		년도별경향	2022.12.20
년도별경향	05	[수학2] [미분] 평가원 최근 10개년 PART1

04 수2	03 미분계수와 도함수
01 미분계수
01 미분계수1 (평균변화율)

년도별경향		년도별경향
05		[수학2] [미분] 평가원 최근 10개년 PART1

	년도별경향		년도별경향
	[수학2] [미분] 평가원 최근 10개년 PART1		05

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 06월 30

사차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족한다.

[정답] [eqn: 65]

[해설]

조건 (가)에 의해

[eqn: f(1)+` CDOTS `+f(n-1)+f(n)=f(n)f(n+1)~~~~ CDOTS` ①]

[eqn: f(1)+` CDOTS `+f(n-1)=f(n-1)f(n)~~~~~~~~~`` CDOTS `②]

[eqn: ①-②]를 하면

[eqn: f(n)=f(n)left{f(n+1)-f(n-1)right}]이다.

따라서 [eqn: f(n)=0] 또는 [eqn: f(n+1)-f(n-1)=1][eqn: ~ CDOTS ( AST )]이어야 한다.

조건 (나)에 의해

[eqn: n=3]일 때 [eqn: {f(5)-f(3)}}over{5-3}le0]에서 [eqn: f(5)lef(3)]

[eqn: n=4]일 때 [eqn: {f(6)-f(4)} over {6-4} LEQ 0]에서 [eqn: f(6)leq f(4)]

이므로 [eqn: (ast)]에 의해 [eqn: f(4)=0,~f(5)=0]이 된다.

조건 (가)에 [eqn: n=1,~2,~3]을 각각 대입하여 정리하면

[eqn: n=1]일 때 [eqn: f(1)=f(1)f(2)]

[eqn: n=2]일 때 [eqn: f(1)+f(2)=f(2)f(3)]

[eqn: n=3]일 때 [eqn: f(1)+f(2)+f(3)=0~(because~f(4)=0)]

(ⅰ) [eqn: f(3)=0]인 경우

[eqn: f(1)+f(2)=0]에서 [eqn: f(1)=it-left{f(1)right}^{2}]이므로

[eqn: f(1)=0] 또는 [eqn: f(1)=it-1]이다.

[eqn: f(1)=0]이면 [eqn: f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0]이 되어

사차함수라는 조건에 위배된다.

따라서 [eqn: f(1)=it-1,~f(2)=1,~f(3)=f(4)=f(5)=0][eqn: cdots`③]

이 성립한다.

그래프를 그려보면 사잇값 정리에 의해 [eqn: (1,~2)]에서 근을 갖고 [eqn: f(6)-f(4)le0]을 만족한다.

(ⅱ) [eqn: f(3)!=0]인 경우

[eqn: f(1)+f(2)=it-f(2)left{f(1)+f(2)right}]에서 [eqn: f(2)=it-1]이므로

[eqn: f(1)=0]이 된다.

따라서 [eqn: f(1)=0,~f(2)=it-1,~f(3)=1,~f(4)=f(5)=0]이 성립한다.

그래프를 그려보면 [eqn: f(6)-f(4)le0]을 만족하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: f(x)=(ax+b)(x-3)(x-4)(x-5)]이 된다.

③을 대입하면

[eqn: f(1)=it-24(a+b)=it-1,~f(2)=it-6(2a+b)=1]에서

[eqn: a=it-{5}over{24},~b={6}over{24}]을 얻는다.

[eqn: therefore~f(x)=it-{1}over{24}(5x-6)(x-3)(x-4)(x-5)]

[eqn: 128 TIMES f` LEFT ( {5} over {2} RIGHT )=2^{7}timesleft(-{1}over{24}right)left(-{1}over{2}right)left(-{3}over{2}right)left(-{5}over{2}right)left({25}over{2}-6right)=65]

(가) [eqn: 5] 이하의 모든 자연수 [eqn: n `]에 대하여 [eqn: sum_k=1 ^n f LEFT (k RIGHT ) = f LEFT (n RIGHT ) f LEFT (n+1 RIGHT ) `]이다.

(나) [eqn: n= 3], [eqn: 4`]일 때, [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]에서 [eqn: x `]의 값이 [eqn: n `]에서 [eqn: n+2 `]까지 변할 때의 평균변화율은 양수가 아니다.

[eqn: 128 times f LEFT ( 5 over 2 RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

04 수2	03 미분계수와 도함수
01 미분계수
02 미분계수2 (평균변화율과 미분계수)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 26

함수 [eqn: f(x) = x^3 - 3x^2 +5x]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 0]에서 [eqn: a]까지 변할 때의 평균변화율이 [eqn: f`'(2)]의 값과 같게 되도록 하는 양수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 3]

[해설]

함수 [eqn: f(x)]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 0]에서 [eqn: a]까지 변할 때의 평균변화율은

[eqn: {f(a) -f(0) } overa-0 }][eqn: = {a^3 - 3a^2 +5a } overa]
[eqn: =a ^2 -3a +5]

또 [eqn: f`'(x) = 3x^2 - 6x +5]이므로

[eqn: f`'(2) =12- 12+5=5]

따라서 [eqn: a^2 -3a +5=5]에서

[eqn: a(a-3) =0]

[eqn: a=0] 또는 [eqn: a=3]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a=3]

04 수2	03 미분계수와 도함수
02 도함수의 정의와 미분법 공식
02 미분법 공식1 (공식과 미분계수)

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 06월 23

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=5x^2 +3x-1`]에 대하여 [eqn: f `' LEFT (1 RIGHT )`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold13]

[해설]

[eqn: f'(x)=10x+3]이므로 [eqn: f'(1)=13]이다.

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 09월 23

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=7x ^{3} -ax+3 `]에 대하여 [eqn: f `' LEFT (1 RIGHT )=2 `]를 만족시키는 상수 [eqn: a `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold19]

[해설]

[eqn: f {prime } (x)=21x ^{3} -a], [eqn: f {prime } (1)=21-a=2]

[eqn: THEREFORE ````a=19]

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 06월

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) = x^2 + x + 3 `]에 대하여 [eqn: f `' LEFT (10 RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold21]

[해설]

[eqn: f`prime LEFT ( x RIGHT ) =2x+1]이므로 [eqn: f`prime LEFT ( 10 RIGHT ) =21]

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 09월 23

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) = x^2 - 2 x - 12 `]에 대하여 [eqn: f `' LEFT (5 RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold8`]

[해설]

[eqn: f `'(x) `=` 2x -2 `]이므로    [eqn: f `'(5) `=` 8]

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 11월

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) =x^3 + 7x +3`]에 대하여 [eqn: f `' LEFT (1 RIGHT )`]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +7x+3]에서 [eqn: f`'(x)=3x ^{2} +7]이므로

[eqn: f`'(1)=3 TIMES 1 ^{2} +7=10]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 06월 23

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) =x^3 +10x `]에 대하여 [eqn: f `' LEFT (0 RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold10`]

[해설]

[eqn: f(x) -x^3 +10x`]에서

[eqn: f`'(x) =3x^2 +10]

이므로    [eqn: f`'(0) =10]

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 06월 23

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -2x-2 `]에 대하여 [eqn: f `' LEFT ( 3 RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold25]

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -2x-2] 이므로

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -2]

따라서    [eqn: f' LEFT ( 3 RIGHT ) =3 TIMES 3 ^{2} -2=25]

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 11월 23

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) = x^3 + 3x^2 + 3 `]에 대하여 [eqn: f `' LEFT ( 2 RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold24]

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = x^3 + 3x^2 +3`]에서

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) = 3x^2 +6x`]

이므로

[eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT ) = 12+12 =24]

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 11월 26

곡선 [eqn: y=x ^{3} -ax+b] 위의 점 [eqn: LEFT ( 1,`` 1 RIGHT ) `]에서의 접선과 수직인 직선의 기울기가 [eqn: - {1} over {2} `]이다. 두 상수 [eqn: a,~b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 2]

[해설]

[eqn: y=x ^{3} -ax+b`]에서 [eqn: y`'=3x ^{2} -a`]이므로

점 [eqn: LEFT ( 1,~1 RIGHT ) `]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 3-a`]이다.

이때 이 접선과 수직인 직선의 기울기가 [eqn: - {1} over {2} `]이므로

[eqn: LEFT ( 3-a RIGHT ) TIMES LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) =`-1]

[eqn: 3-a=2,~a=1]

또한 점 [eqn: LEFT ( 1,~1 RIGHT ) `]은 곡선 [eqn: y=x ^{3} -x+b`] 위의 점이므로

[eqn: 1=1 ^{3} -1+b,~b=1]

따라서 [eqn: a+b=1+1=2]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 09월 23

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -2x]에 대하여 [eqn: f `' LEFT ( 1 RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold4]

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -2x`]에서    [eqn: f`'` LEFT ( x RIGHT ) =6x-2]

따라서 [eqn: f`'` LEFT ( 1 RIGHT ) =6times1-2=4]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 06월 23

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =5x ^{5} +3x ^{3} +x `]에 대하여 [eqn: f `' LEFT ( 1 RIGHT )`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold{35]

[해설]

[eqn: f(x)`=` 5x^5 + 3x^3 +x]에서

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =25x ^{4} +9x ^{2} +1]

따라서 [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =25+9+1=35]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 11월 23

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} +x+1`]에 대하여 [eqn: f `' LEFT ( 1 RIGHT )`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 7]

[해설]

[eqn: f(x)=2x ^{3} +x+1]에서

[eqn: f'(x)=6x ^{2} +1]이므로

[eqn: f'(1)=6times1 ^{2} +1=7]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 06월 23

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) = x^3 - 2x^2 + 4 `]에 대하여 [eqn: f `' LEFT (3 RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 15]

[해설]

[eqn: f(x)=x^3 -2x^2 +4] 이므로 [eqn: f`'(x)=3x^2 -4x] 이다

따라서 [eqn: f` prime (3)=15]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 09월 23

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) = x^3 + 5x^2 + 1 `]에 대하여 [eqn: f `' LEFT (1 RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 13 }]

[해설]

[eqn: f(x)=x^{3}+5x^{2}+1]을 미분하면 [eqn: f `` '(x)=3x^{2}+10x]

[eqn: therefore][eqn: f ``'(1)=3+10=13]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 11월 23

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=x^4 -3x^2 +8`]에 대하여 [eqn: f `' LEFT (2 RIGHT )`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 20`]

[해설]

[eqn: f`'(x)=4x^3 -6x`]이므로

[eqn: f`'(2)=4 times 2^3 - 6 times 2=20`]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 6

함수 [eqn: {f(x)=x^4 +3x-2}{{from^2020^11^대수능고3나^중}}]에 대하여 [eqn: f `` prime(2)]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: f(x) = x^4 + 3x -2]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f^ `'(x) = 4x^3 + 3]

[eqn: x=2]를 대입하면 [eqn: f^`' (2)=32 + 3][eqn: = 35]

① [eqn: 35]	② [eqn: 37]	③ [eqn: 39]

④ [eqn: 41]	⑤ [eqn: 43]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 2

함수 [eqn: f(x)=x^{3}+7 x+1]에 대하여 [eqn: f `prime (0)]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}+7]이므로

[eqn: f `prime (0)=7]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 3]	③ [eqn: rm 5]

④ [eqn: rm 7]	⑤ [eqn: rm 9]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 2

함수 [eqn: f(x)=x^{3}-2 x-7]에 대하여 [eqn: f `prime (1)]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}-2]

따라서

[eqn: f `prime (1)=3 times 1^{2}-2=1]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 2

함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} +4x+5}{{from^2021^09^평가원^중}}]에 대하여 [eqn: f ' LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} +4x+5]에서 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT ) =6x ^{2} +4]이므로

[eqn: f ' LEFT ( 1 RIGHT ) =6+4=10]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 2

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +3x ^{2} +x-1]에 대하여 [eqn: f`prime LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +6x+1]

이므로

[eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =3+6+1=10]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 19

함수 [eqn: {f(x)=x ^{3} -6x ^{2} +5x}{{from^2021^09^평가원^중}}]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 0]에서 [eqn: 4]까지 변할 때의 평균변화율과 [eqn: f '(a)]의 값이 같게 되도록 하는 [eqn: 0<a<4]인 모든 실수 [eqn: a]의 값의 곱은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold { 11 }]

[해설]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -6x ^{2} +5x]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 0]에서 [eqn: 4]까지 변할 때의 평균변화율은

[eqn: {f(4)-f(0)} over {4-0} = {64-96+20} over {4} =it-3]

또한, [eqn: f prime (x)=3x ^{2} -12x+5]이므로

[eqn: 3a ^{2} -12a+5=it-3], [eqn: 3a ^{2} -12a+8=0]	[eqn: cdotscdots] ㉠

㉠을 만족시키는 모든 실수 [eqn: a]는 [eqn: 0<a<4]를 만족시키므로 모든 실수 [eqn: a]의 값의 곱은 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: {8} over {3}]이다.

따라서 [eqn: p=3], [eqn: q=8]이므로 [eqn: p+q=11]

04 수2	03 미분계수와 도함수
02 도함수의 정의와 미분법 공식
03 미분법 공식2 (극한식의 해석)

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 06월 6

함수 [eqn: f(x)=x^{3}-x]에 대하여 [eqn: lim _{h ``rarrow`` 0} {f(1+3 h)-f(1)} over {2 h}]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: lim _{h ``rarrow`` 0} {f(1+3 h)-f(1)} over {2 h}]

[eqn: = lim _{h ``rarrow`` 0} left{ {f(1+3 h)-f(1)} over {3 h} times {3} over {2} it right}]

[eqn: ={3} over {2} f `prime (1)]

이 때, [eqn: f `prime (x)=3 x^{2}-1]이므로

[eqn: {3} over {2} f `prime (1)={3} over {2} times 2=3]

① [eqn: rm 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: rm 4]

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 11월 5

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) = 2x^2 +ax`]에 대하여 [eqn: lim _{ h`->`0} { { f LEFT (1+h RIGHT )-f LEFT (1 RIGHT )} over {h } } =6`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: lim _{ h rarrow0 } { { f(1+h)-f(1)} over {h } } =f'(1) =6]이고 [eqn: f'(x)=4x+a]이므로

[eqn: THEREFORE``` f'(1)=4+a=6]

[eqn: THEREFORE``` a=2]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 06월

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) = x^2 + 4 x `]에 대하여 [eqn: lim from { h `->` 0 } { f LEFT (1+h RIGHT ) - f LEFT (1 RIGHT ) } over { 2h } `]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: lim _{h-> 0} {} `][eqn: {f LEFT ( 1+h RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {2h}][eqn: =][eqn: {1} over {2} `][eqn: lim _{h-> 0} {} `][eqn: {f LEFT ( 1+h RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {h}][eqn: =][eqn: {f`prime LEFT ( 1 RIGHT )} over {2}]

한편, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +4x]에서 [eqn: f`prime LEFT ( x RIGHT ) =2x+4]이므로    [eqn: f`prime LEFT ( 1 RIGHT ) =6]

따라서 구하는 값은 [eqn: {1} over {2} TIMES 6=3]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 06월 11

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) =x^2 +8x `]에 대하여 [eqn: lim _{ h `->` 0} { } { f LEFT (1+2h RIGHT ) -f LEFT (1 RIGHT )} over { h } `]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

함수 [eqn: f(x)`]가 미분가능하므로

[eqn: lim _{ h->0} `{ { f(1+2h)-f(1)} over {h } }][eqn: =2lim _{ h->0} `{ { f(1+2h)-f(1)} over {2h } }]
[eqn: =2f`'(1)]

한편, [eqn: f`'(x) =2x+8`]에서

[eqn: f`'(1) =10]

따라서    [eqn: 2f`'(1) = 20]

① [eqn: 16]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 20]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 2

함수 [eqn: f(x)=x^{3}+9]에 대하여 [eqn: lim _{h ``rarrow`` 0} {f(2+h)-f(2)} over {h}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: f(x)=x^{3}+9]에서

[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}]

이므로

[eqn: lim _{h ``rarrow`` 0} {f(2+h)-f(2)} over {h}][eqn: =f `prime (2)]
[eqn: =3 times 2^{2}=12]

① [eqn: rm 11]	② [eqn: rm 12]	③ [eqn: rm 13]

④ [eqn: rm 14]	⑤ [eqn: rm 15]

04 수2	03 미분계수와 도함수
02 도함수의 정의와 미분법 공식
07 미분법 공식6 (적절한 수치대입)

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 06월 26

다항함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]에 대하여 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT (2,`` 1 RIGHT )`]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 2`]이다. [eqn: g LEFT (x RIGHT )=x^3 f LEFT (x RIGHT )`]일 때, [eqn: g `' LEFT (2 RIGHT )`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold28]

[해설]

우선 주어진 조건으로부터 [eqn: f(2)=1], [eqn: f'(2)=2]이다.

[eqn: g(x)]를 미분하면 [eqn: g'(x)=3x^2 f(x)+x^3 f'(x)]이고 [eqn: x=2]이면

[eqn: g'(2)=12f(2)+8f'(2)=12 times1 +8 times2=28]이다.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 17

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(1)=2], [eqn: f `prime (1)=4]를 만족시킬 때, 함수 [eqn: g(x)=(x+1) f(x)]의 [eqn: x=1]에서의 미분계수를 구하시오.

[정답] [eqn: 10]

[해설]

[eqn: g`` prime(x) = f(x)+ (x+1) f``'(x)]이므로

[eqn: g``'(1)= f(1) + 2 f``'(1) = 10]

04 수2	03 미분계수와 도함수
03 미분법 공식의 활용
01 활용1 (함수 구하기, 인수정리)

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 06월 30

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]와 최고차항의 계수가 [eqn: 2`]인 이차함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 243]

[해설]

조건 (가)에 의하여 삼차함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )]의 그래프와 이차함수 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: x= alpha `]인 점에서 만나고 그 점에서 접선의 기울기가 같으므로

방정식 [eqn: f LEFT (x RIGHT )-g LEFT (x RIGHT )=0]은 [eqn: x= alpha]를 중근으로 갖는다.

따라서 또 다른 한 근을 [eqn: gamma]라 하면

[eqn: f LEFT (x RIGHT )-g LEFT (x RIGHT )= LEFT (x- alpha RIGHT ) ^{2} LEFT (x- gamma RIGHT )]	[eqn: cdots cdots] ㉠

㉠의 양변을 미분하면

[eqn: f `prime LEFT (x RIGHT )-g `prime LEFT (x RIGHT )=2 LEFT (x- alpha RIGHT ) LEFT (x- gamma RIGHT )+ LEFT (x- alpha RIGHT ) ^{2}]

따라서 조건 (나)에 의하여

[eqn: f `prime LEFT ( beta RIGHT )-g `prime LEFT ( beta RIGHT )=2 LEFT ( beta - alpha RIGHT ) LEFT ( beta - gamma RIGHT )+ LEFT ( beta - alpha RIGHT ) ^{2} =0]

[eqn: alpha ne beta]이므로

[eqn: 2 LEFT ( beta - gamma RIGHT )+ beta - alpha =0]

[eqn: gamma = {3 beta - alpha } over {2}]

즉, ㉠에 대입하면

[eqn: f LEFT (x RIGHT )-g LEFT (x RIGHT )= LEFT (x- alpha RIGHT ) ^{2} LEFT ( x- {3 beta - alpha } over {2} RIGHT )]	[eqn: cdots cdots] ㉡

또한, 이차함수 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT )]의 그래프의 대칭축은 [eqn: g `prime LEFT ( alpha RIGHT )=`-16], [eqn: g `prime LEFT ( beta RIGHT )=16]에서 [eqn: x= {alpha + beta } over {2}]이므로

[eqn: g LEFT (x RIGHT )=2 LEFT ( x- {alpha + beta } over {2} RIGHT ) ^{2} +k] ([eqn: k`]는 상수)

라 놓으면

[eqn: g `prime LEFT (x RIGHT )=4 LEFT ( x- {alpha + beta } over {2} RIGHT )]

따라서

[eqn: g `prime LEFT ( alpha RIGHT )=4 LEFT ( alpha - {alpha + beta } over {2} RIGHT ) =4 LEFT ( {alpha - beta } over {2} RIGHT ) =2 LEFT ( alpha - beta RIGHT )=`-16]

에서 [eqn: alpha - beta =`-8]이다.

㉡에 [eqn: beta +1]을 대입하면

[eqn: f LEFT ( beta +1 RIGHT )-g LEFT ( beta +1 RIGHT )][eqn: = LEFT ( beta +1- alpha RIGHT ) ^{2} LEFT ( beta +1- {3 beta - alpha } over {2} RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( alpha - beta -1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( {alpha - beta +2} over {2} RIGHT )]
[eqn: = LEFT (-8-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( {-8+2} over {2} RIGHT )]
[eqn: =81 TIMES LEFT (-3 RIGHT )=`-243]

따라서 [eqn: g LEFT ( beta +1 RIGHT )-f LEFT ( beta +1 RIGHT )=243]이다.

(가) [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT )=g LEFT ( alpha RIGHT )`]이고 [eqn: f `' LEFT ( alpha RIGHT )=g `' LEFT ( alpha RIGHT )=`-16`]인 실수 [eqn: alpha `]가 존재한다.

(나) [eqn: f`' LEFT ( beta RIGHT )=g`' LEFT ( beta RIGHT )=16`]인 실수 [eqn: beta `]가 존재한다.

[eqn: g LEFT ( beta +1 RIGHT )-f LEFT ( beta +1 RIGHT )`]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 11

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ②

[해설]

세 실근을 [eqn: a], [eqn: ar], [eqn: ar^2]이라 하면

[eqn: f(x)][eqn: =(x-a)(x-ar)(x-ar ^{2} )+9`]
[eqn: =][eqn: x^3 - a( 1+r+r^2 ) x^2 + a^2 r (1 + r+ r^2 ) x - ( ar)^3 + 9]

[eqn: f``'(x) =][eqn: 3x^2 - 2a (1+r+r^2 ) x + a^2 r (1 + r + r^2 )]

[eqn: f(0) = - ( ar)^3 + 9 = 1]

[eqn: f`` prime (2)][eqn: =12-4a(1+r+r ^{2} )+a ^{2} r(1+r+r ^{2} )]
[eqn: =-2]

[eqn: ar = 2], [eqn: a(1+r+r^2 ) = 7]

[eqn: THEREFORE][eqn: f(3) = 27 - 63 + 42 +1][eqn: = 7]

방정식 [eqn: f(x)=9]는 서로 다른 세 실근을 갖고,

이 세 실근은 크기 순서대로 등비수열을 이룬다.

[eqn: f(0)=1], [eqn: f `prime (2)=-2]일 때, [eqn: f(3)]의 값은?

① [eqn: rm 6]	② [eqn: rm 7]	③ [eqn: rm 8]

④ [eqn: rm 9]	⑤ [eqn: rm 10]

04 수2	03 미분계수와 도함수
03 미분법 공식의 활용
08 활용8 (부등식의 해석)

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 예비 18

[eqn: x>0]에서 함수 [eqn: f(x)]가 미분가능하고 [eqn: 2 x leq f(x) leq 3 x]이다. [eqn: f(1)=2]이고 [eqn: f(2)=6]일 때, [eqn: f `prime (1)+f `prime (2)]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: x＞0]에서 [eqn: f(x)]가 미분가능하고, [eqn: 2x≤f(x)≤3x], [eqn: f(1)=2], [eqn: f(2)=6]이므로 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같이 두 직선 [eqn: y=2x]와 [eqn: y=3x] 사이에 존재한다.

[eqn: y=2x]에서 [eqn: y'=2]

[eqn: y=3x]에서 [eqn: y'=3]

이므로 [eqn: f'(1)=2], [eqn: f'(2)=3]

∴ [eqn: f'(1)+f'(2)=5]

① [eqn: rm 8]	② [eqn: rm 7]	③ [eqn: rm 6]

④ [eqn: rm 5]	⑤ [eqn: rm 4]

04 수2	03 미분계수와 도함수
04 미분가능성과 연속성
04 미분가능조건1 (구간정의함수)

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 09월 25

함수

[정답] [eqn: bold2]

[해설]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 미분가능하므로 [eqn: x=1]에서 연속이다.

[eqn: lim _{x -> 1-} {f(x)= lim _{x -> 1+} {f(x)=f(1)}}]

즉, [eqn: a+1=1+a]

또한, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``ax ^{2} +1&&LEFT ( x<1 RIGHT )#``x ^{4} +a&&LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}} `]에서

미분계수 [eqn: f` prime(1)]가 존재해야 하므로

[eqn: lim _{x-> 1-} {{f(x)-f(1)} over {x-1}}][eqn: = lim _{x -> 1-} {{ax ^{2} +1-(a+1)} over {x-1}}]
[eqn: = lim _{x -> 1-} {{a(x+1)(x-1)} over {x-1}}]
[eqn: = lim _{x -> 1-} {a(x+1)]
[eqn: =2a]

[eqn: lim _{x -> 1+} {{f(x)-f(1)} over {x-1}}][eqn: = lim _{x -> 1+} {{x ^{4} +a-(1+a)} over {x-1}}]
[eqn: = lim _{x -> 1+} {{(x ^{2} +1)(x+1)(x-1)} over {x-1}}]
[eqn: = lim _{x -> 1+} {LEFT { (x ^{2} +1)(x+1) RIGHT }}]
[eqn: =4]

이므로 [eqn: 2a=4], [eqn: a=2]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ ``ax ^{2} +1 &~ LEFT ( x<1 RIGHT )#``` x ^{4}+a &~ LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}`]

이 [eqn: x=1`]에서 미분가능할 때, 상수 [eqn: a `]의 값을 구하시오.

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 06월 16

함수

[정답] ⑤

[해설]

함수 [eqn: f(x)`]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=`-2`]에서 연속이고 미분가능하다.

함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=`-2`]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x` rarrow `-2-} {(x ^{2} +ax+b)} = lim _{x` rarrow `-2+} {2x} =f(-2)`]에서

[eqn: 4-2a+b=`-4,~b=2a-8][eqn: ~~ CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: lim _{x` rarrow `-2-} {{f(x)-f(-2)} over {x-(-2)}} = lim _{x` rarrow `-2-} {{(x ^{2} +ax+b)-(4-2a+b)} over {x+2}}]

[eqn: = lim _{x` rarrow `-2-} {{x ^{2} +ax+2(a-2)} over {x+2}}]

[eqn: = lim _{x` rarrow `-2-} {{(x+2)(x+a-2)} over {x+2}}]

[eqn: = lim _{x` rarrow `-2-} {(x+a-2)} =a-4]

[eqn: lim _{x` rarrow `-2+} {{f(x)-f(-2)} over {x-(-2)}} = lim _{x` rarrow `-2+} {{2x-(4-2a+b)} over {x+2}}]

[eqn: = lim _{x` rarrow `-2+} {{2(x+2)} over {x+2}}]   (㉠에 의해)

[eqn: = lim _{x` rarrow `-2+} {2} =2]

함수 [eqn: f(x)`]가 [eqn: x=`-2`]에서 미분가능하므로

[eqn: a-4=2,~a=6]

㉠에서 [eqn: b=12-8=4]

따라서 [eqn: a+b=6+4=10]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{~x ^{2} +ax+b&~ LEFT ( x LEQ -2 RIGHT )#~~~~``2x&~ LEFT ( x>-2 RIGHT )}}]

가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: a+b `]의 값은?
(단, [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 10

함수

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 미분가능하면

[eqn: f(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능 하다.

[eqn: f(1)=b+4]이므로

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1+} {f(x)-f(1)} over {x-1}]

[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 1+} {b x+4-b-4} over {x-1}]

[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 1+} {b(x-1)} over {x-1}]

[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 1+} b=b cdots cdots]㉠

이고

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1-} {f(x)-f(1)} over {x-1}]

[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 1-} {x^{3}+a x+b-b-4} over {x-1}]

[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 1-} {x^{3}+a x-4} over {x-1} cdots cdots]㉡

이다.

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 미분가능하려면

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} {f(x)-f(1)} over {x-1}]의 값이 존재해야 하므로

㉠, ㉡에서

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1-} {x^{3}+a x-4} over {x-1}=b][eqn: cdotscdots]㉢

이어야 한다.

이때 [eqn: x ``rarrow`` 1]-일 때 [eqn: (]분모[eqn: ) ``rarrow`` 0]이고 ㉢이 수렴하므로

[eqn: (]분자[eqn: ) ``rarrow`` 0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim _{x ``rarrow`` 1-} left(x^{3}+a x-4 right)=1+a-4=0]에서

[eqn: a=3]

이때 ㉢에서

[eqn: b][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 1-} {x^{3}+3 x-4} over {x-1}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 1-} {(x-1) left(x^{2}+x+4 right)} over {x-1}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 1-} left(x^{2}+x+4 right)]
[eqn: =1^{2}+1+4]
[eqn: =6]

따라서

[eqn: a+b=3+6=9]

[eqn: f(x)=cases{x^{3}+a x+b && (x<1) #b x+4 && (x geq 1)}]

이 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: a+b]의 값은?

(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

① [eqn: rm 6]	② [eqn: rm 7]	③ [eqn: rm 8]

④ [eqn: rm 9]	⑤ [eqn: rm 10]

04 수2	03 미분계수와 도함수
04 미분가능성과 연속성
06 미분가능조건3 (곱함수)

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 11월 20

함수

[정답] ②

[해설]

다항함수 [eqn: p(x) `]는 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: lim _{ x->0+ } {p(x) } = lim _{ x->0- } {p(x) } =p(0)`]

이 성립한다.

ㄱ. [eqn: f(0)=0`]이고 [eqn: lim _{ x->0- } {f(x) } = lim _{ x->0- } {(-x) } =0`], [eqn: lim _{ x->0+ } {f(x) } = lim _{ x->0+ } {(x-1) } =-1`]이므로 [eqn: lim _{ x->0- } {p(x)f(x) } =lim _{ x->0- } {p(x)}timeslim _{ x->0- }{f(x) } =0], [eqn: lim _{ x->0+ } {p(x)f(x) } =lim _{ x->0+ } {p(x)}timeslim _{ x->0+ }{f(x) } =-p(0)`]
[eqn: p(0)f(0) = 0 `]
이때 함수 [eqn: p(x) f(x)`]가 실수 전체의 집합에서 연속이면 [eqn: x= 0 `]에서도 연속이므로 [eqn: lim _{ x->0- } {p(x)f(x) } = lim _{ x->0+ } {p(x)f(x) } =p(0)f(0)`]이 성립한다. 즉, [eqn: -p(0) =0 `]이어야 하므로 [eqn: p(0) = 0 `]  (참)

ㄴ. [eqn: g(x) = p(x)f(x)`]라 하자.
함수 [eqn: p(x) f(x) `]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하면 [eqn: x=2 `]에서도 미분가능하므로 [eqn: lim _{ x->2 } { g(x) - g(2) } over { x-2} `]의 값이 존재해야 한다.

[eqn: lim _{ x->2- } { g(x) - g(2) } over { x-2} `][eqn: = lim _{ x->2- } { p(x)f(x) - p(2)f(2) } over { x-2} `]
[eqn: = lim _{ x->2- } { (x-1)p(x) - p(2) } over { x-2} `]
[eqn: = lim _{ x->2- } { (x-2)p(x) +p(x) - p(2) } over { x-2} `]
[eqn: = lim _{ x->2- } p(x) + lim _{ x->2- } { p(x) - p(2) } over { x-2} `]
[eqn: =p(2) + p`prime(2)]

이고,

[eqn: lim _{ x->2+ } { g(x) - g(2) } over { x-2} `][eqn: = lim _{ x->2+ } { p(x)f(x) - p(2)f(2) } over { x-2} `]
[eqn: = lim _{ x->2+ } { (2x-3)p(x) - p(2) } over { x-2} `]
[eqn: = lim _{ x->2- } { 2(x-2)p(x) +p(x) - p(2) } over { x-2} `]
[eqn: = lim _{ x->2- } 2p(x) + lim _{ x->2- } { p(x) - p(2) } over { x-2} `]
[eqn: =2p(2) + p`prime(2)]

이므로
[eqn: lim _{ x->2- } { g(x) - g(2) } over { x-2} `][eqn: =lim _{ x->2+ } { g(x) - g(2) } over { x-2} `]
가 성립하려면
[eqn: p(2) + p`prime(2)][eqn: =2p(2) + p`prime(2)]
즉, [eqn: p(2)= 0 `]이어야 한다.  (참)

ㄷ. (반례) [eqn: h(x) = p(x) left{ f(x)right}^2 `]이라 하자.
[eqn: p(x) = x^2 (x-2) `]이면
[eqn: h(x)=cases{`` x^4 (x-2) ````& (x≤ 0)#`` x^2 (x-1)^2 (x-2) ````& (0 < x≤ 2)#`` x^2 (2x-3) (x-2) ````& (x> 2)}]
이므로 함수 [eqn: h(x) `]는 [eqn: x ne 0 ,````x ne 2 `]인 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.
한편,
[eqn: lim _{ x->0- } { h(x) - h(0) } over { x} `][eqn: =lim _{ x->0+ } { h(x) - h(0) } over { x}= 0 `]
이므로 함수 [eqn: h(x) `]는 [eqn: x=0`]에서 미분가능하다.
[eqn: lim _{ x->2- } { h(x) - h(2) } over { x-2} `][eqn: =lim _{ x->2+ } { h(x) - h(2) } over { x-2} = 4 `]
이므로 함수 [eqn: h(x) `]는 [eqn: x=2 `]에서 미분가능하다.
따라서 함수 [eqn: h(x) `]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.
하지만 함수 [eqn: p(x) `]는 [eqn: x^2 (x-2)^2 `]으로 나누어떨어지지 않는다.  (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: f(x)=cases{-x && (x leq 0) #x-1 && (0<x leq 2) #2 x-3 && (x>2)}]

와 상수가 아닌 다항식 [eqn: p(x)]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 함수 [eqn: p(x) f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이면 [eqn: p(0)=0]이다. ㄴ. 함수 [eqn: p(x) f(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하면 [eqn: p(2)=0]이다. ㄷ. 함수 [eqn: p(x) left{ f(x) it right} ^{2}]이 실수 전체의 집합에서 미분가능하면 [eqn: p(x)]는 [eqn: x^{2}(x-2)^{2}]으로 나누어떨어진다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	03 미분계수와 도함수
04 미분가능성과 연속성
07 미분가능조건4 (정의된 함수)

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 예비 21

좌표평면 위에 그림과 같이 어두운 부분을 내부로 하는 도형이 있다. 이 도형과 네 점 [eqn: (0,~0)], [eqn: (t,~0)], [eqn: (t,~t)], [eqn: (0,~t)]를 꼭짓점으로 하는 정사각형이 겹치는 부분의 넓이를 [eqn: f(t)]라 하자.

[정답] ③

[해설]

(ⅰ) [eqn: 0<t le1]일 때,

[eqn: f(t)]는 오른쪽 그림에서 빗금 친 부분의 넓이이므로

[eqn: f(t)=t^2]

(ⅱ) [eqn: 1<t le2]일 때,

[eqn: f(t)]는 오른쪽 그림에서 빗금 친 부분의 넓이이므로

[eqn: f(t)][eqn: =1][eqn: + 1over2 (1+t)(t-1)][eqn: =][eqn: 1over2 t^2 + 1over2]

(ⅲ) [eqn: 2<t le3]일 때,

[eqn: f(t)]는 오른쪽 그림에서 빗금 친 부분의 넓이이므로

[eqn: f(t)][eqn: =1][eqn: + 1over2 times (1+2)times1][eqn: +2(t-2)][eqn: =][eqn: 2t- 3over2]

(ⅳ) [eqn: 3<t<4]일 때,

[eqn: f(t)]는 오른쪽 그림에서 빗금 친 부분의 넓이이므로

[eqn: f(t)][eqn: =1][eqn: + 1over2 times (1+2)times1][eqn: +1times2+3(t-3)][eqn: =][eqn: 3t- 9 over2]

이상에서

[eqn: f(t)=cases{``t^2``````````````````````````````(0 < t le 1)#``1over2 t^2 + 1over2``````(1<t le2)#``2t- 3over2`````````````(2<t le 3)#``3t- 9over2``````````````(3<t<4)]

이므로

[eqn: f'(t)=cases{``2t```````(0 < t < 1)#``t```````````(1<t <2)#``2``````````(2<t < 3)#``3``````````(3<t<4)]

이때 [eqn: lim_{t`rarrow`2+} {f'(t) }= lim_{t`rarrow`2-}{ f'(t)} =2]이므로 함수 [eqn: f(t)]는 [eqn: t=2]에서 미분가능하고

[eqn: lim_{t`rarrow`1+} {f'(t) }=1], [eqn: lim_{t`rarrow`1-}{ f'(t)} =2],

[eqn: lim_{t`rarrow`3+}{ f'(t)} =3], [eqn: lim_{t`rarrow`3-}{ f'(t)} =2]

이므로 함수 [eqn: f(t)]는 [eqn: t=1], [eqn: t=3]에서 미분가능하지 않다.

따라서 구하는 모든 [eqn: t]의 값의 합은

[eqn: 1+3=4]

열린구간 [eqn: (0,~4)]에서 함수 [eqn: f(t)]가 미분가능하지 않은 모든 [eqn: t]의 값의 합은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 06월 29

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]는

[정답] [eqn: bold186]

[해설]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]위의 점을 [eqn: rmP]라 하고 구간을 나누어 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]

를 구하면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: x<1]일 때, [eqn: RMP LEFT ( itx,~x+1 RIGHT )]이므로

[eqn: rm {bar{AP}} it ^{2}][eqn: =LEFT ( x+1 RIGHT )^2 + LEFT ( x+2 RIGHT )^2]
[eqn: =2x^2 +6x+5]

[eqn: rm {bar{BP}} it rm ^{2}][eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =2x ^{2} -4x+2]

이때, [eqn: rm bar{AP} it rm ^{`2}][eqn: rm GEQ bar{BP} it rm ^{`2}]을 풀면

[eqn: 2x ^{2} +6x+5 GEQ][eqn: 2x ^{2} -4x+2]

[eqn: 10x GEQ -3]

[eqn: x GEQ - {3} over {10}]

그러므로

[eqn: g(x)`=` {cases{``2x ^{2} +6x+5&~ LEFT ( x< it - {3} over {10} RIGHT )#``2x ^{2} -4x+2&~ LEFT ( - {3} over {10} LEQ x<1 RIGHT )}}]

(ⅱ) [eqn: x GEQ 1]일 때, [eqn: rm P LEFT ( it x,~-2x+4 RIGHT )]이므로

[eqn: rm {bar{AP}} it ^{2}][eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -2x+5 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =5x ^{2} -18x+26]

[eqn: rm {bar{BP}} it rm ^{2}][eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -2x+2 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =5x ^{2} -10x+5]

이때, [eqn: rm {bar{AP}} it ^{2}][eqn: rm GEQ {bar{BP}} it rm ^{2}]을 풀면

[eqn: 5x ^{2} -18x+26 GEQ][eqn: 5x ^{2} -10x+5]

[eqn: 8x LEQ 21]

[eqn: x LEQ {21} over {8}]

그러므로

[eqn: g(x)`=` {cases{``5x ^{2} -10x+5&~ LEFT ( 1 LEQ x< {21} over {8} RIGHT )#``5x ^{2} -18x+26&~ LEFT ( x GEQ {21} over {8} RIGHT )}}]

그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: g(x)`=` {cases{``2x ^{2} +6x+5&~ LEFT ( x< it - {3} over {10} RIGHT )#``2x ^{2} -4x+2&~ LEFT ( - {3} over {10} LEQ x<1 RIGHT )#``5x ^{2} -10x+5&~ LEFT ( 1 LEQ x< {21} over {8} RIGHT )#``5x ^{2} -18x+26&~ LEFT ( x GEQ {21} over {8} RIGHT )}}]

이때, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 모든 실수에서 연속이다.

한편

[eqn: g`'(x)`=` {cases{``4x+6&~ LEFT ( x< it - {3} over {10} RIGHT )#``4x-4&~ LEFT ( - {3} over {10} <x<1 RIGHT )#``10x-10&~ LEFT ( 1<x< {21} over {8} RIGHT )#``10x-18&~ LEFT ( x> {21} over {8} RIGHT )}}]

이므로

[eqn: lim _{x`-> `- {3} over {10} -} {g`'(x)!= lim _{x`-> `- {3} over {10} +} {g`'(x)}}]

[eqn: lim _{x` -> `1-} {g` prime (x) = lim _{x` -> `1+} {g` prime (x)}}]

[eqn: lim _{x` -> ` {21} over {8} -} {g` prime (x) != lim _{x` -> ` {21} over {8} +} {g` prime (x)}}]

그러므로 [eqn: x=a`]에서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 미분가능하지 않는 [eqn: a`]의 값은  [eqn: - {3} over {10} ,~ {21} over {8}] 이다.

따라서

[eqn: 80p][eqn: =80 LEFT ( - {3} over {10} + {21} over {8} RIGHT )]
[eqn: =it-24+210]
[eqn: =186]

[eqn: f LEFT (x RIGHT ) = cases { ~~x+1 &~ LEFT (x <1 RIGHT ) # ``-2x +4 &~ LEFT (x ge 1 RIGHT )`]

이고, 좌표평면 위에 두 점 [eqn: rm A LEFT (-1,`` -1 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT (1,`` 2 RIGHT )`]가 있다. 실수 [eqn: x`]에 대하여 점 [eqn: LEFT (x ,`` f LEFT (x RIGHT ) RIGHT )`]에서 점 [eqn: rm A`]까지의 거리의 제곱과 점 [eqn: rm B`]까지의 거리의 제곱 중 크지 않은 값을 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]라 하자. 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]가 [eqn: x=a`]에서 미분가능하지 않은 모든 [eqn: a`]의 값의 합이 [eqn: p `]일 때, [eqn: 80p `]의 값을 구하시오.

04 수2	04 접선의 방정식
01 접선의 방정식
01 접점1 (접선의 방정식)

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 06월

곡선 [eqn: y =`- x^3 + 2 x] 위의 점 [eqn: LEFT (1 ,`` 1 RIGHT ) `]에서의 접선이 점 [eqn: LEFT (-10,`` a RIGHT )`]를 지날 때, [eqn: a `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold12]

[해설]

주어진 식의 [eqn: (1,1)]에서 접선의 방정식은 [eqn: y=-x+2]이다.

따라서 주어진 점을 대입하여 보면 [eqn: a=12]이다.

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 24

곡선 [eqn: y= x^3 - 6x^2 +6] 위의 점 [eqn: (1,~1)]에서의 접선이 점 [eqn: (0 ,~a)]를 지날 때, [eqn: a]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 10]

[해설]

[eqn: y= x^3 - 6x^2 +6]에서

[eqn: y`' = 3x^2 - 12x]이므로 점 [eqn: (1,~1)]에서의 접선의 기울기는

[eqn: 3 times1 ^2 - 12 times 1 = it-9]

따라서 점 [eqn: (1,~1)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-1 = it- 9(x-1)]

[eqn: y=it- 9x +10]

이 접선이 점 [eqn: (0 ,~a)]를 지나므로

[eqn: a=it-9 times 0 +10 =10]

04 수2	04 접선의 방정식
01 접선의 방정식
02 접점2 (법선의 방정식)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 9

곡선 [eqn: {y=x^3 -3x^2 +2x+2}{{from^2020^11^대수능고3나^중}}]위의 점 [eqn: rmA(0 ,```` 2)]에서 접선과 수직이고 점 [eqn: rmA]를 지나는 직선의 [eqn: x]절편은?

[정답] ①

[해설]

곡선 [eqn: y=x ^{3} -3x ^{2} +2x+2]의 도함수는 [eqn: y prime=3x ^{2} -6x+2]

즉, 점 [eqn: rmA LEFT ( 0 ,```` 2 RIGHT )]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 2]이므로 수직인 직선의 기울기는 [eqn: - {1} over {2}]이다.

따라서 기울기가 [eqn: - {1} over {2}]이고 점 [eqn: rmA LEFT ( 0 ,```` 2 RIGHT )]를 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y=- {1} over {2} LEFT ( x-0 RIGHT ) +2]

즉 [eqn: y=- {1} over {2} x+2]이다.

따라서 직선의 [eqn: x]절편은 [eqn: y=0]일 때 [eqn: x=4]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

04 수2	04 접선의 방정식
01 접선의 방정식
03 접점3 (해석)

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 11월

두 다항함수 [eqn: f(x)`], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold97]

[해설]

조건 (나)에서 [eqn: x` -> `2]일 때, (분모)[eqn: ->0]이므로 (분자)[eqn: ->0]이어야 하므로

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =g LEFT ( 2 RIGHT )]

조건 (가)에서 [eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =8f LEFT ( 2 RIGHT ) -7]이므로

[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =8g LEFT ( 2 RIGHT ) -7]에서 [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =1]

또 조건 (나)에서

[eqn: lim _{x -> 2} {} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT } - LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT }} over {x-2}][eqn: =f`'(2)-g'(2)=2]

조건 (가)의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: g'(x)=3x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) +x ^{3} f`'(x)]

[eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: g'(2)=12 TIMES +8f`'(2)]

[eqn: g'(2)][eqn: =12 TIMES 1+8 LEFT { g'(2)+2 RIGHT }]
[eqn: =8g'(2)+28]

에서 [eqn: g'(2)= it -4]

따라서 접선의 방정식은

[eqn: y-1= it -4 LEFT ( x-2 RIGHT )], [eqn: y= it -4x+9]

이므로

[eqn: a ^{2} +b ^{2} = LEFT ( it -4 RIGHT ) ^{2} +9 ^{2} =97]

(가) [eqn: g(x) =x^3 f(x) -7]

(나) [eqn: lim_x->2 {{f(x) -g(x)} over x-2 }=2]

곡선 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT (2 ,`` g LEFT (2 RIGHT ) RIGHT )`]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=ax+b `]일 때, [eqn: a^2 +b^2 `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a`], [eqn: b `]는 상수이다.)

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 06월

함수 [eqn: f(x)``]가 [eqn: f(x) =(x-3)^2]이다.

[정답] ⑤

[해설]

곡선 [eqn: y=g(x) `]위의 점 [eqn: (2,~g(2))`]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=g`'(2) (x-2) +g(2)]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이때, [eqn: g`'(x)=f(x)`]이고

[eqn: f(2) =1`]에서 [eqn: g`'(2) =1`]이므로 ㉠에서

[eqn: y= 1 cdot (x-2) +g(2)]

[eqn: THEREFORE~ y=x-2+g(2)]

이때, 접선의 [eqn: y`]절편이 [eqn: -5]이므로

[eqn: x=0,~ y=it -5]를 대입하면

[eqn: -5 = it -2 +g(2)]

[eqn: THEREFORE~ g(2)= it -3]

이때, 접선의 방정식은

[eqn: y=x-5]

[eqn: y=0`]을 대입하면

[eqn: 0= x-5]

[eqn: THEREFORE~ x=5]

따라서, 접선의 [eqn: x`]절편은 [eqn: 5`]이다.

함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]의 도함수가 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]이고 곡선 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT (2,`` g LEFT (2 RIGHT ) RIGHT ) `]에서의 접선의 [eqn: y `]절편이 [eqn: -5 `]일 때, 이 접선의 [eqn: x``]절편은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

04 수2	04 접선의 방정식
01 접선의 방정식
04 기울기1 (접선의 방정식)

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 06월 17

곡선 [eqn: y=x^3 -3x^2 +x+1] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmA,~B]에서의 접선이 서로 평행하다. 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 3]일 때, 점 [eqn: rmB`]에서의 접선의 [eqn: y]절편의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: y]를 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: y' =3x^2 -6x+1]이다. 따라서 점 [eqn: A]에서의 접선의 기울기는 [eqn: y' =3x^2 -6x+1 right vert_x=3 =10]이다. 또,

[eqn: 3x^2 -6x+1=10]

[eqn: LRARROW][eqn: 3x^2 -6x-9=0],

[eqn: LRARROW][eqn: x^2 -2x-3=0]

[eqn: THEREFORE ````x=-1,3]

즉, 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: -1]이다. 따라서 점 [eqn: rmB]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-(-4)=10(x-(-1))]

[eqn: LRARROW][eqn: y=10x+6]

이다. 즉, [eqn: y]절편은 [eqn: 6]이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

04 수2	04 접선의 방정식
01 접선의 방정식
06 기울기3 (길이 또는 넓이의 Mm)

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 09월

곡선 [eqn: y= 1 over 3 x ^3 + 11 over 3 ``( x> 0)] 위를 움직이는 점 [eqn: \P]와 직선 [eqn: x- y - 10 =0] 사이의 거리를 최소가 되게 하는 곡선 위의 점 [eqn: \P]의 좌표를 [eqn: LEFT (a,`` b RIGHT )`]라 할 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold5`]

[해설]

[eqn: y= 1 over 3 x ^3 + 11 over 3 ``( x> 0)]에서 [eqn: y `' = x ^2]

또한 직선 [eqn: y=x-10]은 기울기가 [eqn: 1]이므로 [eqn: x^2 =1]에서 [eqn: x= 1]

따라서 [eqn: y= 1 over 3 + 11 over 3 = 4]이므로 점 [eqn: \P]의 좌표는 [eqn: (1,~ 4)]이다.

[eqn: therefore``` a+ b= 5]

04 수2	04 접선의 방정식
01 접선의 방정식
08 곡선 밖의 점2 (접점의 좌표)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 9

원점을 지나고 곡선 [eqn: y=-x^{3}-x^{2}+x]에 접하는 모든 직선의 기울기의 합은?

[정답] ②

[해설]

접점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: t]라 하면 [eqn: y``' = - 3x^2 - 2x + 1]

[eqn: y = ( - 3t^2 - 2t+1) ( x-t) - t^3 - t^2 + t]

[eqn: 0 = 3t^3 + 2t^2 - t - t^3 - t^2 + t]

[eqn: 2t^3 + t^2 = 0], [eqn: t^2 ( 2t+1) = 0]

[eqn: t = 0], [eqn: - 1 over2], [eqn: y``' = 1], [eqn: 5 over4], [eqn: THEREFORE][eqn: 1 + 5 over4 = 9 over4]

① [eqn: rm 2]	② [eqn: {9} over {4}]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: {11} over {4}]	⑤ [eqn: rm 3]

04 수2	04 접선의 방정식
02 접선의 방정식의 활용
01 활용1 (접선과 교점의 관계)

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 09월 27

곡선 [eqn: y=x ^{3} +2x+7] 위의 점 [eqn: rm P LEFT (-1,`` 4 RIGHT ) `]에서의 접선이 점 [eqn: rmP `]가 아닌 점 [eqn: LEFT (a,`` b RIGHT ) `]에서 곡선과 만난다. [eqn: a+b `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold21]

[해설]

[eqn: f(x)=x ^{3`} +2x+7]...㈎

점 [eqn: rmP(-1,4)]에서 접선의 방정식을 [eqn: l]이라 하면

[eqn: f'(x)=3x ^{2} +2], [eqn: l:y=f prime (-1)(x+1)+4`=5x+9]

곡선과 접선의 교점을 구하려면 [eqn: x ^{3} +2x+7=5x+9]이며 이항하여

[eqn: x ^{3} -3x-2=0][eqn: LRARROW][eqn: (x+1) ^{2} (x-2)=0]

[eqn: THEREFORE ````a=2,b=19]

이므로 구하는 값인    [eqn: a+b=21]

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 예비 30

그림과 같이 정사각형 [eqn: rmABCD]의 두 꼭짓점 [eqn: rmA,~C]는 [eqn: y]축 위에 있고, 두 꼭짓점 [eqn: rmB,~D]는 [eqn: x]축 위에 있다. 변 [eqn: rmAB]와 변 [eqn: rmCD]가 각각 삼차함수 [eqn: y=x ^{3} -5x]의 그래프에 접할 때, 정사각형 [eqn: rmABCD]의 둘레의 길이를 구하시오.

[정답] [eqn: bold{ 32]

[해설]

[eqn: f(x)=x ^{3} -5x]라 하면    [eqn: f`'(x)=3x ^{2} -5]

직선 [eqn: rmAB]와 삼차함수 [eqn: y=x ^{3} -5x]의 그래프의 접점의 좌표를 [eqn: (t,~t ^{3} -5t)]라 하면 직선 [eqn: rmAB]의 기울기가 [eqn: 1]이므로

[eqn: f` prime (t)=3t ^{2} -5=1]

[eqn: 3t ^{2} =6][eqn: THEREFORE ```t=- sqrt {2} ``( BECAUSE t<0)]

접점의 좌표는 [eqn: LEFT ( - sqrt {2} ,~3 sqrt {2} RIGHT )]이고, 기울기가 [eqn: 1]이므로 직선 [eqn: rmAB]의 방정식은

[eqn: y-3 sqrt {2} =x-(- sqrt {2} )][eqn: THEREFORE `y=x+4 sqrt {2}]

두 점 [eqn: rmA,~B]의 좌표는 각각

[eqn: rmA`(0,~4 sqrt {2} ),~B(-4 sqrt {2} ,~0)]

이므로

[eqn: rmbarAB}= sqrt {LEFT ( 4 sqrt {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 4 sqrt {2} RIGHT ) ^{2}} =8]

따라서 정사각형 [eqn: rmABCD]의 둘레의 길이는

[eqn: 4 rm {bar{AB}} =4` TIMES `8=32]

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 11월 14

함수 [eqn: {{f LEFT (x RIGHT )=x LEFT (x+1 RIGHT ) LEFT (x-4 RIGHT )}}`]에 대하여 직선 [eqn: y=5x+k`]와 함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT ) `]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 양수 [eqn: k`]의 값은?

[정답] ①

[해설]

직선 [eqn: y = 5x + k`]가 함수 [eqn: y = f(x)`]의 그래프와 서로 다른 두 점에서 만나려면 직선 [eqn: y = 5x + k`]가 함수 [eqn: y = f(x)`]의 그래프와 접해야 한다.

접점의 좌표를 [eqn: (a,~f(a))`]라 하면

[eqn: f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x`]에서

[eqn: f`'(x) = 3x^2 - 6x - 4`] 이므로

접선의 기울기는

[eqn: f`'(a) = 3a^2 - 6a - 4`]

한편, 기울기가 [eqn: 5`]이므로

[eqn: 3a^2 - 6a - 4 = 5`]

[eqn: a^2 - 2a - 3 = 0`]

[eqn: (a + 1)(a - 3) = 0`]

[eqn: therefore~a = -1`] 또는 [eqn: a = 3`]

(ⅰ) [eqn: a = -1`]일 때,
접점은 [eqn: (-1,~0)`]이므로
접선의 방정식은 [eqn: y = 5(x + 1) + 0`]
즉, [eqn: y = 5x + 5`]이므로 [eqn: k = 5`]

(ⅱ) [eqn: a = 3`]일 때,
접점은 [eqn: (3,~-12)`]이므로 접선의 방정식은
[eqn: y = 5(x - 3) -12`]
즉, [eqn: y = 5x - 27`]
이때, [eqn: k`]는 양수이므로 [eqn: k`]의 값은 없다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: k = 5`]

① [eqn: 5]	② [eqn: {11} over {2}]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: {13} over {2}]	⑤ [eqn: 7]

04 수2	04 접선의 방정식
02 접선의 방정식의 활용
05 활용5 (함수 구하기)

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 09월

최고차항의 계수가 [eqn: 1 `]인 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) `]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =6x-6,````h LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} -2``]라 하면

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) ``]의 [eqn: x=1``]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) ``]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ``]는 [eqn: 3``]차 함수이다.

또한 조건 (나)에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ``]는 [eqn: LEFT ( 1,````0 RIGHT ) ,```` LEFT ( 0,````-3 RIGHT ) ``]을 지나는 최고차항의 계수가 [eqn: 1``]인 [eqn: 3``]차 함수이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) ``]

라 놓을 수 있다.

따라서 [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =6``]에서 [eqn: a+b+1=6``]이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =-3``]에서 [eqn: b=3``]이고 [eqn: a=2``]이다.

따라서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x+3 RIGHT ) ``]

이다.

구하는 답은 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =36````]이다.

(가) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =`-3]

(나) 모든 양의 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: 6x-6 LEQ f LEFT ( x RIGHT ) LEQ 2x ^{3} -2 `]이다.

① [eqn: 36]	② [eqn: 38]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 44]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 09월 30

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]에 대하여 네 개의 수 [eqn: f LEFT (- 1 RIGHT )], [eqn: f LEFT (0 RIGHT )], [eqn: f LEFT (1 RIGHT )], [eqn: f LEFT (2 RIGHT ) `]가 이 순서대로 등차수열을 이루고, 곡선 [eqn: y = f LEFT (x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT (- 1,`` f LEFT (- 1 RIGHT ) RIGHT ) `]에서의 접선과 점 [eqn: LEFT (2,`` f LEFT (2 RIGHT ) RIGHT ) `]에서의 접선이 점 [eqn: LEFT (k,`` 0 RIGHT ) `]에서 만난다. [eqn: f LEFT (2k RIGHT )= 20 `]일 때, [eqn: f LEFT (4k RIGHT ) `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: k `]는 상수이다.)

[정답] [eqn: 42]

[해설]

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]가 등차수열이므로 네 점을 연결하는 직선을 [eqn: y=mx+n]이라고 하자.

그러면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) - LEFT ( mx+n RIGHT ) =x LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )]라고 할 수 있다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) +mx+n]이라고 하면

[eqn: f` prime LEFT ( -1 RIGHT ) =m-6], [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT ) =m+6], [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =`-m+n], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =2m+n]이다.

[eqn: -1]에서의 접선은 [eqn: y= LEFT ( m-6 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) -m+n]

[eqn: 2]에서의 접선은 [eqn: y= LEFT ( m+6 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) +2m+n]

[eqn: LEFT ( k`,0` RIGHT )]에서 두 접선이 만나므로

[eqn: 0= LEFT ( m-6 RIGHT ) LEFT ( k+1 RIGHT ) -m+n],

[eqn: 0= LEFT ( m+6 RIGHT ) LEFT ( k-2 RIGHT ) +2m+n]

두 식을 [eqn: k]에 관하여 정리하면

[eqn: k= {m-n} over {m-6} -1],

[eqn: k=- {2m+n} over {m+6} +2]

연립하면 [eqn: m+2n=18]

[eqn: m=-2n+18]을 [eqn: k= {m-n} over {m-6} -1]에 대입하면 [eqn: k= {1} over {2}]가 나온다.

따라서 [eqn: f LEFT ( 2k RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT ) =m+n=10]이므로 [eqn: m=22], [eqn: n=-2]가 된다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) +22x-2]

[eqn: f LEFT ( 4k RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =42]

04 수2	04 접선의 방정식
02 접선의 방정식의 활용
06 활용6 (정의된 함수)

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 11월 21

좌표평면에서 삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx]와 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t,~f(t))]에서의 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmP]라 할 때, 원점에서 점 [eqn: rmP]까지의 거리를 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: f(x)]와 함수 [eqn: g(t)]는 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: f(1)=2]이므로    [eqn: 1+a+b=2]

[eqn: THEREFORE `a+b=1]                    …… ㉠

[eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx]에서

[eqn: f`'(x)=3x ^{2} +2ax+b]

따라서 점 [eqn: (t,~f(t))], 즉 [eqn: (t,~t ^{3} +at ^{2} +bt)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-(t ^{3} +at ^{2} +bt)=(3t ^{2} +2at+b)(x-t)]

이므로 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: (0,~-2t ^{3} -at ^{2} )]이다.

[eqn: THEREFORE `g(t)=|`-2t ^{3} -at ^{2} `|=t ^{2} `|`2t+a`|]

함수 [eqn: g(t)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 [eqn: - {a} over {2} =0]이어야 하므로    [eqn: a=0]

[eqn: a=0]을 ㉠에 대입하면    [eqn: b=1]

따라서 [eqn: f(x)=x ^{3} +x]이므로

[eqn: f(3)=3 ^{3} +3=30]

(가) [eqn: f(1)=2]

(나) 함수 [eqn: g(t)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

[eqn: f(3)]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수이다.)

① [eqn: 21]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 27]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 33]

04 수2	04 접선의 방정식
02 접선의 방정식의 활용
07 활용7 (추론과 이해)

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 11월 29

두 실수 [eqn: a`]와 [eqn: k`]에 대하여 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]와 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]는

[정답] [eqn: 32]

[해설]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x<a], [eqn: x>a]일 때, 다항함수이므로 이 범위에서 미분가능하다.

한편, 조건 (가)에서 함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능해야 하므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 미분가능해야 한다. 즉,

[eqn: lim _{x-> a-} {{f(x)-f(a)} over {x-a} = lim _{x-> a+} {{f(x)-f(a)} over {x-a}}}]이어야 한다.

이때,

[eqn: lim _{x -> a-} {{f(x)-f(a)} over {x-a} = lim _{x -> a-} {{0-0} over {x-a}} =0}]	[eqn: cdotscdots]㉠

또, [eqn: lim _{x -> a+} {{f(x)-f(a)} over {x-a}} = lim _{x -> a+} {{(x-1) ^{2} (2x+1)} over {x-a}}]

여기서 [eqn: x`rarrowa+]일 때 (분모)[eqn: rarrow0]이고, 극한값이 존재해야 하므로 (분자)[eqn: rarrow0]에서

[eqn: lim _{x-> a+} {(x-1) ^{2} (2x+1)=0}], [eqn: (a-1) ^{2} (2a+1)=0]

[eqn: a=- {1} over {2}] 또는 [eqn: a=1]

(ⅰ) [eqn: a=- {1} over {2}]일 때,
[eqn: lim _{x -> a+} {{f(x)-f(a)} over {x-a}} = lim _{x-> - {1} over {2} +} {{(x-1) ^{2} (2x+1)} over {x-left(- {1} over {2} right)}}]
[eqn: = lim _{x-> - {1} over {2} +} {2(x-1) ^{2}}]
[eqn: = {9} over {2}]
이 값은 ㉠의 값과 다르므로 [eqn: a=- {1} over {2}]일 때 함수 [eqn: f(x)]는 미분가능하지 않다.

(ⅱ) [eqn: a=1]일 때,
[eqn: lim _{x -> a+} {{f(x)-f(a)} over {x-a}} = lim _{x -> 1+} {{(x-1) ^{2} (2x+1)} over {x-1}}]
[eqn: = lim _{x-> 1+} {(x-1)(2x+1)}]
[eqn: =0]
이 값은 ㉠의 값과 같으므로 [eqn: a=1]일 때 함수 [eqn: f(x)]는 미분가능하다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a=1]이다.

한편, 조건 (나)에서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)geqg(x)]이어야하므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프보다 위쪽에 있거나 접해야 한다.

[eqn: x>1]일 때, 함수 [eqn: f(x)=(x-1) ^{2} (2x+1)]와 접하고 기울기가 [eqn: 12]인 접선의 접점을 [eqn: left(m,~f(m)right)] ([eqn: m>1])라 하자.

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT { (x-1) ^{2} RIGHT } prime (2x+1)+(x-1) ^{2} (2x+1) prime]
[eqn: =2(x-1)(2x+1)+2(x-1) ^{2}]
[eqn: =(x-1)left{(4x+2)+(2x-2)right}]
[eqn: =6x(x-1)]

이때, 접선의 기울기가 [eqn: 12]이므로

[eqn: 6m(m-1)=12]

[eqn: m ^{2} -m-2=0], [eqn: (m+1)(m-2)=0]

[eqn: m=-1] 또는 [eqn: m=2]

이때, [eqn: m=2]

그러므로 접선의 방정식은 [eqn: y-5=12(x-2)]

[eqn: y=12x-19], [eqn: y=12left(x- {19} over {12} right)]

따라서 [eqn: k GEQ {19} over {12}]이므로 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: {19} over {12}]이다.

그러므로 [eqn: a+p+q=1+12+19=32]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`0~&LEFT ( x LEQ a RIGHT )#` LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( 2x+1 RIGHT ) ~~&LEFT ( x>a RIGHT )}}],
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`0&LEFT ( x LEQ k RIGHT )#`12 LEFT ( x-k RIGHT ) ~~&LEFT ( x>k RIGHT )}}]

이고, 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQg LEFT ( x RIGHT )`]이다.

[eqn: k]의 최솟값이 [eqn: {q} over {p}`]일 때, [eqn: a+p+q `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p`]와 [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

04 수2	04 접선의 방정식
03 평균값의 정리
04 평균값의 정리3 (부등식의 해석)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 8

실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(5)]의 최솟값은?

[정답] ③

[해설]

함수 [eqn: f(x)]는 닫힌구간 [eqn: [1,``5]]에서 연속이

고 열린구간 [eqn: (1,``5)]에서 미분가능하므로

평균값의 정리에 의하여

[eqn: {f(5)-f(1)} over {5-1}=f `prime (c) cdots]㉠

를 만족하는 상수 [eqn: c]가 열린구간 [eqn: (1,``5)]에 적어도 하나 존재한다.

이때, 조건 (나)에 의하여

[eqn: f `prime (c) geq 5]

이므로 ㉠에서

[eqn: {f(5)-3} over {4} geq 5]

[eqn: f(5) geq 23]

따라서 [eqn: f(5)]의 최솟값은 [eqn: rm 23]이다.

(가) [eqn: f(1)=3]

(나) [eqn: 1<x<5]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f `prime (x) geq 5]이다.

① [eqn: rm 21]	② [eqn: rm 22]	③ [eqn: rm 23]

④ [eqn: rm 24]	⑤ [eqn: rm 25]

[수학2] [미분] 평가원 최근 10개년 PART1(빠른 정답)
년도별경향	2022.12.20

[정답] [eqn: 65]

[정답] [eqn: 3]

[정답] [eqn: bold13]

[정답] [eqn: bold19]

[정답] [eqn: bold21]

[정답] [eqn: bold8`]

[정답] ④

[정답] [eqn: bold10`]

[정답] [eqn: bold25]

[정답] [eqn: bold24]

[정답] [eqn: 2]

[정답] [eqn: bold4]

[정답] [eqn: bold{35]

[정답] [eqn: 7]

[정답] [eqn: 15]

[정답] [eqn: bold { 13 }]

[정답] [eqn: 20`]

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 11 }]

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] [eqn: bold28]

[정답] [eqn: 10]

[정답] [eqn: 243]

[정답] ②

[정답] ④

[정답] [eqn: bold2]

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ③

[정답] [eqn: bold186]

[정답] [eqn: bold12]

[정답] [eqn: 10]

[정답] ①

[정답] [eqn: bold97]

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] [eqn: bold5`]

[정답] ②

[정답] [eqn: bold21]

[정답] [eqn: bold{ 32]

[정답] ①

[정답] ①

[정답] [eqn: 42]

[정답] ④

[정답] [eqn: 32]

[정답] ③

[수학2] [미분] 평가원 최근 10개년 PART1(해설)
년도별경향	2022.12.20