [eqn: 5`]일 때, [eqn: f LEFT (2 RIGHT )`]의 값은? (단 [eqn: a`]는 상수이다.)

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=` {cases{a LEFT ( 3x-x ^{3} RIGHT )&LEFT ( x<0 RIGHT )#x ^{3} -ax&LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}]에서

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) `=` {cases{a LEFT ( 3-3x ^{2} RIGHT )&LEFT ( x<0 RIGHT )#3x ^{2} -a&LEFT ( x>0 RIGHT )}}]

[eqn: a]의 부호에 따라서 도함수의 그래프가 달라지기 때문에

[eqn: a]의 범위를 나누어야 한다.

(ⅰ) [eqn: a`=0]일 때는 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) `=` {cases{0&LEFT ( x<0 RIGHT )#3x ^{2}&LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}]이 되어서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값이 발생하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a>0]일 때는 [eqn: x=`-1,` sqrt {{a} over {3}}]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 극솟값을 가지고 [eqn: x=0]에서 극댓값을 가지지만 그 값이 0이므로 문제의 조건을 만족시키지 못한다.

(ⅲ) [eqn: a`<`0]일 때는 [eqn: x=`-1]에서 극댓값을 갖는다.
이상에서 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) `=`a LEFT ( -3+1 RIGHT ) `=`5], [eqn: a=`-` {5} over {2}]이다.

[eqn: THEREFORE `````f LEFT ( 2 RIGHT ) `=`2 ^{3} + {5} over {2} ·`2`=`13]

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

04 수2	05 함수의 증가와 감소
03 증가감소와 극대극소의 활용
04 활용4 (절댓값함수)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 14

두 양수 [eqn: p ,```` q]와 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2} -9x-12]에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: p+q]의 값은?

[정답] ③

[해설]

(가) 조건에 의해 [eqn: xg(x)= left |`` xf(x-p)+qx ``right |]이므로

[eqn: g(x)= {left |`` x ``right | left |`` f LEFT ( x-p RIGHT ) +q ``right | } over {x}][eqn: (x != 0)]이고 [eqn: g(x)]는 실수 전체에서 연속이므로 [eqn: x=0]에서도 연속이어야 한다.

즉, [eqn: lim _{x ``->`` 0+} {} g(x)= lim _{x ``->`` 0-} {} g(x)=g(0)]이므로

[eqn: lim _{x ``->`` 0+} {} g(x)= lim _{x ``->`` 0+} {} ``|`` f(x-p)+q ``|`` = ``|`` f(-p)+q ``|``],

[eqn: lim _{x ``->`` 0-} {} g(x)= lim _{x ``->`` 0-} { left |`` f(x-p)+q ``right | } =it-left |`` f(-p)+q ``right |]

에서 [eqn: f(-p)+q= 0]

[eqn: THEREFORE ```` f(-p)=it-q]

또, [eqn: g(0) = 0]이므로 [eqn: g(x)]는 원점을 지난다.

따라서 [eqn: g(x)= {cases{ {left |`` x ``right | left |`` f LEFT ( x-p RIGHT ) +q ``right | } over {x} & & &(x != 0)# `````````````````````````` g(0)& & &(x=0)}}]

이 때 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2} -9x-12]이므로

[eqn: f'(x)][eqn: =3x ^{2} -6x-9]
[eqn: =3(x+1)(x-3)]

[eqn: x]		[eqn: -1]		[eqn: 3]
[eqn: f``'(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	↗	[eqn: -7]	↘	[eqn: -39]	↗

이므로 함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: h(x)][eqn: = {left |`` x ``right | left |`` f ( x) ``right | } over {x}] (단, [eqn: x!=0])이라 하면

(ⅰ) [eqn: x>0]에서 [eqn: y=|``f(x)``|]

(ⅱ) [eqn: x<0]에서 [eqn: y= - |``f(x)``|]

따라서 [eqn: y=h(x)]의 그래프는 다음과 같다.

위의 그래프에서 미분불가능한 점이 [eqn: 2]개다. 그런데, 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 [eqn: y=h(x)]의 그래프를 [eqn: x]축으로 [eqn: p]만큼 [eqn: y]축으로 [eqn: q]만큼 평행이동한 것이므로 [eqn: g(x)]의 그래프에서 미분불가능한 점이 [eqn: 1]개가 되기 위해선 원래의 함수 [eqn: y=f(x)]의 평행이동한 함수 [eqn: y=f(x-p)+q]의 극점 중 한 개가 원점에 와야 한다.

즉, 극점이 원점으로 옮겨져야 한다.

따라서 [eqn: y=f(x)]의 극점 [eqn: (-1 ,```` -7)], [eqn: (3 ,```` -39)]에 대하여

(ⅰ) 극점 [eqn: (-1 ,```` -7)]이 원점이 되는 경우

[eqn: p=1 ,```` q=7]

(ⅱ) 극점 [eqn: (3 ,```` -39)]이 원점이 되는 경우
[eqn: p=-3,````q=39]
그런데 [eqn: p,````q]가 양수이어야 하므로 모순

(ⅰ), (ⅱ)에서 만족하는 [eqn: p,````q]의 값은 [eqn: p=1 ,```` q=7]

[eqn: THEREFORE ```` p+q=1+7=8]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: xg(x)= left |`` xf(x-p)+qx ``right |]이다.

(나) 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하지 않는 실수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 1]이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

04 수2	05 함수의 증가와 감소
03 증가감소와 극대극소의 활용
06 활용6 (추론과 해석)

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 06월 21

자연수 [eqn: n`]에 대하여 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이고 다음 조건을 만족시키는 삼차함수 [eqn: f(x)`]의 극댓값을 [eqn: a_n`]이라 하자.

[정답] ③

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: f(n)=0`]이고, 삼차함수 [eqn: f(x)`]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이므로 [eqn: f(x)=(x-n)(x^2 +ax+b)`] ([eqn: a,~b`]는 상수)로 놓을 수 있다.

조건 (나)에서 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: (x+n)f(x) ge0`]이어야 하므로 함수 [eqn: y=(x+n)f(x)`] 의 그래프는 그림과 같아야 한다.

즉, 방정식 [eqn: (x+n)f(x)=0`]은 두 중근 [eqn: -n,~n`]을 갖는다.

[eqn: f(x)=(x-n)^2 (x+n)`]이므로

[eqn: f`'(x)`][eqn: =2(x-n)(x+n)+(x-n)^2`]
[eqn: =(x-n)left{ 2(x+n)+(x-n)right}`][eqn: =(x-n)(3x+n)`]

[eqn: f`'(x)=0`]에서 [eqn: x=n`] 또는 [eqn: x=it - n over 3`]

함수 [eqn: f(x)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: - n over 3]	[eqn: cdots]	[eqn: n]	[eqn: cdots]
[eqn: f`'(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	↗	극대	↘	극소	↗

따라서 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=it - n over 3`]일 때 극댓값 [eqn: f` left( - n over 3 right)`]을 갖는다.

[eqn: a_n `][eqn: = f`left( - n over 3 right) `][eqn: = left( - n over 3 -n right) ^2 left(- n over 3 +n right)`][eqn: =left( - 4 over 3 n right)^2 left( 2over 3 n right)`][eqn: = 32 over 27 n^3`]

에서 [eqn: a_n`]이 자연수가 되도록 하는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: 3`]이다.

(가) [eqn: f(n)=0`]

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: (x+n)f(x) ge0`]이다.

[eqn: a_n`]이 자연수가 되도록 하는 [eqn: n`]의 최솟값은?

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]

④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 09월 21

다음 조건을 만족시키며 최고차항의 계수가 음수인 모든 사차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )`]의 최댓값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: h LEFT (x RIGHT ) = x LEFT (x-2 RIGHT ) LEFT (x-3 RIGHT )]이라 하면

[eqn: h prime LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) +x LEFT ( x-3 RIGHT ) +x LEFT ( x-2 RIGHT )]

이므로 [eqn: h ' LEFT ( 0 RIGHT ) =6,`` h ' LEFT ( 2 RIGHT ) =`-2], [eqn: h ' LEFT (3 RIGHT )=3]

[eqn: f ' LEFT (0 RIGHT )>6] 또는 [eqn: f ' LEFT (2 RIGHT )< -2] 또는 [eqn: f ' LEFT (2 RIGHT ) >2] 또는 [eqn: f ' LEFT (3 RIGHT ) < -3]이면 [eqn: h LEFT (x RIGHT )]와 [eqn: f LEFT (x RIGHT )]의 그래프가 교점이 생기게 되어 교점 좌우에서 대소관계가 뒤바뀌며 [eqn: g LEFT (x RIGHT )]가 미분가능하다는 조건을 만족시키지 못한다.

[eqn: therefore] [eqn: f ' LEFT (0 RIGHT ) le 6], [eqn: -2 le f ' LEFT (2 RIGHT ) le 2], [eqn: f ' LEFT (3 RIGHT ) ge -3]

따라서 위 조건을 만족하는 [eqn: f LEFT (x RIGHT )]의 개형은 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-3 RIGHT )]에서

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT (4x^3 -21x^2 +32x -12 RIGHT )]

[eqn: therefore] [eqn: f ' LEFT (0 RIGHT ) =`-12a le 6]

[eqn: therefore] [eqn: a ge - 1over 2]

[eqn: f ' LEFT (3 RIGHT ) =3a ge -3]

[eqn: therefore] [eqn: - 1over 2 le a <0]

[eqn: therefore] [eqn: 0< f LEFT (1 RIGHT ) =`-2a le 1]

[eqn: therefore] (최댓값)[eqn: =1]

(ⅱ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]에서

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT (4x^3 -24x^2 +42x -18 RIGHT )]

[eqn: therefore] [eqn: f ' LEFT (0 RIGHT ) =`-18a le 6]

[eqn: therefore] [eqn: a ge - 1over 3]

[eqn: f ' LEFT (2 RIGHT ) =2a ge -2], [eqn: a ge -1]

[eqn: therefore] [eqn: - 1over 3 le a <0]

[eqn: therefore] [eqn: 0< f LEFT (1 RIGHT ) =`-4a le 4 over 3]

[eqn: therefore] (최댓값)[eqn: = 4 over 3]

(ⅲ) [eqn: f(1)]은 음수이므로 최댓값이 아니다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)을 비교하면 최댓값은 [eqn: 4 over 3]이다.

(가) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0 `]의 실근은 [eqn: 0], [eqn: 2], [eqn: 3 `]뿐이다.

(나) 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]와 [eqn: LEFT | x LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) RIGHT |] 중 크지 않은 값을 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]라 할 때, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

① [eqn: {7} over {6}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {6}]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 09월 29

두 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]와 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[정답] [eqn: bold{10]

[해설]

[eqn: f(x) g(x) = (x-1)^2 (x-2)^2 (x-3)^2]에서

삼차함수 [eqn: g(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 3]이고, 함수 [eqn: f(x) g(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이므로 삼차함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수는 [eqn: 1over 3]이다.

(ⅰ) 다항식 [eqn: g(x)]가 서로 다른 세 개의 일차식을 인수로 가질 때 [eqn: g(x) = 3(x-1) (x-2) (x-3)]
이므로 함수 [eqn: g(x) = 3(x-1) (x-2) (x-3)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

이때, 함수 [eqn: g(x) = 3(x-1) (x-2) (x-3)]은 [eqn: x=2]에서 극값을 갖지 않으므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) 다항식 [eqn: g(x)]가 [eqn: (x-1)^2]을 인수로 가질 때,
[eqn: g(x) = 3 (x-1)^2 (x-2)] 또는 [eqn: g(x) = 3(x-1)^2 (x-3)]이다.
함수 [eqn: g(x) = 3(x-1)^2 (x-2)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

이때, 함수 [eqn: g(x) =3(x-1)^2 (x-2)]는 [eqn: x=2]에서 극값을 갖지 않으므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.
또, 함수 [eqn: g(x) = 3(x-1)^2 (x-3)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: g'(x)][eqn: = 6(x-1) (x-3) + 3 (x-1)^2][eqn: = 3(x-1) (3x-7 )]
[eqn: g'(x)=0]에서
[eqn: x=1] 또는 [eqn: x= 7 over 3]
함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=1]에서 극댓값을 갖고, [eqn: x= 7 over 3]에서 극솟값을 갖는다.
따라서 함수 [eqn: g(x) = 3(x-1)^2 (x-3)]은 [eqn: x=2]에서 극값을 갖지 않으므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅲ) 다항식 [eqn: g(x)]가 [eqn: (x-2) ^2]을 인수로 가질 때
[eqn: g(x) = 3(x-1) (x-2)^2] 또는 [eqn: g(x) = 3(x-1) (x-3)^2]이다.
함수 [eqn: g(x) = 3(x-1) (x-2) ^2]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 [eqn: g(x) = 3(x-1) (x-2)^2]은 [eqn: x=2]에서 극솟값을 가지므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.
한편, 함수 [eqn: g(x) = 3(x-2)^2 (x-3)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 [eqn: g(x) = 3(x-2)^2 (x-3)]은 [eqn: x=2]에서 극댓값을 가지므로 주어진 조건을 만족시킨다.

(ⅳ) 다항식 [eqn: g(x)]가 [eqn: (x-3)^2]을 인수로 가질 때
[eqn: g(x) = 3(x-1) (x-3)^2] 또는 [eqn: g(x) = 3(x-2) (x-3)^2]이다.
함수 [eqn: g(x) = 3(x-1)(x-3)^2]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: g'(x)][eqn: = 3(x-3)^2 + 6(x-1) (x-3)][eqn: =3 (x-3) (3x-5)]
[eqn: g'(x) =0]에서
[eqn: x= 5over 3] 또는 [eqn: x=3]
함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x= 5 over 3]에서 극댓값을 갖고, [eqn: x=3]에서 극솟값을 갖는다.
따라서 함수 [eqn: g(x) =3 (x-1) (x-3)^2]은 [eqn: x=2]에서 극값을 갖지 않으므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.
또, 함수 [eqn: g(x) =3(x-2)(x-3)^2]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

이때, 함수 [eqn: g(x) = 3(x-2)(x-3)^2]은 [eqn: x=2]에서 극값을 갖지 않으므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅰ)~(ⅳ)에서

[eqn: g(x) = 3(x-2)^2 (x-3)]이므로 [eqn: f(x)= {1} over {3} LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} (x-3)]이다.

이때,

[eqn: f'(x)][eqn: = 1over 3 left { 2 (x-1) (x-3) + (x-1)^2 right }]
[eqn: = 1over 3 (x-1) (3x-7)]

이므로

[eqn: f'(0) = 1over 3 times (-1) times (-7 ) = 7 over 3]

따라서 [eqn: p=3], [eqn: q=7]이므로

[eqn: p+q =10]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )g LEFT (x RIGHT )= LEFT (x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT (x-2 RIGHT ) ^{2} LEFT (x-3 RIGHT ) ^{2}`]

을 만족시킨다. [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]의 최고차항의 계수가 [eqn: 3`]이고, [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]가 [eqn: x=2`]에서 극댓값을 가질 때, [eqn: f`' LEFT (0 RIGHT )= {q} over {p}`]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 30

함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2020^11^대수능고3나^5}}]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수이고, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 일차함수이다. 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] [eqn: bold { 39 }]

[해설]

[eqn: y= left |`` f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) ``right |]가 조건에서

[eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) = left |`` f LEFT ( 0 RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT ) ``right | =0]

[eqn: therefore][eqn: f(0)=g(0)]	[eqn: cdotscdots] ㉠

또, [eqn: x=0]에서 미분가능해야 하므로

[eqn: f' LEFT ( 0 RIGHT ) -g' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =g' LEFT ( 0 RIGHT ) -f' LEFT ( 0 RIGHT )]

즉, [eqn: f' LEFT ( 0 RIGHT ) =g' LEFT ( 0 RIGHT )]이므로 [eqn: h``'(0)=0]	[eqn: cdotscdots] ㉡

그런데, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수이고, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 일차함수이고 [eqn: x=0]에서 중근을 가져야 하므로

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} LEFT ( x-beta RIGHT )]

로 놓을 수 있다.

또한 [eqn: x<1]인 모든 구간에서도 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = left |`` f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) ``right |]가 미분가능해야 하므로 아래 그림과 같이 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) LEQ 0]이어야 한다.

즉, [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{-f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )&&&LEFT ( x<1 RIGHT )#````````f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )&&&LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}]

[eqn: x=1]에서 미분가능하므로 연속이어야 한다.

즉, [eqn: -f LEFT ( 1 RIGHT ) +g LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT ) +g LEFT ( 1 RIGHT )]

또 미분가능하므로 [eqn: -f' LEFT ( 1 RIGHT ) +g' LEFT ( 1 RIGHT ) =f' LEFT ( 1 RIGHT ) +g' LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: therefore][eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0 ,```` f``' LEFT ( 1 RIGHT ) =0]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-alpha RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}]	[eqn: cdotscdots] ㉢

로 놓을 수 있다.

㉠에서 [eqn: g(0) =f(0)]이고, ㉢에서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =-alpha]이므로

[eqn: g(0)= -alpha]

㉢을 미분하면 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( x- alpha RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )]	[eqn: cdotscdots] ㉣

㉡에서 [eqn: g' LEFT ( 0 RIGHT ) =f' LEFT ( 0 RIGHT )]이고, ㉣에서 [eqn: f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =1+2 alpha]이므로

[eqn: g' LEFT ( 0 RIGHT ) = 1+ 2alpha]

따라서 [eqn: g(x)]는 [eqn: (0,````-alpha)]를 지나고 기울기가 [eqn: 1+2alpha]인 일차함수이므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 1+2 alpha RIGHT ) x- alpha]	[eqn: cdotscdots] ㉤

조건에서 [eqn: h LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =5]이고, ㉢에서 [eqn: f(2) = 2- alpha], ㉤에서 [eqn: g(2) = 3alpha +2]이므로

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +g LEFT ( 2 RIGHT ) = LEFT ( 2- alpha RIGHT ) +2+4 alpha - alpha =5]

[eqn: therefore][eqn: alpha = {1} over {2}]

[eqn: therefore][eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2x- {1} over {2}]

[eqn: therefore][eqn: h LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 4 RIGHT ) +g LEFT ( 4 RIGHT )]
[eqn: = {7} over {2} TIMES 3 ^{2} + {15} over {2}]
[eqn: = {78} over {2}][eqn: =39]

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{LEFT |`` f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) ``RIGHT | &&& LEFT ( x<1 RIGHT )# `````f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )&&& LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}}]

이라 하자. 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, [eqn: h LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0], [eqn: h LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =5]일 때, [eqn: h LEFT ( 4 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 30

삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 105]

[해설]

삼차함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 개수를 [eqn: p(≠0)]라 하면

조건 (가)에서

[eqn: f(x) = p(x-1) (x-3) (x-q) (p, q]는 상수[eqn: )]

로 놓을 수 있고,

조건 (나)에서 [eqn: q<1]이다. 이때

[eqn: f(a-x)][eqn: = p(a-x-1) (a-x-3) (a-x-q)]
[eqn: = -p (x-a+1) (x-a+3) (x-a+q)]

이므로

[eqn: f(x) f(a-x)][eqn: = -p^2 (x-1) (x-3) (x-q)]
[eqn: times (x-a+1) (x-a+3) (x-a+q)]

따라서

[eqn: g(x)][eqn: =vert f(x)f(a-x)vert]
[eqn: = p^2 |(x-1) (x-3) (x-q)]
[eqn: times (x-a+1)(x-a+3) (x-a+q)|]

이고 [eqn: p<1<3]이고 [eqn: a-3 < a-1 <a-q]이므로

함수 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면

[eqn: g(x) = p^2 | (x-alpha )^2 (x-beta )^2 (x-gamma)^2 |] 꼴이어야 한다.

따라서

[eqn: a-3 = q,][eqn: a-1=1], [eqn: a-q=3] 이어야 한다.

따라서 [eqn: a=2], [eqn: q=-1]이므로

[eqn: f(x) = p(x+1) (x-1) (x-3)]

[eqn: f(a-x) = -p (x+1) (x-1) (x-3) = -f(x)]이다.

따라서

[eqn: g(x) = |f(x)f(a-x)|=f(x)^2] 이므로

[eqn: {g(4a)} over {f(0) times f(4a)][eqn: = {f(8)^2} over {f(0) times f(8)]
[eqn: = {f(8)} over {f(0)]
[eqn: = {p times 9 times 7 times 5} over {p times 1 times (-1) times (-3)]
[eqn: =105]

(가) [eqn: f(1)=f(3)=0]

(나) 집합 [eqn: left{ x `|` x geq 1 right.]이고 [eqn: left.f `prime (x)=0 it right}]의 원소의 개수는 [eqn: rm 1]이다.

상수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: g(x)=|f(x) f(a-x)|]가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: {g(4 a)} over {f(0) times f(4 a)}]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 22

최고차항의 계수가 [eqn: {1}{{from^2021^09^평가원^중}}]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수

[정답] [eqn: bold { 108 }]

[해설]

[eqn: i(x) = left |`` f(x) ``right |]로 놓으면 함수 [eqn: f(x)]는 다항함수이므로 모든 [eqn: x]의 값에 대하여

[eqn: lim _{ h ``->`` 0+} { { i (x+h) -i(x)} over { h} } ,```` lim _{ h ``->`` 0-} { { i (x+h) -i(x)} over { h} }]

의 값이 항상 존재한다.

따라서

[eqn: lim _{ h ``->`` 0+} { { left |`` f(x+h) ``right | - left |`` f(x-h) ``right | } over { h} }]

[eqn: = lim _{ h ``->`` 0+} { { left |`` f(x+h) ``right | - left |`` f(x) ``right | - left |`` f(x-h) ``right | + left |`` f(x) ``right | } over { h} }]

[eqn: = lim _{ h ``->`` 0+} { { i(x+h) -i(x)} over { h} } + lim _{ h ``->`` 0+} { { i(x-h)-i(x)} over { -h} }]

(ⅰ) 함수 [eqn: f(x)]의 극값이 존재하지 않고 [eqn: f(alpha) =0 ,```` f '(alpha) ne 0]인 경우

[eqn: g(x)][eqn: = f(x-3) times lim _{ h ``->`` 0+} { { left |`` f(x+h) ``right | - left |`` f(x-h) ``right | } over { h} }]
[eqn: = f(x-3)]
[eqn: TIMES LEFT { lim _{h ``->`` 0+} { {i(x+h)-i(x)} over {h} + lim _{h ``->`` 0+} { {i(x-h)-i(x)} over {-h}}} RIGHT }]
[eqn: = cases{ f(x-3) times left{` - 2 f '(x) `right} &&&(x <alpha) # ``````````````````````````````````` 0 &&&(x = alpha) # f(x-3) times left{` 2 f '(x) `right} &&&(x >alpha) }]

이때 조건 (가)를 만족시키기 위해서는 [eqn: lim _{ x ``->`` alpha- } { g(x)} =lim _{ x ``->`` alpha+ } { g(x)} =g(alpha)]이어야 하므로
[eqn: f(alpha-3) times left{` -2 f '(alpha) `right} = f(alpha-3) times left{` 2 f '(alpha) `right} =0]
그런데 [eqn: f '(alpha) ne 0], [eqn: f(alpha-3) ne 0]이므로 모순이다.

(ⅱ) 함수 [eqn: f(x)]의 극값이 존재하지 않고 [eqn: f(alpha) =0 ,```` f '(alpha)=0]인 경우

[eqn: g(x)][eqn: = f(x-3) times lim _{ h ``->`` 0+} { { left |`` f(x+h) ``right | - left |`` f(x-h) ``right | } over { h} }]
[eqn: = f(x-3)]
[eqn: TIMES LEFT { lim _{h ``->`` 0+} { {i(x+h)-i(x)} over {h} + lim _{h ``->`` 0+} { {i(x-h)-i(x)} over {-h}}} RIGHT }]
[eqn: = cases{ f(x-3) times left{` - 2 f '(x) `right} &&&(x <alpha) # ```````````````````````````````` 0 &&&(x = alpha) # f(x-3) times left{` 2 f '(x) `right} &&&(x >alpha) }]

이때 조건 (가)를 만족시키기 위해서는
[eqn: lim _{ x ``->`` alpha- } { g(x)} =lim _{ x ``->`` alpha+ } { g(x)} =g(alpha)]이어야 하고 [eqn: f '(alpha) =0]이므로
[eqn: f(alpha-3) times left{` - 2 f '(alpha) right][eqn: = f(alpha-3) times left{` 2 f '(alpha) `right} =0]
이 성립한다.
그런데, 방정식 [eqn: g(x)=0]을 만족시키는 실근은
[eqn: x= alpha] 또는 [eqn: x= alpha+3]
으로 [eqn: 2]개 뿐이므로 조건 (나)를 만족시키지 못한다.

(ⅲ) 함수 [eqn: f(x)]의 극값이 존재하고 [eqn: f(alpha) ne 0], [eqn: f( beta) ne 0], [eqn: f '(alpha) = f '(beta) =0]인 경우
(ⅰ)의 경우와 같이 [eqn: f(k) =0]을 만족시키는 [eqn: x=k]에서 함수 [eqn: g(x)]는 연속이 아니므로 조건 (가)를 만족시키지 못한다.

(ⅳ) 함수 [eqn: f(x)]의 극값이 존재하고 [eqn: f(k) =0], [eqn: f(alpha) ne 0], [eqn: f(beta) =0], [eqn: f '( alpha )=f '( beta )=0][eqn: (k< alpha < beta )]인 경우

(ⅰ)의 경우와 같이 [eqn: f(k) =0]을 만족시키는 [eqn: x=k]에서 함수 [eqn: g(x)]는 연속이 아니므로 조건 (가)를 만족시키지 못한다.

(ⅴ) 함수 [eqn: f(x)]의 극값이 존재하고 [eqn: f(k)=0], [eqn: f(l) =0], [eqn: f(m) =0], [eqn: f '(alpha) = f '(beta) =0 ( k <alpha<l<beta<m)]인 경우
(ⅰ)의 경우와 같이 [eqn: f(k)=0]을 만족시키는 [eqn: x=k]에서 함수 [eqn: g(x)]는 연속이 아니므로 조건 (가)를 만족시키지 못한다.

(ⅵ) 함수 [eqn: f(x)]의 극값이 존재하고 [eqn: f(k) =0], [eqn: f(alpha) =0], [eqn: f(beta) ne 0], [eqn: f '(alpha) =f '(beta) =0 (alpha< beta<k)]인 경우

[eqn: g(x)][eqn: = f(x-3) times lim _{ h ``->`` 0+} { { left |`` f(x+h) ``right | - left |`` f(x-h) ``right | } over { h} }]
[eqn: = f(x-3)]
[eqn: TIMES LEFT { lim _{h ``->`` 0+} { {i(x+h)-i(x)} over {h} + lim _{h ``->`` 0+} { {i(x-h)-i(x)} over {-h}}} RIGHT }]
[eqn: = {cases{ f(x-3) TIMES LEFT { -2f prime (x) RIGHT }&&&(x<k)# ```````````````````````````````` 0&&&(x=k)# f(x-3) TIMES LEFT { 2f prime (x) RIGHT }&&&(x>k)}}]

이때 조건 (가)를 만족시키기 위해서는
[eqn: lim _{x ``->`` k-} { g(x)} = lim _{x ``->`` k+} { g(x)} =g(k)]이어야 하므로
[eqn: f(k-3) times left{` -2 f '(k) `right} = f(k-3) times left{` 2 f '(k) `right} =0]
그런데 [eqn: f '(k ) ne0]이므로 [eqn: f(k-3)=0]이고
[eqn: k-3 =alpha]	[eqn: cdotscdots] ㉠
즉, [eqn: k= alpha+3]이면 조건 (가)를 만족시킨다.

또한, 방정식 [eqn: g(x)=0]의 서로 다른 실근은
[eqn: x<k]일 때 [eqn: x= alpha] 또는 [eqn: x= beta]
[eqn: x =k]일 때 [eqn: x=k]
[eqn: x >k]일 때 [eqn: x= k+3]이고 조건 (나)에서 서로 다른 네 실근의 합이 [eqn: 4]이므로
[eqn: alpha+ beta +k+k+3 =7]
[eqn: alpha+ beta+ 2k =4]	[eqn: cdotscdots] ㉡
또한, [eqn: f(x)= (x-alpha)^2 (x-k)]이고 [eqn: f '(x) = (x-alpha) (3x-2k-alpha)]이므로 [eqn: f '(x) =0]에서

[eqn: beta = { alpha+2k} over { 3}]

㉡에 대입하여 정리하면 [eqn: alpha+ 2k =3]

㉠, ㉡에서 [eqn: alpha= it -1], [eqn: k=2]이므로 [eqn: f(x)= (x+1)^2 (x-2)]

따라서 [eqn: f(5)= (5+1)^2 (5-2) =36 times3 =108]

[eqn: g(x)= f(x-3) times lim _{ h ``->`` 0+} { { left |`` f(x+h) ``right | - left |`` f(x-h) ``right | } over { h} }]

가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(5)]의 값을 구하시오.

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(나) 방정식 [eqn: g(x) =0]은 서로 다른 네 실근 [eqn: alpha_1], [eqn: alpha_2], [eqn: alpha_3], [eqn: alpha_4]를 갖고 [eqn: alpha_1 +alpha_2 + alpha_3 +alpha_4 =7]이다.

04 수2	05 함수의 증가와 감소
03 증가감소와 극대극소의 활용
07 활용7 (정의된 함수)

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 09월 21

실수 [eqn: t ``]에 대하여 직선 [eqn: x = t `]가 두 함수

[정답] ④

[해설]

[eqn: (x^4 - 4 x^3 +10 x -30) - ( 2x+2 )>0]

[eqn: Lrarrow][eqn: x^4 - 4 x^3 +8x - 32 >0]

[eqn: Lrarrow][eqn: ( x^3 +8)( x -4) >0]

로부터

[eqn: f(t) `=` cases{ `` t^4 - 4 t^3 +8 t - 32 ~````~ ( t < -2 , ``` t >4) # `` - t^4 + 4 t^3 - 8t +32 ~ ( -2 Le t Le4) }]

[eqn: x =` t `]인 지점에서의 좌미분계수와 우미분계수의 부호가 서로 달라야 하므로 [eqn: y = f(t) `]의 개형이 바뀌는 [eqn: t `=` -2], [eqn: 4`]와 [eqn: f `' (t) `=` 0 `]을 만족하는 [eqn: t `=` -2], [eqn: 1 - root{3}][eqn: 1], [eqn: 1 + root{3}], [eqn: 4]이 주어진 조건을 만족한다.

따라서 구하고자 하는 답은

[eqn: - 2 + (1- root{3} ) + 1+ ( 1+ root{3}) +4 `=` 5]

[eqn: y = x^4 - 4 x^3 +10 x - 30], [eqn: y = 2x+2 `]

의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B `]라 할 때, 점 [eqn: rm A `]와 점 [eqn: rm B] 사이의 거리를 [eqn: f LEFT (t RIGHT ) `]라 하자.

[eqn: lim from { h `->` 0+ } { f LEFT (t+h RIGHT ) - f LEFT (t RIGHT ) } over h times lim from { h `->` 0- } { f LEFT (t+h RIGHT ) - f LEFT (t RIGHT ) } over h Le 0`]

을 만족시키는 모든 실수 [eqn: t `]의 값의 합은?

① [eqn: -7]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 9]

04 수2	05 함수의 증가와 감소
04 함수의 최대와 최소
01 최대와 최소1 (Mm 구하기)

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 06월 10

닫힌구간 [eqn: [`-1,~3`]]에서 함수 [eqn: f(x)= x^3 -3x +5]의 최솟값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: f(x)=x^3 -3x +5]에서

[eqn: f'(x) =3x^2 -3= 3(x+1)(x-1)]

[eqn: f'(x)=0]에서   [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=1]

[eqn: x]	[eqn: -1]	…	[eqn: 1]	…	[eqn: 3]
[eqn: f'(x)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	[eqn: 7]	↘	[eqn: 3]	↗	[eqn: 23]

따라서 닫힌구간 [eqn: [`-1,~3`]]에서 함수 [eqn: f(x)]는

[eqn: x=1]에서 최솟값 [eqn: 3]을 갖는다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

04 수2	05 함수의 증가와 감소
04 함수의 최대와 최소
03 최대와 최소3 (Mm 조건 해석)

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 06월 28

양수 [eqn: a`]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} -a ^{2} x+2`]가 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ -a,~a RIGHT ] `]에서 최댓값 [eqn: M`], 최솟값 [eqn: {14} over {27} `]를 갖는다. [eqn: a+M`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 12]

[해설]

[eqn: f `'(x) `=` 3 x^2 + 2ax -a^2 `=`0][eqn: Lrarrow][eqn: x `=` -a], [eqn: a over 3 `] 로부터

[eqn: f (-a) `=` a^3 +2], [eqn: f` left( a over 3 right) `=` - 5 over 27 a^3 +2], [eqn: f (a) `=` a^3 +2 `]

이므로

[eqn: - 5 over 27 a^3 +2 `=` 14 over 27]

∴ [eqn: a `=` 2], [eqn: M `=` 10]

따라서 [eqn: a +M `=` 12]

04 수2	05 함수의 증가와 감소
04 함수의 최대와 최소
06 최대와 최소6 (추론과 해석)

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 06월 18

최고차항의 계수가 [eqn: {1}{{from^2019^06^평가원고3나^중}}]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]는

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: g(x) ={cases{````{1} over {2}&&&(x<0)# f(x)&&&(x GEQ0)}}]에서 [eqn: f(x) = x ^{3} +ax ^{2} +bx+c]라고 놓으면 [eqn: g(x)]는 모든 실수에서 미분 가능하므로 [eqn: x=0]에서 연속이다.

[eqn: lim _{x ``->`` 0+} {g(x) = lim _{x ``->`` 0+} {(x ^{3} +ax ^{2} +bx+c )= c}}]

[eqn: lim _{x ``->`` 0-} {g(x) } = lim _{x ``->`` 0-} {{1} over {2} = {1} over {2}}]

[eqn: g(0) = f(0) = c]

[eqn: therefore][eqn: c= 1over 2]

[eqn: x=0]에서 미분 가능하므로

[eqn: lim _{h ``->`` 0+} {eqalign{{f(h)-f(0)} over {h}][eqn: = lim _{h ``->`` 0+} {eqalign{{h ^{3} +ah ^{2} +bh} over {h}]
[eqn: = lim _{h ``->`` 0+} {(h ^{2} +ah+b)}]
[eqn: = b]

[eqn: lim _{h ``->`` 0-} {{{1} over {2} - {1} over {2}} over {h} = 0}]

[eqn: THEREFORE ```` b=0]

[eqn: therefore][eqn: f(x) = x ^{3} +ax ^{2} + {1} over {2}]

또, 양변을 미분하면 [eqn: f `` prime } (x)][eqn: =3x ^{2} +2ax][eqn: =3x left (x+ {2} over {3} a right )]이므로  조건에서 [eqn: g(x)]의 최솟값이 [eqn: {1} over {2}]보다 작은 값을 만족하는 [eqn: g(x)]의 개형은 아래와 같다.

ㄱ. [eqn: g(0)= {1} over {2} ,```` g ``{prime } (0) = 0]이므로

[eqn: g(0)+g '(0)= {1} over {2}]	(참)

ㄴ. [eqn: g(1)][eqn: =f(1)][eqn: = 1+a+ {1} over {2}][eqn: = {3} over {2} +a]	[eqn: cdotscdots] ㉠
그런데 [eqn: f left (- {2} over {3} a right ) < 1over 2]에서

[eqn: f left ( - {2} over {3} a right )][eqn: =- {8} over {27} a ^{3} + {4} over {9} a ^{3} + {1} over {2}]
[eqn: = {4} over {27} a ^{3} + {1} over {2} < {1} over {2}]

[eqn: therefore][eqn: a<0]

[eqn: THEREFORE ```` {3} over {2} +a < {3} over {2}]	[eqn: cdotscdots] ㉡
[eqn: therefore][eqn: g(1) < 3 over 2] ([eqn: because] ㉠, ㉡)	(참)

ㄷ. [eqn: g(x)]의 최솟값이 [eqn: f left (- {2} over {3} a right )][eqn: =][eqn: {4} over {27} a ^{3} + {1} over {2} =0]에서
[eqn: {4} over {27} a ^{3} =- {1} over {2}]	[eqn: therefore][eqn: a = - {3} over {2}]	[eqn: cdotscdots] ㉢

[eqn: g(2)][eqn: = f(2)]
[eqn: = 8+4a+ {1} over {2}]
[eqn: = {5} over {2}] ([eqn: because] ㉢)	(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[eqn: g(x) ={cases{````{1} over {2}&&&(x<0)# f(x)&&&(x GEQ0)}}]

이다. [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 [eqn: g(x)]의 최솟값이 [eqn: {1} over {2}]보다 작을 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: g(0)+g '(0)= {1} over {2}] ㄴ. [eqn: g(1)< {3} over {2}] ㄷ. 함수 [eqn: g(x)]의 최솟값이 [eqn: 0]일 때, [eqn: g(2)= {5} over {2}]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 30

이차함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극대이고,

[정답] [eqn: 38]

[해설]

이차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=-1]에서 극대이므로

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x=-1]에서 대칭이다. 그러므로

[eqn: f(-2)=f(0)=h(0)]

이때 [eqn: h(0)=k]라 하면 [eqn: f(x)]는

[eqn: f(x)][eqn: =a x(x+2)+k]
[eqn: =a x^{2}+2 a x+k ~ (a<0)]

로 놓을 수 있다.

한편, [eqn: g(x)]가 삼차함수이므로 [eqn: h(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하기 위해서는 [eqn: x=0]에서의 곡선 [eqn: y=g(x)]에 접하는 접선의 기울기는 음수이어야 한다.

또, 방정식 [eqn: h(x)=h(0)]의 모든 실근이 합이 [eqn: 1]이어야 하므로 다음 두 가지로 나눌 수 있다.

(i) [eqn: g(x)]의 최고차항의 계수가 양수인 경우

[eqn: g(x)][eqn: =p x(x-3)(x-q)+k]
[eqn: =p left{ x^{3}-(q+3) x^{2}+3 q x it right} +k]

한편, [eqn: g(x)]의 이차항의 계수가 [eqn: rm 0]이므로 [eqn: q=-3]이고

[eqn: g(x)=p left(x^{3}-9 x right)+k]

이때, [eqn: g `prime (x)=p left(3 x^{2}-9 right)]이므로 [eqn: g `prime (x)=0]에서

[eqn: x= sqrt{3}] 또는 [eqn: x=- sqrt{3}]

그러므로 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x= sqrt{3}]에서 극소이다.

한편, [eqn: x=0]에서의 곡선 [eqn: y=f(x)]의 접선의 기울기와 [eqn: x=0]에서의 곡선 [eqn: y=g(x)]의 접선의 기울기가 같아야 하고 [eqn: f `prime (x)=2 a x+2 a], [eqn: ~ g `prime (x)=p left(3 x^{2}-9 right)]이므로

[eqn: 2 a=-9 p]	[eqn: cdotscdots]㉠

또, 구간 [eqn: [-2,``3]]에서 [eqn: h(x)]의 최댓값은 [eqn: f(-1)],

최솟값은 [eqn: g( sqrt{3})]이므로 ㉠을 이용하면

[eqn: f(-1)-g( sqrt{3})][eqn: =(-a+k)-(-6 sqrt{3} p+k)]
[eqn: =-a+6 sqrt{3} p]
[eqn: ={9} over {2} p+6 sqrt{3} p]
[eqn: ={9+12 sqrt{3}} over {2} p]
[eqn: =3+4 sqrt{3}]

그러므로

[eqn: p={2} over {3}]이고

[eqn: a=-{9} over {2} p=-3]

따라서

[eqn: f `prime (x)=-6 x-6], [eqn: g `prime (x)=2 x^{2}-6]

이므로

[eqn: h `prime (-3)+h `prime (4)][eqn: =f `prime (-3)+g `prime (4)]
[eqn: =12+26=38]

(ii) [eqn: g(x)]의 최고차항의 계수가 음수인 경우

[eqn: g(x)=p x(x- alpha)(x- beta)+k( alpha+ beta=3)]

로 놓으면

[eqn: g(x)][eqn: =p left{ x^{3}-( alpha+ beta) x^{2}+ alpha beta x it right} +k]
[eqn: =p left{ x^{3}-3 x^{2}+ alpha beta x it right} +k]

이므로 이차항의 계수가 [eqn: rm 0]이 아니다.

그러므로 이러한 경우는 없다.

따라서 (i)에서 구하는 값은 [eqn: rm 38]이다.

삼차함수 [eqn: g(x)]는 이차항의 계수가 [eqn: rm 0]이다. 함수

[eqn: h(x)=cases{f(x) && (x leq 0) #g(x) && (x>0)}]

이 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: h `prime (-3)+h `prime (4)]의 값을 구하시오.

(가) 방정식 [eqn: h(x)=h(0)]의 모든 실근의 합은 [eqn: rm 1]이다.

(나) 닫힌구간 [eqn: [-2,``3]]에서 함수 [eqn: h(x)]의 최댓값과 최솟값의 차는 [eqn: 3+4 sqrt{3}]이다.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 22

함수

[정답] [eqn: 14`]

[해설]

(가)를 만족하려면 그림과 같이

[eqn: `f(x)=0]은 서로 다른 세 실근을 갖는다.

[eqn: f`` prime (x) = 3x^2 - 6p x = 3x(x-2p)]

[eqn: f(0) = q > 0], [eqn: f(2p) = -4p^3 +q < 0]

즉 [eqn: q < 4p^3]

(나)를 만족하려면 각 구간에서 최댓값은 [eqn: f(0)= q]일 때이다.

한편 [eqn: f(-1) = -1-3p + q],  [eqn: f(1) = 1- 3p + q]

[eqn: f(2) = 8 - 12p + q],  [eqn: f(-2) = - 8 - 12p + q]

[eqn: -q le f(-1) le q], [eqn: -q le f(1) le q]

[eqn: -q le f(-2) le q], [eqn: -2 le f(2) le q]

인데, [eqn: f(-2) ge -q]이면 충분하다.

[eqn: -8 - 12p + q ge -q], 즉 [eqn: 4+ 6p le q]

두 조건으로부터 [eqn: 4+6p le q < 4p^3]을 만족하는

[eqn: 25] 이하의 자연수는

[eqn: p = 2]일 때 [eqn: 16 le q le 25][eqn: --][eqn: 10]개

[eqn: p = 3]일 때 [eqn: 22 le q le 25][eqn: --][eqn: 4]개

[eqn: THEREFORE][eqn: 14`]개

[eqn: f(x)=x^{3}-3 p x^{2}+q]

가 다음 조건을 만족시키도록 하는 [eqn: rm 25] 이하의 두 자연수 [eqn: p], [eqn: q]의 모든 순서쌍 [eqn: (p,`` q)]의 개수를 구하시오.

(가) 함수 [eqn: |f(x)|]가 [eqn: x=a]에서 극대 또는 극소가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: rm 5]이다.

(나) 단힌구간 [eqn: [-1,``1]]에서 함수 [eqn: |f(x)|]의 최댓값과 닫힌구간 [eqn: [-2,``2]]에서 함수 [eqn: |f(x)|]의 최댓값은 같다.

04 수2	06 방부등식과 직선운동
01 방정식과 미분
01 방정식과 미분1 (삼차방정식의 근의 판별)

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 09월 15

방정식 [eqn: x^3 - 3 x^2 - 9 x - k = 0 `]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3`]이 되도록 하는 정수 [eqn: k`]의 최댓값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: x^3 - 3 x^2 - 9 x - k = 0]에서 [eqn: y=x^3 - 3 x^2 - 9 x= k]

즉 [eqn: f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x], [eqn: g(x) =k]라 하자.

[eqn: f '(x)=3x^{2}-6x-9=3(x+1)(x-3)=0]

[eqn: f``'(x) =0]을 만족하는 [eqn: x]의 값은 [eqn: x=it-1 ,```` 3]이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=it-1]에서 극댓값 [eqn: f(-1)=5], [eqn: x=3]에서 극솟값 [eqn: f(3)=it-27]을 갖는다.

[eqn: g(x)=k]가 서로 다른 세 개의 실근을 갖기 위해서는 극솟값과 극댓값 사이에서 교점을 가져야하므로

[eqn: -27<k<5]

따라서 정수 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: 4]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 26

방정식 [eqn: x^{3}-x^{2}-8 x+k=0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: rm 2]일 때, 양수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 12]

[해설]

방정식 [eqn: x^{3}-x^{2}-8 x+k=0]에서

[eqn: x^{3}-x^{2}-8 x=-k]

[eqn: f(x)=x^{3}-x^{2}-8 x]라 하면

[eqn: f `prime (x)][eqn: =3 x^{2}-2 x-8]
[eqn: =(3 x+4)(x-2)]

[eqn: f `prime (x)=0]에서

[eqn: x=-{4} over {3}] 또는 [eqn: x=2]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -{4} over {3}]	[eqn: cdots]	[eqn: rm 2]	[eqn: cdots]
[eqn: f `prime (x)]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	[eqn: nearrow]	극대	[eqn: searrow]	극소	[eqn: nearrow]

[eqn: f left(-{4} over {3} right)={176} over {27}], [eqn: f(2)=-12]

이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음 그림과 같다.

방정식 [eqn: f(x)=-k]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: rm 2]이려면

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=-k]가

서로 다른 두 점에서 만나야 하므로

[eqn: -k={176} over {27}] 또는 [eqn: -k=-12]

즉, [eqn: k=-{176} over {27}] 또는 [eqn: k=12] 이다.

이때 [eqn: k]는 양수이므로

[eqn: k=12]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 6

방정식 [eqn: 2x ^{3} -3x ^{2} -12x+k=0]이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는?

[정답] ③

[해설]

방정식 [eqn: 2x^3 - 3 x ^2 - 12 x +k = 0],

즉 [eqn: 2x^3 - 3 x ^2 - 12 x = it - k]	[eqn: cdotscdots] ㉠

에서

[eqn: f(x) = 2 x ^3 -3 x ^2 - 12x]라 하자.

[eqn: f `' (x)][eqn: = 6x^2 - 6x - 12]
[eqn: = 6 (x+1)(x-2)]

[eqn: f `' (x) = 0]에서

[eqn: x = it - 1] 또는 [eqn: x=2]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: -1]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 2]	[eqn: {CDOTS }]
[eqn: {f` prime (x)}]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: {f(x)}]	[eqn: nearrow]	[eqn: 7]	[eqn: searrow]	[eqn: - 20]	[eqn: nearrow]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x= it - 1]에서 극댓값 [eqn: 7]을 갖고, [eqn: x=2]에서 극솟값 [eqn: -20]을 갖는다.

방정식 ㉠이 서로 다른 세 실근을 가지려면 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y = it - k]가 서로 다른 세 점에서 만나야 하므로

[eqn: - 20 < - k < 7]

즉, [eqn: - 7 < k < 20]이다.

따라서 정수 [eqn: k]의 값은

[eqn: - 6 ,~ - 5 ,~- 4 ,~ cdots,~19]

이고, 그 개수는 [eqn: 26]이다.

① [eqn: 20]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 26]

④ [eqn: 29]	⑤ [eqn: 32]

04 수2	06 방부등식과 직선운동
01 방정식과 미분
04 방정식과 미분4 (다항함수, 방정식의 동치변형)

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 09월 27

곡선 [eqn: y = x^{3 }- 3x^{2 }+ 2x - 3]과 직선 [eqn: y = 2x + k]가 서로 다른 두 점에서만 만나도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 곱을 구하시오.

[정답] [eqn: bold{21]

[해설]

[eqn: y=x^3 -3x^2 +2x -3]과 [eqn: y=2x+k]가 서로 다른 두 점에서 만나므로 [eqn: y=2x+k]은 [eqn: y=x^3 -3x^2 +2x -3]의 접선이 된다. 따라서 기울기가 [eqn: 2]인 접선의 방정식을 통하여 [eqn: y=2x+k]을 구할 수 있다.
접점을 [eqn: (t,t^3 -3t^2 +2t -3)]이라고 하면 접선의 기울기는 [eqn: 3t^2 -6t+2]이다. 기울기는 [eqn: 3t ^{2} -6t+2 =2]이므로 [eqn: t=0,2]이다. 따라서 접점은 [eqn: (0,~-3),~(2,~-3)]이다.  직선의 방정식은 다음과 같다.
[eqn: y=2x-3,y=2x-7]

따라서 [eqn: k]의 곱은 [eqn: 21]이다.

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 25

곡선 [eqn: {y}{{from^2020^11^대수능고3나^중}}][eqn: =4x ^{3} -12x+7]과 직선 [eqn: y=k]가 만나는 점의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 양수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 15 }]

[해설]

곡선 [eqn: y=4x ^{3} -12x+7]과 직선 [eqn: y=k]가 만나는 점의 개수가 [eqn: 2]개가 되는 경우는 [eqn: y=][eqn: k]가 극점을 지나는 경우이다.

즉, [eqn: k]는 극댓값 또는 극솟값이어야 한다.

[eqn: y=4x ^{3} -12x+7]에서 [eqn: y '=12x ^{2} -12]

[eqn: 12x ^{2} -12=0], [eqn: 12 LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) =0]

[eqn: therefore][eqn: x=1] 또는 [eqn: x= it -1]

따라서 곡선 [eqn: y=4x ^{3} -12x+7]에서 [eqn: x=1]일 때, 극솟값 [eqn: y=4-12+7= it -1]을 갖고, [eqn: x= it -1]일 때, 극댓값 [eqn: y= it -4+12+7=15]을 갖는다.

그런데 조건에서 [eqn: k >0]이므로 [eqn: k=15]

04 수2	06 방부등식과 직선운동
01 방정식과 미분
05 방정식과 미분5 (변형함수, 방정식의 동치변형)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 20

함수 [eqn: {f(x)= 1 over2 x^3 - 9 over2 x^2 + 10x}{{from^2021^09^평가원^중}}]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식

[정답] [eqn: bold { 21 }]

[해설]

함수 [eqn: g(x)]를 [eqn: g(x)= f(x) + left |`` f(x) +x ``right | - 6x]라 하면

[eqn: g(x)= cases{ -7 x &&&(f(x) < it -x) # 2 f(x) - 5x &&&(f(x) ge it -x) }]

이고, 주어진 방정식은 [eqn: g(x)= k]와 같다.

[eqn: f(x) = it -x]에서

[eqn: 1 over2 x^3 - 9 over2 x^2 + 10 x = it -x], [eqn: x over2 LEFT ( x^2 -9x +22 RIGHT )=0]

이때 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: x^2 -9x +22 = LEFT ( x- 9 over2 RIGHT )^2 + 7 over4 >0]이므로 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=it-x]는 오직 원점 [eqn: (0 ,```` 0)]에서만 만난다.

따라서 함수 [eqn: h(x)]를 [eqn: h(x) =2f(x) -5x = x^3 -9x^2 +15x]라 하면

[eqn: g(x)= cases{ -7x &&&( x<0) # h(x) &&&(x ge0) }]이다.

[eqn: h '(x) =3x^2 -18x +15 =3 (x-1)(x-5)]이므로 [eqn: h '(x)=0]에서

[eqn: x=1] 또는 [eqn: x=5]

따라서 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=1]에서 극댓값 [eqn: h(1)= 1 - 9 + 15 =7]을 갖고, [eqn: x=5]에서 극솟값 [eqn: h(5) = 125 -225 + 75 = it -25]를 갖는다.

따라서 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 다음과 같다.

주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 4]가 되기 위해서는 곡선 [eqn: y=g(x)]와 직선 [eqn: y=k]의 교점의 개수가 [eqn: 4]이어야 하므로 실수 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: 0<k<7]이다.

따라서 모든 정수 [eqn: k]의 값의 합은

[eqn: 1+2+3 + cdots + 6 = 6 over2 (1+6)=21]

[eqn: f(x) + left |`` f(x) +x right |`` = 6x+k]

의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 4]가 되도록 하는 모든 정수 [eqn: k]의 값의 합을 구하시오.

04 수2	06 방부등식과 직선운동
01 방정식과 미분
06 방정식과 미분6 (도함수의 그래프 조건)

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 06월 21

삼차함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: y=f``prime(x)]의 그래프가 그림과 같을 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: f (0) <0 `]이면 함수 [eqn: f (x) `]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

이 때, [eqn: f(2)<f(0)<0] 이므로 [eqn: |` f(0) `| < |` f(2) `| `]  <참>

ㄴ. [eqn: f (0) f(2) Ge 0 `]일 때 [eqn: f(0)>f(2)]이므로 함수 [eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]의 그래프의 개형을 각 경우에 따라 그리면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: f(0)>f(2)>0] 일 때,

함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

그러므로 [eqn: LEFT | f( alpha ) RIGHT | =0``( alpha != 2)`]라 하면 [eqn: a]의 값은 [eqn: alpha]와 2로 2개이다.

(ⅱ) [eqn: f(0)>f(2)] 이고, [eqn: f(2)=0] 일 때,

함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

그러므로 [eqn: LEFT | f( alpha ) RIGHT | =0``( alpha != 2)`]라 하면 [eqn: a]의 값은 [eqn: alpha]와 2로 2개이다.

(ⅲ) [eqn: f(0)=0] 이고 [eqn: f(2)<0] 일 때,

함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

그러므로 [eqn: LEFT | f( alpha ) RIGHT | =0``( alpha != 2)`]라 하면 [eqn: a]의 값은 0과 [eqn: alpha]로 2개이다.

(ⅳ) [eqn: f(2)<f(0)<0] 일 때,

함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

그러므로 [eqn: LEFT | f( alpha ) RIGHT | =0``]라 하면 [eqn: a]의 값은 0과 [eqn: alpha]로 2개이다.

따라서 (ⅰ),(ⅱ),(ⅲ),(ⅳ)에 의하여

극소인 [eqn: a]의 값의 개수는 2이다.  <참>

ㄷ. [eqn: f(0)+f(2)=0] 이므로 [eqn: f(2)=`-f(0)]

함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

이때, 방정식 [eqn: LEFT | f(x) RIGHT | =f(0)]의 서로 다른 실근의 개수는 함수 [eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]의 그래프와 직선 [eqn: y=f(0)]과의 서로 다른 교점의 개수와 같다.

위의 그림에서 함수 [eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]의 그래프와 직선 [eqn: y=f(0)]의 서로 다른 교점의 개수는 4개이므로 서로 다른 실근의 개수도 4개이다.   <참>

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f(0)<0]이면 [eqn: LEFT | f(0) RIGHT | < LEFT | f(2) RIGHT | `]이다. ㄴ. [eqn: f(0)f(2) GEQ 0]이면 함수 [eqn: LEFT | f(x) RIGHT |]가 [eqn: x=a]에서 극소인 [eqn: a]의 값의 개수는 [eqn: 2]이다. ㄷ. [eqn: f(0)+f(2)=0]이면 방정식 [eqn: LEFT | f(x) RIGHT | =f(0)]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 4]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	06 방부등식과 직선운동
01 방정식과 미분
11 방정식과 미분11 (추론과 해석)

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 11월 30

실수 [eqn: k `]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) = x^3 - 3x^2 +6x + k `]의 역함수를 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]라 하자. 방정식

[정답] [eqn: bold65]

[해설]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) = 3x^2 - 6x +6`]이므로

[eqn: 4 LEFT ( 3x^2 - 6x +6 RIGHT ) +12x - 18 =f`' LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]

[eqn: 12x^2 - 12x +6 = 3 LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }^2 - 6 g LEFT ( x RIGHT ) +6]

[eqn: LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }^2 -2g LEFT ( x RIGHT ) =4x^2 -4x]

[eqn: LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }^2 - 4x^2 - 2 g LEFT ( x RIGHT ) +4x =0]

[eqn: LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) -2x RIGHT ) LEFT ( g LEFT ( x RIGHT )+2x RIGHT ) -2 LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) -2x RIGHT )=0]

[eqn: LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) -2x RIGHT )LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) +2x -2RIGHT ) =0]

따라서,

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) -2x =0] 또는 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) +2x -2 =0]

(ⅰ) [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) -2x= 0]일 때,
즉 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2x`]이면 [eqn: f LEFT ( 2x RIGHT ) =x`]이므로
[eqn: 8x^3 - 12x^2 +12x+k =x]
[eqn: k =it -8x^3 +12x^2 -11x]	[eqn: cdotscdots] ㉠
따라서, [eqn: h_1 LEFT ( x RIGHT ) = it -8x^3 +12x^2 -11x`]라 하면
[eqn: h_1`' LEFT ( x RIGHT ) = it -24x^2 +24x -11 <0]
이므로 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 0,~1 RIGHT ]`]에서 [eqn: -7 le h_1 LEFT ( x RIGHT ) le 0]
즉, 방정식 ㉠이 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 0,~1 RIGHT ]`]에서 실근이 존재하기

위해서는 [eqn: -7 le k le 0]

(ⅱ) [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) +2x -2 =0`]일 때,
즉 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = it -2x+2`]이면 [eqn: f LEFT ( -2x+2 RIGHT ) = x`]이므로
[eqn: LEFT ( -2x +2 RIGHT )^3 -3 LEFT ( -2x+2 RIGHT )^2 +6 LEFT ( -2x+2 RIGHT ) + k=x]
[eqn: -8x^3 +12x^2 -13x +8 + k=0]
[eqn: k = 8x^3 -12x^2 +13x -8]	[eqn: cdotscdots] ㉡
따라서 [eqn: h_2 LEFT ( x RIGHT ) =8x^3 -12x^2 +13x -8`]라 하면
[eqn: h_2 `' LEFT ( x RIGHT ) = 24x^2 -24x +13 >0]
이므로 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 0,~1 RIGHT ]`]에서
[eqn: -8 le h_2 LEFT ( x RIGHT ) le 1]
즉, 방정식 ㉡이 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 0,~1 RIGHT ]`]에서 실근이 존재하기

위해서는 [eqn: -8 le k le1]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: -8 le k le1`]이므로 [eqn: m = it -8], [eqn: M=1]

따라서 [eqn: m^2 +M^2 = LEFT ( -8 RIGHT )^2 + 1^2 = 65]

[eqn: 4 f `' LEFT (x RIGHT ) +12x - 18 = LEFT (f `' circ g RIGHT ) LEFT (x RIGHT ) `]

가 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 0,`` 1 RIGHT ] `]에서 실근을 갖기 위한 [eqn: k `]의 최솟값을 [eqn: m], 최댓값을 [eqn: M ``]이라 할 때, [eqn: m^2 + M`^2 `]의 값을 구하시오.

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 06월 21

상수 [eqn: a], [eqn: b `]에 대하여 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) = x^3 + ax^2 + b x `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ③

[해설]

(가) 조건에 의해

[eqn: f(`-1)=-1+a-b>=1]

[eqn: therefore~a>b]	…… ㉠

(나) 조건에 의해

[eqn: f(1)-f(-1)=1+a+b-(-1+a-b)]

[eqn: =2+2b>8]

[eqn: therefore~b>3]	…… ㉡

ㄱ. [eqn: f`'(x)=3x^{2}+2ax+b]

㉠, ㉡에 의해

[eqn: a>b ~⇒~a^{2}>ab>3b] ([eqn: because~a>b>3])

따라서

[eqn: D/4=a^{2}-3b>0] (참)

ㄴ. [eqn: f`'(-1)=3-2a+b=3-a+b-a]이고

[eqn: 3-a<0], [eqn: b-a<0]이므로

[eqn: therefore~f`'(-1)<0]

[eqn: f`'(1)=3+2a+b>0]

사잇값 정리에 의해 [eqn: f`'(x)]는 [eqn: (-1,~0)]에서 근을 가진다.

[eqn: f`'(alpha)=0]이라 하면

[eqn: x]가 [eqn: (-1,~alpha)]에서 [eqn: f`'(alpha)<0]이다 (거짓)

ㄷ. [eqn: f(x)=f`'(k)x]라 하면

[eqn: f`'(k)x]는 [eqn: (0,~0)]을 지나는 직선이다.

삼차함수 [eqn: f(x)]와 직선이 [eqn: 2]개의 교점을 가지려면 직선은 [eqn: f(x)]의 접선이어야한다.

ㄱ에 의해 [eqn: f`'(x)]는 두 근을 갖고

따라서

[eqn: (0,~0)]에서 [eqn: f(x)]에 그은 접선은 [eqn: l_{1}], [eqn: l_{2}] 두 개다.

ⅰ) [eqn: l_{1}]인 경우

[eqn: f`'(k)=f`'(0)]이므로

위 그림에서

[eqn: k=0, ~k_{1}]

ⅱ) [eqn: l_{2}]인 경우

[eqn: (0,~0)]에서 [eqn: f(x)]에 그은 접선의 접점을 [eqn: k_{2}]라 할 때

[eqn: f` prime (k)=f` prime (k_{2})]이므로

[eqn: k=k_{2},~k_{3}]

따라서 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 4]개다.

(가) [eqn: f LEFT (-1 RIGHT ) > -1]

(나) [eqn: f LEFT (1 RIGHT ) - f LEFT (-1 RIGHT ) > 8]

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 방정식 [eqn: f `' LEFT (x RIGHT ) = 0 `]은 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㄴ. [eqn: -1 < x < 1 `]일 때, [eqn: f `' LEFT (x RIGHT ) ge 0 `]이다. ㄷ. 방정식 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) - f `' LEFT (k RIGHT ) x = 0 `]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2 `]가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: k `]의 개수는 [eqn: 4 `]이다.

① ㄱ	② ㄱ,	ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 09월 30

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]에 대하여 방정식

[정답] [eqn: bold { 40 }]

[해설]

[eqn: (f CIRCf)(x)=x]을 만족하기 위해서는

(ⅰ) 모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=x]일 때
[eqn: f(1)=1 ,```` f(2)=2]가 되면 [eqn: f(x)]는 증가함수가 되어 [eqn: f prime (1)<0], [eqn: f prime (2)<0]인 조건에 만족하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: f(p)= q ,```` f(q)=p]일 때,

실근이 [eqn: 0 ,```` 1 ,```` a ,```` 2 ,```` b]이고 [eqn: f ' (1) < 0 ,```` f '(2) < 0]이므로
위의 그래프와 같이 [eqn: 1,````2]가 [eqn: y=x] 대칭이어야 한다.
따라서 [eqn: f(1)=2 ,```` f(2)=1]
또, [eqn: f(0)=0], [eqn: f prime (0) -f prime (1)= 6]이므로
[eqn: f(x)=px^{3}+qx^{2}+rx+s]라 하면 [eqn: f '(x)=3px^{2}+2qx^{2}+r]이고

[eqn: f(1)=p+q+r+s=2]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: f(2)=8p+4q+2 r+s=1]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: f(0)=s=0]	[eqn: cdotscdots] ㉢

[eqn: f '(0)-f '(1)=r-3p-2q-r=6]	[eqn: cdotscdots] ㉣

㉠, ㉡, ㉢, ㉣를 연립하면 [eqn: p=1 ,```` q=it-{9}over{2} ,```` r={11}over{2} , ````s=0]

[eqn: therefore][eqn: f(x) = x^3 - 9over2 x^2 + 11over2 x]

[eqn: therefore][eqn: f(5)=40]

[eqn: LEFT ( f circ f RIGHT ) LEFT (x RIGHT ) = x`]

의 모든 실근이 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: a], [eqn: 2], [eqn: b `]이다.

[eqn: f `' LEFT (1 RIGHT ) < 0], [eqn: f `' LEFT (2 RIGHT ) < 0], [eqn: f `' LEFT (0 RIGHT ) - f `' LEFT (1 RIGHT ) = 6`]

일 때, [eqn: f LEFT (5 RIGHT )`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 1< a< 2< b`])

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 22

삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold { 61 }]

[해설]

(가)조건을 만족하는 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음과 같이 [eqn: 4]가지 경우가 있다.

[그림[eqn: 1]]	[그림[eqn: 2]]

[그림[eqn: 3]]	[그림[eqn: 4]]

그런데, (나)조건 [eqn: f LEFT ( x-f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =0]에서

[eqn: x-f LEFT ( x RIGHT ) = alpha] 또는 [eqn: x-f LEFT ( x RIGHT ) = beta]

즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x-alpha] 또는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x-beta]이므로 직선 [eqn: y=x-alpha,````y=x-beta]를 그렸을 때 교점이 [eqn: 3]개인 경우는 [그림[eqn: 3]], [그림[eqn: 4]]이다.

그런데, [eqn: f(1)=4], [eqn: f``'(1) = 1]를 만족해야 하므로 [그림[eqn: 4]]는 모순이다.

[그림[eqn: 3]]

즉 [그림[eqn: 3]]에서 [eqn: (1,````4)]에서 접하므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) - LEFT ( x-alpha RIGHT ) =a LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-alpha RIGHT )]라 놓을 수 있다.

그리고 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =4]이므로 [eqn: 1-alpha=4], [eqn: alpha=-3]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) - LEFT ( x+3 RIGHT ) =a LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x+3 RIGHT )]

또, [eqn: alpha =-3]에서 [eqn: f(x)]가 접하므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: (x+3)^2]의 인수를 가져야 한다.

㉠을 정리하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT { a LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +1 RIGHT }]

그런데, [eqn: a LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +1]이 [eqn: x+3]의 인수를 가져야 하므로

[eqn: a LEFT ( -3-1 RIGHT ) ^{2} +1=0]

[eqn: therefore][eqn: 16a+1=0], [eqn: a=- {1} over {16}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT { - {1} over {16} LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +1 RIGHT }]
[eqn: = LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT { - {1} over {16} LEFT ( x ^{2} -2x+1 RIGHT ) +1 RIGHT }]
[eqn: = LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT { - {1} over {16} LEFT ( x ^{2} -2x+1-16 RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: =][eqn: LEFT ( x+3 RIGHT ) ^{2} LEFT { - {1} over {16} LEFT ( x-5 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: therefore][eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =9times {5} over {16} = {45} over {16}]

따라서 [eqn: p=16 ,```` q=45]이므로 [eqn: p+q=16+45=61]

(가) 방정식 [eqn: f(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2]이다.

(나) 방정식 [eqn: f(x-f(x))=0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 3]이다.

[eqn: f(1)=4], [eqn: f``'(1) = 1], [eqn: f``'(0)>1]일 때, [eqn: f(0)= q over p]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

04 수2	06 방부등식과 직선운동
02 부등식과 미분
03 부등식과 미분3 (부등식의 동치변형)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 9

두 함수

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: h(x)=f(x)-g(x)]라 하면

[eqn: h(x)=x^{3}-x^{2}-x+6-a]

이때 [eqn: x geq 0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부

등식 [eqn: h(x) geq 0]이 성립하려면 [eqn: x geq 0]에서

함수 [eqn: h(x)]의 최솟값이 [eqn: rm 0] 이상이어야 한다.

[eqn: h `prime (x)][eqn: =3 x^{2}-2 x-1]
[eqn: =(3 x+1)(x-1)]

이므로 [eqn: h `prime (x)=0] 에서

[eqn: x=-{1} over {3}] 또는 [eqn: x=1]

[eqn: x geq 0]에서 함수 [eqn: h(x)]의 증가와 감소를

표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: rm 0]	[eqn: cdots]	[eqn: rm 1]	[eqn: cdots]
[eqn: h `prime (x)]		[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: h(x)]	[eqn: 6-a]	[eqn: searrow]	[eqn: 5-a]	[eqn: nearrow]

즉, [eqn: x geq 0]에서 함수 [eqn: h(x)]의 최솟값이 [eqn: 5-a]이므로 주어진 조건을 만족시키려면 [eqn: 5-a geq 0]이어야 한다.

따라서 [eqn: a leq 5]이므로 구하는 실수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: rm 5]이다.

[eqn: f(x)=x^{3}-x+6], [eqn: ~ g(x)=x^{2}+a]

가 있다. [eqn: x geq 0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식

[eqn: f(x) geq g(x)]

가 성립할 때, 실수 [eqn: a]의 최댓값은?

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

04 수2	06 방부등식과 직선운동
02 부등식과 미분
05 부등식과 미분5 (함수 구하기)

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 11월 21

다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: f LEFT (2 RIGHT )`]의 최솟값은?

[정답] ⑤

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx+c] ([eqn: a,~b,~c`]는 상수)로 놓을 수 있다.

[eqn: f `prime (x)=3x ^{2} +2ax+b]

조건 (나)에서 [eqn: f(0)=f`'(0)]이므로 [eqn: c=b]

즉, [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx+b`]이므로

[eqn: g(x)=f(x)-f` prime (x)]라 하면

[eqn: g(x)][eqn: =(x ^{3} +ax ^{2} +bx+b)-(3x ^{2} +2ax+b)]
[eqn: =x^3 + (a-3)x^2 + (b-2a)x]

[eqn: g` prime (x)=3x ^{2} +2(a-3)x+b-2a]

[eqn: g(0)=0]이고, 조건 (다)에서 [eqn: x GEQ -1]인 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g(x) GEQ 0]이므로

그림과 같이 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 극솟값을 갖는다.

따라서 [eqn: g`'(0)=0]이므로 [eqn: b-2a=0,~b=2a]

[eqn: g(x)][eqn: =x ^{3} +(a-3)x ^{2}]
[eqn: =x` ^{2} (x+a-3)]

[eqn: g(x)=0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=3-a]

[eqn: x GEQ -1]에서 [eqn: g(x) GEQ 0]이므로 [eqn: 3-a LEQ -1], 즉 [eqn: a GEQ 4]이어야 한다.

[eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +2ax+2a`]에서

[eqn: f(2)=8+4a+4a+2a=10a+8]이고 [eqn: a GEQ 4]이므로

[eqn: f(2)=10a+8 GEQ 10 TIMES 4+8=48]

따라서 [eqn: f(2)]의 최솟값은 [eqn: 48]이다.

(가) [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]의 최고차항의 계수는 [eqn: 1 `]이다.

(나) [eqn: f LEFT (0 RIGHT )=f prime LEFT (0 RIGHT )`]

(다) [eqn: x GEQ -1`]인 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) GEQ f prime LEFT (x RIGHT )`]이다.

① [eqn: 28]	② [eqn: 33]	③ [eqn: 38]

④ [eqn: 43]	⑤ [eqn: 48]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 11월 30

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]와 최고차항의 계수가 [eqn: -1`]인 이차함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold5`]

[해설]

조건 (가)에서

곡선 [eqn: y= g LEFT ( x RIGHT )]위의점 [eqn: LEFT ( 2 ,~0 RIGHT )]에서의 접선이 [eqn: x]축이고 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: -1]인 이치함수이므로

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )=it - LEFT ( x-2 RIGHT )^2]

이다.

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이므로 [eqn: x <0]인 범위에서 두 곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y = g LEFT ( x RIGHT )]는 반드시 한 점에서 만난다.

조건 (다)에서 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = g LEFT ( x RIGHT )]는 오직 하나의 실근을 가지므로 두 곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y = g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x <0]에서 만나는 점을 제외한 점에서는 만나지 않아야 한다.

또, 조건 (가)에서

곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]위의 점 [eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )]에서의 접선이 [eqn: x]축이므로 곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x]축과 접해야 한다.

그러므로 함수 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]가 극값을 갖는 경우와 극값을 갖지 않는 경우로 나눈 후 함수 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형을 그려 점 [eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]에 그은 접선의 개수를 조사하면 다음과 같다.

(ⅰ)함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 극값을 갖는 경우

함수 [eqn: y= f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x =0]에서 극솟값을 가질 때, 점 [eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]에 그은 접선의 개수는 다음 그림과 같이 [eqn: x]축을 포함하여 [eqn: 3]개다.

한편, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x =0]에서 극댓값을 가질 때 다음과 같이 세 가지로 나누어 생각할 수 있다.

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )>0]이면 점 [eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]에 그은 접선의 개수는 다음 그림과 같이 [eqn: x]축을 포함하여 [eqn: 3]개다.

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =0]이면 점 [eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]에 그은 접선의 개수는 다음 그림과 같이 [eqn: x]축 포함하여 [eqn: 2]개다. 하지만 이때는 두 곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y = g LEFT ( x RIGHT )]는 서로 다른 세 점에서 만난다.

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) <0]이면 점 [eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]에 그은 접선은 [eqn: x]축 뿐이다. 즉, 접선의 개수는 다음 그림과 같이 [eqn: 1]개다.

(ⅱ)함수 [eqn: y= f LEFT ( x RIGHT )]가 극값을 갖지 않는 경우

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )=x^3]이고 점 [eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]에 그은 접선의 개수는 그림과 같이 [eqn: x]축 포함하여 [eqn: 2]개다.

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x^3]

이다. 한편 [eqn: x >0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) le kx -2 le f LEFT ( x RIGHT )]

이므로 곡선 [eqn: y = g LEFT ( x RIGHT )]는 직선 [eqn: y = kx -2]가 만나거나 아래쪽에 있어야 하고 곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]는 직선 [eqn: y = kx -2]와 만나거나 위쪽에 있어야 한다.

한편, 직선 [eqn: y = kx -2]는 점 [eqn: LEFT ( 0,~-2 RIGHT )]를 지나는 직선이고 [eqn: k]는 이 직선의 기울기이므로 [eqn: k]가 최소가 되는 직선과 최대가 되는 직선은 다음 그림과 같이 접선이다.

점 [eqn: LEFT ( 0,~-2 RIGHT )]를 지나고 곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]와의 접점을 [eqn: LEFT ( p,~p^3 RIGHT )]이라 하면 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT ) = 3x^2]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y = 3p^2 LEFT ( x -p RIGHT ) + p^3]

이다. 이 접선이 [eqn: LEFT ( 0,~-2 RIGHT )]를 지나므로 대입하면 [eqn: -2 = 3p^2 LEFT ( -p RIGHT ) + p^3]

[eqn: p =1]

그러므로 [eqn: alpha =3]

또, 점 [eqn: LEFT ( 0,~-2 RIGHT )]를 지나고 곡선 [eqn: y = g LEFT ( x RIGHT )]의 접점을 [eqn: left ( q ,~ - LEFT ( q -2 RIGHT ) ^2 right )]이라 하면 [eqn: g ' LEFT ( x RIGHT ) = it -2 LEFT ( x-2 RIGHT )]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y = it - 2 LEFT ( q-2 RIGHT ) LEFT ( x-q RIGHT )- LEFT ( q-2 RIGHT )^2]

이다. 이 접선이 [eqn: LEFT ( 0,~-2 RIGHT )]를 지나므로 대입하면

[eqn: -2= it -2 LEFT ( q-2 RIGHT ) LEFT ( -q RIGHT ) - LEFT ( q-2 RIGHT )^2]

[eqn: -2=it - 2q^2 - 4q - q^2 + 4q-4]

[eqn: q^2 =2]

[eqn: q >0]이므로

[eqn: q = sqrt { 2}]

그러므로

[eqn: beta = it -2 LEFT ( sqrt { 2}-2 RIGHT ) =4 - 2 sqrt { 2}]

이다. 이떄,

[eqn: alpha - beta][eqn: = 3 - LEFT ( 4-2 sqrt { 2} RIGHT )]
[eqn: = it -1 + 2 sqrt { 2}]

따라서 [eqn: a = it -1], [eqn: b =2]이므로

[eqn: a^2 + b^2 = LEFT ( -1 RIGHT )^2 +2^2 =5]

(가) 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT (0,`` 0 RIGHT )`]에서의 접선과 곡선 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT (2,`` 0 RIGHT )`]에서의 접선은 모두 [eqn: x `]축이다.

(나) 점 [eqn: LEFT (2,`` 0 RIGHT )`]에서 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]에 그은 접선의 개수는 [eqn: 2`]이다.

(다) 방정식 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=g LEFT (x RIGHT )`]는 오직 하나의 실근을 가진다.

[eqn: x>0`]인 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여

[eqn: g LEFT (x RIGHT ) le kx -2 le f LEFT (x RIGHT )`]

를 만족시키는 실수 [eqn: k `]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta `]라 할 때. [eqn: alpha -beta= a+b root2`]이다. [eqn: a^2 +b^2 `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a], [eqn: b `]는 유리수이다.)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 18

최고차항의 계수가 [eqn: a]인 이차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[정답] ②

[해설]

주어진 조건에 의하여

[eqn: f(x)=a(x-1)^{2}+b(b]는 상수)로 놓으면

[eqn: f `prime (x)=2 a(x-1)]이므로

[eqn: left|f `prime (x) right| leq 4 x^{2}+5]에서

[eqn: |2 a(x-1)| leq 4 x^{2}+5 ~][eqn: cdotscdots]㉠

즉, ㉠이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립해야 하므로 두 곡선

[eqn: y=|2 a(x-1)|=|2 a PVER x-1|], [eqn: y=4 x^{2}+5]

가 그림과 같아야 한다.

즉, 실수 [eqn: a]의 최댓값은 점 [eqn: (1,``0)]에서 곡선 [eqn: y=4 x^{2}+5]에 그은 접선이 [eqn: y=-|2 a|(x-1)]일 때이므로 접점을 [eqn: left(k,`` 4 k^{2}+5 right)(k<0)]이라 하면

[eqn: y `prime =8 x]에서 [eqn: y- left(4 k^{2}+5 right)=8 k(x-k)]이 접선이

점 [eqn: (1,``0)]을 지나므로

[eqn: 4 k^{2}-8 k-5=0]

[eqn: (2 k-5)(2 k+1)=0]

[eqn: k=-{1} over {2}]

즉, 접선의 기울기는

[eqn: 8 times left(-{1} over {2} right)=-4] 이므로

[eqn: -|2 a|=-4], [eqn: |a|=2]

[eqn: a=-2] 또는 [eqn: a=2]

따라서 실수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: rm 2]이다.

[eqn: left|f `prime (x) right| leq 4 x^{2}+5]

를 만족시킨다. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 대칭축이 직선 [eqn: x=1]일 때, 실수 [eqn: a]의 최댓값은?

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: rm 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

04 수2	06 방부등식과 직선운동
03 속도, 가속도와 미분
01 속도와 가속도

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 06월 25

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t(t>0)]에서의 위치 [eqn: x]가

[정답] [eqn: 8]

[해설]

점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가 [eqn: x=t^{3}-5 t^{2}+6 t]

이므로 시각 [eqn: t]에서의 속도를 [eqn: v]라 하면 [eqn: v=3 t^{2}-10 t+6]

또, 시각 [eqn: t]에서의 가속도를 [eqn: a]라 하면 [eqn: a=6 t-10]

따라서, [eqn: t=3]에서의 가속도는 [eqn: 6 times 3-10=8]

[eqn: x=t^{3}-5 t^{2}+6 t]

이다. [eqn: t=3]에서 점 [eqn: {rm{P}} it]의 가속도를 구하시오.

04 수2	06 방부등식과 직선운동
03 속도, 가속도와 미분
02 속도와 가속도의 해석1 (주어진 위치함수)

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 06월

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P`]의 시각 [eqn: t `]에서의 위치 [eqn: x `]가 [eqn: x =`- t^2 + 4 t `]이다. [eqn: t = a `]에서 점 [eqn: rm P`]의 속도가 [eqn: 0`]일 때, 상수 [eqn: a `]의 값은?

[정답] ②

[해설]

속도를 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]라 하면

[eqn: v LEFT ( t RIGHT ) = {dx} over {dt} =`-2t+4]

[eqn: v LEFT ( a RIGHT ) =`-2a+4=0]

이므로

[eqn: a=2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

04 수2	06 방부등식과 직선운동
03 속도, 가속도와 미분
03 속도와 가속도의 해석2 (위치함수 구하기)

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 11월 27

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P`]의 시각 [eqn: t][eqn: LEFT (t ge0 RIGHT )`]에서의 위치 [eqn: x `]가

[정답] [eqn: bold22]

[해설]

점 [eqn: rmP`]의 시각 [eqn: t~ LEFT ( t GEQ 0 RIGHT ) `]에서의 위치 [eqn: x`]가

[eqn: x=it- {1} over {3} t ^{3} +3t ^{2} +k]

이므로 점 [eqn: rmP`]의 시각 [eqn: t~ LEFT ( t GEQ 0 RIGHT ) `]에서의 속도 [eqn: v`]는

[eqn: v=it-t ^{2} +6t]

이고, 점 [eqn: rmP`]의 시각 [eqn: t~ LEFT ( t GEQ 0 RIGHT ) `]에서의 가속도 [eqn: a`]는

[eqn: a=it-2t+6]

점 [eqn: rmP`]의 가속도가 [eqn: 0`]이므로

[eqn: -2t+6=0`]에서

[eqn: t=3]

[eqn: t=3`]일 때, 점 [eqn: rmP`]의 위치가 [eqn: 40`]이므로

[eqn: - {1} over {3} TIMES3 ^{3} +3TIMES3 ^{2} +k=40]

따라서 [eqn: k=22]

[eqn: x=`- 1 over 3 t^3 +3t^2 +k] ([eqn: k`]는 상수)

이다. 점 [eqn: rmP`]의 가속도가 [eqn: 0`]일 때 점 [eqn: rm P`]의 위치는 [eqn: 40`]이다. [eqn: k `]의 값을 구하시오.

04 수2	06 방부등식과 직선운동
03 속도, 가속도와 미분
05 속도와 가속도의 해석4 (운동방향)

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 06월 17

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t`(t >0)]에서의 위치 [eqn: x]가

[정답] ④

[해설]

점 [eqn: RMP]의 시각 [eqn: t`(t >0)]에서의 속도를 [eqn: v]라 하면

[eqn: v= dx overdt][eqn: =][eqn: 3t ^2 -12][eqn: =3(t+2)(t-2)]

점 [eqn: rmP]가 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 [eqn: 0]이므로 [eqn: v=0]에서

[eqn: t=2][eqn: (∵t>0)]

점 [eqn: rmP]의 운동 방향이 원점에서 바뀌므로 [eqn: t=2]일 때 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: 0]이다.

따라서 [eqn: 0= 2^3 -12 TIMES 2 +k]이므로

[eqn: k=16]

[eqn: x=t^3 - 12t +k][eqn: (k]는 상수[eqn: )]

이다. 점 [eqn: rmP]의 운동 방향이 원점에서 바뀔 때, [eqn: k]의 값은?

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 06월 16

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: \P `]의 시각 [eqn: t][eqn: LEFT (t GEQ 0 RIGHT ) `]에서의 위치 [eqn: x `]가

[정답] ①

[해설]

속도를 [eqn: v(t)]라 하고 가속도를 [eqn: a(t)]라고 하면

[eqn: v(x)=3t ^{2} +2at+b] 이고, [eqn: a(t)=6t+2a] 이다.

[eqn: t=2]에서 점 [eqn: P]의 가속도는 [eqn: 0]이므로

[eqn: a(2)=12+2a=0], [eqn: a=-6]이다.

[eqn: v(x)=3t ^{2} +12t+b]이고 [eqn: t=1]에서

점 [eqn: P]가 운동 방향을 바꾸므로

[eqn: v(1)=3-12+b=0], [eqn: b=9]이다.

따라서 [eqn: a+b=`3]

[eqn: x=t ^{3} +at ^{2} +b t] ([eqn: a], [eqn: b `]는 상수)

이다. 시각 [eqn: t=1 `]에서의 점 [eqn: \P `]가 운동 방향을 바꾸고, 시각 [eqn: t=2 `]에서의 점 [eqn: \P `]의 가속도는 [eqn: 0 `]이다. [eqn: a+b `]의 값은?

① [eqn: 3`]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 5`]

④ [eqn: 6`]	⑤ [eqn: 7`]

[수학2] [미분] 평가원 최근 10개년 PART2(빠른 정답)
년도별경향	2022.12.21

[정답] [eqn: 3]

[정답] ③

[정답] [eqn: 25]

[정답] [eqn: bold22]

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ①

[정답] [eqn: 7`]

[정답] [eqn: 2]

[정답] [eqn: 16]

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ②

[정답] [eqn: bold{10]

[정답] [eqn: bold { 39 }]

[정답] [eqn: 105]

[정답] [eqn: bold { 108 }]

[정답] ④

[정답] ③

[정답] [eqn: 12]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 38]

[정답] [eqn: 14`]

[정답] ②

[정답] [eqn: 12]

[정답] ③

[정답] [eqn: bold{21]

[정답] [eqn: bold { 15 }]

[정답] [eqn: bold { 21 }]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold65]

[정답] ③

[정답] [eqn: bold { 40 }]

[정답] [eqn: bold { 61 }]

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold5`]

[정답] ②

[정답] [eqn: 8]

[정답] ②

[정답] [eqn: bold22]

[정답] ④

[정답] ①

[수학2] [미분] 평가원 최근 10개년 PART2(해설)
년도별경향	2022.12.21