		유형별한글	2022.12.17
유형별한글	05	[확통] 사관학교 최근5개년

05 확통	01 여러가지순열
02 원순열
01 원순열1 (원순열)

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05		[확통] 사관학교 최근5개년

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	[확통] 사관학교 최근5개년		05

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 24

숫자 [eqn: {1}{{from^2021^7월 사관학교^중}}], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6]개의 공이 있다. 이 [eqn: 6]개의 공을 일정한 간격을 두고 원형으로 배열할 때, [eqn: 3]의 배수가 적혀 있는 두 공이 서로 이웃하도록 배열하는 경우의 수는?
(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

[정답] ①

[해설]

[eqn: 3,````6]이 이웃하므로 한 덩어리로 묶어 원탁에 나열하면 [eqn: 4!]

[eqn: 3,````6]이 서로 자리를 바꿀 수 있으므로 [eqn: 2!]

따라서 구하고자 하는 경우의 수는

[eqn: 4!`times`2!][eqn: =48]

① [eqn: 48]	② [eqn: 54]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 66]	⑤ [eqn: 72]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 6

그림과 같이 원형 탁자에 [eqn: {7}{{from^2020^08^사관고3가^중}}]개의 의자가 일정한 간격으로 놓여 있다. [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]를 포함한 [eqn: 7]명의 학생이 모두 이 [eqn: 7]개의 의자에 앉으려고 할 때, [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]세 명 중 어느 두 명도 서로 이웃하지 않도록 앉는 경우의 수는?
(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

[정답] ④

[해설]

먼저 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]를 제외한 [eqn: 4]사람을 먼저 원순열로 배치한다.

따라서 그 경우는 [eqn: (4-1)! = 6](가지)

[eqn: 4]명 사이에 [eqn: 3]곳을 택하여 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]가 끼워 들어간다.

따라서 경우는 [eqn: ` _{4}rm P _{3} =24](가지)

따라서 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]세 명 중 어느 두 명도 서로 이웃하지 않도록 앉는 경우의 수는 [eqn: 6 times 25 =144](가지)

① [eqn: 108]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 132]

④ [eqn: 144]	⑤ [eqn: 156]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 26

세 학생 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]를 포함한 [eqn: 6`]명의 학생이 있다. 이 [eqn: 6`]명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 모두 둘러앉을 때, [eqn: rmA`]와 [eqn: rmC`]는 이웃하지 않고, [eqn: rmB`]와 [eqn: rmC`]도 이웃하지 않도록 앉는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

[정답] ③

[해설]

[eqn: rmA]와 [eqn: rmC]가 이웃하지 않고, [eqn: rmB]와 [eqn: rmC]도 이웃하지 않는 경우는

(ⅰ) [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 이웃하면서 위의 조건을 만족하는 경우와

(ⅱ) [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC] 모두 이웃하지 않는 경우

로 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 이웃하는 경우
[eqn: left(rmA,``B right)]와 [eqn: rmC]가 이웃하지 않아야 하므로

(1) [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]를 제외한 [eqn: 3]명을 원 모양의 탁자에 배열하는 경우의 수 [eqn: 2!]

(2) 배열된 [eqn: 3]명의 사이사이의 [eqn: 3]자리 중 [eqn: 2]자리에 [eqn: left(rmA,``B right)]와 [eqn: rmC]를 배열하는 경우의 수 [eqn: `_3 rmP_2]

(3) [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 자리를 바꾸는 경우의 수 [eqn: 2!]

이상에서 구하는 경우의 수는
[eqn: 2! times_3 rmP_2 times2! =24]

(ⅱ) [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC] 모두 이웃하지 않는 경우

(1) [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]를 제외한 [eqn: 3]명을 원 모양의 탁자에 배열하는 경우의 수 [eqn: 2!]

(2) 배열된 [eqn: 3]명의 사이사이에 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]를 배열하는 경우의 수 [eqn: 3!]

이상에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 2! times3! =12]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는 [eqn: 24+12=36]이다.

[다른 풀이]

[eqn: 6]명을 원 모양의 탁자에서 배열하는 경우의 수는 [eqn: 5! =120]

[eqn: rmA]와 [eqn: rmC]가 이웃하지 않고, [eqn: rmB]와 [eqn: rmC]도 이웃하지 않는 경우의 여사건은 [eqn: rmA]와 [eqn: rmC]가 이웃하거나 [eqn: rmB]와 [eqn: rmC]가 이웃하는 경우이다.

[eqn: rmA]와 [eqn: rmC]가 이웃하는 경우의 수는 [eqn: 4! times2! =48]

[eqn: rmB]와 [eqn: rmC]가 이웃하는 경우의 수는 [eqn: 4! times2! =48]

[eqn: rmA]와 [eqn: rmC]가 이웃하면서 [eqn: rmB]와 [eqn: rmC]도 이웃하는 경우의 수는 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB] 사이에 [eqn: rmC]가 와야 하므로 [eqn: 2! times3! =12]

따라서 [eqn: rmA]와 [eqn: rmC]가 이웃하거나 [eqn: rmB]와 [eqn: rmC]가 이웃하는 경우의 수는

[eqn: 48+48-12=84]

이므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 120-84=36]이다.

① [eqn: 24]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 48]

05 확통	01 여러가지순열
02 원순열
03 원순열3 (색칠)

다음 그림은 중심이 같은 두 원 사이를 [eqn: 6]등분한 도형이다. 서로 다른 [eqn: 7]개의 색을 모두 사용하여 이 도형의 각 영역을 칠하는 경우의 수는? (단, 한 영역에는 한 가지 색만 칠하고, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다)

[정답] ③

[해설]

가운데 색을 칠하는 경우의 수는 [eqn: 7]

나머지 색을 칠하는 경우의 수는 [eqn: (6-1)!``=120]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 7times120=840]

① [eqn: 600]	② [eqn: 720]	③ [eqn: 840]

④ [eqn: 960]	⑤ [eqn: 1080]

다음 그림과 같이 크기가 정삼각형으로 이루어진 [eqn: 4]개의 영역을 빨강, 주황, 노랑, 초록, 파랑, 보라의 [eqn: 6]가지 색 중 [eqn: 4]가지의 색을 택하고, 선택한 색을 모두 사용하여 칠하는 경우의 수는?

[정답] ③

[해설]

[eqn: 6]가지 색 중 [eqn: 4]가지 색을 고르는 경우의 수 [eqn: rm{}_6 C_4][eqn: =15]

가운데 들어갈 색을 고르는 경우 [eqn: rm{}_4 C_1][eqn: =4]

나머지 색을 배열하는 경우 [eqn: 2!][eqn: =2]

따라서 [eqn: 15 times 4 times 2 = 120]

(단, 한 영역에 한 가지의 색만 칠하고, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

① [eqn: 100]	② [eqn: 110]	③ [eqn: 120]

④ [eqn: 130]	⑤ [eqn: 140]

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 20
[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 18

[그림 1]과 같이 [eqn: rm 5]개의 스티커 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it], [eqn: {rm{E}} it]는 각각 흰색 또는 회색으로 칠해진 [eqn: rm 9]개의 정사각형으로 이루어져 있다. 이 [eqn: rm 5]개의 스티커를 모두 사용하여 [그림 2]의 [eqn: rm 45]개의 정사각형으로 이루어진  모양의 판에 빈틈없이 붙여 문양을 만들려고 한다. [그림 3]은 스티커 [eqn: RMB]를  모양의 판의 중앙에 붙여 만든 문양의 한 예이다.

[정답] ①

[해설]

[eqn: {rm{A}} it]와 [eqn: {rm{E}} it]는 회전하면 모두 일치하고, [eqn: -1]가지

[eqn: {rm{B}} it]와 [eqn: {rm{C}} it]는 회전하면 모두 놓인 모양이 다르고, [eqn: -4]가지

[eqn: {rm{D}} it]는 회전하여 다른 경우는 [eqn: rm 2]가지이다. [eqn: -2]가지

(ⅰ) 중앙에 [eqn: {rm{A}} it] 또는 [eqn: {rm{E}} it]를 붙인 경우
나머지 [eqn: rm 4]개는 원순열에 의하여 [eqn: rm 3]! 인데, 각각의 경우 회전하여 다른 경우의 수를 따지면 [eqn: 1 times 2 times 4 times 4=32] 그러므로 [eqn: 2 times 3 ! times 32=384]

(ⅱ) 중앙에 [eqn: {rm{B}} it] 또는 [eqn: {rm{C}} it]를 붙인 경우
네 방향이 모두 상대적으로 다른 모양이므로
나머지 [eqn: rm 4]개를 놓는 경우의 수는 [eqn: rm 4]!
각각의 경우 회전하여 다른 경우의 수를 따지면 [eqn: 1 times 1 times 2 times 4=8]
그러므로 [eqn: 2 times 4 ! times 8=384]

(ⅲ) 중앙에 [eqn: rm D]를 붙인 경우
나머지 [eqn: rm 4]개는 회전하여 일치하는 경우가 [eqn: rm 2]방향이므로 [eqn: {4 !} over {2}=12]
각각의 경우 회전하여 다른 경우의 수를 따지면 [eqn: 1 times 1 times 4 times 4=16]
그러므로 [eqn: 12 times 16=192]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 서로 다른 문양의 개수는 [eqn: 384+384+192=960]

(가) [eqn: =a=24], (나) [eqn: =b=12], (다) [eqn: =c=16]

[eqn: therefore~a+b+c=24+12+16=52]

다음은 [eqn: rm 5]개의 스티커를 모두 사용하여 만들 수 있는 서로 다른 문양의 개수를 구하는 과정의 일부이다. (단, 모양의 판을 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

모양의 판의 중앙에 붙이는 스티커에 따라 다음과 같이 [eqn: 3]가지 경우로 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: {rm{A}} it] 또는 [eqn: {rm{E}} it]를 붙이는 경우
나머지 [eqn: rm 4]개의 스티커를 붙일 위치를 정하는 경우의 수는 [eqn: rm 3]!
이 각각에 대하여 [eqn: rm 4]개의 스티커를 붙이는 경우의 수는 [eqn: 1 times 2 times 4 times 4]
그러므로 이 경우의 수는 [eqn: 2 times 3 ! times 32]

(ⅱ) [eqn: {rm{B}} it] 또는 [eqn: {rm{C}} it]를 붙이는 경우
나머지 [eqn: rm 4]개의 스티커를 붙일 위치를 정하는 경우의 수는 [eqn: box{`` (가) ``}]
이 각각에 대하여 [eqn: rm 4]개의 스티커를 붙이는 경우의 수는 [eqn: 1 times 1 times 2 times 4]
그러므로 이 경우의 수는 [eqn: 2 TIMES][eqn: box{`` (가) ``}][eqn: times 8]

(ⅲ) [eqn: {rm{D}} it]를 붙이는 경우
나머지 [eqn: rm 4]개
의 스티커를 붙일 위치를 정하는 경우의 수는 [eqn: box{`` (나) ``}]
이 각각에 대하여 [eqn: rm 4]개의 스티커를 붙이는 경우의 수는 [eqn: {BOX{``(다)``}}]
그러므로 이 경우의 수는 [eqn: box{`` (나) ``}][eqn: times][eqn: {BOX{``(다)``}}]

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 할 때, [eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: rm 52]	② [eqn: rm 54]	③ [eqn: rm 56]

④ [eqn: rm 58]	⑤ [eqn: rm 60]

05 확통	01 여러가지순열
03 같은 것을 포함한 순열
07 같은 것을 포함한 순열7 (점의 이동)

다음 그림과 같은 도로망이 있다. 화살표 방향을 따라 지점 [eqn: rm A it]에서 지점 [eqn: rm B it]까지 가는 모든 경로의 수를 구하시오.

[정답] [eqn: 63]

[해설]

오른쪽으로 한 칸, 위로 한 칸, 대각선으로 한 칸 가는 것을 각각 [eqn: a ,``b ,``c]라고 하면 지점 [eqn: rm A it]에서 지점 [eqn: rm B it]까지 가는 모든 경로의 수는 다음과 같다.

(ⅰ) 대각선을 [eqn: 0]번 이용하는 경우는 [eqn: a ,``a ,``a ,``b ,``b ,``b]를 배열하는 것과 같으므로 그 경우의 수는 [eqn: {6!} over {3!times3!} = it 20]

(ⅱ) 대각선을 [eqn: 1]번 이용하는 경우는 [eqn: a ,``a ,``b ,``b ,``c]를 배열하는 것과 같으므로 그 경우의 수는 [eqn: {5!} over {2!times2!} =30]

(ⅲ) 대각선을 [eqn: 2]번 이용하는 경우는 [eqn: a ,``b ,``c ,``c]를 배열하는 것과 같으므로 그 경우의 수는 [eqn: {4!} over {2!} =12]

(ⅳ) 대각선을 [eqn: 3]번 이용하는 경우는 [eqn: c ,``c ,``c]를 배열하는 것과 같으므로 그 경우의 수는 [eqn: 1]

(ⅰ)~(ⅳ)에서 구하는 모든 경로의 수는 [eqn: 20+30+12+1=63]

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 27

한 번 누를 때마다 좌표평면 위의 점 [eqn: {rmP}]를 다음과 같이 이동시키는 두 버튼 ㉠, ㉡이 있다.

[정답] [eqn: 14]

[해설]

㉠, ㉡ 버튼의 사용횟수를 각각 [eqn: a], [eqn: b]라 하면

O[eqn: ->]C : [eqn: a+2b = 9], [eqn: a+b = 7]이므로

[eqn: a = 5], [eqn: b = 2] --- [eqn: 7! over{ 5! 2!} = 21]가지

O[eqn: ->]A[eqn: ->]C : [eqn: a+2b = 5], [eqn: a+b = 5]

[eqn: a = 5], [eqn: b = 0] --- 1 가지

O[eqn: ->]B[eqn: ->]C : [eqn: a+2b = 6], [eqn: a+b = 4]

[eqn: a = 2], [eqn: b = 2] --- [eqn: 4! over{ 2! 2!]=[eqn: 6] 가지

[eqn: THEREFORE][eqn: 21 - ( 1+ 6) = 14]

[버튼 ㉠] 그림과 같이 길이가 [eqn: sqrt 2]인 선분을 따라 점 [eqn: (x,``` y)]에 있는 점 [eqn: {rmP}]를 점 [eqn: (x + 1,``` y + 1)]로 이동시킨다.

[버튼 ㉡] 그림과 같이 길이가 [eqn: sqrt 5]인 선분을 따라 점 [eqn: (x,``` y)]에 있는 점 [eqn: {rmP}]를 점 [eqn: (x + 2,``` y + 1)]로 이동시킨다.

예를 들어, 버튼을 ㉠, ㉠, ㉡ 순으로 누르면 원점 [eqn: (0,``` 0)]에 있는 점 [eqn: {rmP}]는 아래 그림과 같이 세 선분을 따라 점 [eqn: (4,``` 3)]으로 이동한다. 또한 원점 [eqn: (0,``` 0)]에 있는 점 [eqn: {rmP}]를 점 [eqn: (4,``` 3)]으로 이동시키도록 버튼을 누르는 경우는 ㉠㉠㉡, ㉠㉡㉠, ㉡㉠㉠으로 [eqn: 3]가지이다.

원점 [eqn: (0,``` 0)]에 있는 점 [eqn: {rmP}]를 두 점 [eqn: {rmA}(5,``` 5)], [eqn: {rmB}(6,``` 4)]중 어느 점도 지나지 않고 점 [eqn: {rmC}(9,``` 7)]로 이동시키도록 두 버튼 ㉠, ㉡을 누르는 경우의 수를 구하시오.

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형에 한 개의 대각선을 그은 도형들로 이루어진 판이 있다. 글자 ‘정’, ‘동’, ‘북’, ‘동북’이 하나씩 적힌 카드가 각각 [eqn: 2]장 이상씩 있다. 이 카드 중에서 한 장의 카드를 꺼내어 그 카드에 적힌 글자에 따라 [eqn: \O]지점에 있는 말이 판의 선을 따라 움직인다. 말은 ‘정’이 나오면 움직이지 않고, ‘동’이 나오면 오른쪽으로 [eqn: 1]만큼, ‘북’이 나오면 위쪽으로 [eqn: 1]만큼, ‘동북’이 나오면 정사각형의 대각선을 따라 [eqn: sqrt {2}]만큼 오른쪽 위로 움직인다. 카드를 한 장씩 [eqn: 4]번 꺼내어 말을 움직였을 때, [eqn: \O]지점에 있는 말이 [eqn: \P]지점까지 가는 경우의 수를 구하시오.

[정답] [eqn: bold{36}]

[해설]

카드를 한 장씩 [eqn: 4]번 꺼내어 말을 움직였을 때, [eqn: \O]지점에 있는 말이 [eqn: \P]지점까지 가는 경우는 ‘동’, ‘북’이 적힌 카드가 각각 [eqn: 2]번씩 나오는 경우와 ‘정’, ‘동’, ‘북’, ‘동북’이 적힌 카드가 각각 한 번씩 나오는 경우와 ‘정’, ‘동북’이 적힌 카드가 각각 [eqn: 2]번씩 나오는 경우의 세 가지가 있다.

(ⅰ) ‘동’, ‘북’이 적힌 카드가 각각 [eqn: 2]번씩 나오는 경우
동, 동, 북, 북을 일렬로 나열하는 경우의 수는
[eqn: {4!} over {2!2!} =6]

(ⅱ) ‘정’, ‘동’, ‘북’, ‘동북’이 적힌 카드가 각각 [eqn: 1]번씩 나오는 경우
정, 동, 북, 동북을 일렬로 나열하는 경우의 수는
[eqn: 4! =24]

(ⅲ) ‘정’, ‘동북’이 적힌 카드가 각각 [eqn: 2]번씩 나오는 경우
정, 정, 동북, 동북을 일렬로 나열하는 경우의 수는
[eqn: {4!} over {2!2!} =6]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 6+24+6=36]

05 확통	02 중복조합
01 중복조합
02 중복조합2 (기본적인 중복조합 적용)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 9

다섯 개의 자연수 [eqn: {1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 ,```` 5}{{from^2020^08^사관고3가^중}}]중에서 중복을 허락하여 [eqn: 3]개의 수를 택할 때, 택한 세 수의 곱이 [eqn: 6]이상인 경우의 수는?

[정답] ④

[해설]

모든 경우의 수는 [eqn: {rm {} _{5} H _{3} = _{7} C _{3} =35]

택한 세 수의 곱이 [eqn: 6]미만인 경우는

[eqn: LEFT ( 1 ,```` 1 ,```` 1 RIGHT ) ,```` LEFT ( 1 ,```` 1 ,```` 2 RIGHT ) ,```` LEFT ( 1 ,```` 1 ,```` 3 RIGHT ) ,```` LEFT ( 1 ,```` 1 ,```` 4 RIGHT ) ,]

[eqn: LEFT ( 1 ,```` 1 ,```` 5 RIGHT ) ,```` LEFT ( 1 ,```` 2 ,```` 2 RIGHT )]

즉, [eqn: 6]가지

택한 세 수의 곱이 [eqn: 6]이상인 경우의 수는 모든 경우에서 [eqn: 6]미만이 나오는 경우를 빼면 되므로 [eqn: 35-6=29]

① [eqn: 23]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 27]

④ [eqn: 29]	⑤ [eqn: 31]

같은 종류의 사탕 [eqn: 6]개를 [eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 6]개의 빈 접시에 남김없이 나누어 담으려고 한다. 사탕이 담겨진 접시에 적힌 수의 합이 [eqn: 7]이상 [eqn: 17]이하가 되도록 사탕을 접시에 나누어 담는 경우의 수를 구하시오.

[정답] [eqn: 390]

[해설]

같은 종류의 사탕 [eqn: 6]개를 서로 구별되는 [eqn: 6]개의 접시에 남김없이 담는 경우의 수는 서로 다른 접시 [eqn: 6]개에서 중복을 허락하여 [eqn: 6]개를 택하는 경우의 수와 같으므로

[eqn: {}_6 rmH_6 = _ 6+6-1 C_6 = _11 C _6 = _11 C _5 = { 11 TIMES10 TIMES9 TIMES8 TIMES7 } OVER {5 TIMES 4 TIMES3 TIMES 2 TIMES1 }=462]

각 접시에 적힌 수를 접시의 번호라 하자.

(ⅰ) 사탕이 담겨진 접시에 적힌 번호의 합이 [eqn: 6]이하가 되는 경우는 다음과 같다.

① [eqn: 1]개의 접시에 사탕을 모두 담는 경우
[eqn: 6]가지

② [eqn: 2]개의 접시에 사탕을 모두 담는 경우
[eqn: 1]번과 [eqn: 2]번, [eqn: 1]번과 [eqn: 3]번, [eqn: 1]번과 [eqn: 4]번, [eqn: 1]번과 [eqn: 5]번, [eqn: 2]번과 [eqn: 3]번, [eqn: 2]번과 [eqn: 4]번 접시에 담는 [eqn: 6]가지
택한 [eqn: 2]개의 접시에 사탕을 모두 담는 경우의 수는 [eqn: 2]개의 접시에 사탕을 하나씩 놓고 남은 [eqn: 4]개의 사탕을 중복을 허락하여 [eqn: 2]개의 접시에 모두 담는 경우의 수이므로
[eqn: `_2 RMH _4 = _2+4-1 C _4 = _5 C _4 = _5 C_1 =5]
따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 6 TIMES5=30]

③ [eqn: 3]개의 접시에 사탕을 모두 담는 경우
[eqn: 1]번과 [eqn: 2]번과 [eqn: 3]번 접시에 담는 [eqn: 1]가지
[eqn: 1]번과 [eqn: 2]번과 [eqn: 3]번 접시에 사탕을 모두 담는 경우의 수는 [eqn: 1]번과 [eqn: 2]번과 [eqn: 3]번 접시에 사탕을 하나씩 놓고 남은 [eqn: 3]개의 사탕을 중복을 허락하여 [eqn: 1]번과 [eqn: 2]번과 [eqn: 3]번 접시에 모두 담는 경우의 수이므로
[eqn: {{}_3RM H _3 = _3+3-1 C _3 = _5 C _3 = _5 C_2 =10]
따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 1 TIMES 10=10]

(ⅱ) 사탕이 담겨진 접시에 적힌 번호의 합이 18 이상이 되는 경우는 다음과 같다.

① [eqn: 6]개의 접시에 사탕을 모두 담는 경우
[eqn: 1+2+3+4+5+6=21]이므로 [eqn: 1]가지

② [eqn: 5]개의 접시에 사탕을 모두 담는 경우
[eqn: 1]번을 제외한 [eqn: 5]개, [eqn: 2]번을 제외한 [eqn: 5]개, [eqn: 3]번을 제외한 [eqn: 5]개의 접시에 담는 [eqn: 3]가지.
택한 [eqn: 1]개의 접시를 제외한 [eqn: 5]개의 접시에 사탕을 모두 담는 경우의 수는 [eqn: 5]개의 접시에 사탕을 하나씩 놓고 남은 [eqn: 1]개의 사탕을 [eqn: 5]개의 접시 중 하나에 담는 경우의 수이므로
[eqn: `_5 RMC_1 = 5]
따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 5 =15]

③ [eqn: 4]개의 접시에 사탕을 모두 담는 경우
[eqn: 1]번과 [eqn: 2]번을 제외한 [eqn: 4]개의 접시에 담는 [eqn: 1]가지
[eqn: 1]번과 [eqn: 2]번을 제외한 [eqn: 4]개의 접시에 사탕을 모두 담는 경우의 수는 [eqn: 4]개의 접시에 사탕을 하나씩 놓고 남은 [eqn: 2]개의 사탕을 중복을 허락하여 [eqn: 4]개의 접시에 담는 경우의 수이므로
[eqn: `_4 RMH_2 = _4+2-1 C _2 = _5 C _2 =10]
따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 1 TIMES10=10]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 462-(6+30+10)-(1+15+10)=390]

(단, 사탕을 하나도 담지 않는 접시가 있을 수 있다.)

05 확통	02 중복조합
01 중복조합
03 중복조합3 (개수조건)

같은 종류의 사탕 [eqn: 9]개를 네 명의 학생 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]에게 모두 나누어 줄 때, 한 개도 받지 못하는 사람이 두 명 이상 생기는 경우의 수는?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: rm A], [eqn: rm `B], [eqn: rm `C], [eqn: rm `D]가 가질 수 있는 개수를 각각 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: w]라고 하면

사탕 [eqn: 9]개를 네 명의 학생에게 나누어주는 경우의 수는 [eqn: x+y+z+w=9]의 해의 개수와 같으므로

[eqn: {}_4 rmH_9 = {}_12 C_9 ={}_12 rmC_3 = 220]

(ⅰ) 한 개도 받지 못한 사람이 [eqn: 0]명인 경우
모두 한 개씩 받아야하므로
[eqn: x+y+z+w =9] ([eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: w]는 자연수)의 해의 개수와 같다.
[eqn: {}_4 rmH_5 = {}_8 rmC_5 = {}_8 rmC_3 = 56]

(ⅱ) 한 개도 받지 못한 사람이 [eqn: 1]명인 경우
네 사람 중 한 개도 받지 못한 사람을 선택할 경우의 수 [eqn: {}_4 rmC_1 =4]
[eqn: x=0]이라 하면, [eqn: y+z+w = 9] ([eqn: y], [eqn: z], [eqn: w]는 자연수)의 해의 개수 [eqn: {}_3 rmH_6 = {}_8 rmC_6 = {}_8 rmC_2 = 28]
[eqn: therefore ~4 times 28 = 112]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 220-56-112=52]

① [eqn: 48]	② [eqn: 49]	③ [eqn: 50]

④ [eqn: 51]	⑤ [eqn: 52]

갈치, 고등어, 병어, 꽁치 네 종류의 생선 중에서 [eqn: 10]마리를 구입 할 때, 고등어는 [eqn: 1]마리 이하로 구입하는 경우의 수를 구하시오. (단, 각 종류의 생선은 [eqn: 10]마리 이상씩 있고, 구입하지 않은 종류의 생선이 있을 수 있다.)

[정답] [eqn: bold { 121 }]

[해설]

(ⅰ) 고등어를 [eqn: 1]마리 구입하는 경우
갈치, 병어, 꽁치 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 9]마리를 구입하면 되므로 서로 다른 [eqn: 3]개에서 [eqn: 9]개를 택하는 중복조합의 수와 같다.
즉,

[eqn: {rm {}_3 H_9][eqn: {rm = {}_3+9-1 C_9]
[eqn: {rm = {}_11 C_9][eqn: {rm = {}_11 C_2]
[eqn: = 11times10 over 2times1 = 55]

(ⅱ) 고등어를 [eqn: 1]마리도 구입하지 않는 경우
갈치, 병어, 꽁치 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 10]마리를 구입하면 되므로 서로 다른 [eqn: 3]개에서 [eqn: 10]개를 택하는 중복조합의 수와 같다.
즉,

[eqn: {rm {}_3 H_10][eqn: {rm = {}_3+10-1 C_10]
[eqn: {rm = {}_12 C_10][eqn: {rm = {}_12 C_2]
[eqn: = 12times11 over 2times1 = 66]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 55+66=121]

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 18

흰색 탁구공 [eqn: rm 3]개와 주황색 탁구공 [eqn: rm 4]개를 서로 다른 [eqn: rm 3]개의 비어 있는 상자 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]에 남김없이 넣으려고 할 때, 다음 조건을 만족시키도록 넣는 경우의 수는? (단, 탁구공을 하나도 넣지 않은 상자가 있을 수 있다.)

[정답] ②

[해설]

일단 [eqn: rm A]상자에 흰 공 [eqn: rm 1]개, 주황색 공 [eqn: rm 1]개를 넣어 두고 나머지 흰 공 [eqn: rm 2]개와 주황색 공 [eqn: rm 3]개를 넣는 경우의 수를 구한다.

(ⅰ) [eqn: rm A]상자에 흰 공이 [eqn: rm 2]개 모두 넣은 경우 남은 주황색 [eqn: rm 3]개를 [eqn: rm 3]상자에 넣는 경우의 수는 [eqn: a+b+c=3], [eqn: it _{3} {rm{H}} it _{3}= it _{5} {rm{C}} it _{3}=10], [eqn: therefore~10]

(ⅱ) [eqn: {rm{A}} it]상자에 흰 공 [eqn: rm 1]개를 넣고 남은 [eqn: rm 1]개는 [eqn: {rm{B}} it] 또는 [eqn: {rm{C}} it]에 넣은 경우 남은 주황색 [eqn: rm 3]개 중 [eqn: rm 1]개는 흰 공이 들어간 [eqn: {rm{B}} it] 또는 [eqn: RM C]에 넣고 나머지 [eqn: 2]개를 [eqn: 3]상자에 넣는 경우의 수는 [eqn: a+b+c=2], [eqn: it _{3} {rm{H}} it _{2}= it _{4} {rm{C}} it _{2}=6], [eqn: therefore~2 times 6=12]

(ⅲ) [eqn: rm 2]개의 흰 공 [eqn: rm 2]개를 모두 [eqn: rm B] 또는 [eqn: {rm{C}} it]에 넣는 경우 주황색 [eqn: rm 1]개를 흰 공이 들어간 [eqn: rm B] 또는 [eqn: {rm{C}} it]에 넣고 나머지 [eqn: rm 2]개를 [eqn: rm 3]상자에 넣는 경우의 수는 [eqn: 6], [eqn: therefore~2 times 6=12]

(ⅳ) 흰 공 [eqn: rm 2]개를 [eqn: {rm{B}} it]와 [eqn: {rm{C}} it]에 [eqn: rm 1]개씩 나누어 넣은 경우 주황색 [eqn: rm 2]개를 [eqn: {rm{B}} it]와 [eqn: {rm{C}} it]에 [eqn: rm 1]개씩 넣고, 나머지 [eqn: rm 1]개를 [eqn: rm 3]상자에 넣는 경우의 수는 [eqn: 3], [eqn: therefore~3]

[eqn: therefore~10+12+12+3=37]

(가) 상자 [eqn: {rm{A}} it]에는 흰색 탁구공을 [eqn: rm 1]개 이상 넣는다.

(나) 흰색 탁구공만 들어 있는 상자는 없도록 넣는다.

① [eqn: rm 35]	② [eqn: rm 37]	③ [eqn: rm 39]

④ [eqn: rm 41]	⑤ [eqn: rm 43]

05 확통	02 중복조합
01 중복조합
05 중복조합5 (부정방정식)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 27

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: { a,````b,````c,````d,````e`}{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}]의 모든 순서쌍 [eqn: ( a,````b,````c,````d,````e)]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 50 }]

[해설]

(나)에서 [eqn: ab`]가 홀수인 경우는 다음과 같다.

(가)에서 [eqn: a+b+c+d+e=10]을 적용하면

(ⅰ) [eqn: (a,````b)=][eqn: (1,````1)]일 때, [eqn: c+d+e= 8]
그런데 [eqn: c,````d,````e]가 자연수이므로 [eqn: c``'= c+1 ,````d``' =d+1 ,````e``'= e+1]이라 하면
[eqn: c``'+d``'+e``'= 5]
[eqn: therefore][eqn: {}_3{RmH}_5 = {}_7{RmC}_5 = {}_7{RmC}_2 =21]

(ⅱ) [eqn: (a,````b)=][eqn: (1,````3)], [eqn: (3,````1)]일 때, [eqn: c+d+e=6]
(ⅰ)과 마찬가지로 [eqn: c``'+d``'+e``'= 3]

[eqn: therefore][eqn: 2 times _3{rmH}_3 = 2 times _5{rmC}_3 = 2 times _5{rmC}_2 =20]

(ⅲ) [eqn: (a,````b)=][eqn: ( 1,````5)], [eqn: ( 3,````3)], [eqn: (5,````1)]일 때, [eqn: c+d+e=4]
(ⅰ)과 마찬가지로 [eqn: c``'+d``'+e``'= 1]

[eqn: therefore][eqn: 3 times_3{RmH}_1 = 3 times_3{RmC}_1 =9]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 자연수 [eqn: a,````b,````c,````d,````e`]의 모든 순서쌍 [eqn: ( a,````b,````c,````d,````e)]의 개수는 [eqn: 21+20+ 9 = 50]

(가) [eqn: a+b+c+d+e=10]

(나) [eqn: ab`]는 홀수이다.

방정식 [eqn: x +y +z =6`]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: x ,``y ,``z`]의 순서쌍 [eqn: left ( x ,``y ,``z right )] 중에서 [eqn: x`]가 홀수인 순서쌍의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 12]

[해설]

(ⅰ) [eqn: x= it 1`]일 때,
[eqn: y+z=5`]를 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: y], [eqn: z`]의 순서쌍 [eqn: left ( y ,``z right ) `]의 개수는
[eqn: {}_{2} { rm H it } {}_{5}][eqn: = it {}_{2+5-1} rm C it rm {}_{5}][eqn: = it {}_{6} rm C it rm {}_{5}][eqn: = it {}_{6} rm C it rm {}_{1}][eqn: = it 6]

(ⅱ) [eqn: x=3`]일 때,
[eqn: y+z=3`]를 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: y], [eqn: z`]의 순서쌍 [eqn: left ( y ,``z right ) `]의 개수는
[eqn: {}_{2} rm H it _{3}][eqn: = it {}_{2+3-1} rm C it rm {}_{3}][eqn: = it {}_{4} rm C it rm {}_{3}][eqn: = it {}_{4} rm C it rm {}_{1}][eqn: = it 4]

(ⅲ) [eqn: x=5`]일 때,
[eqn: y+z=1`]를 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: y], [eqn: z`]의 순서쌍 [eqn: left ( y ,``z right ) `]의 개수는
[eqn: {}_{2} rm H it rm {}_{1}][eqn: = it {}_{2+1-1} rm C it rm {}_{3}][eqn: = it {}_{2} rm C it rm {}_{1}][eqn: = it 2]

이상에서 구하는 순서쌍의 개수는

[eqn: 6+4+2=12]

방정식 [eqn: 8x+y+z+w=31]을 만족시키는 홀수 [eqn: x, y, z, w]의 모든 순서쌍 ([eqn: x, y, z, w])의 개수는?

[정답] ③

[해설]

[eqn: x=2a+1], [eqn: y=2b+1], [eqn: z=2c+1], [eqn: w=2d+1] ([eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]는 음이 아닌 정수)로 놓으면

[eqn: 8x+y+z+w=2(8a+b+c+d)+11=31]

[eqn: 8a+b+c+d=10]

그러므로 [eqn: a=0], [eqn: a=1]일 때로 나누어 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,``b,``c,``d RIGHT )]의 개수를 구하면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: a=0]일 때
주어진 방정식을 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( 0,`b,`c,`d RIGHT )]의 개수는 방정식 [eqn: b+c+d=10]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( b,``c,``d RIGHT )]의 개수와 같다.
즉, 서로 다른 [eqn: 3]개에서 중복을 허락하여 [eqn: 10]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
[eqn: rm {} _{3} H _{10} = _{3+10-1} C _{10} = _{12} C _{10} = _{12} C _{2} = {12 TIMES 11} over {2 TIMES 1} =66]

(ⅱ) [eqn: a=1]일 때
주어진 방정식을 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( 1,``b,``c,``d RIGHT )]의 개수는 방정식 [eqn: b+c+d=2]를 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( b,``c,``d RIGHT )]의 개수와 같다.
즉, 서로 다른 [eqn: 3]개에서 중복을 허락하여 [eqn: 2]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
[eqn: rm H LSUB {3} _{2} = _{3+2-1} C _{2} = _{4} C _{2} = {4 TIMES 3} over {2 TIMES 1} =6]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,``y,``z,``w RIGHT )]의 개수는

[eqn: 66+6=72]

① 70	② 71	③ 72

④ 73	⑤ 74

05 확통	02 중복조합
01 중복조합
06 중복조합6 (함수의 개수)

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 28

두 집합 [eqn: X = left{ 1,``2,``3,``4 right}], [eqn: Y = left{ 0,``1,``2,``3,``4,``5,``6 right}]에 대하여 [eqn: X `]에서 [eqn: Y `]로의 함수 [eqn: f `] 중에서

[정답] ④

[해설]

[eqn: f( 1) + f( 2) + f( 3) + f( 4) = 8`]을 만족시키는 경우의 수는 [eqn: f left(n right)``left(1le n le4right)]에서 중복을 허락하여 [eqn: 8]번 뽑는 경우의 수에서 [eqn: f left(n right)]의 값이 [eqn: 7] 또는 [eqn: 8]이 되는 경우의 수를 제외한 수와 같다.

[eqn: therefore][eqn: `_4 rmH_8 -left(_4 C_1 times_3 C_1 +_4 C_1 right)][eqn: rm=_11 C_8 -16]
[eqn: =_11 rmC_3 -16]
[eqn: ={11times10times9}over{3times2times1}-16]
[eqn: =165-16=149]

[eqn: f( 1) + f( 2) + f( 3) + f( 4) = 8`]

을 만족시키는 함수 [eqn: f `]의 개수는?

① [eqn: 137`]	② [eqn: 141]	③ [eqn: 145]

④ [eqn: 149]	⑤ [eqn: 153]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 28

두 집합

[정답] ②

[해설]

구하고자 하는 함수의 개수를 치역에 따라 분류하면

(ⅰ) 치역이 [eqn: LEFT { 1 RIGHT }]인 경우
조건을 성립하며 경우의 수는 [eqn: 1]가지이다.

(ⅱ) 치역이 [eqn: LEFT { 1,````2 RIGHT }]인 경우

(가)조건에 의해 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1]이고

(1) [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =1]일 때
[eqn: x=2]인 경우
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) RIGHT )][eqn: =f LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1] 이고
[eqn: x`GE3]인 경우도
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) RIGHT )]는 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =1] 또는 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =1] 이므로 주어진 조건을 만족한다.
[eqn: 3]이상의 정의역이 [eqn: 1,````2]에 대응하는 개수를 각각 [eqn: x _{1} ,````x _{2}]라 하면
[eqn: x _{1} +x _{2} =6] ([eqn: x _{1} `GE0], [eqn: x _{2} `GE1]인 정수)
이므로 [eqn: {} _{2} rm H it _{6-1}][eqn: = _{6} {rmC} _{5}][eqn: =6]가지이다.

(2) [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =2]일 때
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) RIGHT )][eqn: =2]이므로 모순

(ⅲ) 치역이 [eqn: LEFT { 1,````3 RIGHT }]인 경우

(1) [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =1], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =1]인 경우
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) RIGHT )]는 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =1] 또는 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT ) =1]이므로 성립
[eqn: 4]이상의 정의역이 [eqn: 1,````3]에 대응하는 개수를 각각 [eqn: x _{1} ,````x _{2}]라 하면
[eqn: x _{1} +x _{2} =5] ([eqn: x _{1} `GE0], [eqn: x _{2} `GE1]인 정수)
이므로 [eqn: {} _{2} rm H it rm _{5-1}][eqn: = _{5} {rmC} _{4}][eqn: =5]가지이다.

(2) [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =1], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =3]인 경우
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT ) RIGHT )][eqn: =3]이므로 모순

(3) [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =3]인 경우
(가)에 의해 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) `GEf LEFT ( 2 RIGHT ) =3] 즉, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =3]이므로 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) RIGHT ) =3]이므로  모순

(ⅳ) 치역이 [eqn: LEFT { 1,````2,````3 RIGHT }]인 경우
[eqn: 3]이상의 정의역이 [eqn: 1,````2,````3]에 각각 대응하는 개수를 [eqn: x _{1} ,````x _{2} ,````x _{3}]라 하면
[eqn: x _{1} +x _{2} +x _{3} =6] ([eqn: x _{1} ` GEQ 0], [eqn: x _{2} `GE1], [eqn: x _{3} `GE1]인 정수)
이므로 [eqn: {} _{3} rm H it rm _{6-2}][eqn: = _{6} {rmC} _{4}][eqn: =15]가지이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에서 조건을 만족시키는 모든 함수 [eqn: f ``:`` X ``->`` Y]의 개수는 [eqn: 1+6+5+15][eqn: =27]가지

[eqn: {X= left{` 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 ,```` 5 ,```` 6 ,```` 7 ,```` 8 `right} }{{from^2021^7월 사관학교^중}}], [eqn: Y= left{` 1 ,```` 2 ,```` 3 `right}]

에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 [eqn: f ``:`` X ``->`` Y]의 개수는?

(가) 집합 [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여 [eqn: x_1 <x_2]이면 [eqn: f(x_1 ) le f(x_2 )]이다.

(나) 집합 [eqn: X]의 모든 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: (f circ f circf)(x) =1]이다.

① [eqn: 24]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 36]

05 확통	03 이항정리
01 특정항의 계수
01 특정항의 계수1 (기본형)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 23

다항식 [eqn: {(2x+1)^6}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수는?

[정답] ②

[해설]

[eqn: x ^{2}]의 계수는 [eqn: {} _{6} {rmC} _{2} `cdot`2 ^{2}][eqn: =60]

① [eqn: 40]	② [eqn: 60]	③ [eqn: 80]

④ [eqn: 100]	⑤ [eqn: 120]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 23

[eqn: (x +2)^6 `]의 전개식에서 [eqn: x ^4`]의 계수는?

[정답] ②

[해설]

[eqn: left(x+2right)^6]의 전개식에서 [eqn: x^4]항은

[eqn: `_6 rmC_4` itx^4 `cdot2^2 =60x^4]

이므로 [eqn: x^4]의 계수는 [eqn: 60]이다.

① [eqn: 58]	② [eqn: 60]	③ [eqn: 62]

④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 66]

다항식 [eqn: (x+2) ^{6}]의 전개식에서 [eqn: x ^{4}]의 계수는?

[정답] ④

[해설]

[eqn: (x+2) ^{6}]의 전개식의 일반항은 [eqn: {} _{6} C _{r} 2 ^{6-r} x ^{r} `(r=0,1, CDOTS ,6)]이다.

[eqn: x ^{4}]의 계수는 [eqn: r=4]일 때이므로

[eqn: {} _{6} C _{4} TIMES 2 ^{2} `= _{6} C _{2} TIMES 2 ^{2} `= {6 TIMES 5} over {2 TIMES 1} TIMES 4=60]

① [eqn: 48]	② [eqn: 52]	③ [eqn: 56]

④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 64]

05 확통	03 이항정리
01 특정항의 계수
02 특정항의 계수2 (분수꼴)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 4

[eqn: {LEFT ( x ^{3} + {1} over {x} RIGHT ) ^{5}}{{from^2020^08^사관고3가^중}}]의 전개식에서 [eqn: x ^{3}]의 계수는?

[정답] ②

[해설]

[eqn: LEFT ( x ^{3} + {1} over {x} RIGHT ) ^{5}]의 전개식에서 일반항이 [eqn: {} _{5} {rmC} _{r} LEFT ( x ^{3} RIGHT ) ^{r} LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) ^{5-r}]이므로

[eqn: x^3]이 나오는 경우는 [eqn: r=2]일 때이다.

즉. [eqn: {} _{5} {rmC} _{2} LEFT ( x ^{3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) ^{3} =10x ^{3}]이므로 [eqn: x ^{3}]의 계수는 [eqn: 10]

① [eqn: 5]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 25]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 6

[eqn: {left( 2x^2 + 1 overx right)^5}{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}]의 전개식에서 [eqn: x^4]의 계수는?

[정답] ①

[해설]

[eqn: {left( 2x^2 + 1 overx right)^5}{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}]의 전개식에서 일반항은

[eqn: `_5 {rmC}_ r (2x^2 )^r left( 1overx right)^5-r][eqn: = 2^r cdot _5 {rmC}_ r x^{ 3r -5 }]

이므로 [eqn: x^4]의 계수는 [eqn: r=3]일 때이다.

따라서 [eqn: x^4]의 계수는 [eqn: `_5 rm C_3 cdot2^3][eqn: = 80]

① [eqn: 80]	② [eqn: 85]	③ [eqn: 90]

④ [eqn: 95]	⑤ [eqn: 100]

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 23
[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 22

[eqn: left(3 x^{2}+{1} over {x} right)^{6}]의 전개식에서 상수항을 구하시오.

[정답] [eqn: 135]

[해설]

상수항은 [eqn: it _{6} {rm{C}} it _{2} left(3 x^{2} right)^{2} left({1} over {x} right)^{4}=3^{2} times it _{6} {rm{C}} it _{2}=135]

05 확통	04 확률의 뜻과 활용
02 수학적 확률
01 수학적 확률1 (경우의 수 - 단순확률, 케이스 분류 포함)

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 27

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나온 눈의 수를 차례로 [eqn: a], [eqn: b]라 하자. 이차부등식

[정답] ①

[해설]

주사위를 두 번 던져서 나오는 전체 경우의 수는 [eqn: 6times6=36]가지이다.

[eqn: ax^2 + 2bx + a-3 le 0`]에서 최고차항의 계수가 양수이므로 해가 존재하기 위해서는 이차방정식 [eqn: ax^2 +2bx+a-3=0]의 판별식을 [eqn: D]라 할 때

[eqn: D over4 =b^2 -a left(a-3right)ge0], 즉 [eqn: b^2 ge a left(a-3right)]

을 만족해야 한다.

(ⅰ) [eqn: a=1], [eqn: 2], [eqn: 3]일 때
[eqn: b=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots], [eqn: 6]이면 성립하므로 가능한 경우의 수는 [eqn: 3times6=18]가지이다.

(ⅱ) [eqn: a=4]일 때
[eqn: b^2 ge4]에서 [eqn: b=2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]의 [eqn: 5]가지이다.

(ⅲ) [eqn: a=5]일 때
[eqn: b^2 ge10]에서 [eqn: b=4], [eqn: 5], [eqn: 6]의 [eqn: 3]가지이다.

(ⅳ) [eqn: a=6]일 때
[eqn: b^2 ge18]에서 [eqn: b=5], [eqn: 6]의 [eqn: 2]가지이다.

이상에서 이차부등식 [eqn: ax^2 + 2bx + a-3 le 0`]의 해가 존재하는 경우의 수는 [eqn: 18+5+3+2=28]이므로 구하는 확률은

[eqn: 28over36 = 7 over9]

[eqn: ax^2 + 2bx + a-3 le 0`]

의 해가 존재할 확률은?

① [eqn: 7 over 9 `]	② [eqn: 29 over 36 `]	③ [eqn: 5 over 6 `]

④ [eqn: 31 over 36 `]	⑤ [eqn: 8 over 9 `]

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 28

[eqn: rm 1]부터 [eqn: rm 11]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: rm 11]장의 카드 중에서 임의로 두 장의 카드를 동시에 택할 때, 택한 카드에 적혀 있는 숫자를 각각 [eqn: m], [eqn: n(m<n)]이라 하자. 좌표평면 위의 세 점

[정답] [eqn: 68]

[해설]

[eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]는 그림과 같이 단위원을 [eqn: rm 12]등분하는 점이다.

이등변삼각형인 경우는

(ⅰ) [eqn: overline{{rm{AB}} it }= overline{{rm{AC}} it }]인 경우 [eqn: rm 5]가지

(ⅱ) [eqn: {rm{A}} it]가 이등변삼각형의 밑변의 꼭짓점인 경우 [eqn: rm 10]가지

(ⅲ) 정삼각형은 [eqn: rm 1]가지인데 (ⅰ), (ⅱ) 에서 [eqn: rm 3]번 중복

따라서 이등변삼각형은 [eqn: 5+10-2=13]이고,

모든 경우의 수는 [eqn: it _{11} {rm{C}} it _{2}=55]이다.

[eqn: therefore~ ~ {q} over {p}={13} over {55}], [eqn: p+q=13+55=68]

[eqn: {rm{A}} it (1,``0)], [eqn: {rm{B}} it left( cos {m pi} over {6},`` sin {m pi} over {6} right)], [eqn: {rm{C}} it left( cos {n pi} over {6},`` sin {n pi} over {6} right)]

에 대하여 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]가 이등변삼각형일 확률이 [eqn: {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

05 확통	04 확률의 뜻과 활용
02 수학적 확률
02 수학적 확률2 (순열 이용)

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 29

그림과 같이 [eqn: rm 1]열, [eqn: rm 2]열, [eqn: rm 3]열에 각각 [eqn: rm 2]개씩 모두 [eqn: rm 6]개의 좌석이 있는 놀이기구가 있다. 이 놀이기구의 [eqn: rm 6]개의 좌석에 [eqn: rm 6]명의 학생 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it], [eqn: {rm{E}} it], [eqn: {rm{F}} it]가 각각 한 명씩 임의로 앉을 때, 다음 조건을 만족시키도록 앉을 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 49]

[해설]

[eqn: {rm{E}} it], [eqn: ({rm{A}} it ,`` {rm{B}} it )], [eqn: {rm{F}} it], [eqn: ({rm{C}} it ,`` {rm{D}} it )]의 순으로 자리를 정하여 앉히면 된다.

[eqn: {rm{E}} it]는 [eqn: rm 2]열과 [eqn: rm 3]열의 [eqn: rm 4]자리 중 한 곳 [eqn: `CDOTS CDOTS` 4]가지

[eqn: ({rm{A}} it ,`` {rm{B}} it )]는 [eqn: {rm{E}} it]가 앉지 않은 열에 좌우 배치 [eqn: `CDOTS CDOTS` 2 times 2=4]가지

[eqn: {rm{F}} it]는 [eqn: {rm{E}} it], [eqn: ({rm{A}} it ,`` {rm{B}} it )]가 앉지 않은 [eqn: rm 2]자리 중 한 곳 [eqn: `CDOTS CDOTS` 2]가지

[eqn: ( rm `C,``D)] 는 남은 자리에 배치 [eqn: `CDOTS CDOTS` 2]가지

그러므로 조건을 만족하도록 앉는 경우의 수는 [eqn: 4 times 4 times 2 times 2=64]

모든 경우의 수는 [eqn: 6 ! it =720]이므로, 구하려는 확률은 [eqn: {64} over {720}={4} over {45}],

[eqn: therefore~p+q=45+4=49]

(가) 두 학생 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]는 같은 열에 앉는다.

(나) 두 학생 [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it]는 서로 다른 열에 앉는다.

(다) 학생 [eqn: {rm{E}} it]는 [eqn: rm 1]열에 앉지 않는다.

여학생 [eqn: 2]명과 남학생 [eqn: 6]명이 임의로 일렬로 설 때, 맨 앞과 맨 뒤를 제외한 자리에 여학생 [eqn: 2]명이 서게 될 확률은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: 8]명의 학생이 일렬로 서는 경우의 수는 [eqn: 8!]이다.

(ⅰ) 여학생 [eqn: 2]명이 맨 앞과 맨 뒤를 제외한 여섯 자리 중 두 자리에 서는 경우의 수는 [eqn: {rm {}_6 {rmP} _2]

(ⅱ) 여학생 [eqn: 2]명이 서고 남은 여섯 자리에 여학생 [eqn: 2]명을 제외한 남학생 [eqn: 6]명이 서는 경우의 수는 [eqn: 6!]

(ⅰ), (ⅱ)에서 맨 앞과 맨 뒤를 제외한 자리에 여학생 [eqn: 2]명이 서는 경우의 수는

[eqn: {rm {}_6 {rmP} _2 times 6!]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {rm {{}_6 {rmP} _2 times 6! } over 8! = 6times5 over 8times7 = 15 over 28]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 15 over 28]	③ [eqn: 4 over 7]

④ [eqn: 17 over 28]	⑤ [eqn: 9 over 14]

05 확통	04 확률의 뜻과 활용
02 수학적 확률
03 수학적 확률3 (조합 이용)

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 07월 23

다섯 개의 숫자 [eqn: 0`], [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4 `]를 중복 사용하여 만들 수 있는 네 자리의 자연수를 [eqn: a _{1} a _{2} a _{3} a _{4} `]라 한다. 예를 들면, [eqn: 1230`]인 경우 [eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =2], [eqn: a _{3} =3], [eqn: a _{4} =0`]이다. 이와 같이 네 자리 자연수 [eqn: a _{1} a _{2} a _{3} a _{4} `]가 [eqn: a _{1} < a _{2} < a _{3}], [eqn: a _{3} > a _{4} `]를 만족할 확률은 [eqn: q over p `]이다. [eqn: p+q `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p `]와 [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 103]

[해설]

중복을 허락하여 만들 수 있는 네 자리 자연수는

[eqn: {} _{5} SMALLPROD _{4} - _{5} SMALLPROD _{3} =625-125=500``]가지

[eqn: a _{1} <a _{2} <a _{3} ``]이므로 [eqn: a _{3} ``]는 [eqn: 3``]또는 [eqn: 4``]이다.

(ⅰ) [eqn: a _{3} =3``]일 때

[eqn: a _{1} <a _{2} <a _{3} ``]이므로, [eqn: a _{1} =1`], [eqn: a _{2} =2``]이고

[eqn: a _{4} ``]는 [eqn: 0,`1,`2``]중 한 가지이므로 [eqn: 3`]가지

(ⅱ) [eqn: a _{3} =4``]일 때

[eqn: a _{1} ,``a _{2} `]는 [eqn: 1,`2,`3`] 중 [eqn: 2`]개의 수를 선택하여 큰 수가 [eqn: a _{2} `], 작은 수가 [eqn: a _{1} ``]([eqn: a _{1} != 0])이다. 따라서, [eqn: a _{1} ,``a _{2} `]가 될 수 있는 경우는 [eqn: {} _{3} {rmC} _{2} =3`]가지, [eqn: a _{4} `]는 [eqn: 0,`1,`2,`3`] 중 한 가지이므로 [eqn: 4`]가지이다. 조건에 맞는 경우의 수는 [eqn: {} _{3} {rmC} _{2} TIMES 4=12`]가지

구하고자 하는 확률은 [eqn: {3+12} over {500} = {3} over {100}][eqn: therefore][eqn: p+q=103]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 29

그림은 여섯 개의 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이 하나씩 적혀 있는 여섯 장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, 이웃한 두 장의 카드 중 왼쪽 카드에 적힌 수가 오른쪽 카드에 적힌 수보다 큰 경우가 한 번만 나타난 예이다.

[정답] [eqn: 259]

[해설]

① [eqn: a_{1}>a_{2}], [eqn: a_{2}<a_{3}<a_{4}<a_{5}<a_{6}]
[eqn: a_{1}]을 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6] 중에서 하나 정하면 된다.
따라서 [eqn: rm 5]가지

② [eqn: a_{1}<a_{2}], [eqn: a_{2}>a_{3}], [eqn: a_{3}<a_{4}<a_{5}<a_{6}]
[eqn: a_{1}]와 [eqn: a_{3}]는 [eqn: a_{2}]보다 작으므로 가능한 [eqn: a_{2}]는 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이고 그 각각에 대하여 [eqn: a_{2}]보다 작은 [eqn: a_{1}]을 정하기만 하면 되는데, 각각 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]가지이므로 모두 [eqn: rm 14]가지

③ [eqn: a_{1}<a_{2}<a_{3}], [eqn: a_{3}>a_{4}], [eqn: a_{4}<a_{5}<a_{6}]
[eqn: a_{3}]보다 작은 것이 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{2}], [eqn: a_{4}]이므로 가능한 [eqn: a_{3}]는 [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이고 그 각각에 대하여 [eqn: a_{1}<a_{2}]를 정하기만 하면된다. 따라서 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{2}+ it _{4} {rm{C}} it _{2}+ it _{5} {rm{C}} it _{2}=19]가지

④ [eqn: a_{4}>a_{5}]인 경우는 ②를 반대로 대칭배열한다.
따라서 [eqn: rm 14]가지

⑤ [eqn: a_{5}>a_{6}]인 경우도 ①을 반대로 대칭배열한다. 따라서 [eqn: rm 5]가지 모든 경우의 수는 [eqn: rm 6]!이므로 구하는 확률은 [eqn: {5+14+19+14+5} over {6 !}={19} over {240}]

[eqn: therefore~19+240=259]

[eqn: {BOX{pile{#} 1 pile{#}}}]	[eqn: {BOX{pile{#} 2 pile{#}}}]	[eqn: {BOX{pile{#} 4 pile{#}}}]	[eqn: {BOX{pile{#} 3 pile{#}}}]	[eqn: {BOX{pile{#} 5 pile{#}}}]	[eqn: {BOX{pile{#} 6 pile{#}}}]

이 여섯 장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 임의로 일렬로 나열할 때, 이웃한 두 장의 카드 중 왼쪽 카드에 적힌 수가 오른쪽 카드에 적힌 수보다 큰 경우가 한 번만 나타날 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

05 확통	04 확률의 뜻과 활용
04 확률의 덧셈정리
01 덧셈정리1 (확률의 계산)

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 6

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여

[정답] ③

[해설]

P[eqn: (A cap B^C ) =][eqn: 1 -]P[eqn: (A ^C cup B)][eqn: = 1 - 2 over3 = 1 over3]

[eqn: rmP(itA)=][eqn: rmP it(A cap B) +rmP left(itA cap B^C right)][eqn: = 1 over6 + 1 over3 = 1 over2]

[eqn: {rmP}(A capB} )= {1 }over{6}], [eqn: {rmP}(A^C cupB )= {2}over{3}]

일 때, [eqn: {rmP}(A)]의 값은? (단, [eqn: A^C]은 [eqn: A]의 여사건이다.)

① [eqn: {1 }over{6}]	② [eqn: {1 }over{3}]	③ [eqn: {1 }over{2}]

④ [eqn: {2 }over{3}]	⑤ [eqn: {5}over{6}]

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 4

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여

[정답] ③

[해설]

[eqn: {rm{P}} it left(A cap B^{C} right)=1-{rm{P}} it left(A^{C} cup B right)=1-{2} over {3}={1} over {3}]

[eqn: {rm{P}} it (A)={rm{P}} it (A cap B)+{rm{P}} it left(A cap B^{C} right)={1} over {6}+{1} over {3}={1} over {2}]

[eqn: {rm{P}} it (A cap B)={1} over {6}], [eqn: {rm{P}} it left(A^{C} cup B right)={2} over {3}]

일 때, [eqn: {rm{P}} it (A)]의 값은? (단, [eqn: A^{C}]은 [eqn: A]의 여사건이다.)

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

05 확통	04 확률의 뜻과 활용
04 확률의 덧셈정리
06 여사건의 확률3 (기타)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 26

[eqn: {1}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]부터 [eqn: 10]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 10]장의 카드가 있다. 이 [eqn: 10]장의 카드 중에서 임의로 선택한 서로 다른 [eqn: 3]장의 카드에 적혀 있는 세 수의 곱이 [eqn: 4]의 배수일 확률은?

[정답] ④

[해설]

전체 경우의 수는 [eqn: {} _{10} {rmC} _{3}][eqn: = {10` CDOT `9` CDOT `8} over {3` CDOT `2` CDOT `1}][eqn: =120]

구하고자 하는 경우의 수를 여사건을 이용하면

세 수의 곱이 [eqn: 4]의 배수가 아닐 경우이고 이를 분류하면

(ⅰ) [eqn: 2]의 배수이고, [eqn: 4]의 배수가 아닌 경우
[eqn: 2,````6,````10]중 [eqn: 1]개를 뽑고 [eqn: 1,````3,````5,````7,````9]에서 [eqn: 2]개를 뽑으므로

[eqn: THEREFORE][eqn: {} _{9} {rmC} _{1} `times` _{5} {rmC} _{2}][eqn: =30]

(ⅱ) 홀수인 경우
[eqn: 1,````3,````5,````7,````9]에서 [eqn: 3]개를 뽑으므로
[eqn: THEREFORE][eqn: {} _{5} {rmC} _{3}][eqn: =10]
따라서 구하고자 하는 확률은
[eqn: THEREFORE][eqn: 1- {30+10} over {120}][eqn: = {2} over {3}]

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 1over2]

④ [eqn: 2over3]	⑤ [eqn: 5 over6]

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 19
[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 18

다음은 자연수 [eqn: n]에 대하여 방정식 [eqn: a+ b + c = 3n]을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,``` b,``` c)]중에서 임의로 한 개를 선택할 때, 선택한 순서쌍 [eqn: (a,``` b,``` c)]가

[정답] ③

[해설]

[eqn: a+b+c = 3n]을 만족시키는 자연수의 순서쌍 [eqn: (a,``` b,``` c)]의 개수는

[eqn: `_3 rmH_{it3n-3}=_{it3n-1}C_{it3n-3}=_{it3n-1}C_2 =it{(3n-1)(3n-2)}over2]

[eqn: a > b] 또는 [eqn: a >c]의 여사건은 [eqn: a le b]이고 [eqn: a le c]이다.

[eqn: a = k]일 때 [eqn: k le b], [eqn: k le c]은 [eqn: b+c = 3n -k]에서

[eqn: (b,``` c) =][eqn: (k,``` 3n - 2k)], [eqn: (k+1,``` 3n - 2k -1 )], [eqn: cdots], [eqn: ( 3n-2k,``` k )]

즉 [eqn: 3n - 3k +1]개 이다. 따라서 여사건의 개수는

[eqn: sum_k=1^n (3n - 3k +1)][eqn: = 3n^2 - 3 over2 n(n+1) +n][eqn: = 1 over2 n ( 3n-1)]

따라서 구하는 확률은

[eqn: 1 - { 1 over2 n (3n-1)} over{ 1 over2 (3n-1) (3n-2)][eqn: = 1 - n over3n-2][eqn: = 2n-2 over3n-2]

[eqn: n = 2]일 때 [eqn: p = { 5 Times 4} over2 = 10],

[eqn: n = 7], [eqn: k = 2]일 때 [eqn: q = 21 - 6 +1 = 16]

[eqn: n = 4]일 때 [eqn: r = 6 over10 = 3 over5],   [eqn: THEREFORE][eqn: pqr = 10 Times 16 Times 3 over5 = 96]

[eqn: a > b] 또는 [eqn: a > c]

를 만족시킬 확률을 구하는 과정이다.

방정식

[eqn: a+ b + c = 3n][eqn: CDOTSCDOTS](＊)

을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,``` b,``` c)]의 개수는 [eqn: box{ {}^{it}^{it}(가){}_{it} }]이다.

방정식 (＊)을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 순서쌍 [eqn: (a,``` b,``` c)]가 [eqn: a > b] 또는 [eqn: a > c]를 만족시키는 사건을 [eqn: A]라 하면 사건 [eqn: A]의 여사건 [eqn: A^C]은 방정식 (＊)을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 순서쌍 [eqn: (a,``` b,``` c)]가 [eqn: a ≤ b]와 [eqn: a ≤ c]를 만족시키는 사건이다.

이제 [eqn: n(A^C )]의 값을 구하자.

자연수 [eqn: k (1 ≤ k ≤ n)]에 대하여 [eqn: a = k]인 경우,

[eqn: b ≥ k], [eqn: c ≥ k]이고 방정식 (＊)을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 순서쌍 [eqn: (a,``` b,``` c)]의 개수는 [eqn: box{ {}^{it}^{it}(나){}_{it} }]이므로

[eqn: n(A^C )][eqn: = sum _{k = 1}^{n}][eqn: box{ {}^{it}^{it}(나){}_{it} }]

이다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(A)}=][eqn: box{ {}^{it}^{it}(다){}_{it} }]

이다.

위의 (가)에 알맞은 식에 [eqn: n = 2]를 대입한 값을 [eqn: p], (나)에 알맞은 식에 [eqn: n = 7], [eqn: k = 2]를 대입한 값을 [eqn: q], (다)에 알맞은 식에 [eqn: n = 4]를 대입한 값을 [eqn: r]라 할 때, [eqn: p times q times r]의 값은?

① [eqn: 88]	② [eqn: 92]	③ [eqn: 96]

④ [eqn: 100]	⑤ [eqn: 104]

05 확통	05 조건부 확률
01 조건부 확률의 뜻
01 조건부 확률의 계산

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 6
[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 4

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여

[정답] ②

[해설]

[eqn: {rm{P}} it (A cap B)={rm{P}} it (A) {rm{P}} it (B `|` A)]

[eqn: {rm{P}} it (A cup B)={rm{P}} it (A)+{rm{P}} it (B)-{rm{P}} it (A cap B)]

[eqn: {4} over {5}={1} over {2}+{2} over {5}-{1} over {2} {rm{P}} it (B `|` A)]

[eqn: therefore~{rm{P}} it (B `|` A)={1} over {5}]

[eqn: {rm{P}} it (A)={1} over {2}], [eqn: ~ {rm{P}} it (B)={2} over {5}], [eqn: ~ {rm{P}} it (A cup B)={4} over {5}]

일 때, [eqn: rm P it (B```vert `A)]의 값은?

① [eqn: {1} over {10}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {3} over {10}]

④ [eqn: {2} over {5}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 확률과 통계 24
[출처]	2022 일반_기타개인 해설교체용

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여

[정답] ③

[해설]

[eqn: {rm{P}} it (A `|` B)={rm{P}} it (B `|` A)]에서 [eqn: {{rm{P}} it (A cap B)} over {{rm{P}} it (B)}={{rm{P}} it (A cap B)} over {{rm{P}} it (A)}]

따라서 [eqn: {rm{P}} it (A)={rm{P}} it (B)]

[eqn: {rm{P}} it (A cup B)={rm{P}} it (A)+{rm{P}} it (B)-{rm{P}} it (A cap B)]에서

[eqn: 1=2 {rm{P}} it (A)-{1} over {4}]

따라서 [eqn: {rm{P}} it (A)={5} over {8}]

[eqn: {rm{P}} it (A cup B)=1], [eqn: ~ {rm{P}} it (A cap B)={1} over {4}], [eqn: ~ {rm{P}} it (A `|` B)={rm{P}} it (B `|` A)]

일 때, [eqn: {rm{P}} it (A)]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {9} over {16}]	③ [eqn: {5} over {8}]

④ [eqn: {11} over {16}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

05 확통	05 조건부 확률
01 조건부 확률의 뜻
03 조건부 확률의 뜻2 (문장 조건)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 25

어느 학교의 컴퓨터 동아리는 남학생 [eqn: {21}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]명, 여학생 [eqn: 18]명으로 이루어져 있고, 모든 학생은 데스크톱 컴퓨터와 노트북 컴퓨터 중 한 가지만 사용한다고 한다. 이 동아리의 남학생 중에서 데스크톱 컴퓨터를 사용하는 학생은 [eqn: 15]명이고, 여학생 중에서 노트북 컴퓨터를 사용하는 학생은 [eqn: 10]명이다. 이 동아리 학생 중에서 임의로 선택한 [eqn: 1]명이 데스크톱 컴퓨터를 사용하는 학생일 때, 이 학생이 남학생일 확률은?

[정답] ③

[해설]

학생들이 사용하는 컴퓨터의 종류를 표로 나타내면 다음과 같다.

	데스크탑	노트북
남	[eqn: 15]	[eqn: 6]
녀	[eqn: 8]	[eqn: 10]

따라서 구하고자 하는 확률은 [eqn: {15} over {15+8}][eqn: = {15} over {23}] 이다.

① [eqn: 8 over21]	② [eqn: 10 over21]	③ [eqn: 15 over23]

④ [eqn: 5 over7]	⑤ [eqn: 18 over23]

[출처]	2006 모의_공공 교육청 고3 10월 확률과 통계 28

어느 지역의 날씨를 조사한 결과 지난 한 달 동안 비가 온 다고 예보한 [eqn: rm 10]일 중 실제로 비가 온 날은 [eqn: rm 9]일이었고, 비가 오지 않는다고 예보한 [eqn: rm 20]일 중 실제로 비가 오지 않은 날은 [eqn: rm 17]일 이었다.

[정답] ⑤

[해설]

지난 달 한 달 동안 비가 온 날은 [eqn: 9+3=12]일이고 비가 온 [eqn: rm 12]일 중 비가 온다고 예보하여 우산을 가지고 나온 날은 [eqn: rm 9]일이므로 구하는 확률은 [eqn: {9} over {12}={3} over {4}]

이 지역에 사는 학수는 비가 온다고 예보한 날에는 반드시 우산을 가지고 외출하고, 비가 오지 않는다고 예보한 날에는 우산을 가지지 않고 외출한다. 지난 달 비가 온 어느 날, 외출한 학수가 우산을 가지고 있었을 확률은?

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {5}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

05 확통	05 조건부 확률
01 조건부 확률의 뜻
04 조건부 확률의 뜻3 (경우의 수)

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 26

두 개의 주사위를 동시에 던져서 나온 두 눈의 수의 최대공약수가 [eqn: rm 1]일 때, 나온 두 눈의 합이 [eqn: rm 8]일 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 25]

[해설]

표로 나타내면 다음과 같다

	[eqn: rm 1]	[eqn: rm 2]	[eqn: rm 3]	[eqn: rm 4]	[eqn: rm 5]	[eqn: rm 6]
[eqn: rm 1]	[eqn: bigcirc]	[eqn: bigcirc]	[eqn: bigcirc]	[eqn: bigcirc]	[eqn: bigcirc]	[eqn: bigcirc]
[eqn: rm 2]	[eqn: bigcirc]	[eqn: times]	[eqn: bigcirc]	[eqn: times]	[eqn: bigcirc]	[eqn: times]
[eqn: rm 3]	[eqn: bigcirc]	[eqn: bigcirc]	[eqn: times]	[eqn: bigcirc]	●	[eqn: times]
[eqn: rm 4]	[eqn: bigcirc]	[eqn: times]	[eqn: bigcirc]	[eqn: times]	[eqn: bigcirc]	[eqn: times]
[eqn: rm 5]	[eqn: bigcirc]	[eqn: bigcirc]	●	[eqn: bigcirc]	[eqn: times]	[eqn: bigcirc]
[eqn: rm 6]	[eqn: bigcirc]	[eqn: times]	[eqn: times]	[eqn: times]	[eqn: bigcirc]	[eqn: times]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {2} over {23}]이므로 [eqn: 2+23=25]이다.

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 8

주머니 [eqn: {rm{A}} it]에는 [eqn: rm 1]부터 [eqn: rm 5]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: rm 5]장의 카드가 들어 있고, 주머니 [eqn: {rm{B}} it]에는 [eqn: rm 6]부터 [eqn: rm 8]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: rm 3]장의 카드가 들어 있다. 주머니 [eqn: {rm{A}} it]에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내고, 주머니 [eqn: rm B]에서 임의로 한 장의 카드를 꺼낸다. 꺼낸 [eqn: rm 2]장의 카드에 적힌 두 수의 합이 홀수일 때, 주머니 [eqn: {rm{A}} it]에서 꺼낸 카드에 적힌 수가 홀수일 확률은?

[정답] ⑤

[해설]

두 수의 합이 홀수인 경우를 표시하면

[eqn: RMA] [eqn: RMB]	[eqn: rm 1]	[eqn: rm 2]	[eqn: rm 3]	[eqn: rm 4]	[eqn: rm 5]
[eqn: rm 6]	[eqn: bigcirc]	[eqn: times]	[eqn: bigcirc]	[eqn: times]	[eqn: bigcirc]
[eqn: rm 7]	[eqn: times]	[eqn: bigcirc]	[eqn: times]	[eqn: bigcirc]	[eqn: times]
[eqn: rm 8]	[eqn: bigcirc]	[eqn: times]	[eqn: bigcirc]	[eqn: times]	[eqn: bigcirc]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {6} over {8}={3} over {4}]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {3} over {8}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {5} over {8}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

주머니 [eqn: rmA]	주머지 [eqn: RMB]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 25

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: { a`}{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}], [eqn: b`]라 하자. [eqn: ab`]가 [eqn: 6`]의 배수일 때, [eqn: a`] 또는 [eqn: b`]가 홀수일 확률은 [eqn: q overp]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold { 5 }]

[해설]

[eqn: ab`]가 [eqn: 6`]의 배수인 경우는

[eqn: ( 1,````6)], [eqn: ( 2,````3)], [eqn: ( 2,````6)], [eqn: (3 , ````2)], [eqn: ( 3,````4)], [eqn: (3,````6)],

[eqn: (4,````3)], [eqn: (4,````6)], [eqn: ( 5,````6)], [eqn: ( 6,````1)], [eqn: (6,````2)], [eqn: ( 6,````3)],

[eqn: ( 6,````4)], [eqn: ( 6,````5)], [eqn: ( 6,````6)]

총 [eqn: 15`]개다.

이 중에서 [eqn: a`]또는 [eqn: b`]가 홀수인 것은 [eqn: 10`]개다.

따라서 [eqn: ab`]가 [eqn: 6`]의 배수일 때, [eqn: a`] 또는 [eqn: b`]가 홀수일 확률은

[eqn: 10 over15 = 2 over3]

따라서 [eqn: p=3,````q=2]이므로 [eqn: p+q][eqn: = 5]

05 확통	05 조건부 확률
02 조건부확률과 곱셈정리
02 종속인 사건의 곱셈정리2 (상황별 확률의 변화)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 25

흰 구슬 [eqn: {3}{{from^2020^08^사관고3가^중}}]개와 검은 구슬 [eqn: 4]개가 들어 있는 상자가 있다. 한 개의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수가 [eqn: 3]의 배수이면 이 상자에서 임의로 [eqn: 2]개의 구슬을 동시에 꺼내고, 나오는 눈의 수가 [eqn: 3]의 배수가 아니면 이 상자에서 임의로 [eqn: 3]개의 구슬을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 구슬 중 검은 구슬의 개수가 [eqn: 2]일 확률은 [eqn: q overp]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold{151]

[해설]

(ⅰ) 눈의 수가 [eqn: 3]의 배수일 때. 즉 확률은 [eqn: 1 over3]
이 상자에서 임의로 [eqn: 2]개의 구슬을 꺼내므로 검은 구슬이 [eqn: 2]개 나오는 확률은 [eqn: {it_4rmC_2}OVER{IT _7rmC_2 }]

[eqn: therefore][eqn: 1over3 times {it_4rmC_2}OVER{IT _7rmC_2 } = 2 over 21]

(ⅱ) 눈의 수가 [eqn: 3]의 배수가 아닐 때, 즉 확률은 [eqn: 2 over 3]
이 상자에서 임의로 [eqn: 3]개의 구슬을 꺼내므로 검은 구슬이 [eqn: 2]개 나오는 확률은 [eqn: {IT _4rmC_2 TIMES _3 RMC_1}OVER{IT_7RMC_3}]

[eqn: therefore][eqn: 2OVER3 TIMES {IT _4rmC_2 TIMES _3 RMC_1}OVER{IT_7RMC_3}][eqn: = 12 over 35]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하고자 하는 확률은

[eqn: 2 over 21 + 12 over 35 = 10 over105 + 36 over105 = 46 over 105]

따라서 [eqn: p=105,````q=46]이므로 [eqn: p+q=][eqn: 105 +46= 151]

흰 공 [eqn: 2]개, 검은 공 [eqn: 4]개가 들어 있는 주머니와 한 개의 주사위가 있다. 주사위를 던져서 나온 눈의 수의 개수만큼 주머니에서 공을 동시에 꺼낼 때, 검은 공이 [eqn: 3]개 나올 확률을 [eqn: {q} over {p}`]라 하자. [eqn: p+q`]의 값은?
(단, [eqn: p], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] ①

[해설]

(i) 주사위 [eqn: 5]가 나온 경우

[eqn: {1} over {6} TIMES {{} _{4} rm C _{3} TIMES _{2} C _{2} it} over {{} _{6} rm C _{5} it} = {1} over {6} TIMES {2} over {3} = {1} over {9}]

(ii) 주사위 [eqn: 4]가 나온 경우

[eqn: {1} over {6} TIMES {{} _{4} rm C _{3} TIMES _{2} C _{1} it} over {{} _{6} rm C _{4} it} = {1} over {6} TIMES {8} over {15} = {4} over {45}]

(iii) 주사위 [eqn: 3]가 나온 경우

[eqn: {1} over {6} TIMES {{} _{4} rm C _{3} TIMES _{2} C _{0} it} over {{} _{6} rm C _{3} it} = {1} over {6} TIMES {1} over {5} = {1} over {30}]

모두 합하면 [eqn: {7} over {30}]

[eqn: p+q=30+7=37]

① [eqn: 37]	② [eqn: 49]	③ [eqn: 53]

④ [eqn: 79]	⑤ [eqn: 101]

흰 공 [eqn: 2`]개, 검은 공 [eqn: 3`]개가 들어 있는 주머니와 각 면에 [eqn: 1,~2,~3,~4`]의 숫자가 하나씩 적혀 있는 정사면체가 있다. 이 정사면체를 한 번 던져서 바닥에 닿은 면에 적혀 있는 수에 해당하는 개수만큼 주머니에서 임의로 공을 동시에 꺼낼 때, 검은 공이 [eqn: 3`]개 나올 확률은?

[정답] ①

[해설]

주어진 시행에서 검은 공이 [eqn: 3`]개 나오려면 정사면체에서 나온 수가 [eqn: 3`]또는 [eqn: 4`]이어야 한다.

주어진 시행에서 검은 공이 [eqn: 3`]개 나오는 사건을 [eqn: X`]라 하자.

(ⅰ) 정사면체에서 나온 수가 [eqn: 3`]이고, 검은 공이 [eqn: 3`]개 나오는 경우
정사면체에서 나온 수가 [eqn: 3`]인 사건을 [eqn: A`]라 하면
[eqn: rm P( it A)= {1} over {4} `]
[eqn: rmP(itX``□``A)`]는 주머니에서 [eqn: 3`]개의 공을 꺼낼 때 검은 공이 [eqn: 3`]개 나올 확률이므로
[eqn: rm P( it X``□``A)][eqn: = {{} _{3} rm C _{3} it} over {{} _{5} rm C _{3} it} = {1} over {10} `]
[eqn: rm P( it A SMALLINTER X)= rm P( it A) rm P( it X``□A)= {1} over {4} TIMES {1} over {10} = {1} over {40}]

(ⅱ) 정사면체에서 나온 수가 [eqn: 4`]이고, 검은 공이 [eqn: 3`]개 나오는 경우
정사면체에서 나온 수가 [eqn: 4`]인 사건을 [eqn: B`]라 하면
[eqn: rm P( it B)= {1} over {4} `]
[eqn: rm P( it X``□``B)`]는 주머니에서 [eqn: 4`]개의 공을 꺼낼 때 검은 공이 [eqn: 3`]개 나올 확률이므로
[eqn: rm P( it X``□``B)][eqn: = {{} _{3} rm C _{3} TIMES _{2} C _{1} it} over {{} _{5} rm C _{4} it} = {2} over {5} `]
[eqn: rm P( it B SMALLINTER X)= rm P( it B) rm P( it X``□B)= {1} over {4} TIMES {2} over {5} = {1} over {10}]

[eqn: (A SMALLINTER X) SMALLINTER (B SMALLINTER X)= EMPTYSET `]이고

[eqn: (A CUP X) CUP (B CUP X)=X`]이므로 구하는 확률은

[eqn: rm P( it X)][eqn: = rm P( it A SMALLINTER X)+ rm P( it B CUP X)`]
[eqn: = {1} over {40} + {1} over {10} `]
[eqn: = {1+4} over {40} = {1} over {8} `]

① [eqn: {1} over {8} `]	② [eqn: {1} over {4} `]	③ [eqn: {3} over {8} `]

④ [eqn: {1} over {2} `]	⑤ [eqn: {5} over {8} `]

05 확통	05 조건부 확률
02 조건부확률과 곱셈정리
04 곱셈정리와 조건부확률1 (종속적 선후시행)

[출처]	2015 모의_공공 사관학교 고3 07월 9

주머니에 흰 공 [eqn: 1]개, 파란 공 [eqn: 2]개, 검은 공 [eqn: 3]개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 1]개의 공을 꺼내어 색을 확인한 후 꺼낸 공과 같은 색의 공을 [eqn: 1]개 추가하여 꺼낸 공과 함께 주머니에 넣는다. 이와 같은 시행을 두 번 반복하여 두 번째 꺼낸 공이 검은 공이었을 때, 첫 번째 꺼낸 공도 검은 공이었을 확률은? (단, 공의 크기와 모양은 모두 같다.)

[정답] ④

[해설]

(ⅰ) 첫 번째 꺼낸 공이 흰 공 또는 파란 공이었을 때, 두 번째 꺼낸 공이 검은 공일 확률은
[eqn: { `_{3}{rmC}_{1} } over{ `_{6}{rmC}_{1} } times { `_{3}{rmC}_{1} } over{ `_{7}{rmC}_{1} }][eqn: = 3 over14]

(ⅱ) 첫 번째 꺼낸 공이 검은 공이었을 때, 두 번째 꺼낸 공도 검은 공일 확률은
[eqn: { `_{3}{rmC}_{1} } over{ `_{6}{rmC}_{1} } times { `_{4}{rmC}_{1} } over{ `_{7}{rmC}_{1} }][eqn: = 2 over7]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은

[eqn: { 2 over7} over { 3 over14 + 2 over7} = 4 over7]

① [eqn: 3 over7]	② [eqn: 10 over21]	③ [eqn: 11 over21]

④ [eqn: 4 over7]	⑤ [eqn: 13 over21]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 30

검은 공 [eqn: {4}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]개, 흰 공 [eqn: 2]개가 들어 있는 주머니에 대하여 다음 시행을 [eqn: 2]회 반복한다.

[정답] [eqn: bold { 41 }]

[해설]

두 번 시행 후 주머니에 흰 공만 [eqn: 2]개가 들어 있는 확률은 다음과 같이 분류할 수 있다.

(ⅰ) 첫 번째 시행에 검은 공 [eqn: 3]개, 두 번째 시행에 검은 공 [eqn: 1]개, 흰색 공 [eqn: 2]개를 뽑는 경우
첫 번째 시행 후 남아 있는 공은 검은 공 [eqn: 1]개, 흰색 공 [eqn: 2]개다.
[eqn: {{} _{4} rm C it rm _{3} it} over {{} _{6} rm C it rm _{3} it} `` CDOT {{} _{1} rm C it _{1} ` CDOT _{2} rm C it _{2}} over {{} _{3} rm C _{3} it}][eqn: = {1} over {5}]

(ⅱ) 첫 번째 시행에 검은 공 [eqn: 2]개, 흰색 공 [eqn: 1]개를 뽑고 두 번째 시행에 검은 공 [eqn: 2]개, 흰색 공 [eqn: 1]개를 뽑는 경우
첫 번째 시행 후 남아 있는 공은 검은 공 [eqn: 2]개, 흰색 공 [eqn: 2]개다.
[eqn: {{} _{4} {rmC} _{2} `cdot _{2} {rmC} _{1}} over {{} _{6} {rmC} _{3}} `cdot` {{} _{2} {rmC} _{2} `cdot _{2} {rmC} _{1}} over {{} _{4} {rmC} _{3}}][eqn: = {3} over {10}]

(ⅲ) 첫 번째 시행에 검은 공 [eqn: 1]개, 흰색 공 [eqn: 2]개를 뽑고, 두 번째 시행에 검은 공 [eqn: 3]개를 뽑는 경우
첫 번째 시행 후 남아 있는 공은 검은 공 [eqn: 3]개, 흰색 공 [eqn: 2]개다.
[eqn: {{} _{4} rm C it rm _{1} ` CDOT _{2} rm C it rm _{2} it} over {{} _{6} rm C it rm _{3} it} ` CDOT ` {{} _{3} rm C it rm _{3} it} over {{} _{5} rm C it rm _{3} it}][eqn: = {1} over {50}]

따라서 구하고자 하는 확률은

[eqn: {{3} over {10}} over {{1} over {5} + {3} over {10} + {1} over {50}}][eqn: = {30} over {20+30+2}][eqn: = {15} over {26}]

따라서 [eqn: p=26,````q=15]이므로 [eqn: p+q=41]

주머니에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 동시에 꺼낸 후, 꺼낸 공 중에서 흰 공은 다시 주머니에 넣고 검은 공은 다시 넣지 않는다.

두 번째 시행의 결과 주머니에 흰 공만 [eqn: 2]개 들어 있을 때, 첫 번째 시행의 결과 주머니에 들어 있는 검은 공의 개수가 [eqn: 2]일 확률은 [eqn: q overp]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 30

그림과 같이 두 주머니 [eqn: rmA `]와 [eqn: rmB `]에 흰 공 [eqn: 1 `]개, 검은 공 [eqn: 1`]개가 각각 들어 있다. 주머니 [eqn: rmA `]에 들어 있는 공의 개수 또는 주머니 [eqn: rmB`]에 들어 있는 공의 개수가 [eqn: 0`]이 될 때까지 다음의 시행을 반복한다.

[정답] [eqn: 27]

[해설]

각 주머니의 흰 공의 개수와 검은 공의 개수를

(흰 공 개수, 검은 공 개수)

로 나타내기로 하자. 주머니 [eqn: rmA]의 공의 개수가 정해지면 주머니 [eqn: rmB]의 공의 개수도 정해지므로 주머니 [eqn: rmA]의 공의 개수의 변화만 고려해도 된다.

(ⅰ) [eqn: 1]회의 시행에서 주머니 [eqn: rmA]의 공의 개수의 변화에 따른 확률은 다음과 같다.

(1) [eqn: left(1,``1right)`->`left(0,``1right)], [eqn: left(1,``1right)`->`left(1,``0right)], [eqn: left(1,``1right)`->`left(1,``2right)], [eqn: left(1,``1right)`->`left(2,``1right)]일 확률은 모두 [eqn: 1over4]

(2) [eqn: left(0,``1right)`->`left(0,``2right)]일 확률은 [eqn: 1over3],
[eqn: left(0,``1right)`->`left(0,``0right)]일 확률은 [eqn: 2over3]

(3) [eqn: left(1,``0right)`->`left(2,``0right)]일 확률은 [eqn: 1over3],
[eqn: left(1,``0right)`->`left(0,``0right)]일 확률은 [eqn: 2over3]

(4) [eqn: left(1,``2right)`->`left(1,``1right)], [eqn: left(2,``1right)`->`left(1,``1right)]일 확률은 [eqn: 2over3]

(5) [eqn: left(0,``2right)`->`left(0,``1right)], [eqn: left(2,``0right)`->`left(1,``0right)]일 확률은 [eqn: 1]

(ⅱ) [eqn: 4]회의 시행 후 주머니 [eqn: rmA]에 들어있는 공의 개수가 [eqn: 0]일 확률은 다음과 같다.

(1) [eqn: left(1,``1right)`->`left(0,``1right)`->`left(0,``2right)`->`left(0,``1right)`->`left(0,``0right)]일 확률은
[eqn: 1over4 times 1over3 times1 times 2over3 = 1over18]

(2) [eqn: left(1,``1right)`->`left(1,``0right)`->`left(2,``0right)`->`left(1,``0right)`->`left(0,``0right)]일 확률은
[eqn: 1over4 times 1over3 times1 times 2over3 = 1over18]

(3) [eqn: left(1,``1right)`->`left(1,``2right)`->`left(1,``1right)`->`left(1,``0right)`->`left(0,``0right)] 또는
[eqn: left(1,``1right)`->`left(1,``2right)`->`left(1,``1right)`->`left(0,``1right)`->`left(0,``0right)]일 확률은
[eqn: 1over4 times 2over3 times left(1over4 times 2over3 + 1over4 times 2over3 right)= 1over18]

(4) [eqn: left(1,``1right)`->`left(2,``1right)`->`left(1,``1right)`->`left(1,``0right)`->`left(0,``0right)] 또는
[eqn: left(1,``1right)`->`left(2,``1right)`->`left(1,``1right)`->`left(0,``1right)`->`left(0,``0right)]일 확률은
[eqn: 1over4 times 2over3 times left(1over4 times 2over3 + 1over4 times 2over3 right)= 1over18]

이상에서 [eqn: 4]회 시행 후 주머니 [eqn: rmA]에 들어 있는 공의 개수가 [eqn: 0]인 사건을 [eqn: E]라 하면

[eqn: rmP left(itE right)= 1over18 times4= 2over9]

[eqn: 2]회 시행 후 주머니 [eqn: rmA]에 들어 있는 흰 공의 개수가 [eqn: 1] 이상인 사건을 [eqn: F]라 하면 사건 [eqn: E capF]가 일어나는 경우는 (ⅱ)의 (2), (3), (4)에 해당하므로

[eqn: rmP left(itE capF right)= 1over18 times3= 1over6]

[eqn: therefore][eqn: p=rmP left(itF`right|`E right)={rmP left(itE capF right)}over{rmP left(itE right)}={1over6}over{2over9}= 3over4]

[eqn: therefore][eqn: 36p=27]

두 주머니 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 각각 임의로 하나씩 꺼낸 두 개의 공이 서로 같은 색이면 꺼낸 공을 모두 주머니 [eqn: rmA`]에 넣고, 서로 다른 색이면 꺼낸 공을 모두 주머니 [eqn: rmB `]에 넣는다.

[eqn: 4 `]번째 시행의 결과 주머니 [eqn: rmA `]에 들어 있는 공의 개수가 [eqn: 0`]일 때, [eqn: 2 `]번째 시행의 결과 주머니 [eqn: rmA `]에 들어 있는 흰 공의 개수가 [eqn: 1 `] 이상일 확률은 [eqn: p`]이다. [eqn: 36 p`]의 값을 구하시오.

05 확통	06 사건의 독립과 종속
01 독립과 종속
01 확률의 계산 (독립일 때)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 2

두 사건 [eqn: {A,~B}{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}]가 서로 독립이고

[정답] ②

[해설]

두 사건 [eqn: {A,~B}{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}]가 서로 독립이므로

[eqn: {rm P} ( A smallinter B)][eqn: = {rm P} (A) {rm P} (B)]

그런데, [eqn: {rm P}(A)][eqn: = 2 over3 ,][eqn: {rm P} (A SMALLINTER B)][eqn: = 1 over4]이므로

[eqn: 1over4 = 2 over3 cdot {rmP} (B)]

[eqn: therefore][eqn: {rm P}(B)][eqn: = { 1 over4} times { 3 over2 }][eqn: = 3 over8]

[eqn: {rm P}(A)][eqn: = 2 over3 ,][eqn: {rm P} (A SMALLINTER B)][eqn: = 1 over4]

일 때, [eqn: {rm P}(B)]의 값은?

① [eqn: 1 over4]	② [eqn: 3 over8]	③ [eqn: 1 over2]

④ [eqn: 5 over8]	⑤ [eqn: 3 over4]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립이고 [eqn: {rm P it}(A)= 1 over3], [eqn: {rm P it}(B)= 1 over4]일 때, [eqn: {rm P it}(A SMALLINTERB^C )]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: {rm P it}(B ^{C} )= {3} over {4}]

[eqn: {rm P it}(A`smallinter`B _{}^{C} )={rm P it}(A)times{rm P it}(B _{}^{C} )]

[eqn: = {1} over {3} times {3} over {4} = {1} over {4}]

① [eqn: 1 over6]	② [eqn: 1 over4]	③ [eqn: 1 over2]

④ [eqn: 2 over3]	⑤ [eqn: 3 over4]

한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 첫 번째에 나오는 눈의 수가 [eqn: 4]의 배수인 사건을 [eqn: A], 두 개의 주사위에서 나오는 눈의 수의 합이 [eqn: k]인 사건을 [eqn: B_k]라 하면 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B_k]는 서로 독립이다. 이때 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: k]는 [eqn: 5] 이상의 자연수이다.)

[정답] ③

[해설]

한 개의 주사위를 두 번 던지는 경우의 수는  [eqn: 36]

[eqn: A= LEFT { LEFT (4,`` 1 RIGHT ),`` LEFT (4,`` 2 RIGHT ),` CDOTS` ,`` LEFT (4,`` 6 RIGHT ) RIGHT }]이므로 [eqn: {rm P it} LEFT ( A RIGHT ) = {1} over {6}]

[eqn: `A SMALLINTER B]는 첫 번째는 [eqn: 4], 두 번째는 [eqn: k-4]의 눈이 나오는 사건이므로 [eqn: {rm P it} LEFT ( A SMALLINTER B _{k} RIGHT ) = {1} over {36}]

이때 사건 [eqn: A]와 [eqn: B_k]가 독립이므로

[eqn: {rm P it}(A){rm P it}(B_k ) = 1over6 {rm P it}(B_k ) = 1over36 = {rm P it}(A capB_k )]에서

[eqn: {rm P it} LEFT ( B _{k} RIGHT ) = {1} over {6} = 6over36], 즉, [eqn: n LEFT ( B _{k} RIGHT ) =6]

따라서 두 눈의 수의 합이 경우 [eqn: 6]가지는

[eqn: LEFT ( 1,``6 RIGHT )], [eqn: LEFT (2,``5 RIGHT )], [eqn: LEFT (3,``4 RIGHT )], [eqn: LEFT (4,``3 RIGHT )], [eqn: LEFT (5,``2 RIGHT )], [eqn: LEFT (6,``1 RIGHT )]으로 [eqn: k=7]일 때이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

05 확통	06 사건의 독립과 종속
03 독립시행의 확률
01 독립시행의 확률1 (기본)

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 9

흰 공 [eqn: rm 4]개와 검은 공 [eqn: rm 2]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공의 색을 확인한 후 다시 넣는 시행을 [eqn: rm 5]회 반복한다. 각 시행에서 꺼낸 공이 흰 공이면 [eqn: rm 1]점을 얻고, 검은 공이면 [eqn: rm 2]점을 얻을 때, 얻은 점수의 합이 [eqn: rm 7]일 확률은?

[정답] ①

[해설]

흰 공이 나올 확률은 [eqn: {2} over {3}], 검은 공이 나올 확률은 [eqn: {1} over {3}] 점수의 합이 [eqn: rm 7]이려면 [eqn: 2 times 2+3 times 1=7]이므로 [eqn: rm 5]번 중 흰 공이 [eqn: rm 3]번, 검은 공이 [eqn: rm 2]번

[eqn: therefore~ it _{5} {rm{C}} it _{2} left({2} over {3} right)^{3} left({1} over {3} right)^{2}={80} over {243}]

① [eqn: {80} over {243}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {82} over {243}]

④ [eqn: {83} over {243}]	⑤ [eqn: {28} over {81}]

한 개의 동전을 [eqn: 4]번 던질 때, 앞면이 나온 횟수를 [eqn: a], 뒷면이 나온 횟수를 [eqn: b]라 하자. [eqn: a-b=2]일 확률은?

[정답] ②

[해설]

한 개의 동전을 [eqn: 4]번 던져 앞면이 나온 횟수가 [eqn: a], 뒷면이 나온 횟수가 [eqn: b]이므로

[eqn: a+b =4]

두 식 [eqn: a+b =4], [eqn: a-b =2]를 연립하여 풀면

[eqn: a=3], [eqn: b=1]

따라서 구하는 확률은 한 개의 동전을 [eqn: 4]번 던질 때 앞면이 [eqn: 3]번 나올 확률이므로

[eqn: {}_4 { rm C} _3 left( 1over2 right)^3 left( 1over2 right)^1 = 4over16 = 1over4]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]

④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 5over8]

숫자 [eqn: 1]이 적혀 있는 카드가 [eqn: 3]장, 숫자 [eqn: 2]가 적혀 있는 카드가 [eqn: 1]장 들어 있는 상자에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내어 보고 다시 상자에 넣는 시행을 [eqn: 4]번 반복할 때, [eqn: 4]번의 시행에서 꺼낸 카드에 적혀 있는 수의 합이 [eqn: 5]일 확률은?

[정답] ⑤

[해설]

상자에서 임의로 한 장의 카드를 꺼낼 때 [eqn: 1]이 적혀 있는 카드가 나올 확률은 [eqn: 3over4], [eqn: 2]가 적혀 있는 카드가 나올 확률은 [eqn: 1over4]이다.

[eqn: 4]번의 시행에서 꺼낸 카드에 적혀 있는 수의 합이 [eqn: 5]가 되기 위해서는 [eqn: 1]이 적혀있는 카드가 [eqn: 3]번, [eqn: 2]가 적혀 있는 카드가 [eqn: 1]번 나와야 한다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: `_4 rmC_3 left(3over4 right)^3 left( 1over4 right)^1 = 27over64]

① [eqn: 23over64]	② [eqn: 3over8]	③ [eqn: 25over64]

④ [eqn: 13over32]	⑤ [eqn: 27over64]

05 확통	07 이산확률분포
02 이산확률변수의 평균과 표준편차
02 평균1 (표)

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 6

이산확률변수 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: a+b=1-{1} over {3}-{1} over {4}={5} over {12}], [eqn: {1} over {3}+{2} over {4}+3 b={11} over {6}]

[eqn: b={4} over {12}], [eqn: a={1} over {12}]

[eqn: therefore~ ~ {b} over {a}=4]

[eqn: X]	[eqn: rm 0]	[eqn: rm 1]	[eqn: rm 2]	[eqn: rm 3]	합계
[eqn: {rm{P}} it (X=x)]	[eqn: a]	[eqn: {1} over {3}]	[eqn: {1} over {4}]	[eqn: b]	[eqn: rm 1]

[eqn: {rm{E}} it (X)={11} over {6}]일 때, [eqn: {b} over {a}]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2005 모의_공공 평가원 고3 11월 공통범위 22
[출처]	2005 모의_공공 평가원 고3 11월 22

다음은 확률변수 [eqn: X``]의 확률분포표이다.

[정답] [eqn: 14]

[해설]

[eqn: 4 over 7`,``a`,``b`]가 순서대로 등비수열을 이루므로 [eqn: a^2`=`4 over 7 b][eqn: cdots ①]

또, 확률의 합은 [eqn: 1]이므로 [eqn: 4 over 7`+`a`+`b`=`1][eqn: cdots ②]

②에서 [eqn: b`=`3 over 7`-`a]를 ①에 대입하여 정리하면

[eqn: a^2`=`4 over 7 ( 3 over 7`-`a)][eqn: LRARROW][eqn: 47a^2`+`28a`-`12`=`0]

[eqn: (7a`+` 6)(7a`-`2)`=`0`] ∴ [eqn: a`=`2 over 7]([eqn: ∵ a`>=`0])

평균은 [eqn: k cdot 4 over 7`+`2k cdot a`+`4k cdot b`]

[eqn: =`k( 4 over7`+`2 cdot 2 over 7`+`4 cdot 1 over 7 )][eqn: =`][eqn: 12k over 7]

이 때 평균이 [eqn: 24]이므로 ∴ [eqn: k`=`14]

[eqn: X`]	[eqn: k]	[eqn: 2k]	[eqn: 4k]	계
[eqn: {rmP} LEFT ( X=x RIGHT ) `]	[eqn: {4} over {7}]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: 1]

[eqn: {4} over {7}], [eqn: a`], [eqn: b``]가 이 순서로 등비수열을 이루고 [eqn: X``]의 평균이 [eqn: 24`]일 때, [eqn: k``]의 값을 구하시오.

[출처]	2006 모의_공공 교육청 고3 10월 22
[출처]	2006 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 22

다음은 확률변수 [eqn: X``]의 확률분포가

[정답] [eqn: 20]

[해설]

[eqn: LEFT( 1over 10 -p RIGHT) +LEFT( 1over 10 +p RIGHT) +LEFT( 1over 10 -p RIGHT)+…+LEFT( 1over 10 +p RIGHT) =1]이므로

[eqn: 2n over10 =1] 따라서 [eqn: n=5]

확률변수 [eqn: X]의 기대값이 [eqn: 23over4]이므로

[eqn: rm E( it X)][eqn: = 1`` LEFT( 1over 10 -p right)` +`2`` LEFT( 1over 10 +p right) `+`…`+`10 ` LEFT( 1over 10 +p right)`]

[eqn: = 1 over10 `(1`+`2`+`…`+`10) `+`( -p`+`2p-`…`+`10p)`]

[eqn: = 55 over10` +`5p `= 23 over4]

따라서 [eqn: p= 1 over20]이므로 [eqn: { 1} over {p } = 20`]

[eqn: rm P it LEFT ( X`=k RIGHT ) = {1} over {10} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k} p][eqn: LEFT ( k=1,``2,``3,` CDOTS`,``2n RIGHT ) `]

인 확률변수 [eqn: X``]의 확률분포표이다.

[eqn: X`]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2n]	계
[eqn: {rmP} LEFT ( X=k RIGHT )]	[eqn: 1 over 10 `-` p]	[eqn: 1 over 10 `+` p]	[eqn: 1 over 10 `-` p]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1 over 10 `+` p]	[eqn: 1]

확률변수 [eqn: X``]의 기댓값이 [eqn: rm E it LEFT ( X` RIGHT ) = {23} over {4} `]일 때, [eqn: {1} over {p}`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0<p< {1} over {10}`]이고, [eqn: n`]은 자연수이다.)

05 확통	07 이산확률분포
02 이산확률변수의 평균과 표준편차
04 평균3 (확률분포 구하기)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 13

주머니에 [eqn: {1 ,```` 1 ,```` 1 ,```` 2 ,```` 2 ,```` 3}{{from^2020^08^사관고3가^중}}]의 숫자가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6]개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적힌 두 수의 차를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: rm E it LEFT ( X RIGHT )]의 값은?

[정답] ①

[해설]

주머니에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적힌 두 수의 차를 확률변수 [eqn: X]라 하므로

(ⅰ) [eqn: X=0]일 때. 둘 다 [eqn: 1]이거나 [eqn: 2]인 경우이므로

[eqn: {rm P} LEFT ( X=0 RIGHT ) = {{rm{} _{3} C _{2} + _{2} C _{2}} over {{rm` _{6} C _{2}} }= {4} over {15}]

(ⅱ) [eqn: X=1]일 때, [eqn: 1]과 [eqn: 2] 또는 [eqn: 2]와 [eqn: 3]인 경우이므로

[eqn: {rmP} LEFT ( X=1 RIGHT ) = {3 TIMES 2+2 TIMES 1} over {{} _{6} {rmC} _{2}} = {8} over {15}]

(ⅲ) [eqn: X=2]일 때, [eqn: 1]과 [eqn: 3]인 경우이므로

[eqn: {rmP} LEFT ( X=2 RIGHT ) = {3 TIMES 1} over {{} _{6} {rmC} _{2}} = {3} over {15}]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X``]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	계
[eqn: rm P it (X=x)``]	[eqn: 4 over 15]	[eqn: 8over 15]	[eqn: 3 over 15]	[eqn: 1]

따라서 평균 [eqn: rmE (it X)]는

[eqn: {rmE} LEFT ( X RIGHT ) =0 TIMES {4} over {15} +1 TIMES {8} over {15} +2 TIMES {3} over {15} = {14} over {15}]

① [eqn: {14} over {15}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {16} over {15}]

④ [eqn: {17} over {15}]	⑤ [eqn: {6} over {5}]

세 농구 선수 갑, 을, 병의 [eqn: 2]점 슛 성공률은 각각 [eqn: 60]%, [eqn: 50]%, [eqn: 40]%라 한다. 세 사람이 각각 한 번씩 [eqn: 2]점 슛을 던져서 성공한 개수를 확률변수 [eqn: X``]라 할 때, [eqn: RM E LEFT (IT X RIGHT )]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

확률변수 [eqn: X``]가 가질 수 있는 값은 [eqn: 0,~1,~2,~3]이고 각각의 확률은

[eqn: rm P LEFT ( it X=0 RIGHT ) = {2} over {5} TIMES {1} over {2} TIMES {3} over {5} = {3} over {25}]

[eqn: rm P LEFT ( it X=1 RIGHT ) = {3} over {5} TIMES {1} over {2} TIMES {3} over {5} + {2} over {5} TIMES {1} over {2} TIMES {3} over {5} + {2} over {5} TIMES {1} over {2} TIMES {2} over {5} = {19} over {50}]

[eqn: rm P LEFT ( it X=2 RIGHT ) = {3} over {5} TIMES {1} over {2} TIMES {3} over {5} + {3} over {5} TIMES {1} over {2} TIMES {2} over {5} + {2} over {5} TIMES {1} over {2} TIMES {2} over {5} = {19} over {50}]

[eqn: rm P LEFT ( it X=3 RIGHT ) = {3} over {5} TIMES {1} over {2} TIMES {2} over {5} = {3} over {25}]

이므로 확률변수 [eqn: X``]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X``]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: rm P LEFT ( it X=x RIGHT )]	[eqn: {3} over {25}]	[eqn: {19} over {50}]	[eqn: {19} over {50}]	[eqn: {3} over {25}]	[eqn: 1]

[eqn: rm E LEFT ( it X RIGHT ) =0 TIMES {3} over {25} +1 TIMES {19} over {50} +2 TIMES {19} over {50} +3 TIMES {3} over {25} = {75} over {50} = {3} over {2}]

① [eqn: {11} over {10}]	② [eqn: {6} over {5}]	③ [eqn: {13} over {10}]

④ [eqn: {7} over {5}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

그림과 같이 입구 [eqn: rm A``]에 공을 넣으면 관을 따라 내려가 [eqn: rmP``], [eqn: rm Q``], [eqn: rm R``], [eqn: rm S``]의 출구 중 어느 한 곳으로 나오는 장치가 수직으로 세워져 있다. 이 장치의 입구에 한 개의 공을 넣는 시행을 [eqn: 3``]회 반복할 때, 공이 나온 서로 다른 출구의 개수를 확률변수 [eqn: X```]라 하자. 예를 들어 공이 세 번 모두 [eqn: rmP``]로 나온 경우는 [eqn: X=1``]이고, 두 번은 [eqn: rmP``]로, 한 번은 [eqn: rm Q``]로 나온 경우는 [eqn: X=2``]이다. [eqn: {rm E}(X) ``]의 값은? [eqn: LEFT ( pile {`#`}`]단, 관이 두 개로 갈라져 내려가는 지점에서 각각의 관을 따라 공이 내려갈 확률은 [eqn: 1 over 2``]로 서로 같다.[eqn: pile{`#`} RIGHT )`]

[정답] ②

[해설]

입구에 투입된 하나의 공이 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it], [eqn: {rm{R}} it], [eqn: {rm{S}} it] 중의 한 출구로 나 올 확률은 각각

[eqn: left({1} over {2} right)^{3}], [eqn: 3 times left({1} over {2} right)^{3}], [eqn: 3 times left({1} over {2} right)^{3}], [eqn: left({1} over {2} right)^{3}]

즉, [eqn: {1} over {8}], [eqn: {3} over {8}], [eqn: {3} over {8}], [eqn: {1} over {8}]이다.

이때 확률변수 [eqn: X]가 갖는 값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이다.

(ⅰ) [eqn: X=1]일 때
공이 세 번 모두 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it], [eqn: {rm{R}} it], [eqn: {rm{S}} it] 중 한 출구로 나오는 경우 이므로 [eqn: {rm{P}} it (X=1)= left({1} over {8} right)^{3}+ left({3} over {8} right)^{3}+ left({3} over {8} right)^{3}+ left({1} over {8} right)^{3}={7} over {64}]

(ⅱ) [eqn: X=3]일 때
공이 다음과 같이 서로 다른 세 출구로 한 번씩 나오는 경우이다.
[eqn: {rm{P}} it -{rm{Q}} it -{rm{R}} it], [eqn: {rm{P}} it -{rm{Q}} it -{rm{S}} it], [eqn: {rm{P}} it -{rm{R}} it -{rm{S}} it], [eqn: {rm{Q}} it -{rm{R}} it -{rm{S}} it]
세 출구 [eqn: {rm{P}} it -{rm{Q}} it -{rm{R}} it]로 공이 한 번씩 나오는 경우를 시행 순서에 따라 순서쌍으로 나타내면
[eqn: ({rm{P}} it ,`` {rm{Q}} it ,`` {rm{R}} it )], [eqn: ({rm{P}} it ,`` {rm{R}} it ,`` {rm{Q}} it )], [eqn: ({rm{Q}} it ,`` {rm{P}} it ,`` {rm{R}} it )], [eqn: ({rm{Q}} it ,`` {rm{R}} it ,`` {rm{P}} it )], [eqn: ({rm{R}} it ,`` {rm{P}} it ,`` {rm{Q}} it )], [eqn: ({rm{R}} it ,`` {rm{Q}} it ,`` {rm{P}} it )]이므로 그 경우의 수는 [eqn: rm 3]! 이다.
따라서 세 출구 [eqn: {rm{P}} it -{rm{Q}} it -{rm{R}} it]로 공이 한 번씩 나올 확률은
[eqn: 3 ! times left({1} over {8} times {3} over {8} times {3} over {8} right)={54} over {8^{3}}]
마찬가지 방법으로 생각하면 세 출구 [eqn: {rm{P}} it -{rm{Q}} it -{rm{S}} it]로 공이 한 번씩 나올 확률은 [eqn: 3 ! times left({1} over {8} times {3} over {8} times {1} over {8} right)={18} over {8^{3}}]
세 출구 [eqn: {rm{P}} it -{rm{R}} it -{rm{S}} it]로 공이 한 번씩 나올 확률은 [eqn: 3 ! times left({1} over {8} times {3} over {8} times {1} over {8} right)={18} over {8^{3}}]
세 출구 [eqn: {rm{Q}} it -{rm{R}} it -{rm{S}} it]로 공이 한 번씩 나올 확률은 [eqn: 3 ! times left({3} over {8} times {3} over {8} times {1} over {8} right)={54} over {8^{3}}]
따라서 [eqn: {rm{P}} it (X=3)={54} over {8^{3}}+{18} over {8^{3}}+{18} over {8^{3}}+{54} over {8^{3}}={9} over {32}]

(ⅲ) [eqn: X=2]일 때

[eqn: {rm{P}} it (X=2)][eqn: =1- left{ {rm{P}} it (X=1)+{rm{P}} it (X=3) it right}]
[eqn: =1- left({7} over {64}+{9} over {32} right)={39} over {64}]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 확률변수 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타 내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: rm 1]	[eqn: rm 2]	[eqn: rm 3]	계
[eqn: {rm{P}} it (X=x)]	[eqn: {7} over {64}]	[eqn: {39} over {64}]	[eqn: {9} over {32}]	[eqn: rm 1]

[eqn: {rm{E}} it (X)=1 times {7} over {64}+2 times {39} over {64}+3 times {9} over {32}={139} over {64}]

① [eqn: 137 over 64`]	② [eqn: {139} over {64}`]	③ [eqn: {141} over {64}`]

④ [eqn: {143} over {64}`]	⑤ [eqn: {145} over {64}`]

05 확통	07 이산확률분포
03 aX+b의 평균과 표준편차
02 aX+b의 평균2 (표)

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 24

이산확률변수 [eqn: X`]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[정답] ③

[해설]

확률의 총합이 [eqn: 1]이므로

[eqn: a+ a over2 + a over3 =1], [eqn: 11over6 a=1]	[eqn: therefore][eqn: a= 6over11]

[eqn: rmE left(itX right)][eqn: =1timesa+ 2times a over2 + 3times a over3 =3a= 18over11]이므로

[eqn: rmE left(it11X+2right)][eqn: =11rmE left(itX right)+2=20]

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: rm P(itX= it x )]	[eqn: a]	[eqn: a over 2]	[eqn: a over3]	[eqn: 1]

[eqn: rmE it( 11X+2 ) `]의 값은?

① [eqn: 18]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 22]

확률변수 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[정답] [eqn: bold { 29` }]

[해설]

확률의 총합은 [eqn: 1]이므로 [eqn: {1} over {8} +][eqn: {a} over {2}][eqn: + {5} over {2} a ^{2} =1]

[eqn: 20a ^{2} +4a-7=0]

[eqn: (2a-1)(10a+7)=0]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a= {1} over {2}]

[eqn: {rmE}(X)=0 TIMES {1} over {8} +4 TIMES {1} over {4} +8 TIMES {5} over {8} =6]

따라서

[eqn: rm E it(5X-1)][eqn: =5{rmE}(X)-1]
[eqn: =5 TIMES 6-1]
[eqn: =29]

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 4]	[eqn: 8]	합계
[eqn: rmP(it X=x)]	[eqn: {1} over {8}]	[eqn: {a} over {2}]	[eqn: {5} over {2} a ^{2}]	[eqn: 1]

[eqn: rm E it(5X-1)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 양수이다.)

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 10월 8

확률변수 [eqn: X`]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: rm `P( it `1 LEQ X` LEQ `3)][eqn: = k(1+2+3)][eqn: =6k][eqn: =1`][eqn: THEREFORE `k][eqn: = 1 over 6 `]

[eqn: rm `E(` it X`)][eqn: = k + 4k+9k][eqn: = 14k][eqn: = 14 over 6 `]

[eqn: rm `E(` it 6X +1`)][eqn: = 6 rm `E(` it X `) +1][eqn: =6 times {14} over {6} +1][eqn: = 15`]

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	계
[eqn: rm`P(itX=x)]	[eqn: k]	[eqn: 2k]	[eqn: 3k]	[eqn: 1]

[eqn: rm`E(it`6X+1)`]의 값은? (단, [eqn: k`]는 상수이다.)

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

05 확통	07 이산확률분포
03 aX+b의 평균과 표준편차
03 aX+b의 평균3 (확률질량함수)

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 7

이산확률변수 [eqn: X]가 가지는 값이 [eqn: 0], [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6]이고 [eqn: X]의 확률질량함수가

[정답] ②

[해설]

[eqn: X]	0	2	4	6	합계
P[eqn: (X= x)]	[eqn: a]	[eqn: 1 over2]	[eqn: 1 over4]	[eqn: 1 over6]	1

[eqn: a = 1 - 1 over2 - 1 over4 - 1 over6 = 1 over12], E[eqn: (X) =]3,

[eqn: THEREFORE] E[eqn: (aX) = 1 over12 Times 3 = 1 over4]

[eqn: {rmP(X} = x)=cases{`` a & (x = 0)#`` {1}over{x} &(x = 2,``` 4,``` 6)]

일 때, [eqn: {rmE}(aX )]의 값은?

① [eqn: {1 }over{8}]	② [eqn: {1 }over{4}]	③ [eqn: {1 }over{2}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

이산확률변수 [eqn: X`]가 갖는 값이 [eqn: -2,~0,~1,~2`]이고 [eqn: X`]의 확률질량함수가

[정답] ②

[해설]

[eqn: rm P LEFT ( itX= it -2 RIGHT ) = {itk} over {6}]

[eqn: rm P LEFT ( it X=0 RIGHT ) = {it k} over {4}]

[eqn: rm P LEFT ( it X=1 RIGHT ) = {it k} over {3}]

[eqn: rm P LEFT ( it X=2 RIGHT ) = {it k} over {2}]

이고

[eqn: rm P LEFT ( it X= it -2 RIGHT ) + rm P LEFT ( it X=0 RIGHT ) + rm P LEFT ( it X=1 RIGHT ) + rm P LEFT ( itX=2 RIGHT ) =1]

이므로

[eqn: {k} over {6} + {k} over {4} + {k} over {3} + {k} over {2} = {5} over {4} k=1]

[eqn: k= {4} over {5}]

따라서 이산확률변수 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: -2]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	합계
[eqn: rm P LEFT ( itX=x RIGHT )]	[eqn: {2} over {15}]	[eqn: {1} over {5}]	[eqn: {4} over {15}]	[eqn: {2} over {5}]	[eqn: 1]

[eqn: rm E LEFT ( itX RIGHT )][eqn: = LEFT ( it -2 RIGHT ) TIMES {2} over {15} +0 TIMES {1} over {5} +1 TIMES {4} over {15} +2 TIMES {2} over {5}]
[eqn: = {4} over {5}]

따라서

[eqn: rm E LEFT ( it 3X-k RIGHT )][eqn: =3 rm E LEFT ( itX RIGHT ) -itk]
[eqn: =3 TIMES {4} over {5} - {4} over {5}]
[eqn: = {8} over {5}]

[eqn: rm P LEFT ( itX=x RIGHT ) =it {k} over {4-x} ~ LEFT ( x= it -2,~0,~1,~2 RIGHT )]

일 때, [eqn: rm E LEFT ( it3X-k RIGHT ) `]의 값은? (단, [eqn: k`]는 상수이다.)

① [eqn: {7} over {5}]	② [eqn: {8} over {5}]	③ [eqn: {9} over {5}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {11} over {5}]

확률변수 [eqn: X]의 확률질량함수가

[정답] ②

[해설]

[eqn: {rm P it}(X=1)= {2} over {15}], [eqn: {rm P it}(X=2)= {5} over {15}],

[eqn: {rm P it}(X=3)= {8} over {15}]

확률변수 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: {rm P it}(X=x)]	[eqn: {2} over {15}]	[eqn: {5} over {15}]	[eqn: {8} over {15}]	[eqn: 1]

[eqn: {rm E it (}X)=1 TIMES {2} over {15} +2 TIMES {5} over {15} +3 TIMES {8} over {15} = {36} over {15} = {12} over {5}]

∴ [eqn: {rm E it (}5X-2)=5{rm E it (}X)-2=5 TIMES {12} over {5} -2=10]

[eqn: {rm P it} LEFT ( X=x RIGHT )= { 3x-1} over { 15} LEFT ( x=1,`` 2,`` 3 RIGHT )]

일 때, [eqn: {rm E it}` LEFT ( 5X-2 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 12]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 6]

05 확통	07 이산확률분포
03 aX+b의 평균과 표준편차
04 aX+b의 평균4 (확률분포 구하기)

[출처]	2007 모의_공공 교육청 고3 10월 확률과 통계 30

표는 어느 고등학교 학생 [eqn: rm 100]명을 대상으로 학교에 등교할 때 이용하는 교통수단을 조사한 것이다.

[정답] [eqn: 77]

[해설]

[eqn: {rm{E}} it (X)=0 times {40} over {100}+1 times {43} over {100}+2 times {17} over {100}=0.77]

[eqn: therefore~{rm{E}} it (100 X)=100 {rm{E}} it (X)=77]

교통수단	인원
도보 또는 자전거	[eqn: rm 34]
부모님 자가용	[eqn: rm 6]
버스	[eqn: rm 23]
지하철	[eqn: rm 15]
자전거와 지하철	[eqn: rm 5]
버스와 지하철	[eqn: rm 17]
계	[eqn: rm 100]

위의 교통수단 중 대중교통수단은 버스, 지하철 두 가지이다. 이 [eqn: rm 100]명의 학생 중 임의로 택한 한 명이 학교에 등교할 때 이용하는 대중교통수단의 가짓수를 [eqn: X]라 하자. 이때, 확률변수 [eqn: 100 X]의 평균을 구하시오.

주머니 속에 크기와 모양이 같은 흰 공 [eqn: 1]개와 검은 공 [eqn: 3]개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 공 [eqn: 1]개를 꺼내어 색을 확인한 후 다시 집어 넣는 시행을 [eqn: 3]회 반복할 때, 바로 앞에서 꺼낸 공과 같은 색의 공이 나오면 [eqn: 1]점, 다른 색의 공이 나오면 [eqn: 2]점을 받는다고 하자. 첫 번째 공을 꺼내는 시행에서 흰 공이 나왔다. [eqn: 3]번째 공을 꺼내는 시행을 마친 후의 총 득점의 합을 [eqn: X`]라 하자. [eqn: rmE` LEFT ( it40X-50 RIGHT )]의 값은?

[정답] ③

[해설]

흰 공이 나올 확률 [eqn: {1} over {4}], 검은 공이 나올 확률 [eqn: {3} over {4}],

[eqn: 1]회에는 흰 공이 나왔고 [eqn: 2]회와 [eqn: 3]회에서 나온 공의 색을 고려해서

순서쌍과 점수의 총합을 따져보면

(흰 공, 흰 공, 흰 공)([eqn: 2]점), (흰 공, 흰 공, 검은 공)([eqn: 3]점)

(흰 공, 검은 공, 검은 공)([eqn: 3]점), (흰 공, 검은 공, 흰 공)([eqn: 4]점)

[eqn: X]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	합계
[eqn: rmP(it X=x)]	[eqn: {1} over {16}]	[eqn: {12} over {16}]	[eqn: {3} over {16}]	[eqn: 1]

[eqn: rm E LEFT ( itX RIGHT ) = {2+36+12} over {16} = {25} over {8}],

그러므로

[eqn: rm E LEFT ( it 40X-50 RIGHT ) =40 TIMES {25} over {8} -50=75]

① [eqn: 55]	② [eqn: 65]	③ [eqn: 75]

④ [eqn: 85]	⑤ [eqn: 95]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 29

그림과 같이 [eqn: {8}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]개의 칸에 숫자 [eqn: 0 ,```` 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 ,```` 5 ,```` 6 ,```` 7]이 하나씩 적혀 있는 말판이 있고, 숫자 [eqn: 0]이 적혀 있는 칸에 말이 놓여 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

[정답] [eqn: bold80]

[해설]

[eqn: 3]이상의 눈이 나오는 횟수를 [eqn: x]라 하면 [eqn: 3]보다 작은 경우는 [eqn: 4-x]번이다.

[eqn: x]에 따른 확률변수 [eqn: X]값은 다음 표와 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]
[eqn: X]	[eqn: 4]	[eqn: 6]	[eqn: 0]	[eqn: 2]	[eqn: 4]

이때 [eqn: x=k]일 때의 확률은 [eqn: {} _{4} rm C it rm _{itk} ` LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{k} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4-k}][eqn: = _{4} rm C it rm _{itk} ` CDOT ` {2 ^{k}} over {3 ^{4}}]이므로

확률변수 [eqn: X]에 대한 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: 6]	계
[eqn: rm P it (X=x)]	[eqn: {24} over {81}]	[eqn: {32} over {81}]	[eqn: {17} over {81}]	[eqn: {8} over {81}]	[eqn: 1]

[eqn: THEREFORE][eqn: rm E it LEFT ( 36X RIGHT )][eqn: = {36} over {81} LEFT ( 64+68+48 RIGHT )][eqn: = {4} over {9} `times180][eqn: =80]

주사위를 한 번 던져 나오는 눈의 수가 [eqn: 3] 이상이면 말을 화살표 방향으로 한 칸 이동시키고, 나오는 눈의 수가 [eqn: 3]보다 작으면 말을 화살표 반대 방향으로 한 칸 이동시킨다.

위의 시행을 [eqn: 4]회 반복한 후 말이 도착한 칸에 적혀 있는 수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: rmE(36itX)]의 값을 구하시오.

05 확통	07 이산확률분포
04 이항분포
04 이항분포4 (aX+b의 평균과 분산의 공식)

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 10

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: {rmB}(5,``` p)]를 따르고,

[정답] ④

[해설]

P[eqn: (X= 3) = rm `_5 C_3 it p^3 (1-p)^2], P[eqn: (X= 4) = rm `_5 C_4 it p^4 (1-p)]

[eqn: 10 p^3 (1-p)^2 = 5 p^4 (1-p)], [eqn: p = 2 over3]

[eqn: THEREFORE] E[eqn: ( 6X) = 6]E[eqn: (X)= 6Times 5 p][eqn: = 20]

[eqn: {rmP}(X = 3)= {rmP}(X = 4)]

일 때, [eqn: {rmE}(6X )]의 값은? (단, [eqn: 0 < p < 1])

① [eqn: 5]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 25]

이항분포 [eqn: { rm B it }(n ,``p)]를 따르는 확률변수 [eqn: X``]가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, 상수 [eqn: n ,``p`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0<p<1])

[정답] [eqn: 10], [eqn: { 2} over { 3}]

[해설]

[eqn: { rm P it }(X= it 1)= {}_{n} { rm C it } {}_{1} p(1-p) ^{n-1} = it np(1-p) ^{n-1}]

[eqn: rm P it (X=0)= {}_{n} { rm C it } it {}_{0} p(1-p) ^{n} = it (1-p) ^{n}]

(가)에서 [eqn: np(1-p) ^{n-1} =20(1-p) ^{n}]이므로

[eqn: np=20(1-p)]

(나)에서 [eqn: np= {20} over {3}]이므로 [eqn: {20} over {3} =20(1-p)]

따라서 [eqn: p= {2} over {3}], [eqn: n=10]

(가) [eqn: { rm P it }(X= it 1)=20 times { rm P it }`(X= it 0)]

(나) [eqn: { rm E it }(X)= it {20} over {3}]

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: {rm B it} LEFT ( n ,`` p RIGHT )]를 따르고 [eqn: {rm E it} LEFT ( X RIGHT )= { 5} over { 4}], [eqn: 15{rm P it}` LEFT ( X=n RIGHT )={rm P it}` LEFT ( X=n-1 RIGHT )]일 때, [eqn: {rm V it} LEFT ( 4X+1 RIGHT )]의 값은?

[정답] ④

[해설]

확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: {rm B it } LEFT ( n,``p RIGHT )]를 따르므로

[eqn: {rm E it (}X)=np= {5} over {4}]     … ㉠

또한, [eqn: 15{rm P it}(X=n)={rm P it}(X=n-1)]에서

[eqn: 15`times`` _{n} rm C it _{n} p` ^{n} =`` _{n} rm C it _{n-1} p ^{n-1} ` LEFT ( 1-p RIGHT )]

[eqn: 15p`=`n` LEFT ( 1-p RIGHT )]    … ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: n=5], [eqn: p= {1} over {4}]

따라서 [eqn: {rm V it (}X)=5`times` {1} over {4} times` {3} over {4} = {15} over {16}]이므로

[eqn: {rm V it (}4X+1)=16{rm V it (}X)=16`times` {15} over {16} =15]

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

05 확통	07 이산확률분포
04 이항분포
05 이항분포5 (aX+b의 평균과 분산의 활용)

[출처]	2022 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능특강 레벨2 기본연습

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던지는 [eqn: rm 240]번의 독립시행에서 두 주사위의 눈의 수의 곱이 소수인 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: {rm{V}} it (3 X)]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

서로 다른 두 주사위의 눈의 수의 곱이 소수가 되려면 한 개의 주사위의 눈의 수는 [eqn: rm 1]이고, 다른 주사위의 눈의 수는 소수이어야 하므로 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 두 주사위의 눈의 수의 곱이 소수일 확률은

[eqn: {1} over {6} times {3} over {6}+{3} over {6} times {1} over {6}={1} over {6}]

따라서 확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: {rm{B}} it left(240,`` {1} over {6} right)]을 따르므로

[eqn: V(X)][eqn: =240 times {1} over {6} times {5} over {6}]

[eqn: ={100} over {3}]

즉,

[eqn: {rm{V}} it (3 X)][eqn: =9 {rm{V}} it (X)]

[eqn: =9 times {100} over {3}]

[eqn: =300]

① [eqn: rm 100]	② [eqn: rm 150]	③ [eqn: rm 200]

④ [eqn: rm 250]	⑤ [eqn: rm 300]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 11

어느 사관생도가 [eqn: {1}{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}]회의 사격을 하여 표적에 명중시킬 확률이 [eqn: 4 over5]이다. 이 사관생도가 [eqn: 20]회의 사격을 할 때, 표적에 명중시키는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: {rm V} left( 1 over4 X +1 right)]의 값은?
(단, 이 사관생도가 매회 사격을 하는 시행은 독립시행이다.)

[정답] ①

[해설]

어느 사관생도가 [eqn: {1}{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}]회의 사격을 하여 표적에 명중시킬 확률이 [eqn: 4 over5]이고, 이 사관생도가 [eqn: 20]회의 사격을 할 때, 표적에 명중시키는 횟수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm B left( 20, ```` 4 over5 right)]를 따른다.

따라서 [eqn: {rmE}(X)= 20 times 4 over 5 =16], [eqn: {rmV}(X) = 16 times 1 over 5][eqn: = 16 over 5]

[eqn: therefore][eqn: {rm V} left( 1 over4 X +1 right)][eqn: = 1 over 16 {rm V}(X)]
[eqn: = 1 over 16 times 16 over 5]
[eqn: = 1 over5]

① [eqn: 1 over5]	② [eqn: 2 over5]	③ [eqn: 3 over5]

④ [eqn: 4 over5]	⑤ [eqn: 1]

어느 사격선수가 [eqn: 1]회의 사격을 하여 표적에 명중시킬 확률은 [eqn: { 4} over { 5}]이다. 이 사격선수가 [eqn: 100]회의 사격을 할 때, 표적에 명중시키는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: {rm V it} LEFT ( { 1} over { 4}X+1 RIGHT )]의 값은? (단, 이 사격선수가 매회 사격을 하는 시행은 독립시행이다.)

[정답] ②

[해설]

확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: {rm B it} LEFT ( 100 ,`` {4} over {5} RIGHT )]을 따르므로

[eqn: {rm V it (}X)=100` TIMES ` {4} over {5} TIMES ` {1} over {5} =16]

∴ [eqn: {rm V it} LEFT ( {1} over {4} X+1 RIGHT ) = {1} over {16} `{rm V it (}X)= {1} over {16} TIMES 16=1]

① [eqn: { 1} over { 4}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 32]

05 확통	07 이산확률분포
04 이항분포
06 이항분포6 (X의 제곱의 평균)

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 26

확률변수 [eqn: X]가 가지는 값이 [eqn: rm 0]부터 [eqn: rm 25]까지의 정수이고, [eqn: 0<p<{1} over {2}]인 실수 [eqn: p]에 대하여 [eqn: X]의 확률질량함수는

[정답] [eqn: 29]

[해설]

확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: {rm{B}} it (25,`` p)]를 따른다.

[eqn: m=n p=25 p], [eqn: 4=n p(1-p)=25 p(1-p)]

[eqn: p(1-p)={4} over {25}={1} over {5} times {4} over {5}], [eqn: therefore~p={1} over {5}]

[eqn: {rm{E}} it left(X^{2} right)={rm{V}} it (X)+m^{2}=4+ left(25 times {1} over {5} right)^{2}=4+5^{2}=29]

[eqn: {rm{P}} it (X=x)= it _{25} {rm{C}} it _{x} p^{x}(1-p)^{25-x} ~ (x=0,``1,``2,`` cdots,`` 25)]

이다. [eqn: {rm{V}} it (X)=4]일 때, [eqn: {rm{E}} it left(X^{2} right)]의 값을 구하시오.

확률변수 [eqn: X]의 확률질량함수가

[정답] ②

[해설]

확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: {rm B it} LEFT ( 10,`` {2} over {5} RIGHT )]를 따르므로

[eqn: {rm E it (}X)=10` TIMES ` {2} over {5} =4]

[eqn: {rm V it (}X)=10 TIMES {2} over {5} TIMES {3} over {5} = {12} over {5}]

∴ [eqn: {rm E it (}X ^{2} )={rm V it (}X)+ LEFT { {rm E it (}X) RIGHT } ^{2} = {12} over {5} +4 ^{2} = {92} over {5}]

[eqn: {rm P it} LEFT ( X=x RIGHT ) = _{10} {rm C} _{it x} LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ^{x} LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{10-x} LEFT ( x=0,`` 1,`` 2,` CDOTS` ,`` 10 RIGHT )]

일 때, [eqn: {rm E it} ` LEFT ( X^2 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 20]	② [eqn: { 92} over { 5}]	③ [eqn: { 84} over { 5}]

④ [eqn: { 76} over { 5}]	⑤ [eqn: { 68} over { 5}]

자연수 [eqn: n]에 대하여 이산확률변수 [eqn: X]의 확률질량함수가	[eqn: rm P it LEFT ( X =x RIGHT ) = _{n} rm C _{it x} 4 ^{x} LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{n}][eqn: LEFT (x= 0,`` 1,`` 2,` CDOTS`,`` n RIGHT )]

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: {}_{n} {rmC}_{it x} 4 ^{x} LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{n} = _{n}{rmC} _{it x} LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{x} LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{n-x}]이므로

확률변수 [eqn: X]는 [eqn: {rm B it } LEFT ( n,`` {4} over {5} RIGHT )]를 따르고

[eqn: {rm E it (}5X+3)=5{rm E it (}X)+3=203]이므로

[eqn: {rm E it (}X)=40]

[eqn: {rm V it (}X)=40times {1} over {5} =8]

[eqn: {rm E it (}X ^{2} )={rm V it (}X)+{rm E it (}X) ^{2} =1608]

이고 [eqn: {rm E it}` LEFT ( 5X`+3 RIGHT )=203]일 때, [eqn: {rm E it}` LEFT ( X``^2 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 1592]	② [eqn: 1596]	③ [eqn: 1600]

④ [eqn: 1604]	⑤ [eqn: 1608]

05 확통	08 정규분포
01 확률밀도함수
03 확률밀도함수2 (확률)

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 7

연속확률변수 [eqn: X]가 가지는 값의 범위는 [eqn: 0 ≤X ≤ 2]이고 [eqn: X]의 확률밀도함수의 그래프는 그림과 같이 두 점 [eqn: left (0,``` {3 }over{4a}right )], [eqn: left (a,``` {3 }over{4a}right )]을 이은 선분과 두 점 [eqn: left (a,``` {3 }over{4a}right )], [eqn: (2,``` 0)]을 이은 선분으로 이루어져 있다. [eqn: {rmP}left ({1}over{2}≤X ≤ 2 right )]의 값은?
(단, [eqn: a]는 양수이다.)

[정답] ②

[해설]

[eqn: 3 over4a Times a + 1 over2 Times (2-a) Times 3 over4a = 1]이므로

[eqn: 3(2-a) over8a = 1 over4], [eqn: 3(2-a) = 2a], [eqn: a = 6 over5]

[eqn: THEREFORE] P[eqn: left( 1 over2 le X le 2 right)][eqn: = 1- 1 over2 Times 3 over4a][eqn: = 11 over16]

① [eqn: {2 }over{3}]	② [eqn: {11 }over{ 16}]	③ [eqn: {17 }over{ 24}]

④ [eqn: {35 }over{ 48}]	⑤ [eqn: {3}over{4}]

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 8

연속확률변수 [eqn: X]가 갖는 값의 범위가 [eqn: 0 leq X leq 4]이고, [eqn: X]의 확률밀도함수의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: {rm{P}} it left({1} over {2} leq X leq 3 right)]의 값은?

[정답] ③

[해설]

확률밀도함수의 정의와 삼각형의 닮음으로 부터

[eqn: {rm{P}} it left(0 leq X leq {1} over {2} right)= left({1} over {4} right)^{2} {rm{P}} it (0 leq X leq 2)={1} over {16} times {1} over {2}={1} over {32}]

[eqn: {rm{P}} it (3 leq X leq 4)= left({1} over {2} right)^{2} {rm{P}} it (2 leq X leq 4)={1} over {4} times {1} over {2}={1} over {8}]

[eqn: therefore~ ~ {rm{P}} it left({1} over {2} leq X leq 3 right)=1-{1} over {32}-{1} over {8}={27} over {32}]

① [eqn: {25} over {32}]	② [eqn: {13} over {16}]	③ [eqn: {27} over {32}]

④ [eqn: {7} over {8}]	⑤ [eqn: {29} over {32}]

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 11

연속확률변수 [eqn: X]가 갖는 값의 범위가 [eqn: 0 leq X leq 4]이고, [eqn: X]의 확률밀도함수의 그래프는 그림과 같다. [eqn: 1<k<2]일 때, [eqn: {rm{P}} it (k leq X leq 2 k)]가 최대가 되도록 하는 [eqn: k]의 값은?

[정답] ③

[해설]

아래 그림에서

[eqn: {rm{P}} it (k leq X leq 2 k)][eqn: =1-{1} over {8} k^{2}-{1} over {8}(4-2 k)^{2}]
[eqn: =-{5} over {8} k^{2}+2 k-1=-{5} over {8} left(k-{8} over {5} right)^{2}+{3} over {5}]

따라서 [eqn: k={8} over {5}]일 때 최댓값 [eqn: {3} over {5}]를 갖는다.

① [eqn: {7} over {5}]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: {8} over {5}]

④ [eqn: {17} over {10}]	⑤ [eqn: {9} over {5}]

05 확통	08 정규분포
03 정규분포의 표준화
05 확률관계식1 (변수 1개)

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 24

확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {rmN}(m,``` sigma^2 )]을 따르고, 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 149]

[해설]

(가)에서 [eqn: m = { 128 + 140} over2 = 134], (나)에서 [eqn: sigma = 10]

[eqn: THEREFORE][eqn: k = m + 1.5 sigma = 134 + 1.5 Times 10 = 149]

(가) [eqn: {rmP}(X ≥ 128)= {rmP}(X ≤ 140)]

(나) [eqn: {rmP}(m ≤X ≤ m+ 10)= {rmP}(- 1 ≤Z ≤ 0)]

[eqn: {rmP}(X ≥ k)= 0.0668]을 만족시키는 상수 [eqn: k]의 값을 다음 표준정규분포표를 이용하여 구하시오.
(단, [eqn: Z]는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다.)

[eqn: z]	[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {rmN}(m,``` sigma^2 )]을 따르고, 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 149]

[해설]

(가)에서 [eqn: m = { 128 + 140} over2 = 134], (나)에서 [eqn: sigma = 10]

[eqn: THEREFORE][eqn: k = m + 1.5 sigma = 134 + 1.5 Times 10 = 149]

(가) [eqn: {rmP}(X ≥ 128)= {rmP}(X ≤ 140)]

(나) [eqn: {rmP}(m ≤X ≤ m+ 10)= {rmP}(- 1 ≤Z ≤ 0)]

[eqn: {rmP}(X ≥ k)= 0.0668]을 만족시키는 상수 [eqn: k]의 값을 다음 표준정규분포표를 이용하여 구하시오.
(단, [eqn: Z]는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다.)

[eqn: z]	[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

05 확통	08 정규분포
03 정규분포의 표준화
06 확률관계식2 (변수2개)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 16

확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {RMN}(m ,```` 4^2 )]을 따르고, 확률변수 [eqn: Y]는 정규분포 [eqn: {RMN}(20 ,```` sigma^2 )]을 따른다. 확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수가 [eqn: f(x)]일 때, [eqn: f(x)]와 두 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+10)=f(20-x)]이므로 좌우대칭인 값이다.

즉, 평균을 [eqn: m]이라 하면 [eqn: m -(20-x) = x+10 -m]을 만족한다.

따라서 [eqn: m=15]

즉, 확

<표준정규분포표>

[eqn: z]	[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ z)`]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {RMN}(15 ,```` 4^2 )]을 따르고, 확률변수 [eqn: Y]는 정규분포 [eqn: {RMN}(20 ,```` sigma^2 )]을 따른다.

(나)조건에서 [eqn: {rmP}(X GE 17) = {RMP}(Y LE 17)]을 만족하므로

[eqn: 17-15over4 =- 20-17oversigma]

[eqn: therefore][eqn: sigma=6]

[eqn: therefore][eqn: {rmP}(X LE 15+6)][eqn: ={RMP} left(Z LE{21-15} over 4 right)]
[eqn: ={RMP}(Z LE 1.5)]
[eqn: = 0.5+0.4332]
[eqn: =0.9332]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+10)=f(20-x)]이다.

(나) [eqn: {rmP}(X GE 17) = {RMP}(Y LE 17)]

[eqn: {{RMP}(X LE m+sigma)]의 값을 다음 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, [eqn: sigma>0])

<표준정규분포표>

[eqn: { z }{{from^2020^08^사관고3가^중}}]	[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ z)`]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

① [eqn: 0.6915]	② [eqn: 0.7745]	③ [eqn: 0.9104]

④ [eqn: 0.9332]	⑤ [eqn: 0.9772]

확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {RMN}(m ,```` 4^2 )]을 따르고, 확률변수 [eqn: Y]는 정규분포 [eqn: {RMN}(20 ,```` sigma^2 )]을 따른다. 확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수가 [eqn: f(x)]일 때, [eqn: f(x)]와 두 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+10)=f(20-x)]이므로 좌우대칭인 값이다.

즉, 평균을 [eqn: m]이라 하면 [eqn: m -(20-x) = x+10 -m]을 만족한다.

따라서 [eqn: m=15]

즉, 확

<표준정규분포표>

[eqn: z]	[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ z)`]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {RMN}(15 ,```` 4^2 )]을 따르고, 확률변수 [eqn: Y]는 정규분포 [eqn: {RMN}(20 ,```` sigma^2 )]을 따른다.

(나)조건에서 [eqn: {rmP}(X GE 17) = {RMP}(Y LE 17)]을 만족하므로

[eqn: 17-15over4 =- 20-17oversigma]

[eqn: therefore][eqn: sigma=6]

[eqn: therefore][eqn: {rmP}(X LE 15+6)][eqn: ={RMP} left(Z LE{21-15} over 4 right)]
[eqn: ={RMP}(Z LE 1.5)]
[eqn: = 0.5+0.4332]
[eqn: =0.9332]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+10)=f(20-x)]이다.

(나) [eqn: {rmP}(X GE 17) = {RMP}(Y LE 17)]

[eqn: {{RMP}(X LE m+sigma)]의 값을 다음 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, [eqn: sigma>0])

<표준정규분포표>

[eqn: { z }{{from^2020^08^사관고3가^중}}]	[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ z)`]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

① [eqn: 0.6915]	② [eqn: 0.7745]	③ [eqn: 0.9104]

④ [eqn: 0.9332]	⑤ [eqn: 0.9772]

05 확통	08 정규분포
03 정규분포의 표준화
10 확률밀도함수의 해석

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 17

확률변수 [eqn: X`{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}]는 정규분포 [eqn: {RmN}( 10,```` 5^2 )]을 따르고, 확률변수 [eqn: Y`]는 정규분포 [eqn: {RmN}( m , ```` 5^2 )]을 따른다. 두 확률변수 [eqn: X,````Y`]의 확률밀도함수를 각각 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]라 할 때, 두 곡선 [eqn: y= f(x)]와 [eqn: y= g(x)]가 만나는 점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: k`]라 하자. [eqn: {rmP}( Y le 2k )]의 값을 다음 정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, [eqn: m !=10])

[정답] ⑤

[해설]

확률변수 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: {RmN}( 10,```` 5^2 )]을 따르고, 확률변수 [eqn: Y`]는 정규분포 [eqn: {RmN}( m , ```` 5^2 )]이다.

두 곡선 [eqn: y= f(x)]와 [eqn: y= g(x)]가 만나는 점의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: k`]이므로

[eqn: k]는 평균 [eqn: 10]과 [eqn: m]의 중점이다.

따라서 [eqn: 2k = m+10]

[eqn: therefore][eqn: {rmP}( Y le 2k )][eqn: = {rmP}( Y le m+10)]
[eqn: = {rmP} left( Z le {m+10-m } over 5 right )]
[eqn: = {rmP} left( Z le 2 right )]
[eqn: = 0.5 + {rmP} ( 0 le Z le 2 )]
[eqn: = 0.5 + 0.4772]
[eqn: = 0.9772]

<표준정규분포표>

[eqn: { z }]	[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ z)`]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

① [eqn: 0.6915]	② [eqn: 0.8413]	③ [eqn: 0.9104]

④ [eqn: 0.9332]	⑤ [eqn: 0.9772]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 29

서로 다른 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 두 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]가 각각 정규분포 [eqn: rmN ( it a,````sigma^2 )], [eqn: rmN ( it 2b-a ,````sigma^2 )]을 따른다. 확률변수 [eqn: X`]의 확률밀도함수 [eqn: f(x)`]와 확률변수 [eqn: Y`]의 확률밀도함수 [eqn: g(x)`]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a+ b `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 25]

[해설]

조건 (가)에서

[eqn: rmP left(itX le11right)=rmP left(itZ ge{11-a}oversigma right)]

[eqn: rmP left(itY ge11right)=rmP left(itZ ge{11-2b+a}oversigma right)]

[eqn: rm P( it X le 11 ) = rmP (it Y ge 11) `]이므로

[eqn: {11-a}oversigma +{11-2b+a}oversigma =0]	[eqn: therefore][eqn: b=11]

확률변수 [eqn: X]의 평균이 [eqn: a], 확률변수 [eqn: Y]의 평균이 [eqn: 22-a]이고, 두 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]의 표준편차가 같으므로 두 확률밀도함수 [eqn: f left(x right)], [eqn: g left(x right)]는 [eqn: x=11]에 대하여 대칭인 함수이다.

[eqn: g left(10right)=f left(12right)]이므로 조건 (나)에서

[eqn: f left(17right)<g left(10right)=f left(12right)<f left(15 right)]

[eqn: left|`15-a`right|<a-12<17-a]

[eqn: 27over2 <a< 29over2]	[eqn: therefore][eqn: a=14]

[eqn: therefore][eqn: a+b=14+11=25]

(가) [eqn: rm P( it X le 11 ) = rmP (it Y ge 11) `]

(나) [eqn: f(17) < g(10)< f(15) `]

05 확통	09 통계적 추정
01 모평균과 표본평균
02 모평균과 표본평균2 (모집단의 분포와 표본평균의 분포의 관계)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 23

모평균이 [eqn: {15}{{from^2020^08^사관고3가^중}}]이고 모표준편차가 [eqn: 8]인 모집단에서 크기가 [eqn: 4]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: BARX]라 할 때, [eqn: {RME}(BARX )+sigma (barX )]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold19]

[해설]

평균이 [eqn: 15]이고 모표준편차가 [eqn: 8]인 모집단에서 크기가 [eqn: 4]이므로

[eqn: {rmE}(X) =15 ,````sigma(X) =8], [eqn: n=4]

[eqn: therefore][eqn: {RmE}(BARX ) +sigma (barX )][eqn: ={RME}(X)+ {sigma(X)OVERROOTn]
[eqn: =15 + 8overroot4]
[eqn: = 19]

모평균이 양수이고 모표준편차가 [eqn: rm 6]인 모집단에서 임의추출한 크기가 [eqn: rm 4]인 표본의 표본평균을 [eqn: bar{X}]라 하자. 모집단의 확률변수를 [eqn: X]라 할 때, [eqn: rm E it LEFT ( X ^{2} RIGHT ) + rm E it LEFT ( {bar{X ^{}}} ^{``2} RIGHT ) =53]이다. [eqn: {rm{E}} it (X)]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: {rm{E}} it (X)=m(m>0)]이라 하면 [eqn: {rm{E}} it ( bar{X})=m]

또 [eqn: {rm{V}} it (X)=36]이고 표본의 크기가 [eqn: rm 4]이므로

[eqn: {rm{V}} it ( bar{X})={1} over {4} times {rm{V}} it (X)={1} over {4} times 36=9]

한편, [eqn: rm E it LEFT ( X ^{2} RIGHT ) + rm E it LEFT ( {bar{X ^{}}} ^{`2} RIGHT ) =53]에서

[eqn: rm E it LEFT ( X ^{2} RIGHT ) + rm E it LEFT ( {bar{X ^{}}} ^{`2} RIGHT )][eqn: = left[{rm{V}} it (X)+ left{ {rm{E}} it (X) it right} ^{2} right]+ left[{rm{V}} it ( bar{X})+ left{ {rm{E}} it ( bar{X}) it right} ^{2} right]]
[eqn: = left(36+m^{2} right)+ left(9+m^{2} right)]
[eqn: =45+2 m^{2}=53]

[eqn: m^{2}=4]

[eqn: m>0]이므로 [eqn: m=2]

따라서, [eqn: E(X)=2]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

05 확통	09 통계적 추정
02 표본평균의 확률분포
02 표본평균의 정규분포2 (정규분포조건에서 확률)

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 25

[eqn: z]	[eqn: {rm{P}} it (0 leq Z leq z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

모평균이 [eqn: rm 85], 모표준편차가 [eqn: rm 6]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: rm 16]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: bar{X}]라 할 때,	[eqn: {rm{P}} it ( bar{X} geq k)=0.0228]

[정답] [eqn: 88]

[해설]

[eqn: bar{X}]는 [eqn: {rm{N}} it left(85,`` {9} over {4} right)]를 따른다.

[eqn: {rm{P}} it ( bar{X} geq k)=0.0228={rm{P}} it (Z geq 2)]

[eqn: {k-85} over {{3} over {2}}=2],

[eqn: therefore~ ~ k=85+3=88]

을 만족시키는 상수 [eqn: k]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하시오.

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 10

[eqn: z]	[eqn: {rm{P}} it (0 leq Z leq z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

모평균이 [eqn: rm 85], 모표준편차가 [eqn: rm 6]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: rm 16]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: bar{X}]라 할 때,

[정답] ③

[해설]

[eqn: bar{X}]는 [eqn: {rm{N}} it left(85,`` {9} over {4} right)]를 따른다.

[eqn: {rm{P}} it ( bar{X} geq k)=0.0228={rm{P}} it (Z geq 2)]

[eqn: {k-85} over {{3} over {2}}=2],

[eqn: therefore~ ~ k=85+3=88]

[eqn: {rm{P}} it ( bar{X} geq k)=0.0228]

을 만족시키는 상수 [eqn: k]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

① [eqn: rm 86]	② [eqn: rm 87]	③ [eqn: rm 88]

④ [eqn: rm 89]	⑤ [eqn: rm 90]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 27

평

<표준정규분포표>

[eqn: {z}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]	[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ z)`]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]
[eqn: 3.0]	[eqn: 0.4987]

균이 [eqn: 100 {{from^2021^7월 사관학교^중}}], 표준편차가 [eqn: sigma]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 25]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: bar{X}]라 하자. [eqn: rmP(it98 le bar{X} le 102)=0.9876]일 때, [eqn: sigma]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[정답] ⑤

[해설]

확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {rmN} LEFT ( 100,````sigma ^{2} RIGHT )]을 따른다.

표본평균 [eqn: bar{X}]는 크기가 [eqn: 25]이므로 [eqn: bar{X}` SIM rm N it LEFT ( 100,```` LEFT ( {sigma} over {5} RIGHT ) ^{2} RIGHT )]

따라서

[eqn: rm P( it 98 LEQ {bar{X}} LEQ 102)][eqn: rm =2P( it 0 LEQ Z LEQ {10} over {sigma} )][eqn: =0.9876]

[eqn: THEREFORE][eqn: rm P( it 0 LEQ Z LEQ {10} over {sigma } )][eqn: =0.4938]

표준정규분포표에서 [eqn: {10} over {sigma}][eqn: = {5} over {2}]이므로 [eqn: sigma=4]

① [eqn: 2]	② [eqn: 5 over2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 7 over2]	⑤ [eqn: 4]

05 확통	09 통계적 추정
02 표본평균의 확률분포
03 표본평균의 정규분포3 (실생활. 확률 구하기)

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 25

어

[eqn: z]	[eqn: rm P(0 le itZ it le z )]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

느 회사에서 근무하는 직원들의 일주일 근무 시간은 평균이 [eqn: 42`]시간, 표준편차가 [eqn: 4`]시간인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 근무하는 직원 중에서 임의추출한 [eqn: 4 `]명의 일주일 근무 시간의 표본평균이 [eqn: 43`]시간 이상일 확률을 다음 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[정답] ④

[해설]

근무 시간은 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rmN left(42,``4^2 right)]을 따르므로 [eqn: n=4]일 때의 표본평균 [eqn: bar{X``}`]는 정규분포 [eqn: rmN left(42,``2^2 right)]을 따른다.

[eqn: therefore][eqn: rmP left(itbar{X``}ge43 right)][eqn: =rmP left(itZ ge{43-42}over2 right)]
[eqn: =rmP left(itZ ge0.5right)]
[eqn: =0.5-rmP left(0le itZ le0.5right)]
[eqn: =0.5-0.1915]
[eqn: =0.3085]

① [eqn: 0.0228]	② [eqn: 0.0668]	③ [eqn: 0.1587]

④ [eqn: 0.3085]	⑤ [eqn: 0.3413]

[출처]	2022 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능특강 예제와 유제 유제

[eqn: z]	[eqn: {rm{P}} it (0 leq Z leq z)]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]
[eqn: 3.0]	[eqn: 0.4987]

어느 배드민턴 전용 운동화를 만드는 한 업체에서 제작한 운동화 [eqn: rm 1]켤레의 무게는 평균이 [eqn: rm 320], 표준편차가 [eqn: rm 10]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 업체에서 제작한 운동화 중에서 임의추출한 [eqn: rm 9]켤레의 무게의 표본평균이 [eqn: rm 315] 이상 [eqn: rm 330] 이하일 확률을 다음 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, 무게의 단위는 g이다.)

[정답] ③

[해설]

이 업체에서 제작한 배드민턴 전용 운동화 [eqn: rm 1]켤레의 무게를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {rm{N}} it left(320,``10^{2} right)]을 따른다.

이때 크기가 [eqn: rm 9]인 표본의 표본평균을 [eqn: bar{X}]라 하면

[eqn: {rm{E}} it ( bar{X})={rm{E}} it (X)=320]

[eqn: {rm{V}} it ( bar{X})={10^{2}} over {9}= left({10} over {3} right)^{2}]

이므로 확률변수 [eqn: bar{X}]는 정규분포 [eqn: {rm{N}} it left(320,`` left({10} over {3} right)^{2} right)]을 따르고,

[eqn: Z={ bar{X}-320} over {{10} over {3}}]으로 놓으면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 [eqn: {rm{N}} it (0,``1)]을 따른다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: {rm{P}} it (315 leq bar{X} leq 330)]

[eqn: ={rm{P}} it left({315-320} over {{10} over {3}} leq Z leq {330-320} over {{10} over {3}} right)]

[eqn: ={rm{P}} it (-1.5 leq Z leq 3)]

[eqn: ={rm{P}} it (-1.5 leq Z leq 0)+{rm{P}} it (0 leq Z leq 3)]

[eqn: ={rm{P}} it (0 leq Z leq 1.5)+{rm{P}} it (0 leq Z leq 3)]

[eqn: =0.4332+0.4987]

[eqn: =0.9319]

① [eqn: 0.9104]	② [eqn: 0.9275]	③ [eqn: 0.9319]

④ [eqn: 0.9759]	⑤ [eqn: 0.9925]

05 확통	09 통계적 추정
03 모평균의 추정
03 신뢰구간3 (관계식 해석)

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 14

어느 도시의 직장인들이 하루 동안 도보로 이동한 거리는 평균이 [eqn: m {rm km}], 표준편차가 [eqn: sigma {rm km}]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 도시의 직장인들 중에서 [eqn: 36]명을 임의추출하여 조사한 결과 [eqn: 36]명이 하루 동안 도보로 이동한 거리의 총합은 [eqn: 216 rm km]이었다. 이 결과를 이용하여, 이 도시의 직장인들이 하루 동안 도보로 이동한 거리의 평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95□]의 신뢰구간을 구하면 [eqn: a ≤ m ≤ a+ 0□98]이다. [eqn: a+ sigma]의 값은? (단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: {\P}( LEFT |` Z `RIGHT | ≤ 1□96)= 0□95]로 계산한다.)

[정답] ②

[해설]

[eqn: bar{x}`= 216 over36 = 6],

[eqn: a =][eqn: 6 - 1.96 Times sigma over6], [eqn: a + 0.98 = 6 + 1.96 Times sigma over6]

을 연립하여 풀면, [eqn: a = 5.51], [eqn: sigma = 1.5], [eqn: THEREFORE][eqn: a + sigma = 7.01]

① [eqn: 6□96]	② [eqn: 7□01]	③ [eqn: 7□06]

④ [eqn: 7□11]	⑤ [eqn: 7□16]

모평균이 [eqn: m`], 모표준편차가 [eqn: sigma`]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 36`]인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균으로부터 구한 모평균 [eqn: m`]에 대한 신뢰도 [eqn: 99%`]의 신뢰구간이 [eqn: 58.56 le m le 65.44`]이다. [eqn: sigma `]의 값은? (단, [eqn: Z`]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: rmP(|ITZ``| LE 2.58) = 0.99`]로 계산한다.)

[정답] ④

[해설]

크기가 [eqn: 36`]인 표본으로부터 구한 표본평균의 값을 [eqn: barx`]라 하면 모평균 [eqn: m`]에 대한 신뢰도 [eqn: 99%`]의 신뢰구간은 [eqn: bar x - 2.58 times sigma over root36 le m le barx + 2.58 times sigma over root36`]

이다. 따라서

[eqn: 2 times 2.58 times sigma over root36 = 65.44-58.56`]

[eqn: 0.86times sigma =6.88`]

[eqn: sigma = 8`]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 6`]

④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 10`]

05 확통	09 통계적 추정
03 모평균의 추정
04 신뢰구간4 (신뢰구간의 길이)

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 13

어느 도시의 직장인들이 하루 동안 도보로 이동한 거리는 평균이 [eqn: m{rm km}], 표준편차가 [eqn: 1□5 {rm km}]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 도시의 직장인들 중에서 [eqn: 36]명을 임의추출하여 조사한 결과 [eqn: 36]명이 하루 동안 도보로 이동한 거리의 평균은 [eqn: bar{x}{rm km}]이었다. 이 결과를 이용하여, 이 도시의 직장인들이 하루 동안 도보로 이동한 거리의 평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95□]의 신뢰구간을 구하면 [eqn: a ≤ m ≤ 6□49]이다. [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: {\P}( LEFT |` Z` `RIGHT | ≤ 1□96)= 0□95]로 계산한다.)

[정답] ②

[해설]

[eqn: a = barx - 1.96 Times left( 1.5 over6 right)], [eqn: 6.49 = barx + 1.96 Times left( 1.5 over6 right)]이므로

[eqn: a - 6.49 = - 1.96 Times left( 3 over 6 right)], [eqn: THEREFORE][eqn: a = 6.49 - 1.96 over2 = 5.51]

① [eqn: 5□46]	② [eqn: 5□51]	③ [eqn: 5□56]

④ [eqn: 5□61]	⑤ [eqn: 5□66]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 11월 12

어느 마을에서 수확하는 수박의 무게는 평균이 [eqn: m`rm kg,] 표준편차가 [eqn: 1.4`rm kg]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 마을에서 수확한 수박 중에서 [eqn: 49]개를 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여, 이 마을에서 수확하는 수박의 무게의 평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간을 구하면 [eqn: a LEQ m LEQ 7.992]이다. [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: rmP` LEFT ( itZ LEQ 1.96 RIGHT ) =0.95]로 계산한다.)

[정답] ②

[해설]

[eqn: 49]개를 이용하여 얻은 표본평균의 값을 [eqn: barx`]라 하면

[eqn: bar x -1.96 TIMES { 1.4} over { sqrt { 49} } LEQx LEQ bar x +1.96 TIMES { 1.4} over { sqrt { 49} }]

이다. 이때

[eqn: 7.992-a][eqn: =LEFT ( barx +1.96 TIMES { 1.4} over { sqrt { 49} } RIGHT ) - LEFT ( barx -1.96 TIMES { 1.4} over { sqrt { 49} } RIGHT )]

[eqn: =2 TIMES1.96 TIMES { 1.4} over { sqrt { 49} }]

[eqn: =0.784]

이므로

[eqn: a=7.992 -0.784 =7.208]

① [eqn: 7.198]	② [eqn: 7.208]	③ [eqn: 7.218]

④ [eqn: 7.228]	⑤ [eqn: 7.238]

05 확통	09 통계적 추정
03 모평균의 추정
05 신뢰구간5 (표본의 크기)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 14

어느 방위산업체에서 생산하는 방독면 [eqn: {1}{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}]개의 무게는 평균이 [eqn: m,] 표준편차가 [eqn: 50]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 방위산업체에서 생산하는 방독면 중에서 [eqn: n]개를 임의추출하여 얻은 방독면 무게의 표본평균이 [eqn: 1740]이었다. 이 결과를 이용하여 이 방위산업체에서 생산하는 방독면 [eqn: 1]개의 무게의 평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간을 구하면 [eqn: 1720.4 le m le a]이다. [eqn: n+a]의 값은?

[정답] ④

[해설]

어느 방위산업체에서 생산하는 방독면 [eqn: {1}{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}]개의 무게는 평균이 [eqn: m,] 표준편차가 [eqn: 50]인 정규분포를 따르므로 [eqn: {rmN} (m ,````50^2 )]

이 방위산업체에서 생산하는 방독면 중에서 [eqn: n]개를 임의추출하여 얻은 방독면 무게의 표본평균이 [eqn: 1740]이므로

[eqn: m=1740]

따라서 [eqn: {rmN} left(1740 ,````left( 50 over rootn right)^2 right)]을 따른다.

방독면 [eqn: 1]개의 무게의 평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간을 구하면 [eqn: 1720.4 le m le a]이므로

[eqn: 1740 - 1.96 times 50 over rootn][eqn: = 1720.4].

[eqn: 1740 + 1.96 times 50 over root n =a]

[eqn: therefore][eqn: n][eqn: =25], [eqn: a][eqn: = 1759.6]

[eqn: therefore][eqn: n+a][eqn: = 1784.6]

(단, 무게의 단위는 [eqn: rm g]이고, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: {rm P} (0 le Z le 1.96)][eqn: = 0.475]로 계산한다.)

① [eqn: 1772. 6]	② [eqn: 1776.6]	③ [eqn: 1780.6]

④ [eqn: 1784.6]	⑤ [eqn: 1788.6]

어느 공장에서 생산하는 노트북 [eqn: 1]개의 무게는 평균이 [eqn: m], 표준편차가 [eqn: 50]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산하는 노트북 중에서 [eqn: n]개를 임의추출하여 얻은 노트북 무게의 표본평균이 [eqn: 1740]이었다. 이 결과를 이용하여 이 공장에서 생산하는 노트북 [eqn: 1]개의 무게의 평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95`rm%]의 신뢰구간을 구하면 [eqn: 1720.4`leqm`leqa]이다. [eqn: n+a]의 값은? (단, [eqn: Z]의 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: rm P it LEFT ( 0`leqZ`leq1.96 RIGHT )=0.475]로 계산하고, 무게의 단위는 [eqn: `rmg]이다.)

[정답] ④

[해설]

모표준편차가 [eqn: 50], 표본의 크기가 [eqn: n], 표본평균이 [eqn: 1740]이므로

모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95`%]의 신뢰구간은

[eqn: 1740`-1.96 TIMES {50} over {sqrt {n}} LEQ m LEQ 1740+1.96 TIMES {50} over {sqrt {n}}]

[eqn: 1740- {98} over {sqrt {n}} LEQ m LEQ 1740+ {98} over {sqrt {n}}]

이것은 [eqn: 1720.4 LEQ `m` LEQ a]와 동일하므로

[eqn: 1740- {98} over {sqrt {n}} =1720.4]

[eqn: sqrt { n`}=5]  ∴ [eqn: n=25]

따라서 [eqn: a=1740+ {98} over {sqrt {25}} =1759.6]이므로

[eqn: n+a=25+1759.6=1784.6]

① [eqn: 1772.6]	② [eqn: 1776.6]	③ [eqn: 1780.6]

④ [eqn: 1784.6]	⑤ [eqn: 1788.6]

[확통] 사관학교 최근5개년(빠른 정답)
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[정답] ①

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ①

[정답] [eqn: 63]

[정답] [eqn: 14]

[정답] [eqn: bold{36}]

[정답] ④

[정답] [eqn: 390]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 121 }]

[정답] ②

[정답] [eqn: bold { 50 }]

[정답] [eqn: 12]

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ①

[정답] [eqn: 135]

[정답] ①

[정답] [eqn: 68]

[정답] [eqn: 49]

[정답] ②

[정답] [eqn: 103]

[정답] [eqn: 259]

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 25]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 5 }]

[정답] [eqn: bold{151]

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 41 }]

[정답] [eqn: 27]

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] [eqn: 14]

[정답] [eqn: 20]

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ③

[정답] [eqn: bold { 29` }]

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ②

[정답] [eqn: 77]

[정답] ③

[정답] [eqn: bold80]

[정답] ④

[정답] [eqn: 10], [eqn: { 2} over { 3}]

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ②

[정답] [eqn: 29]

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ③

[정답] [eqn: 149]

[정답] [eqn: 149]

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 25]

[정답] [eqn: bold19]

[정답] ②

[정답] [eqn: 88]

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ④

[확통] 사관학교 최근5개년(해설)
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