		년도별경향	2022.12.18
년도별경향	03	[수학1] [삼각함수] 평가원 최근 10개년

03 수1	05 삼각함수의 정의
02 삼각함수의 정의
03 정의3 (부호와 함수변형규칙)

년도별경향		년도별경향
03		[수학1] [삼각함수] 평가원 최근 10개년

	년도별경향		년도별경향
	[수학1] [삼각함수] 평가원 최근 10개년		03

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 3

[eqn: { pi} over {2}< theta< pi]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: sin theta={ sqrt{21}} over {7}]일 때, [eqn: tan theta]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: {pi } over {2} < theta < pi `]인 [eqn: theta`]는 그림과 같이 제[eqn: 2`]사분면의 각이므로 [eqn: tan` theta `]는 음의 값을 가진다.

피타고라스 정리에 의해

[eqn: tan`theta = {sqrt21} over{-2sqrt7} = - sqrt3 over2]

① [eqn: -{ sqrt{3}} over {2}]	② [eqn: -{ sqrt{3}} over {4}]	③ [eqn: rm 0]

④ [eqn: { sqrt{3}} over {4}]	⑤ [eqn: { sqrt{3}} over {2}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 3

[eqn: pi<theta< {3} over {2} pi]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: tan theta= {12} over {5}]일 때, [eqn: sin theta+cos theta]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: theta]가 [eqn: 3]사분면의 각이므로 [eqn: sin theta<0], [eqn: cos theta<0]이므로

그런데, [eqn: tan theta= {12} over {5}]이므로 [eqn: sin theta=- {12} over {13}], [eqn: cos theta=- {5} over {13}]

[eqn: therefore][eqn: sin theta+cos theta=- {17} over {13}]

① [eqn: - {17} over {13}]	② [eqn: - {7} over {13}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {7} over {13}]	⑤ [eqn: {17} over {13}]

03 수1	05 삼각함수의 정의
02 삼각함수의 정의
04 정의4 (특수각의 확장)

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 06월 2

[eqn: cos {3pi } over {2}]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: cos {3 pi } over {2} =cos LEFT ( pi + {pi } over {2} RIGHT ) = it -cos {pi } over {2} =0]

① [eqn: - 1]	② [eqn: - { sqrt 3}over2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: { sqrt 3}over2]	⑤ [eqn: 1]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 06월 2

[eqn: sin` {7 pi } over {3} `]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: sin {7 pi } over {3} =sin` LEFT ( 2 pi `+ {pi } over {3} RIGHT ) =sin` {pi } over {3} = {sqrt {3}} over {2}]

① [eqn: -{root{2}}over{2}]	② [eqn: -{1}over{2}]	③ [eqn: {1}over{2}]

④ [eqn: {root{2}}over{2}]	⑤ [eqn: {root{3}}over{2}]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 3

[eqn: {cos ^{2} LEFT ( {pi } over {6} RIGHT ) +tan ^{2} LEFT ( {2 pi } over {3} RIGHT )}{{from^2020^평가원나^3}}]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: cos ^{2} LEFT ( {pi } over {6} RIGHT ) +tan ^{2} LEFT ( {2 pi } over {3} RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( - sqrt {3} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = {3} over {4} +3= {15} over {4}]

① [eqn: 3over2]	② [eqn: {9} over {4}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 15over4]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

03 수1	05 삼각함수의 정의
02 삼각함수의 정의
06 정의6 (삼각함수 사이의 관계. 값 구하기)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 5

[eqn: pi over 2 < theta < pi `]인 [eqn: theta `]에 대하여 [eqn: sin` theta cos` theta =`- 12 over 25 `]일 때, [eqn: sin` theta - cos` theta `]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: (sin theta -cos theta ) ^{2}][eqn: =sin ^{2} theta +cos ^{2} theta -2sin theta cos theta]
[eqn: = 1 + 24 over25][eqn: = 49 over25]

[eqn: sin theta - cos theta >0]이므로 [eqn: sin theta - cos theta = 7 over5]

① [eqn: 4 over 5`]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: 6 over 5`]

④ [eqn: 7 over 5`]	⑤ [eqn: 8 over 5`]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 6

[eqn: {{pi } over {2} < theta < pi }{{from^2021^09^평가원^중}}]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: {sin theta } over {1-sin theta } - {sin theta } over {1+sin theta } =4]일 때, [eqn: cos theta]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: {sin theta } over {1-sin theta } - {sin theta } over {1+sin theta } =4]에서

[eqn: {sin theta LEFT ( 1+sin theta RIGHT ) -sin theta LEFT ( 1-sin theta RIGHT )} over {LEFT ( 1-sin theta RIGHT ) LEFT ( 1+sin theta RIGHT )} =4]

[eqn: {2 sin ^{2} theta } over {1-sin ^{2} theta } =4], [eqn: {2 LEFT ( 1-cos ^{2} theta RIGHT )} over {cos ^{2} theta } =4]

[eqn: 1-cos ^{2} theta =2 cos ^{2} theta]

따라서 [eqn: cos ^{2} theta = {1} over {3}]이고, [eqn: {pi } over {2} < theta < pi]이므로

[eqn: cos theta = it - {sqrt {3}} over {3}]

① [eqn: - {sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: - {1} over {3}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {3}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 3

[eqn: { pi} over {2}< theta< pi]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: cos ^{2} theta={4} over {9}]일 때, [eqn: sin ^{2} theta+ cos theta]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: cos ^{2} theta={4} over {9}]이고

[eqn: { pi} over {2}< theta< pi]일 때 [eqn: cos theta<0]이므로
[eqn: cos theta][eqn: =-{2} over {3}]
한편, [eqn: sin ^{2} theta+ cos ^{2} theta=1]이므로
[eqn: sin ^{2} theta=1- cos ^{2} theta]
[eqn: = 1-{4} over {9}]
[eqn: ~ ={5} over {9}]

따라서

[eqn: sin ^{2} theta +cos theta = {5} over {9} + LEFT ( - {2} over {3} RIGHT ) =- {1} over {9}]

① [eqn: -{4} over {9}]	② [eqn: -{1} over {3}]	③ [eqn: -{2} over {9}]

④ [eqn: -{1} over {9}]	⑤ [eqn: rm 0]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
01 삼각함수의 그래프
04 그래프4 (표준형 그래프에서 Mm)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 22

함수[eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) =5 sin x+1}{{from^2020^06^평가원고3나^}}]의 최댓값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 6 }]

[해설]

[eqn: -1 LEQ sinx leq 1]에서 [eqn: -5 leq 5sinx leq 5]이므로

[eqn: -5+1 leq 5sinx +1 leq 5+1]

[eqn: therefore][eqn: -4 le 5sin x +1 le 6]

즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =5 sin x+1]의 최댓값은 [eqn: 6]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 4

함수 [eqn: {f(x)=4cos x+3}{{from^2020^11^대수능고3나^중}}]의 최댓값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: -1 le cos x le 1]이므로 [eqn: f(x)=4 cos x +3]에서

[eqn: -1 le 4 cosx +3 le 7]

즉, [eqn: -1 le f(x) le 7]이므로 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 7]이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 7

닫힌구간 [eqn: [0,`` pi]]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=- sin 2 x]가 [eqn: x=a]에서 최댓값을 갖고 [eqn: x=b]에서 최솟값을 갖는다. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 두 점 [eqn: (a,`` f(a))], [eqn: (b,`` f(b))]를 지나는 직선의 기울기는?

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: f(x)=- sin 2 x]의 주기는 [eqn: {2 pi} over {2}= pi]이

므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x={ pi} over {4}]일 때 최솟값

[eqn: f left({ pi} over {4} right)=- sin { pi} over {2}=-1]

을 갖고, [eqn: x={3} over {4} pi]일 때 최댓값

[eqn: f left({3} over {4} pi right)=- sin {3} over {2} pi=1]

을 갖는다.

따라서 [eqn: a={3 pi} over {4}], [eqn: b={ pi} over {4}]이므로 두 점

[eqn: left({3} over {4} pi,`` 1 right)], [eqn: left({ pi} over {4},``-1 right)]을 지나는 직선의

기울기는

[eqn: {1-(-1)} over {{3} over {4} pi - {pi } over {4}} = {2} over {{pi } over {2}} = {4} over {pi }]

① [eqn: {1} over { pi}]	② [eqn: {2} over { pi}]	③ [eqn: {3} over { pi}]

④ [eqn: {4} over { pi}]	⑤ [eqn: {5} over { pi}]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
02 삼각함수의 그래프 활용
01 활용1 (대칭성과 길이 또는 넓이)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 10

두 양수 [eqn: { a ,```` b }{{from^2021^09^평가원^중}}]에 대하여 곡선 [eqn: y= a sin b pi x][eqn: LEFT ( 0 le x le 3 over b RIGHT )]이 직선 [eqn: y= a]와 만나는 서로 다른 두 점을 [eqn: rmA ,```` B]라 하자.

[정답] ③

[해설]

함수 [eqn: y= a sin b pi x]의 주기는 [eqn: 2pi over {b pi} = 2 over b]이므로 두 점 [eqn: rmA ,```` B]의 좌표는 [eqn: rm A LEFT ( it 1over 2b ,```` a RIGHT ) ,```` rm B LEFT ( it 5 over 2b ,```` a RIGHT )]

따라서 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이가 [eqn: 5]이므로

[eqn: 1 over 2 times a times LEFT ( 5 over 2b - 1over 2b RIGHT ) = 5 ,```` a over b = 5]

[eqn: a= 5b]	[eqn: cdots cdots] ㉠

직선 [eqn: rmOA]의 기울기와 직선 [eqn: rmOB]의 기울기의 곱이 [eqn: 5 over 4]이므로

[eqn: a over {1 over 2b} times a over {5 over 2b }][eqn: = 2ab times 2ab over 5]
[eqn: = {4a^2 b^2} over 5 = 5over 4]

[eqn: a^2 b^2 = 25 over 16 ,```` ab = 5over 4]	[eqn: cdots cdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a= 5 over 2 ,```` b= 1over 2]이므로

[eqn: a+b= 3]

삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이가 [eqn: 5]이고 직선 [eqn: rmOA]의 기울기와 직선 [eqn: rmOB]의 기울기의 곱이 [eqn: 5over 4]일 때, [eqn: a+b]의 값은?
(단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
02 삼각함수의 그래프 활용
02 활용2 (그래프의 활용)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 11

양수 [eqn: a]에 대하여 집합 [eqn: LEFT { pile{it#it} x` RIGHT | `- {a} over {2} <x LEQ a,~x!= {a} over {2}][eqn: pile{it#it}right}]에서 정의된 함수

[정답] ③

[해설]

[eqn: {pi } over {{pi } over {a}} =a]이므로

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 주기는 [eqn: a]이다.

직선 [eqn: rmAB]는 원점을 지나고 기울기가 [eqn: sqrt {3}]인 직선이므로

양수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: rm B LEFT ( itt,~ sqrt {3} t RIGHT )]로 놓으면 [eqn: rm A LEFT ( it-t,~- sqrt {3} t RIGHT )]이고, [eqn: {bar{rm AB}} =it4t]이다.

이때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 주기가 [eqn: a]이므로 [eqn: {bar{rm AC}} =it4t=a]이고, [eqn: rm C LEFT ( it-t+a,~- sqrt {3} t RIGHT )], 즉 [eqn: rm C LEFT ( it3t,~- sqrt {3} t RIGHT )]이다.

점 [eqn: rmC]가 곡선 [eqn: y=tan` {pi x} over {a} =tan` {pi x} over {4t}] 위의 점이므로

[eqn: - sqrt {3} t=tan` {pi TIMES 3t} over {4t}]

[eqn: - sqrt {3} t=tan` {3pi } over {4}]에서

[eqn: t= {1} over {sqrt {3}}]

따라서 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는

[eqn: {sqrt {3}} over {4} TIMES LEFT ( 4t RIGHT ) ^{2}][eqn: = {sqrt {3}} over {4} TIMES LEFT ( {4} over {sqrt {3}} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: = {4} over {sqrt {3}}]
[eqn: = {4 sqrt {3}} over {3}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =tan` {{pi}x} over {a}]

가 있다. 그림과 같이 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프 위의 세 점 [eqn: rmO,~A,~B]를 지나는 직선이 있다. 점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 만나는 점 중 [eqn: rmA]가 아닌 점을 [eqn: rmC]라 하자. 삼각형 [eqn: rmABC]가 정삼각형일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

① [eqn: {3 sqrt {3}} over {2}]	② [eqn: {17 sqrt {3}} over {12}]	③ [eqn: {4 sqrt {3}} over {3}]

④ [eqn: {5 sqrt {3}} over {4}]	⑤ [eqn: {7 sqrt {3}} over {6}]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
03 삼각방정식과 부등식
01 삼각방정식1 (일차식꼴)

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 09월 6

[eqn: 0 le x le pi `]일 때, 방정식

[정답] ③

[해설]

[eqn: 1+ sqrt { 2}`sin`2x=0]에서

[eqn: sin`2x=it- { 1} over { sqrt { 2} }]

[eqn: 2x= { 5pi} over {4 }] 또는 [eqn: 2x= { 7pi} over {4 }]

[eqn: x= { 5pi} over {8 }] 또는 [eqn: x= { 7pi} over { 8}]

따라서 모든 해의 합은

[eqn: { 5pi} over {8 }+ { 7pi} over { 8}= { 12pi} over {8 }= { 3pi} over {2 }]

[eqn: 1+ sqrt { 2} {rmsin}` 2x=0`]

의 모든 해의 합은?

① [eqn: pi]	② [eqn: { 5pi} over {4 }]	③ [eqn: { 3pi} over { 2}]

④ [eqn: { 7pi} over {4 }]	⑤ [eqn: 2pi]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
03 삼각방정식과 부등식
02 삼각방정식2 (이차식꼴)

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 09월 7

[eqn: 0 le x < 2pi `]일 때, 방정식 [eqn: 2sin` ^2 x + 3 cos` x = 3 `]의 모든 해의 합은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: 2`sin ^{2} `x+3`cos`x=3]

[eqn: 2` LEFT ( 1-cos ^{2} `x RIGHT ) +3`cos`x=3`]

[eqn: 2`cos ^{2} `x-3`cos`x+1=0]

[eqn: LEFT ( cos`x-1 RIGHT ) LEFT ( 2cos`x-1 RIGHT ) =0`]

[eqn: cos`x=1`] 또는 [eqn: cos`x= {1} over {2} `]

이때, [eqn: 0 LEQ x<2 pi `]이므로

[eqn: x=0] 또는 [eqn: x= {pi } over {3}] 또는 [eqn: x= {5} over {3} pi]

따라서, 모든 해의 합은 [eqn: 2` pi `]이다.

① [eqn: pi over 2]	② [eqn: pi]	③ [eqn: 3pi over 2]

④ [eqn: 2pi]	⑤ [eqn: 5pi over 2]

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 11월 25

[eqn: 0 < x< 2pi `]일 때, 방정식 [eqn: cos`^2 x - sin`x =1 `]의 모든 실근의 합은 [eqn: q over p pi `]이다. [eqn: p +q `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p], [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: BOLD7]

[해설]

[eqn: cos ^{2} x-sin`x=1]

[eqn: LEFT ( 1-sin ^{2} x RIGHT ) -sin`x=1]

[eqn: sin ^{2} x+sin`x=0]

[eqn: sin`x LEFT ( sin`x+1 RIGHT ) =0]

[eqn: sin`x=0`] 또는 [eqn: sin`x=-1]

[eqn: x= pi `] 또는 [eqn: x= {3} over {2} pi]

따라서 모든 실근의 합은 [eqn: pi + {3} over {2} pi = {5} over {2} pi `]이므로

[eqn: p+q=2+5=7]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 11월 7

[eqn: 0 LEQ x LEQ 2pi `]일 때, 방정식

[정답] ④

[해설]

[eqn: cos ^{2} `x=1-sin ^{2} `x]이므로

방정식 [eqn: cos ^{2} `x=sin ^{2} `x-sin`x]에서

[eqn: 1-sin ^{2} `x=sin ^{2} `x-sin`x]

[eqn: 2sin ^{2} `x-sin`x-1=0]

[eqn: LEFT ( 2`sin`x+1 RIGHT ) LEFT ( sin`x-1 RIGHT ) =0]

[eqn: sin`x=- {1} over {2}] 또는 [eqn: sin`x=1]

이때, [eqn: 0 LEQ x<2pi]이므로

(ⅰ) [eqn: sin`x=- {1} over {2}]에서
[eqn: x= {7} over {6} pi] 또는 [eqn: x= {11} over {6} pi]

(ⅱ) [eqn: sin`x=1]에서
[eqn: x= {pi} over {2}]

(ⅰ), (ⅱ)에서 주어진 방정식의 모든 해의 합은

[eqn: {7} over {6} pi+ {11} over {6} pi+ {pi} over {2} = {7} over {2} pi]

[eqn: cos` ^{2} x=sin` ^{2} x-sin` x`]

의 모든 해의 합은?

① [eqn: 2pi]	② [eqn: {5} over {2} pi]	③ [eqn: 3pi]

④ [eqn: {7} over {2} pi]	⑤ [eqn: 4pi]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 11월 7

[eqn: 0<x<2pi `]일 때, 방정식 [eqn: 4cos^2`x -1=0`]과 부등식 [eqn: sin``x`cos``x <0`]을 동시에 만족시키는 모든 [eqn: x`]의 값의 합은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: 4cos^2`x -1 =0`]에서

[eqn: (2cos``x +1)(2cos``x-1)=0]

[eqn: cos``x = - 1 over 2] 또는 [eqn: cos``x = 1 over 2]

[eqn: x= pi over 3] 또는 [eqn: x= 2 over 3 pi] 또는 [eqn: x= 4 over 3 pi] 또는 [eqn: x = 5 over 3 pi]

한편, [eqn: sin``x`cos``x <0`]이므로 [eqn: x`]는 제[eqn: 2`]사분면의 각 또는 제[eqn: 4`]사분면의 각이다.

따라서 구하는 [eqn: x`]의 값은 [eqn: x= 2 over 3 pi] 또는 [eqn: x = 5 over 3 pi]이므로 모든 합은 [eqn: 7 over 3 pi `]이다.

① [eqn: 2pi]	② [eqn: 7 over 3 pi]	③ [eqn: 8 over 3 pi]

④ [eqn: 3pi]	⑤ [eqn: 10 over 3 pi]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 16

[eqn: {0 le x le4pi}{{from^2020^11^대수능고3나^중}}]일 때, 방정식

[정답] ②

[해설]

[eqn: cos LEFT ( {pi } over {2} +x RIGHT ) = -sinx]이므로

[eqn: 4 sin^2 x-4cos LEFT ( { pi} over {2 }+x RIGHT )-3]

[eqn: = 4 sin ^{2} x +4sinx-3]

[eqn: sinx =t]라 하면 [eqn: t]의 범위는 [eqn: 0 LEQ x LEQ 4 pi]에 의하여

[eqn: -1 LEQ t LEQ 1]

준 식은 [eqn: 4t ^{2} +4t-3]이므로

[eqn: (2t -1)(2t+3)=0]

[eqn: therefore][eqn: t= {1} over {2} ,```` - {3} over {2}]

[eqn: therefore][eqn: t= {1} over {2}] ([eqn: because][eqn: -1 LEQ t LEQ 1])

즉, [eqn: 0 LEQ x LEQ 4 pi]에서 [eqn: sinx= {1} over {2}]를 만족하는 [eqn: x]의 값은

[eqn: x= {pi } over {6} ,```` pi - {pi } over {6} ,```` 2 pi + {pi } over {6} ,```` 3 pi - {pi } over {6}]

따라서 모든 해의 합은 [eqn: 6 pi]

[eqn: 4 sin^2 x-4cos LEFT ( { pi} over {2 }+x RIGHT )-3=0]

의 모든 해의 합은?

① [eqn: 5pi]	② [eqn: 6pi]	③ [eqn: 7pi]

④ [eqn: 8pi]	⑤ [eqn: 9pi]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 7

[eqn: pi<theta< {3} over {2} pi]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: tan`theta- {6} over {tan`theta} =1]일 때, [eqn: sin`theta+cos`theta]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: tan ` theta - 6 over { tan ` theta }=1]이므로

양변에 [eqn: tan ` theta]를 곱하면

[eqn: tan ^2 ` theta - 6 = tan ` theta]

[eqn: tan ^2 ` theta - tan ` theta - 6 = 0]

[eqn: ( tan ` theta +2 ) ( tan ` theta - 3 ) = 0]

[eqn: tan ` theta = it - 2] 또는 [eqn: tan ` theta = 3]

이때, [eqn: pi < theta < 3 over 2 pi]이므로

[eqn: tan ` theta = 3]

이때,

[eqn: { sin ` theta } over { cos ` theta }=3],

[eqn: sin ` theta = 3 ` cos ` theta]

이므로

[eqn: sin ^2 ` theta + cos ^2 ` theta = 1]에 대입하면

[eqn: 9 ` cos ^2 ` theta + cos ^2 ` theta = 1]

[eqn: 10 ` cos ^2 ` theta = 1]

[eqn: cos ` theta = 1 over root 10] 또는 [eqn: cos ` theta = it - 1over root 10]

이때, [eqn: pi < theta < 3 over 2 pi]이므로

[eqn: cos ` theta = it - 1 over root 10]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이 값을 [eqn: sin ^2 ` theta + cos ^2 ` theta = 1]에 대입하면

[eqn: sin ^2 ` theta + 1 over 10 = 1]

[eqn: sin ^2 ` theta = 9 over 10]

[eqn: sin ` theta = 3 over root 10] 또는 [eqn: sin ` theta = it - 3 over root 10]

이때, [eqn: pi < theta < 3 over 2 pi]이므로

[eqn: sin ` theta = it - 3 over root 10]	[eqn: cdots cdots] ㉡

따라서, ㉠과 ㉡에서

[eqn: sin ` theta + cos ` theta][eqn: = LEFT ( - 3 over root 10 RIGHT )+ LEFT ( - 1 over root 10 RIGHT )]
[eqn: = it - 4 over root 10]
[eqn: = it - { 2 root 10 }over 5]

① [eqn: - {2 sqrt {10}} over {5}]	② [eqn: - {sqrt {10}} over {5}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {sqrt {10}} over {5}]	⑤ [eqn: {2 sqrt {10}} over {5}]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
03 삼각방정식과 부등식
03 삼각방정식3 (교점)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 8

함수[eqn: y=6sin` {pi } over {12} x][eqn: LEFT ( 0 le x le 12 RIGHT ) `]의 그래프와 직선 [eqn: y =3 `]이 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B `]라 할 때, 선분 [eqn: rm AB `]의 길이는?

[정답] ③

[해설]

[eqn: 6 sin pi over12 x = 3]에서 [eqn: sin pi over12 x = 1 over2]

[eqn: pi over12 x = pi over6], [eqn: 5 over6 pi]

[eqn: x = 2], [eqn: 10], [eqn: THEREFORE][eqn: rm barAB = 10-2 = 8]

① [eqn: 6`]	② [eqn: 7`]	③ [eqn: 8`]

④ [eqn: 9`]	⑤ [eqn: 10`]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
03 삼각방정식과 부등식
08 방부등식의 활용1 (이차함수의 활용)

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 11월 11

[eqn: 0 le theta < 2pi]일 때, [eqn: x]에 대한 이차방정식

[정답] ④

[해설]

이차방정식 [eqn: 6x^2 + (4 cos`theta )x+sin`theta =0]이 실근을 갖지 않아야 하므로 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D over 4 =4` cos^2`theta -6 sin`theta < 0]

[eqn: 2(1-sin^2`theta )-3` sin `theta < 0]

[eqn: 2 `sin^2 `theta +3` sin`theta -2 > 0]

[eqn: (2` sin`theta - 1) (sin`theta + 2) > 0]

[eqn: 0 le theta < 2pi]에서 [eqn: -1 le sin`theta le 1]이므로

[eqn: sin`theta +2 > 0]

즉, [eqn: 2` sin `theta -1>0]에서 [eqn: sin `theta > 1 over 2]

[eqn: pi over 6 < theta < 5 over 6 pi]이므로 [eqn: alpha = piover 6 ,~ beta = 5 over 6 pi]

따라서 [eqn: 3alpha + beta = pi over 2 + 5 over 6 pi = 4 over 3 pi]

[eqn: 6x^2 +left (4` cos`theta right)x+sin`theta =0]

이 실근을 갖지 않도록 하는 모든 [eqn: theta`]의 값의 범위는 [eqn: alpha < theta < beta]이다. [eqn: 3 alpha + beta `]의 값은?

① [eqn: 5 over 6 pi]	② [eqn: pi]	③ [eqn: 7 over 6 pi]

④ [eqn: 4 over 3 pi]	⑤ [eqn: 3 over 2 pi]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 14

[eqn: {0 le theta < 2pi}{{from^2020^06^평가원고3가^}}]일 때, [eqn: x]에 대한 이차방정식

[정답] ①

[해설]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 - (2 sin theta) x - 3 cos ^2 theta - 5 sin theta +5 =0]이 실근을 가지므로 [eqn: D over 4 ge 0]이 성립한다.

[eqn: {D} over {4}][eqn: =sin ^{2} theta -(-3cos ^{2} theta-5sin theta+5)]
[eqn: = sin ^{2} theta+3cos ^{2} theta+5sin theta -5]
[eqn: =2cos ^{2 } theta +5sin theta-4]
[eqn: = -2sin ^{2 } theta+5sin theta-2 GEQ 0]

즉, [eqn: 2sin ^{2} theta-5sin theta+2 LEQ 0]이므로 [eqn: (sin theta-2)(2sin theta-1) LEQ 0]

그런데 [eqn: -1 le sin theta le 1]이므로 [eqn: sin ^{} theta -2 LEQ 0]

[eqn: therefore][eqn: 2sin theta-1 GEQ 0]

즉, [eqn: sin theta GEQ {1} over {2}]이므로 [eqn: 0 le theta < 2pi]의 범위에서 만족하는 [eqn: theta]의 범위는 [eqn: {pi} over {6} LEQ theta LEQ {5pi} over {6}]

따라서 [eqn: alpha= {pi} over {6}], [eqn: beta= {5pi} over {6}]이므로 [eqn: 4beta-2alpha=3pi]

[eqn: x^2 - (2 sin theta) x - 3 cos ^2 theta - 5 sin theta +5 =0]

이 실근을 갖도록 하는 [eqn: theta]의 최솟값과 최댓값을 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하자. [eqn: 4 beta - 2 alpha]의 값은?

① [eqn: 3pi]	② [eqn: 4pi]	③ [eqn: 5pi]

④ [eqn: 6pi]	⑤ [eqn: 7pi]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
03 삼각방정식과 부등식
11 방부등식의 활용4 (추론과 해석)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 21

닫힌구간[eqn: {[-2pi ,```` 2pi]}{{from^2020^평가원가^3}}]에서 정의된 두 함수

[정답] ②

[해설]

[eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]는 [eqn: 0<x< { pi} over { 24}]에서 적어도 하나의 교점을 가진다. 이 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha]라 하자.

[eqn: y=f(x)]는 주기가 [eqn: { 2pi} over { k}], [eqn: y=g(x)]는 주기가 [eqn: { pi} over { 6}]인 함수이므로

[eqn: LEFT { x ``|`` f(x)][eqn: =f( alpha ) RIGHT }]

[eqn: = LEFT { alpha ,```` {pi } over {k} - alpha ,```` {2 pi } over {k} + alpha ,```` {3 pi } over {k} - alpha ,```` CDOTS RIGHT }]

즉, [eqn: A][eqn: = LEFT { alpha ,```` {pi } over {k} - alpha ,```` {2 pi } over {k} + alpha ,```` {3 pi } over {k} - alpha ,```` CDOTS RIGHT }]라 하고,

[eqn: LEFT { x ``|`` g(x)=g(alpha) RIGHT }]

[eqn: = LEFT { alpha ,```` {pi } over {6} - alpha ,```` {pi } over {6} + alpha ,```` {2 pi } over {6} - alpha ,```` CDOTS ,```` {12 pi } over {6} - alpha RIGHT }]

에서 [eqn: B][eqn: = LEFT { alpha ,```` {pi } over {6} - alpha ,```` {pi } over {6} + alpha ,```` {2 pi } over {6} - alpha ,```` CDOTS ,```` {12 pi } over {6} - alpha RIGHT }]라고 하자.

이때 [eqn: A subset B]를 만족하기 위해서는 [eqn: { pi} over { k}- alpha in B]여야 한다.

(ⅰ) [eqn: {pi } over {k} - alpha = {n pi } over {6} - alpha]인 경우
[eqn: { 1} over { k} = { n} over { 6}]에서 [eqn: k= { 6} over { n}]이므로 [eqn: n=1], [eqn: n=2], [eqn: n=3], [eqn: n=6]일 때 각각 [eqn: k=6], [eqn: k=3], [eqn: k=2], [eqn: k=1]이다.
즉 [eqn: 4]가지

㉠ [eqn: k=6]일 때 [eqn: A= left{` alpha ,```` { pi} over { 6} - alpha ,```` { 2pi} over { 6} + alpha ,```` { 3pi} over { 6} - alpha ,```` { 4pi} over { 6} - alpha ,```` cdots `right} subset B]

㉡ [eqn: k=3]일 때 [eqn: A= left{` alpha ,```` { 2pi} over { 6} - alpha ,```` { 4pi} over { 6} + alpha ,```` { 6pi} over { 6} - alpha ,```` cdots `right} subset B]

㉢ [eqn: k=2]일 때 [eqn: A= left{` alpha ,```` { 3pi} over { 6} - alpha ,```` { 6pi} over { 6} + alpha ,```` { 9pi} over { 6} - alpha `right}][eqn: subset B]
㉣ [eqn: k=1]일 때 [eqn: A= left{` alpha ,```` { 6pi} over { 6} -alpha `right} subset B]
삼각함수의 대칭성과 주기성에 의하여 [eqn: (alpha ,```` f(alpha ))]이외의 교점에 대해서도 같은 방법으로 확인할 수 있다.

(ⅱ) [eqn: {pi } over {k} - alpha = {n pi } over {6} + alpha]인 경우
그림과 같이 [eqn: beta in A], [eqn: beta NOTIN B]가 되는 [eqn: beta]가 존재하므로 조건에 모순이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 조건을 만족하는 [eqn: k]는 [eqn: 4]가지다.

[eqn: f(x)=sinkx +2], [eqn: g(x)= 3cos12x]

에 대하여 다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 개수는?

실수 [eqn: a]가 두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 교점의 [eqn: y]좌표이면

[eqn: left{` x ``|`` f(x)=a `right} subset left{` x ``|`` g(x)=a `right}]

이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 15

[eqn: -1 le t le 1]인 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식

[정답] ②

[해설]

ㄱ. [eqn: -1 le t < 0]인 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: alpha LEFT ( t RIGHT )]와 [eqn: beta LEFT ( t RIGHT )]의 위치는 아래 그림과 같다.

주어진 [eqn: t]의 범위에서 점 [eqn: (t ,```` alpha LEFT ( t RIGHT ))]는 곡선 [eqn: y=sin { pi x} over {2}]위에 있고 점 [eqn: (t ,```` beta LEFT ( t RIGHT ))]는 곡선 [eqn: y=cos { pi x} over { 2}]에 있다.
이때, [eqn: alpha(t)]와 [eqn: beta(t)]는 직선 [eqn: x={ 5} over { 2}]에 대해 대칭이므로 [eqn: {alpha(t) + beta(t)} over 2 = 5 over 2]이므로 [eqn: alpha(t) + beta(t) = 5]이다.	(참)

ㄴ. [eqn: t=0]일 때, [eqn: alpha LEFT ( 0 RIGHT )=0], [eqn: beta LEFT ( 0 RIGHT )=3]이다.

이때, [eqn: t > { sqrt { 2} } over { 2}]일 때는 [eqn: beta LEFT ( t RIGHT )- alpha LEFT ( t RIGHT )>3]이므로
[eqn: beta LEFT ( t RIGHT )- alpha LEFT ( t RIGHT )=3]을 만족하는 [eqn: t]의 범위는 [eqn: 0 le t le { sqrt { 2} } over { 2}]이다.	(참)

ㄷ. [eqn: alpha LEFT ( t_1 RIGHT )= alpha LEFT ( t_2 RIGHT )=k]라 하면, [eqn: t_1]과 [eqn: t_2]는 [eqn: sin { k pi } over { 2}] 또는 [eqn: cos { k pi} over { 2}]이다.
이때, [eqn: sin { k pi } over { 2}=t_1], [eqn: cos { k pi } over { 2}=t_2]라 하면,
[eqn: t _{2} -t _{1} =cos {k pi } over {2} -sin {k pi } over {2} = {1} over {2}]이고, 양변을 제곱하면
[eqn: LEFT { cos { k pi } over {2 } RIGHT }^2 -2 cos { k pi } over { 2} ` sin { k pi } over { 2}+ LEFT { sin { k pi } over {2 } RIGHT }^2 = { 1} over { 4}]
[eqn: cos { k pi } over { 2} ` sin { k pi} over { 2}= { 3} over { 8}][eqn: =t_2 TIMES t_1]
즉, [eqn: t_1 TIMES t_2 = { 3} over { 8}]이다.	(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: LEFT ( sin { pix} over {2 }-t RIGHT ) LEFT ( cos { pix} over {2 }-t RIGHT )=0]

의 실근 중에서 집합 [eqn: LEFT { x ``|`` 0 LEQ x < 4 RIGHT }]에 속하는 가장 작은 값을 [eqn: alpha LEFT ( t RIGHT )], 가장 큰 값을 [eqn: beta LEFT ( t RIGHT )]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: -1 le t < 0]인 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: alpha LEFT ( t RIGHT )+ beta LEFT ( t RIGHT )][eqn: =5]이다. ㄴ. [eqn: LEFT { t ``|`` beta LEFT ( t RIGHT )- alpha LEFT ( t RIGHT )=beta LEFT ( 0 RIGHT )- alpha LEFT ( 0 RIGHT ) } RIGHT }= LEFT { t `` left |`` 0 le t le { sqrt { 2} } over {2 } RIGHT }] ㄷ. [eqn: alpha LEFT ( t_1 RIGHT )= alpha LEFT ( t_2 RIGHT )]인 두 실수 [eqn: t_1], [eqn: t_2]에 대하여 [eqn: t_2 -t_1 = { 1} over { 2}]이면 [eqn: t_1 TIMES t_2 = { 1} over { 3}]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

03 수1	07 삼각함수의 활용
01 사인법칙과 코사인법칙
01 사인법칙1 (기본)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 23

반지름의 길이가 [eqn: {15}{{from^2020^06^평가원고3가^}}]인 원에 내접하는 삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: sin rm B= 7over10]일 때, 선분 [eqn: rm AC]의 길이를 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 21 }]

[해설]

반지름의 길이 [eqn: R=][eqn: 15]인 원에 내접하는 삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: sin rm B= 7over10]이므로 사인법칙에 의해 [eqn: {rm {bar{AC}}} over {sin rm B} =2 TIMES R]에 대입하면

[eqn: {rm {bar{AC}} }=2 TIMES 15 TIMES 7 over 10][eqn: =21]

03 수1	07 삼각함수의 활용
01 사인법칙과 코사인법칙
05 사인법칙과 코사인법칙의 동시 적용

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 10

[eqn: {ANGLE rm A}{{from^2020^11^대수능고3가^중}}][eqn: = {pi} over {3}]이고 [eqn: rm {bar{AB}} ``:`` {bar{AC}}][eqn: =3``:``1]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다.

[정답] ②

[해설]

원의 반지름이 [eqn: 7]이고, 위의 삼각형 [eqn: rmABC]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {rm bar BC} over {sin pi over 3} = 2 times 7]

[eqn: THEREFORE][eqn: rm bar BC = 7 root 3]

[eqn: rm bar AB ``:`` bar AC = 3``:``1]이므로 [eqn: rmbar AB = it 3x], [eqn: rm bar AC = it x]라 하면 삼각형 [eqn: rmABC]에서 제이코사인법칙에 의하여

[eqn: left(7root 3 right)`^2 = (3x)`^2 + x`^2 - 2 times 3x times x times cos pi over 3]

[eqn: 7x`^2 = 147], [eqn: x`^2 = 21]

[eqn: THEREFORE][eqn: x = root 21][eqn: (because][eqn: x>0])

따라서 선분 [eqn: rmAC]의 길이는 [eqn: bar{rm AC} = root21]

삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 7]일 때, 선분 [eqn: rmAC]의 길이는?

① [eqn: 2 sqrt {5}]	② [eqn: sqrt {21}]	③ [eqn: sqrt {22}]

④ [eqn: sqrt {23}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {6}]

03 수1	07 삼각함수의 활용
02 사인법칙과 코사인법칙의 활용
03 활용3 (코사인법칙의 활용)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 25

[eqn: {{bar{rm AB}} =6}{{from^2020^평가원나^3}}],[eqn: {bar{rm AC}} =10]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 선분 [eqn: rmAC] 위에 점 [eqn: rmD]를 [eqn: {bar{rm AB}} = {bar{rm AD}}]가 되도록 잡는다. [eqn: {bar{rm BD}} = sqrt {15}]일 때, 선분 [eqn: rmBC]의 길이를 [eqn: k]라 하자. [eqn: k ^{2}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 41 }]

[해설]

[eqn: bar{rm AC it}} =10], [eqn: rm {bar{AB}} = {bar{AD}}=6]이므로 [eqn: bar{rm DC it}} =4]이다.

[eqn: rm {bar{BC}} = it k], [eqn: ANGLE \ABD= theta]라 하면 [eqn: ANGLE rm BDC= pi-theta]이고 다음 그림과 같다.

삼각형 [eqn: rm ABD]에서 코사인법칙을 쓰면

[eqn: 6^2 = 6^2 + {sqrt15} ^2 - 2 cdot 6 cdot sqrt15 cdot cos theta]

[eqn: 36=51-12 sqrt {15} `cos theta]	[eqn: cdots cdots] ㉠

삼각형 [eqn: rm BCD]에서 코사인법칙을 쓰면

[eqn: k ^{2} =4 ^{2} + sqrt {15 ^{2}} -2 CDOT 4 CDOT sqrt {15} CDOT cos( pi-theta)]

[eqn: k ^{2} =31+8 sqrt {15}` cos theta]	[eqn: cdots cdots] ㉡

㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: 3 k^2 + 72= 93+102]

[eqn: therefore][eqn: k^ 2 = 41]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 12

[eqn: bar \AB =6,~ bar AC = 10]인 삼각형 [eqn: rm{ABC}]가 있다. 선분 [eqn: rm{AC}] 위에 점 [eqn: rm{D}]를 [eqn: bar \AB = bar AD]가 되도록 잡는다. [eqn: bar \BD = root 15]일 때, 선분 [eqn: rm{BC}]의 길이는?

[정답] ⑤

[해설]

삼각형 [eqn: rm{ABD}]에서 코사인법칙에 대하여

[eqn: cos ` A = { 6^2 + 6^2 - ( root 15 )^2 } over {2 times 6 times 6 } = 57 over 72 = 19 over 24]

이므로 삼각형 [eqn: rm{ABC}]에서 코사인법칙에 대하여

[eqn: {BAR \BC }^2][eqn: = RM {BAR AB} ^2 + {BARCA} ^2 - 2 TIMES BAR AB TIMES BAR CA TIMES cos `A]
[eqn: = 6^2 + 10 ^2 - 2 times 6 times 10 times 19 over 24]
[eqn: = 36+ 100 - 95]
[eqn: = 41]

따라서 [eqn: bar \BC = root 41]

① [eqn: root 37]	② [eqn: root 38]	③ [eqn: root 39]

④ [eqn: 2 root 10]	⑤ [eqn: root 41]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 12

그림과 같이 [eqn: rm bar AB = 4], [eqn: rm bar AC =5`]이고 [eqn: {rm cos } it LEFT ( angle rm BAC RIGHT ) = 1 over 8`]인 삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 선분 [eqn: rm AC] 위의 점 [eqn: rm D`]와 선분 [eqn: rm BC] 위의 점 [eqn: rm E`]에 대하여

[정답] ③

[해설]

[eqn: rm triangle ABC]에서 코사인법칙을 적용하면

[eqn: rm {bar{BC}} ^{2}][eqn: = rm {bar{AB}} ^{2} + {bar{CA}} ^{2} - 2 times barAB times bar CA times cos left( angle rmBAC right)]
[eqn: = 4^2 + 5^2 - 2 times 4 times 5 times 1 over 8]
[eqn: = 1]

[eqn: therefore][eqn: rm bar BC = 6]

[eqn: triangle rm ABD]는 이등변삼각형이므로 [eqn: rm barBD = 4]

[eqn: triangle rm ABD]에서 코사인법칙을 적용하면

[eqn: rm{ bar DB}^2][eqn: = rm {bar AB}^2 + {barAD}^2 - 2 times bar AB times bar AD times cos left( angle rmBAC)]

[eqn: 4^2 = 4^2 + rm {bar AD}^2 - 2 times 4 times {barAD}times 1 over8]

따라서 [eqn: rm barAD = 1], [eqn: rm bar CD = 4]

위의 그림에서 [eqn: triangle rm BCD]는 이등변 삼각형이므로 점 [eqn: rm D]에서 선분 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면 [eqn: rm bar BH = 3]

따라서 피타고라스 정리에 의해 [eqn: rm bar BH = root7]

[eqn: cos left( angle rm BAC right)= cos left( angle rm DEH right) = 1 over 8]이므로

[eqn: sin left( angle rm DEH right)][eqn: = root{ 1- cos^2 ( {rm angle DEH)]
[eqn: =root{ 1- 1over 64]
[eqn: = {3root7 } over 8]

그런데, [eqn: sin left( angle rm DEH right)][eqn: = {rm bar DH} over { rm bar DE} = root7 over { rm bar DE}]이므로 [eqn: root7 over { rm bar DE}][eqn: = {3root7 } over 8]

[eqn: therefore][eqn: bar{ rm DE }= 8 over 3]

[eqn: rm angle BAC = angle BDA = angle BED`]

일 때, 선분 [eqn: rm DE`]의 길이는?

① [eqn: 7 over 3]	② [eqn: 5 over 2]	③ [eqn: 8 over 3]

④ [eqn: 17 over 6]	⑤ [eqn: 3]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 15

두 점 [eqn: rmO _{1} ,~O _{2}]를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: rm {bar{O _{1} O _{2}}}]인 두 원 [eqn: C _{1} ,~C _{2} `]가 있다. 그림과 같이 원 [eqn: C _{1}] 위의 서로 다른 세 점 [eqn: rmA,~B,~C]와 원 [eqn: C _{2}] 위의 점 [eqn: rmD]가 주어져 있고, 세 점 [eqn: rmA,~O _{1} ,~O _{2}]와 세 점 [eqn: rmC,~O _{2} ,~D]가 각각 한 직선 위에 있다.

[정답] ②

[해설]

[eqn: ANGLERMCO_2 O_1 +ANGLERMO_1 O_2 D =pi]이므로 [eqn: theta_3 = pi over2 + theta_2 over2]이고
[eqn: theta _3 = theta_1 +theta _2]에서 [eqn: 2theta_1 +theta_2 =pi]이므로 [eqn: anglermCO_1 B= theta_1]이다.

이때, [eqn: anglermO_2 O_1 B =theta_1 +theta_2 = theta_3]이므로

삼각형 [eqn: rmO_1 O_2 B]와 삼각형 [eqn: RMO_2 O_1 D]는 합동이다.

[eqn: BAR{RMAB}=ITk]라 할 때,

[eqn: {bar{rm BO _{2}}} = {bar{rm O _{1} D}} =2 sqrt {2} itk]이므로

[eqn: {bar{rm AO _{2}}} =it sqrt {k ^{2} +(2 sqrt {2} k) ^{2}} = {BOX{~3k~}}]이고,

[eqn: anglermBO_2 A= theta_1 over2]이므로

[eqn: cos` {theta _{1}} over {2} = {2 sqrt {2} k} over {3k} = {BOX{~ {2 sqrt {2}} over {3} ~}}]이다.

삼각형 [eqn: rmO_2 BC]에서

[eqn: BAR{RMBC}=ITk], [eqn: {bar{rm BO _{2} it}} =2 sqrt {2}k], [eqn: anglerm CO_ 2 B = theta_1 over2]이므로 삼각형 [eqn: rmBO_2 C]에서

[eqn: {bar{rm O _{2} C}} =itx] ([eqn: 0<x< 3k])라 하면

코사인법칙에 의하여

[eqn: k ^{2} =x ^{2} +(2 sqrt {2} k) ^{2} -2 TIMES x TIMES 2 sqrt {2} k TIMES cos` {theta _{1}} over {2}]

[eqn: k^2 = x^2 +(2root2 k)^2 -2times x times 2root2 k times {2root2 }over3]

[eqn: 3x^2 -16kx +21k^2 =0]

[eqn: (3x-7k)(x-3k)=0]

[eqn: 0<x<3k]이므로

[eqn: x= 7 over3 k]

즉, [eqn: {bar{rm O _{2} C}} =it {BOX{~ {7} over {3} k~}}]이다.

[eqn: bar{RmCD}= BAR{RMO_2 D}+BAR{RMO_2 C}= BAR{RMO_1 O_2 }+BAR{RMO_2 C}]이므로

[eqn: {bar{rm AB it}} `:` {bar{rm CD it}} =k`:` LEFT ( {{BOX{~3k~}}} over {2} + {BOX{~ {7} over {3} k~}} RIGHT )]이다.

이상에서

[eqn: f(k)=3k], [eqn: g(k)= 7 over3 k], [eqn: p= {2root2 }over3]

이므로

[eqn: f(p)times g(p)]

[eqn: = LEFT ( 3 times {2root2}over3 RIGHT )times LEFT ( 7 over3 times {2root2}over3 RIGHT )]

[eqn: = 56over9]

이때 [eqn: {rmANGLE BO _{1} A}=theta _{1}], [eqn: {rmANGLE O _{2} O _{1} C}=theta _{2}], [eqn: rm ANGLE O _{1} O _{2} D it = theta _{3}]이라 하자.

다음은 [eqn: rm {bar{AB}} `:` {bar{O _{1} D}} =1`:`2 sqrt {2}]이고 [eqn: theta _{3} =theta _{1} +theta _{2}]일 때, 선분 [eqn: rmAB]와 선분 [eqn: rmCD]의 길이의 비를 구하는 과정이다.

[eqn: rm ANGLE CO _{2} O _{1} + ANGLE O _{1} O _{2} D` it = pi]이므로 [eqn: theta _{3} = {pi} over {2} + {theta _{2}} over {2}]이고 [eqn: theta _{3} =theta _{1} +theta _{2}]에서 [eqn: 2theta _{1} +theta _{2} =pi]이므로 [eqn: rm ANGLE CO _{1} B it `= theta _{1}]이다.

이때 [eqn: rm ANGLE O _{2} O _{1} B` it = theta _{1} + theta _{2} = theta _{3}]이므로 삼각형 [eqn: rmO _{1} O _{2} B]와 삼각형 [eqn: rm O _{2} O _{1} D]는 합동이다.

[eqn: rm {bar{AB}} =itk]라 할 때

[eqn: rm {bar{BO _{2}}} = {bar{O _{1} D}} =it2 sqrt {2} k]이므로 [eqn: rm {bar{AO _{2}}} = {BOX{~~㈎~~}} `]이고,

[eqn: {rmANGLE BO _{2} A}= {theta _{1}} over {2}]이므로 [eqn: cos` {theta _{1}} over {2} = {BOX{~~㈏~~}} `]이다.

삼각형 [eqn: rmO _{2} BC]에서

[eqn: rm {bar{BC}} it =k,~ rm {bar{BO _{2}}} it =2 sqrt {2} k,~ rm ANGLE CO _{2} B it `= {theta _{1}} over {2}]이므로

코사인법칙에 의하여 [eqn: rm {bar{O _{2} C}} = {BOX{~~㈐~~}} `]이다.

[eqn: rm {bar{CD}} = {bar{O _{2} D}} + {bar{O _{2} C}} = {bar{O _{1} O _{2}}} + {bar{O _{2} C}}]이므로

[eqn: rm {bar{AB}} `:` {bar{CD}} =itk`:` LEFT ( {{BOX{~~㈎~~}}} over {2} + {BOX{~~㈐~~}} RIGHT )]이다.

위의 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) ,~g LEFT ( k RIGHT )]라 하고, (나)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 할 때, [eqn: f LEFT ( p RIGHT ) TIMES g LEFT ( p RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {169} over {27}]	② [eqn: {56} over {9}]	③ [eqn: {167} over {27}]

④ [eqn: {166} over {27}]	⑤ [eqn: {55} over {9}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 10

그림과 같이 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=3], [eqn: overline{{rm{BC}} it }=2], [eqn: overline{{rm{AC}} it }>3]이고 [eqn: cos ( angle {rm{BAC}} it )={7} over {8}]인 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]가 있다. 선분 [eqn: {rm{AC}} it]의 중점을 [eqn: {rm{M}} it], 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 외접원이 직선 [eqn: {rm{BM}} it]과 만나는 점 중 [eqn: {rm{B}} it]가 아닌 점을 [eqn: {rm{D}} it]라 할 때, 선분 [eqn: {rm{MD}} it]의 길이는?

[정답] ③

[해설]

[eqn: angle {rm{BAC}} it = theta], [eqn: overline{{rm{AC}} it }=a]라 하면 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rm BC it}} ^{2} = {bar{rm AB}} ^{2} + {bar{rm AC}} ^{2} -2 TIMES {bar{rm AB it}} TIMES {bar{rm AC it}} TIMES `cos theta]

즉,

[eqn: 2^{2}=3^{2}+a^{2}-2 times 3 times a times {7} over {8}]

[eqn: a^{2}-{21} over {4} a+5=0]

[eqn: 4 a^{2}-21 a+20=0]

[eqn: (4 a-5)(a-4)=0]

따라서 조건에서 [eqn: a>3]이므로 [eqn: a=4]

[eqn: overline{{rm{AM}} it }= overline{{rm{CM}} it }={a} over {2}=2]

같은 방법으로 삼각형 [eqn: {rm{ABM}} it]에서 코사인

법칙에 의하여

[eqn: {bar{rm MB}} ^{2} = {bar{rm AB}} ^{2} + {bar{rm AM it}} ^{2} -2 TIMES {bar{rm AB it}} TIMES {bar{rm AM it}} TIMES `cos theta]

[eqn: =3^{2}+2^{2}-2 times 3 times 2 times {7} over {8}]

[eqn: ={5} over {2}]

이므로

[eqn: overline{{rm{MB}} it }= sqrt{{5} over {2}}={ sqrt{10}} over {2}]

이때 두 삼각형 [eqn: {rm{ABM}} it], [eqn: {rm{DCM}} it]은 서로 닮

은 도형이므로

[eqn: overline{{rm{MA}} it } times overline{{rm{MC}} it }= overline{{rm{MB}} it } times overline{{rm{MD}} it }]

에서

[eqn: 2 times 2={ sqrt{10}} over {2} times overline{{rm{MD}} it }]

따라서

[eqn: overline{{rm{MD}} it }={8} over { sqrt{10}}={4 sqrt{10}} over {5}]

① [eqn: {3 sqrt{10}} over {5}]	② [eqn: {7 sqrt{10}} over {10}]	③ [eqn: {4 sqrt{10}} over {5}]

④ [eqn: {9 sqrt{10}} over {10}]	⑤ [eqn: sqrt{10}]

03 수1	07 삼각함수의 활용
02 사인법칙과 코사인법칙의 활용
04 활용4 (사인법칙과 코사인법칙의 활용)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 12

반지름의 길이가 [eqn: {2 sqrt {7}}{{from^2021^09^평가원^중}}]인 원에 내접하고 [eqn: anglermA= {pi} over {3}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 점 [eqn: rmA]를 포함하지 않는 호 [eqn: rmBC] 위의 점 [eqn: rmD]에 대하여 [eqn: sin LEFT ( anglermBCD RIGHT ) = {2 sqrt {7}} over {7}]일 때, [eqn: bar{rmBD}+bar{rmCD]의 값은?

[정답] ②

[해설]

삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 2 sqrt {7}]이므로 사인법칙에 의하여 [eqn: {bar{rmBC}} over {sin LEFT ( anglermBAC RIGHT )} =4 sqrt {7}]

즉, [eqn: bar{rmBC}][eqn: =sin {pi} over {3} times4 sqrt {7}][eqn: = {sqrt {3}} over {2} times4 sqrt {7} =2 sqrt {21}]

또, 삼각형 [eqn: rmBCD]의 외접원의 반지름의 길이도 [eqn: 2 sqrt {7}]이므로 삼각형 [eqn: rmBCD]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{RmBD}} over {sin LEFT ( anglermBCD RIGHT )} =4 sqrt {7}]

즉, [eqn: bar{RmBD}][eqn: =sin LEFT ( anglermBCD RIGHT ) times4 sqrt {7}][eqn: = {2 sqrt {7}} over {7} times4 sqrt {7}][eqn: =8]

한편, [eqn: anglermBDC=pi-anglermBAC= {2} over {3} pi]이므로 [eqn: bar{rmCD}=x]라 하면 삼각형 [eqn: rmBCD]에서 코사인 법칙에 의하여

[eqn: LEFT ( 2 sqrt {21} RIGHT ) ^{2} =x ^{2} +8 ^{2} -2 TIMES x times8 TIMES cos {2} over {3} pi]

[eqn: x ^{2} +8x-20=0], [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+10 RIGHT ) =0]

[eqn: x>0]이므로 [eqn: x=2]

즉, [eqn: bar{RmCD}=2]

따라서 [eqn: bar{rmBD}+bar{rmCD}=8+2=10]

① [eqn: {19} over {2}]	② [eqn: 10]	③ [eqn: {21} over {2}]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: {23} over {2}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 21

그림과 같이 한 평면 위에 있는 두 삼각형 [eqn: rm ABC], [eqn: rmACD `]의 외심을 각각 [eqn: rm O], [eqn: rmO' `]이라 하고 [eqn: rm angle ABC = alpha], [eqn: rmangle ADC = beta `]라 할 때,

[정답] [eqn: bold26]

[해설]

[eqn: {sin beta} over { sin alpha} = 3 over2]이므로 사인법칙에 의하여 두 원의 반지름의 길이의 비는 [eqn: 3 `:`2]이다.

각각의 반지름의 길이를 [eqn: 3r], [eqn: 2r]라 하면 삼각형 [eqn: rm AOO']에서 코사인법칙에서

[eqn: 1 = 9r^2 + 4r^2 - 12r^2 cos ( pi - ( alpha+ beta))][eqn: = 17r^2]

[eqn: r^2 = 1 over17],

[eqn: THEREFORE][eqn: S= 9r^2 pi][eqn: = 9 over17 pi], [eqn: p+q=26]

[eqn: {sin` beta} over {sin` alpha} = 3 over 2], [eqn: cos` LEFT ( alpha + beta RIGHT ) = 1 over 3], [eqn: rm bar {OO'} = 1]

이 성립한다. 삼각형 [eqn: rm ABC `]의 외접원의 넓이가 [eqn: q over p pi `]일 때, [eqn: p + q `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p `]와 [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[수학1] [삼각함수] 평가원 최근 10개년(빠른 정답)
년도별경향	2022.12.18

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 6 }]

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ④

[정답] [eqn: BOLD7]

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ②

[정답] [eqn: bold { 21 }]

[정답] ②

[정답] [eqn: bold { 41 }]

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ②

[정답] [eqn: bold26]

[수학1] [삼각함수] 평가원 최근 10개년(해설)
년도별경향	2022.12.18