		유형별한글	2022.12.16
유형별별	04	[기하] 사관학교 최근10개년

07 기하	01 포물선
02 포물선의 정의 활용
01 정의 활용1 (초점, 포물선 위의 점을 이은 선분 관련)

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04		[기하] 사관학교 최근10개년

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	My paper 테스트		04

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 6

초점이 [eqn: {rmF}]인 포물선 [eqn: y^{2 }= 4x]위의 점 [eqn: {rmP}(a,``` 6)]에 대하여 [eqn: bar{{rmPF}}= k]이다. [eqn: a+ k]의 값은?

[정답] ④

[해설]

F[eqn: (1,``` 0)], 점 P에서 준선에 내린 수선의 발을 H라 하면, [eqn: rm bar{PF}`= barPH], 즉 [eqn: k = 1+a]

P[eqn: (a,``` 6)]은 [eqn: 36 = 4a], [eqn: a = 9], [eqn: k = 10]

[eqn: THEREFORE][eqn: a+k = 9 +10 = 19]

① [eqn: 16]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 20]

[출처]	2022 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능특강 예제와 유제 유제

초점이 [eqn: {rm{F}} it], 준선이 [eqn: l]인 포물선 [eqn: y^{2}=a x] 위의 점 [eqn: {rm{A}} it (2,``2 sqrt{2})]에서 준선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하자.

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: {rm{A}} it (2,``2 sqrt{2})]가 포물선 [eqn: y^{2}=a x] 위의 점이므로 [eqn: (2 sqrt{2})^{2}=2 a][eqn: a=4]

따라서 포물선 [eqn: y^{2}=4 x]의 초점은 [eqn: {rm{F}} it (1,``0)]이고 준선의 방정식은 [eqn: x=-1]이므로 [eqn: {rm{H}} it (-1,``2 sqrt{2})]이고

[eqn: overline{{rm{HF}} it }= sqrt{(1+1)^{2}+(0-2 sqrt{2})^{2}}=2 sqrt{3}]

[eqn: overline{{rm{AH}} it }= overline{{rm{AF}} it }=3]

이므로 삼각형 [eqn: {rm{AHF}} it]의 둘레의 길이는

[eqn: overline{{rm{AH}} it }+ overline{{rm{HF}} it }+ overline{{rm{AF}} it }=3+2 sqrt{3}+3=6+2 sqrt{3}]

삼각형 [eqn: {rm{AHF}} it]의 둘레의 길이는? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

① [eqn: rm 8]	② [eqn: 6+ sqrt{6}]	③ [eqn: 6+2 sqrt{2}]

④ [eqn: 6+ sqrt{10}]	⑤ [eqn: 6+2 sqrt{3}]

포물선 [eqn: y^2 = 8x]의 초점을 [eqn: rmF]라고 하자. 포물선 위의 두 점 [eqn: rmA,``B]의 중점의 좌표가 [eqn: LEFT ( {7} over {2} ,``-1 RIGHT )]일 때, [eqn: RM BAR AF + BAR BF]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 11]

[해설]

초점 [eqn: rmF]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2,``0 RIGHT )]이고, 준선의 방정식은 [eqn: x=-2]이다.
두 점 [eqn: rmA,`B]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: x _{1} ,`x _{2}]라고 하면 두 점 [eqn: rmA,``B]의 중점의 좌표가 [eqn: LEFT ( {7} over {2} ,``-1 RIGHT )]이므로
[eqn: {x_1 + x_2 } over 2 = 7 over 2]

즉,  [eqn: x_1 + x_2 = 7]
두 점 [eqn: rmA,`B]에서 준선 [eqn: x=-2]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmA',``B']이라고 하면 포물선의 정의에 의하여
[eqn: rm bar{AF} = bar{AA prime } ,`` bar{BF} = bar{BB prime }]
따라서  [eqn: rm bar{AF} + bar{BF} = bar{AA prime } + bar{BB prime }]
[eqn: =(x _{1} +2)+(x _{2} +2)]
[eqn: =x _{1} +x _{2} +4=11]

07 기하	01 포물선
02 포물선의 정의 활용
02 정의 활용2 (초점을 지나는 직선 관련)

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 28

점 [eqn: rm F`]를 초점으로 하고 직선 [eqn: l`]을 준선으로 하는 포물선이 있다. 포물선 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]와 점 [eqn: rm F`]를 지나는 직선이 직선 [eqn: l`]과 만나는 점을 [eqn: rm C`]라 하자. 두 점 [eqn: rm A,````B`]에서 직선 [eqn: l`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmH], [eqn: rmI]라 하고 점 [eqn: rm B`]에서 직선 [eqn: rm AH`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm J`]라 하자. [eqn: {rm bar{BJ}} over {bar{rm BI}} = {2 sqrt {15}} over {3} `]이고 [eqn: rm bar{AB} =8 sqrt {5} `]일 때, 선분 [eqn: rm HC`]의 길이는?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: rmbarBI =it3k]라 하면 [eqn: {rm bar{BJ}} over {bar{rm BI}} = {2 sqrt {15}} over {3} `]에서 [eqn: rmbarBJ =it2root15 k]

포물선의 정의에 의하여

[eqn: rmbarBI =barBF =it3k], [eqn: rmbarAF =barAH =8root5 -3itk]

[eqn: rmbarJH =it3k]이므로 [eqn: rmbarAJ =it8root5 -6k]

직각삼각형 [eqn: rmABJ]에서

[eqn: left(8root5 right)^2 =left(2root15 k right)^2 +left(8root5 -6k right)^2]

[eqn: 96k^2 -96root5 k=0], [eqn: 96k left(k-root5 right)=0]

[eqn: k>0]이므로 [eqn: k=root5]

따라서 [eqn: rmbarAJ =2root5], [eqn: rmbarBJ =10root3], [eqn: rmbarAH =5root5]이고 [eqn: triangle rmABJ]□[eqn: triangle rmACH]이므로

[eqn: rmbarAJ`:`barJB =barAH`:`barHC]

[eqn: 2root5`:`10root3 =5root5`:`rmbarHC]

[eqn: therefore][eqn: rmbarHC =25root3]

① [eqn: 21 sqrt {3}]	② [eqn: 22 sqrt {3}]	③ [eqn: 23 sqrt {3}]

④ [eqn: 24 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 25 sqrt {3}]

포물선 [eqn: y^2 = it 16x]의 초점 [eqn: rm F it]를 지나고 기울기가 [eqn: 2]인 직선이 포물선과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm A it], [eqn: rm B it]라 하자. 이 두 점에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm H_1], [eqn: rm H_2]라 할 때, [eqn: bar { rm AH_1} it +bar{ rm BH_2 } it]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 20]

[해설]

포물선이 [eqn: y^2 = it 16x`]의 초점 [eqn: rm F it (4 ,``0)]을 지나고 기울기가 [eqn: 2]인 직선의 방정식은 [eqn: y= it 2(x-4)]

[eqn: y= it 2(x-4)]를 [eqn: y^2 = it 16x`]에 대입하여 정리하면

[eqn: x^2 -12x+16=0]

두 점 [eqn: rm A it], [eqn: rm B it]의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: x_1], [eqn: x_2]라 하면 이 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: x_1 +x_ 2 = it 12]

이고, 포물선 [eqn: y^2 = it 16x`]의 준선의 방정식은 [eqn: x= it -4]이므로

[eqn: rm bar AH_1 +barB H_2][eqn: = it left{x_1 - (-4)right} it +left{x_2 -(-4)right]
[eqn: =x_1 +x_2 +8=20]

[출처]	2014 모의_공공 사관학교 고3 07월 9

포물선 [eqn: y^2 =8x`]의 초점 [eqn: rm F`]를 지나는 직선 [eqn: l]이 포물선과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B`]라 하자. [eqn: rm barAB =14`]를 만족시키는 직선 [eqn: l``]의 기울기를 [eqn: m`]이라 할 때, 양수 [eqn: m`]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: rm F (2, ``0)]이므로 직선 [eqn: l]의 방정식은  [eqn: y=m(x-2)]
점 [eqn: rm A], [eqn: rm B]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면 [eqn: alpha], [eqn: beta]는
직선 [eqn: y=m(x-2)]과 포물선 [eqn: y^2 =8x]와의 교점의 [eqn: x]좌표
이므로 방정식 [eqn: m^2 (x-2)^2 =8x]의 두 근이다.
또한, 포물선의 준선의 방정식이 [eqn: x=-2]이므로
[eqn: rm barAF][eqn: = alpha+2], [eqn: rm barBF = beta +2]
[eqn: rm barAB][eqn: = rm barAF +barBF][eqn: =alpha+beta+4]이므로
[eqn: rm barAB =14]에서  [eqn: alpha+beta +4 =14]
∴ [eqn: alpha +beta =10]	⋯⋯ ㉠

[eqn: m^2 (x-2)^2 =8x]에서  [eqn: m^2 x^2 -4(m^2 +2 ) x +4m^2 =0]
위의 이차방정식의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로 근과 계수와의
관계에 의하여
[eqn: alpha+beta][eqn: = { 4(m^2 +2 )} over { m^2}]	⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡에서
[eqn: { 4(m^2 +2 )} over { m^2} =10],  [eqn: m^2 = 4 over3]
∴ [eqn: m = { 2 sqrt { 3} } over { 3}] (∵ [eqn: m >0])

① [eqn: sqrt { 6} over3]	② [eqn: { 2 sqrt { 2} } over { 3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: { 2 sqrt { 3} } over { 3}]	⑤ [eqn: sqrt { 2}]

07 기하	01 포물선
02 포물선의 정의 활용
06 정의 활용6 (포물선과 원 관련)

[출처]	2016 모의_공공 사관학교 고3 07월 10

그림과 같이 포물선 [eqn: y^2 =4x] 위의 한 점 [eqn: rm P`]를 중심으로 하고 준선과 점 [eqn: rmA`]에서 접하는 원이 [eqn: x`]축과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmB], [eqn: rmC`]라 하자. 부채꼴 [eqn: rm PBC`]의 넓이가 부채꼴 [eqn: rm PAB`]의 넓이의 [eqn: 2`]배일 때, 원의 반지름의 길이는?
(단, 점 [eqn: rm P`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 1`]보다 크고, 점 [eqn: rmC`]의 [eqn: x`]좌표는 점 [eqn: rmB`]의 [eqn: x`]좌표보다 크다.)

[정답] ④

[해설]

점 [eqn: rmB]는 초점이므로 [eqn: LEFT ( `1`,``0` RIGHT )], 점 [eqn: rmP`]를 [eqn: (`a`,``b`)]라 하고

점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 점 [eqn: rmH]는 [eqn: (`a`,``0)]

[eqn: rmANGLE APB= ANGLE BPH= {pi } over {4}]

[eqn: rm {bar{BH}} `= {bar{PH}} `it=a-1=b]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: (`a`,``b`)]는 포물선 위의 점이므로 대입하면

[eqn: b ^{2} =4a]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡을 연립하면  [eqn: (a`,`b`)=(3+2 sqrt {2} `,`2+2 sqrt {2} `)]

원의 반지름[eqn: rm= bar{BP} `= sqrt {2} ` bar{PH} `= sqrt {2} (2+2 sqrt {2} `)=4+2 sqrt {2}]

① [eqn: 2+2 sqrt {3}]	② [eqn: 3+2 sqrt {2}]	③ [eqn: 3+2 sqrt {3}]

④ [eqn: 4+2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 4+2 sqrt {3}]

그림과 같이 꼭짓점이 원점 [eqn: rm O]인 포물선

[정답] ②

[해설]

[eqn: y ^{2} =4px]에서 [eqn: rm F( it p,~0)]이고 [eqn: rm {bar{OB}} =6 {bar{OF}}]이므로 [eqn: rm B( it 6p,~0)]이다.

점 [eqn: rmA]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면 [eqn: rm {bar{AF}} ={bar{AB}}]이므로 점 [eqn: rm H]는 선분 [eqn: rmFB]의 중점이다.

따라서 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: {p+6p} over {2} = {7} over {2} p`]이므로 점 [eqn: rmA]에서 준선 [eqn: x=it-p`]까지의 거리는

[eqn: {7} over {2} p+p= {9} over {2} p`]

포물선의 정의에 의하여 선분 [eqn: rmAF]의 길이는 점 [eqn: rmA]에서 준선까지의 거리와 같고 [eqn: rm {bar{AF}} =3]이므로 [eqn: {9} over {2} p=3`]에서 [eqn: p= {2} over {3}]

[eqn: y ^{2} =4px][eqn: (0<p<1)]

의 초점을 [eqn: rmF]라 하자. 이 포물선 위에 있고 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmA`]에서 초점 [eqn: rmF`]에 이르는 거리가 [eqn: 3 `]일 때, 점 [eqn: rmA`]를 중심으로 하고 초점 [eqn: rmF`]를 지나는 원이 [eqn: x `]축과 만나는 두 점 중 [eqn: rmF`]가 아닌 점을 [eqn: rmB`]라 하자. [eqn: rm {bar{OB}} =6 {bar{OF}}`]일 때, 상수 [eqn: p`]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: {4} over {5}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

초점이 [eqn: {rm{F}} it]인 포물선 [eqn: y^{2}=4 p x] 위의 제[eqn: rm 1]사분면의 점 [eqn: {rm{P}} it]를 중심으로 하고, 두 직선 [eqn: x=-p], [eqn: y=-p]에 모두 접하는 원 [eqn: C]가 있다. 원 [eqn: C]의 넓이가 [eqn: 25 pi]일 때, [eqn: overline{{rm{OF}} it }+ overline{{rm{PF}} it }]의 값은? (단, [eqn: {rm{O}} it]는 원점이고, [eqn: p>0]이다.)

[정답] ②

[해설]

원 [eqn: C]의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면 원 [eqn: C]가 두 직선 [eqn: x=-p], [eqn: y=-p]에 모두 접하므로 점 [eqn: {rm{P}} it]의 좌표는

[eqn: (r-p,`` r-p)]이다.

따라서 점 [eqn: {rm{P}} it (r-p,`` r-p)]는 포물선

[eqn: y^{2}=4 p x] 위의 점이므로

[eqn: (r-p)^{2}=4 p(r-p)]

[eqn: r^{2}-2 p r+p^{2}=4 p r-4 p^{2}]

[eqn: r^{2}-6 p r+5 p^{2}=0], [eqn: (r-p)(r-5 p)=0]

이때 [eqn: r-p>0]이어야 하므로 [eqn: r=5 p]

그런데 원 [eqn: C]의 넓이가 [eqn: 25 pi]이므로

[eqn: (5 p)^{2} pi=25 pi], [eqn: p^{2}=1]

[eqn: p=1]

따라서 [eqn: overline{{rm{OF}} it }+ overline{{rm{PF}} it }=p+r=p+5 p=6 p=6]

① [eqn: rm 5]	② [eqn: rm 6]	③ [eqn: rm 7]

④ [eqn: rm 8]	⑤ [eqn: rm 9]

07 기하	02 타원
02 타원의 정의 활용
01 정의 활용1 (타원의 두 정보)

[출처]	2015 모의_공공 사관학교 고3 07월 24

타원 [eqn: 2x ^{2} +y ^{2} =16`]의 두 초점을 [eqn: rm F], [eqn: rm F']이라 하자. 이 타원 위의 점 [eqn: rm P`]에 대하여 [eqn: rm { barPF'} over { barPF} =3`]일 때, [eqn: bar{rm PF} timesbar{rm PF'}`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold12]

[해설]

[eqn: 2x^2 +y^2 =16`]에서  [eqn: x^2 over8 + y^2 over16 =1]

따라서 타원의 장축의 길이는 [eqn: 2 times4 =8]이다.

타원의 정의에 의하여

[eqn: bar{rm PF} +bar{rm PF'} =8]	⋯⋯ ㉠

[eqn: rm { barPF'} over { barPF} =3]에서  [eqn: rm { barPF'} =3 timesbarPF]	⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡에서  [eqn: rm barPF =2], [eqn: rm barPF' =6]

∴ [eqn: bar{rm PF} timesbar{rm PF'}][eqn: =12]

[출처]	2013 모의_공공 사관학교 고3 07월 25

그림과 같이 타원 [eqn: {x^{2}} over {25}+{y^{2}} over {16}=1]의 두 초점을 각각 [eqn: {rm{F}} it], [eqn: {rm{F}} it `prime]이라 하자. 타원 위의 한 점 [eqn: {rm{P}} it]와 [eqn: x]축 위의 한 점 [eqn: {rm{Q}} it]에 대하여 [eqn: overline{{rm{PF}} it }: overline{{rm{PF}} it `prime }= overline{{rm{QF}} it }: overline{{rm{QF}} it `prime }=2: 3]일 때, [eqn: overline {rmPQ}`^2]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: {rm{Q}} it]는 타원 외부의 점이다.)

[정답] [eqn: 192]

[해설]

타원의 정의에 의하여 [eqn: overline{{rm{PF}} it }+ overline{{rm{PF}} it `prime }=10]이고, [eqn: overline{{rm{PF}} it }: overline{{rm{PF}} it `prime }=2: 3]이므로 [eqn: overline{{rm{PF}} it }=4], [eqn: overline{{rm{PF}} it `prime }=6]이다.

또한, [eqn: overline{{rm{QF}} it }: overline{{rm{QF}} it `prime }=2: 3]에서 [eqn: overline{{rm{F}} it `prime {rm{F}} it }: overline{{rm{FQ}} it }=1: 2]이고

타원의 정의에 의하여 [eqn: overline{{rm{F}} it `prime {rm{F}} it }=2 times sqrt{25-16}=6]이므로 [eqn: overline{{rm{FQ}} it }=12]

[eqn: triangle {rm{PF}} it `prime {rm{F}} it]는 이등변삼각형이므로

[eqn: angle {rm{PFF}} it `prime = theta]라 하면 [eqn: cos theta={2} over {6}={1} over {3}]

삼각형 [eqn: {rm{PFQ}} it]에서 코사인정리에 의하여

[eqn: overline{{rm{PQ}} it }`^{2}= overline{{rm{PF}} it }`^{2}+ overline{{rm{FQ}} it }`^{2} -2 overline{{rm{PF}} it } cdot overline{{rm{FQ}} it } cos ( pi- theta)]

[eqn: =4^{2}+12^{2}-2 cdot 4 cdot 12 cdot left(-{1} over {3} right)]

[eqn: =192]

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 15

그림과 같이 타원 [eqn: {x^{2}} over {a}+{y^{2}} over {12}=1]의 두 초점 중 [eqn: x]좌표가 양수인 점을 [eqn: {rm{F}} it], 음수인 점을 [eqn: {rm{F}} it `prime]이라 하자. 타원 [eqn: {x^{2}} over {a}+{y^{2}} over {12}=1] 위에 있고 제 [eqn: rm 1]사분면에 있는 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 선분 [eqn: {rm{F}} it `prime {rm{P}} it]의 연장선 위에 점 [eqn: {rm{Q}} it]를 [eqn: overline{{rm{F}} it `prime {rm{Q}} it }=10]이 되도록 잡는다. 삼각형 [eqn: {rm{PFQ}} it]가 직각이등변삼각형일 때, 삼각형 [eqn: {rm{QF}} it `prime {rm{F}} it]의 넓이는? (단, [eqn: a>12])

[정답] ③

[해설]

아래 그림과 같이 놓으면

[eqn: k+l=10=2 sqrt{a}]이므로 [eqn: a=25]

초점 거리를 [eqn: 2 c]라 하면 [eqn: k^{2}+l^{2}=4 c^{2}=4(a-12)=52][eqn: 2 k l=(k+l)^{2}- left(k^{2}+l^{2} right)=100-52=48]

[eqn: {rm{P}} it]가 제[eqn: rm 1]사분면의 점이므로 [eqn: k>l]이다.

이제 [eqn: k], [eqn: l]을 근으로 하는 이차방정식은

[eqn: x^{2}-10 x+24=0], [eqn: (x-6)(x-4)=0]

따라서 [eqn: k=6], [eqn: l=4]이고 구하려는 넓이는

[eqn: {1} over {2} k l+{1} over {2} l^{2}=12+8=20]

① [eqn: rm 15]	② [eqn: {35} over {2}]	③ [eqn: rm 20]

④ [eqn: {45} over {2}]	⑤ [eqn: rm 25]

07 기하	02 타원
02 타원의 정의 활용
04 정의 활용4 (둘레의 길이 관련)

[출처]	2017 모의_공공 사관학교 고3 07월 24

좌표평면에서 타원 [eqn: {x^{2}} over {25}+{y^{2}} over {9}=1]의 두 초점을 [eqn: {rm{F}} it (c,`` 0)], [eqn: {rm{F}} it `prime (-c,`` 0)(c>0)]이라 하자. 이 타원 위의 제 [eqn: rm 1]사분면에 있는 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 점 [eqn: {rm{F}} it `prime]을 중심으로 하고 점 [eqn: {rm{P}} it]를 지나는 원과 직선 [eqn: {rm{PF}} it `prime]이 만나는 점 중 [eqn: {rm{P}} it]가 아닌 점을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하고, 점 [eqn: {rm{F}} it]를 중심으로 하고 점 [eqn: {rm{P}} it]를 지나는 원과 직선 [eqn: {rm{PF}} it]가 만나는 점 중 [eqn: {rm{P}} it]가 아닌 점을 [eqn: {rm{R}} it]라 할 때, 삼각형 [eqn: {rm{PQR}} it]의 둘레의 길이를 구하시오.

[정답] [eqn: 36]

[해설]

그림과 같이 삼각형 [eqn: {rm{PQR}} it]의 둘레의 길이는 삼각형 [eqn: {rm{PFF}} it `prime]의 둘레의 길이의 두 배이다.

장축의 길이는 [eqn: rm 10]이고, 초점거리는 [eqn: rm 8]이다.

따라서 구하려는 둘레의 길이는 [eqn: 2 times(10+8)=36]이다.

그림과 같은 타원 [eqn: { x^2} over { 9}+ { y^2} over { 5}=1]의 두 초점 [eqn: rm F], [eqn: rm F`']과 타원 위의 점 [eqn: rm P]에 대하여 삼각형 [eqn: rm PF`'F]의 둘레의 길이는?

[정답] ③

[해설]

타원 [eqn: {x ^{2}} over {9}+ { y^2} over { 5}=1]에서 [eqn: 9-5=2^2]이므로

두 점 [eqn: LEFT ( 2,``0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -2,``0 RIGHT )]가 타원의 초점이다.

타원의 정의에 의하여 [eqn: {rm bar {PF}} + {rm bar {PF`'}} =2 times3=6]

따라서 삼각형 [eqn: rm PF`'F]의 둘레의 길이는 [eqn: 6+4=10]이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

[eqn: 9x ^{2} +16y ^{2} =144]의 두 초점 [eqn: RMF,~F prime]과 [eqn: y`]축 위의 [eqn: RMA]에 대하여 삼각형 [eqn: RMFAF prime]의 둘레의 길이를 구하시오.

[정답] ③

[해설]

[eqn: 9x ^{2} +16y ^{2} =144]의 양변을 [eqn: 144]로 나누면 [eqn: {x ^{2}} over {16} + {y ^{2}} over {9} =1]

[eqn: 4 ^{2} -3 ^{2} =7]이므로 초점의 좌표는 [eqn: RMF LEFT ( sqrt {7} ,~0 RIGHT ) ,~F` prime LEFT ( - sqrt {7} ,~0 RIGHT )]이고 [eqn: y`]축

위의 한 꼭짓점 [eqn: RMA]의 좌표는 [eqn: (0,~3)] 또는 [eqn: (0,~-3)]이다.

[eqn: rm bar{AF} = bar{AF} prime =4,~ bar{FF} prime =2 sqrt {7}]이므로 삼각형 [eqn: RMFAF prime]의 둘레의 길이는

[eqn: rm bar{AP} + bar{AF} prime + bar{FF} prime =4+4+2 sqrt {7} =8+2 sqrt {7}]

① [eqn: 8+2 sqrt {5}]	② [eqn: 8+2 sqrt {6}]	③ [eqn: 8+2 sqrt {7}]

④ [eqn: 6+2 sqrt {5}]	⑤ [eqn: 6+2 sqrt {7}]

07 기하	02 타원
02 타원의 정의 활용
06 정의 활용6 (포물선과 타원)

좌표평면에서 두 점 [eqn: rmA(5,~0)], [eqn: RMB(-5,~0)]에 대하여 장축이 [eqn: RMBARAB]인 타원의 두 초점을 각각 [eqn: rmF], [eqn: RMF']이라 하자. 초점이 [eqn: RMF]이고 꼭짓점이 원점인 포물선이 타원과 만나는 두 점을 각각 [eqn: RMP], [eqn: RMQ]라 하고 [eqn: RMBARPQ =8]일 때, [eqn: rm bar{PF prime } - bar{PF} =it {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소, 점 [eqn: RMF]의 [eqn: x]좌표는 양수이다.)

[정답] [eqn: 13]

[해설]

선분[eqn: rmPQ]와 [eqn: x]축의 교점을 [eqn: rmR]라 하면

[eqn: RMBARPR = 1OVER2 BARPQ =4][eqn: CDOTS CDOTS]□
[eqn: RMBARPF' =ITa], [eqn: rmbarPF =ITb]라 하면

타원의 정의에 의하여

[eqn: a+b=10][eqn: cdotscdots]㉠

직각삼각형 [eqn: rmPF'R]에서    [eqn: rmbar{F'R} =SQRT{ita^2 -16]

점 [eqn: rmF']을 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선을 [eqn: l]이라 하면 직선 [eqn: l]은 포물선의 준선이고 점 [eqn: rmP]에서 직선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 포물선의 정의에 의하여

[eqn: RMBARPH = BARPF]

이때 [eqn: RMBARPF = BARPH = BAR{F'R} = SQRT{ita^2 -16]이므로

[eqn: b=sqrt{a^2 -16]에서    [eqn: b^2 =a^2 -16][eqn: CDOTS CDOTS]□

㉠에서 [eqn: b=10-a]이므로 [eqn: b^2 =a^2 -16]에 대입하면

[eqn: (10-a)^2 =a^2 -16], 즉    [eqn: a= 29 over5]

[eqn: a= 29 over5]를 ㉠에 대입하면    [eqn: b= 21 over5]

따라서    [eqn: rmbarPF' - BARPF = 29 OVER5 - 21 OVER5 = 8 OVER5]

[출처]	2014 모의_공공 사관학교 고3 07월 12

좌표평면에서 두 점 [eqn: rm A LEFT ( -3 , ``0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 3 , `` 0 RIGHT )`]을 초점으로 하고 장축의 길이가 [eqn: 8`]인 타원이 있다. 초점이 [eqn: rm B`]이고 원점을 꼭짓점으로 하는 포물선이 타원과 만나는 한 점을 [eqn: rm P`]라 할 때, 선분 [eqn: rm PB`]의 길이는?

[정답] ④

[해설]

초점이 [eqn: rm B]이고 원점을 꼭짓점으로 하는 포물선의 준선은
[eqn: x = -3]이다.

그림과 같이 점 [eqn: rm P]를 제[eqn: 1]사분면 위의 점으로 정하고 [eqn: bar{rm PB}=a]
라 하자.
점 [eqn: rm P]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H], 직선 [eqn: x=-3]에 내린
수선의 발을 [eqn: rm I]라 하면
포물선의 정의에 의하여 [eqn: bar{rm PH}=a]이므로
[eqn: bar{rm BH}= a]이고 [eqn: bar{rm AH} = 6-a]이다.
타원의 정의에 의하여 [eqn: rm bar{PA} +barPB =8]이므로 [eqn: bar{rm PA}=8-a]
직각삼각형 [eqn: rm PAH]와 [eqn: rm PBH]에서
[eqn: rm {barPA}^2 -{barAH}^2 = {barPB}^2 - {barBH}^2]
[eqn: (8-a)^2 -a^2 = a^2 -(6-a)^2]
∴ [eqn: a = 25 over7]

① [eqn: 22 over7]	② [eqn: 23 over7]	③ [eqn: 24 over7]

④ [eqn: 25 over7]	⑤ [eqn: 26 over7]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 29

그림과 같이 포물선 [eqn: {y^2 =16x}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]의 초점을 [eqn: rmF]라 하자. 점 [eqn: rmF]를 한 초점으로 하고 점 [eqn: rmA(-2 ,```` 0)]을 지나며 다른 초점 [eqn: rmF prime]이 선분 [eqn: rmAF]위에 있는 타원 [eqn: E]가 있다. 포물선 [eqn: y^2 =16x]가 타원 [eqn: E]와 제 [eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmB]라 하자. [eqn: bar{rmBF} = 21 over5]일 때, 타원 [eqn: E]의 장축의 길이는 [eqn: k]이다. [eqn: 10k]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold66]

[해설]

[eqn: y^{2} =16x]의 초점 [eqn: rmF (4,````0)]이고, 준선의 방정식은 [eqn: x=-4]이다.

점 [eqn: rmA(-2,````0)]을 지나고 초점이 선분 [eqn: rmAF] 위에 있으므로 점 [eqn: rmA]는 꼭짓점이다. 타원과 포물선의 교점 [eqn: rmB]에서 준선에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 [eqn: bar{ rmBH} = bar{rmBF]이다.

그러므로 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: -4+ 21 over 5 = 1over 5]이다.

그러므로 점 [eqn: rmB left( 1over 5 , ```` 4 over root 5 right)]

중심의 좌표를 [eqn: (a,````0)]이라 하면 [eqn: rmF(4,````0)]이고 중심에서 거리가 [eqn: 4-a]이므로 [eqn: rmF`'( 2it a -4 , ````0)], [eqn: bar{ rmBF`'} + bar{rmBF}]가 장축의 길이이므로 장축의 길이는 [eqn: (a+2) times 2]이다.

[eqn: therefore][eqn: bar{rmBF`'}= 2 it a + 4 - 21 over 5 = 2a - 1over 5]

[eqn: root {left(2a-4 - 1over 5 right)^{2} + left( 4 over root 5 right)^{2} }= 2a- 1over 5]

[eqn: left( 2a - 21 over 5 right )^{2} + 16 over 5 = 4a^{2} - 4 over 5 a + 1 over 25]

[eqn: 4a^{2} - 84 over 5 a + 441 over 25 + 80 over 25 = 4a^{2} - 4 over 5 a + 1over 25]

[eqn: 520 over 25 = 16a]	[eqn: THEREFORE```` a = 13 over 10]

[eqn: THEREFORE```` 10k= 20a+ 40=26+40=66]

07 기하	03 쌍곡선
02 쌍곡선의 정의 활용
02 정의 활용2 (쌍곡선의 한 정보)

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 27

그림과 같이 두 초점이 [eqn: rm F], [eqn: rmF'`]인 쌍곡선 [eqn: ax ^{2} -4y ^{2} =a`] 위의 점 중 제[eqn: 1`]사분면에 있는 점 [eqn: rm P`]와 선분 [eqn: rm PF'`] 위의 점 [eqn: rm Q`]에 대하여 삼각형 [eqn: rm PQF`]는 한 변의 길이가 [eqn: sqrt {6} -1`]인 정삼각형이다. 상수 [eqn: a`]의 값은? (단, 점 [eqn: rm F`]의 [eqn: x`]좌표는 양수이다.)

[정답] ②

[해설]

삼각형 [eqn: rmPQF]는 정삼각형이므로

[eqn: rmbarPF =barPQ =barQF =root6 -1]

[eqn: ax ^{2} -4y ^{2} =a`]에서 [eqn: x^2 - y^2 over{a over4} =1]이므로 쌍곡선의 주축의 길이는 [eqn: 2]이다.

[eqn: therefore][eqn: rmbar{PF `prime}-barPF =2]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: rmbar{PF `prime}=barPQ +bar{QF`prime}], [eqn: rmbarPF =barPQ]이므로 ㉠에 대입하면

[eqn: rmbar{QF`prime}=2]

[eqn: angle rmPQF=60DEG]에서 [eqn: rm angle rmFQF`prime=120DEG]이므로 삼각형 [eqn: rmQFF`prime]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rmbar{FF`prime}`^2][eqn: =rmbarQF`^2 +bar{QF`prime}`^2 -2barQF cdot bar{QF`prime}cos`120DEG]
[eqn: =left(root6 -1right)^2 +2^2 -2cdot left(root6 -1right)cdot2 cdot left(- 1over2 right)]
[eqn: =9]	[eqn: cdotscdots] ㉡

쌍곡선 [eqn: x^2 - y^2 over{a over4} =1]에서

[eqn: rmbarOF`^2 =1+ it a over4], [eqn: rmbar{FF`prime}`^2 =4+ita]	[eqn: cdotscdots] ㉢

㉡, ㉢에서 [eqn: 4+a=9]

[eqn: therefore][eqn: a=5]

① [eqn: {9} over {2}]	② [eqn: 5]	③ [eqn: {11} over {2}]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: {13} over {2}]

두 초점이 [eqn: {rm{F}}], [eqn: {rm{F}} prime]인 쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {4}-{y^{2}} over {b^{2}}=1]위의 점 [eqn: {rm{P}}]에 대하여

[정답] ②

[해설]

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {4}-{y^{2}} over {b^{2}}=1]의 두 초점을 [eqn: {rm{F}}(c,`` 0),`` {rm{F}} `prime(-c,`` 0)(c>0)]이라 하면 [eqn: c^{2}=4+b^{2} cdots cdots]㉠ [eqn: overline{{rm{PF}}}=4]이므로 [eqn: overline{{rm{PF}} `prime}=k(k>4)]라 하면 쌍곡선의 주축의 길이가 [eqn: {rm{4}}]이므로 [eqn: k-4=4 ~ therefore k=8={{{rmbar{PF}} `prime}}]

[eqn: {{{rmbar{FF}} `prime}}=2 c,`` cos left( angle {rm{FPF}} `prime right)={1} over {4}]이므로 삼각형 [eqn: {rm{PF}} `prime {rm{F}}]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: (2 c)^{2}=8^{2}+4^{2}-2 times 8 times 4 times {1} over {4} ~ therefore ~ c^{2}=16]

㉠에서

[eqn: b^{2}=12]

[eqn: overline{{rm{PF}}}=4, ~ cos left( angle {rm{FPF}} `prime right)={1} over {4}]

일 때, [eqn: b^{2}]의 값은? (단, [eqn: b]는 상수이고, [eqn: overline{{rm{PF}}}< overline{{rm{PF}} `prime}]이다.)

① [eqn: {rm{10}}]	② [eqn: {rm{12}}]	③ [eqn: {rm{14}}]

④ [eqn: {rm{16}}]	⑤ [eqn: {rm{18}}]

그림과 같이 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} -y ^{2} =1]의 한 초점 [eqn: rmF]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 쌍곡선과 만나는 두 점을 [eqn: rmA,~B]라 하자. 쌍곡선의 다른 초점 [eqn: rmF`']에 대하여 삼각형 [eqn: rmABF`']가 정삼각형일 때, [eqn: 8a ^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 양의 실수)

[정답] [eqn: bold { 4}]

[해설]

[eqn: triangle rmABF prime`]의 한 변의 길이를 [eqn: 2k]라 하면

[eqn: rmbar AF = itk], [eqn: rmbar {AF prime} = it 2k]

쌍곡선의 성질에 의하여

[eqn: rmbar {AF prime} - bar AF = itk = 2a]

초점 [eqn: rmF]의 좌표는 [eqn: left(root{a^2 +1} ,~0right)`]이므로

[eqn: triangle rm ABF prime]의 높이의 길이는 [eqn: 2 root {a^2 +1}]

[eqn: 2 root {a^2 +1} = root3 over2 times4a]

양변을 제곱하면

[eqn: 4a^2 +4 = 12a^2]

[eqn: 8a^2 = 4]

07 기하	03 쌍곡선
02 쌍곡선의 정의 활용
05 정의 활용5 (원과 쌍곡선)

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 13

쌍곡선 [eqn: {x^{2}}over{4}- y^{2 }= 1]의 꼭짓점 중 [eqn: x]좌표가 음수인 점을 중심으로 하는 원 [eqn: C]가 있다. 점 [eqn: (3,``` 0)]을 지나고 원 [eqn: C]에 접하는 두 직선이 각각 쌍곡선 [eqn: {x^{2}}over{4}- y^{2}= 1]과 한 점에서만 만날 때, 원 [eqn: C]의 반지름의 길이는?

[정답] ②

[해설]

점근선 [eqn: y = +- 1 over2 x],

그림의 직각삼각형에서

[eqn: r^2 + ( 2r)^2 = 25]	[eqn: THEREFORE][eqn: r = sqrt5]

① [eqn: 2]	② [eqn: sqrt 5]	③ [eqn: sqrt 6]

④ [eqn: sqrt 7]	⑤ [eqn: 2 sqrt 2]

그림과 같이 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {12} =1] 위에 있고 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rm`P]와 이 쌍곡선의 두 초점 [eqn: rm`F LEFT ( it`c,~0 RIGHT )], [eqn: rm`F' LEFT ( it`-c,~0 RIGHT )][eqn: LEFT ( c>0 RIGHT )]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm`PF'F]의 내접원의 중심을 [eqn: rm`C]라 하자. 직선 [eqn: rm`PC]가 [eqn: x]축과 만나는 점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 1]일 때, 삼각형 [eqn: rm`PF'F]의 둘레의 길이를 구하시오.

[정답] [eqn: bold24]

[해설]

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {12} =1]의 주축의 길이는 [eqn: 2 TIMES sqrt {4} =4],

[eqn: c= sqrt {4+12} =4]이므로 [eqn: rm`F LEFT ( 4,~0 RIGHT )], [eqn: rm`F' LEFT ( -4,~0 RIGHT )]

직선 [eqn: rm`PC]는 [eqn: rm` ANGLEF'PF]의 이등분선이므로 점 [eqn: LEFT ( 1,~0 RIGHT )]을 [eqn: rm`Q]라 하면

[eqn: rm` {bar{PF'}} : {bar{PF}} = {bar{F'Q}} : {bar{QF}}]

[eqn: rm ` {bar{PF prime}} : {bar{PF}} =5:3]	[eqn: CDOTS CDOTS`]㉠

쌍곡선의 정의에 의하여 [eqn: rm ` {bar{PF prime}} - {bar{PF}} =4]이므로

[eqn: rm ` {bar{PF prime}} = {bar{PF}} +4]를 ㉠에 대입하면

[eqn: rm` LEFT ( {bar{PF}} +4 RIGHT ) : {bar{PF}} =5:3]

[eqn: rm`3 LEFT ( {bar{PF}} +4 RIGHT ) =5 {bar{PF}}]에서 [eqn: rm` {bar{PF}} =6]

따라서 [eqn: rm` {bar{PF'}} =6+4=10], [eqn: rm` {bar{FF'}} =8]이므로 삼각형 [eqn: rm`PF'F]의 둘레의 길이는 [eqn: 6+10+8=24]

그림과 같이 중심이 [eqn: rm A it left( a,~ 0 right)]이고 곡선 [eqn: x^2 over16 - y^2 over9 = 1][eqn: left( x> 0 right)]과 한 점에서 만나는 원을 [eqn: C`]라 하자. 점 [eqn: {rm B}it left( -2 ,~ 0 right)]과 곡선 [eqn: x^2 over16 - y ^2 over9 = 1][eqn: (x>0)] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]에 대하여 직선 [eqn: rm PB]가 원 [eqn: C`]와 항상 만나도록 하는 [eqn: a]의 최댓값은?
(단, [eqn: -2<a <4])

[정답] ⑤

[해설]

원 [eqn: C`]의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면 중심이 [eqn: rm A it left( a,~0 right)]인 원 [eqn: C`]가 곡선 [eqn: x^2 over16 - y^2 over9 = 1 ~ left( x > 0 right)] 위의 점 [eqn: (4,~0)]을 지나야 하므로

[eqn: r = 4-a]	[eqn: cdotscdots]㉠

쌍곡선 [eqn: x^2 over16 - y ^2 over9 =1]의 두 점근선의 방정식은

[eqn: y = it - 3 over4 x ,~ y = 3 over4 x]

점 [eqn: rm B it left( -2 ,~ 0 right)]을 지나고 기울기가 [eqn: 3 over4 ,~ - 3 over4]인 직선을 각각 [eqn: l _{1} ,~l _{2}]라 하면

[eqn: l_1 `:` y= 3 over4 left( x+2 right) ,~ 3x-4y +6=0]

[eqn: l_2 `:`y = it - 3 over4 left( x+2 right) ,~ 3x + 4y + 6=0]

점 [eqn: rm A]에서 직선 [eqn: l_1]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면

[eqn: bar{rm AH}][eqn: = {LEFT | `3 TIMES a-4 TIMES 0+6` RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} +(-4) ^{2}}}]
[eqn: = {LEFT | `3a+6` RIGHT |} over {5}]
[eqn: = 3a+6 over5][eqn: (-2<a<4 )]	[eqn: cdotscdots] ㉡

점 [eqn: rm P]와 점 [eqn: rm B it left( -2 ,~0 right)]을 지나는 직선을 [eqn: l]이라 하면 점 [eqn: rm P]가 곡선 [eqn: x^2 over16 - y^2 over9 = 1][eqn: (x>0)] 위를 움직일 때, 직선 [eqn: l]은 기울기가 [eqn: - 3 over4]과 [eqn: 3 over4]사이의 값을 갖고 점 [eqn: rm B]를 지나는 직선이다.

이때 직선 [eqn: l]이 원 [eqn: C`]와 항상 만나기 위해서는

[eqn: r ge bar{rm AH}]	[eqn: cdotscdots] ㉢

가 성립해야 한다. ㉠, ㉡, ㉢에서

[eqn: 4-a ge 3a+6 over5 ,~ a le 7 over4]

따라서 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 7 over4]이다.

① [eqn: 5 over4]	② [eqn: 11 over8]	③ [eqn: 3 over2]

④ [eqn: 13 over8]	⑤ [eqn: 7 over4]

07 기하	03 쌍곡선
02 쌍곡선의 정의 활용
07 정의 활용7 (타원과 쌍곡선)

[출처]	2016 모의_공공 사관학교 고3 07월 24

두 초점 [eqn: rm F], [eqn: rm F prime `]을 공유하는 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a} + {y ^{2}} over {16} =1`]과 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {5} =1`]이 있다. 타원과 쌍곡선이 만나는 점 중 하나를 [eqn: rm P`]라 할 때, [eqn: LEFT | {bar{rm PF it}} ^{2} - {bar{rm PF prime it}} ^{2} RIGHT | `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a`]는 양수이다.)

[정답] [eqn: bold40]

[해설]

초점은  [eqn: rmF(`3`,`0)`,``F`'(-3,0)][eqn: THEREFORE a=25]

[eqn: LEFT | bar{rm PF it} ^{`2} - bar{rm PF prime it} ^{`2} RIGHT | ``][eqn: rm= LEFT | ( bar{PF} + bar{PF` prime } )( bar{PF} - bar{PF` prime } ) RIGHT | =10 TIMES 4=40]

그림과 같이 두 초점 [eqn: {rm F, F^'}]을 공유하는 타원 [eqn: x^2 over 9 + y ^2 over a^2 =1]과 쌍곡선 [eqn: x^2 over b^2 - y^2 over a ^2 = 1]이 제 1사분면에서 만나는 점을 [eqn: {rm P}]라 하자. 점 [eqn: {rm P}]를 중심으로 하고 초점 [eqn: {RMF}]를 지나는 원이 선분 [eqn: {rm PF prime}]과 만나는 점을 [eqn: {rm Q}]라 할 때, [eqn: {rm bar{QF prime }}= 2]이다. 삼각형 [eqn: {rm QFF prime]의 넓이를 [eqn: S,][eqn: {rm barPF }= c]라 할 때, [eqn: a+b+c+S]의 값은? (단, [eqn: a, ~b, ~c]는 양수이다)

[정답] ①

[해설]

[eqn: {rm bar{QP}} =c]이다.

타원에서 [eqn: 6= {rm bar{F prime P}} + {rm bar{PF}} = {rmbar{F prime Q}} +2c]

[eqn: {rm bar{F'Q}} `=2]이므로 [eqn: c=2]

쌍곡선에서 [eqn: 2b= {rm bar{F prime P}} - {rm bar{PF}} = {rm bar{F prime Q}}]

따라서 [eqn: b=1]

타원과 쌍곡선의 초점이 같으므로 [eqn: 9-a ^{2} =b ^{2} +a ^{2}]

그러므로 [eqn: a=2]

[eqn: {rm bar{F prime P}} =4,~ {rm bar{PF}} =2,~ {rm bar{F prime F}} =2 sqrt {5}]

[eqn: {rm THEREFORE ~ANGLE F prime PF}= {pi } over {2}]

[eqn: THEREFORE~ S= {1} over {2} TIMES 2 TIMES 2=2]

따라서 [eqn: a+b+c+S=7]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

그림과 같이 두 초점 [eqn: rm F], [eqn: rm F`']을 공유하는 타원 [eqn: { x^2} over { a^2}+ { y^2} over { b^2} =1]과 쌍곡선 [eqn: { x^2} over { c^2}- { y^2} over { d^2}=1]이 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rm P]라 하자. [eqn: rm bar PF = it 2], [eqn: rm bar {PF`'} = it 8]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]에 대하여 [eqn: a^2 +b^2 +c^2 +d^2]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a>b>0], [eqn: c>0], [eqn: d>0])

[정답] [eqn: 50]

[해설]

타원의 장축의 길이는

[eqn: 2a = rm bar PF + rm bar {PF`'} = 2 + 8 = it 10],  [eqn: a = 5]

한편, 타원과 쌍곡선의 초점이 같으므로

[eqn: a^2 - b^2 = c^2 + d^2]

[eqn: a^2 = b^2 + c^2 + d^2]

[eqn: therefore][eqn: a^2 + b^2 + c^2 + d^2][eqn: = 2a^2 = 50]

07 기하	04 이차곡선과접선
02 타원과 접선
03 타원과 접선3 (기울기조건)

그림과 같이 타원 [eqn: x^2 + 4y^2 =16]에 직각이등변삼각형 [eqn: rmABC]가 외접할 때, [eqn: RMTRIANGLE ABC]의 넓이가 [eqn: a+b sqrt {5}]일 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 40]

[해설]

직선 [eqn: rmAC]의 기울기는 [eqn: -1]이고 타원 [eqn: x^2 over16 + y^2 over4 =1]에 접하고 기울기가 [eqn: -1]인 직선의 방정식은
[eqn: y=-x+-sqrt16+4 =-x+-2sqrt5]
이때 [eqn: y]절편이 양수이므로
[eqn: y=-x+2sqrt5][eqn: cdotscdots]㉠
직선 [eqn: rmBC]의 방정식은
[eqn: y=-2][eqn: cdotscdots]㉡
㉠, ㉡에서 점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 2+2sqrt5]
이때 점 [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: (-4,~-2)], 점 [eqn: RMC]의 좌표는
[eqn: (2+2SQRT5 ,~-2)_]이므로
[eqn: RMBARBC =2+2SQRT5 -(-4)=6+2SQRT5]
따라서 [eqn: RMTRIANGLE ABC]의 넓이는
[eqn: 1OVER2 TIMES (6+2SQRT5 )^2 =28 +12SQRT5]

그림과 같이 타원 [eqn: {x ^{2}} over {4} +y ^{2} =1`]에 외접하는 직사각형 [eqn: rmABCD`]에서 접점 [eqn: rmP`]의 좌표가 [eqn: LEFT ( sqrt {3} ,`` {1} over {2} RIGHT )`]일 때, 직사각형의 넓이는 [eqn: {a sqrt {19}} over {b}`]이다. [eqn: a+b`]의 값은?
(단, [eqn: a], [eqn: b`]는 서로소인 자연수)

[정답] ④

[해설]

접점의 좌표가 [eqn: LEFT ( sqrt {3} ,~ {1} over {2} RIGHT )]이므로 [eqn: rm {dyad{AB}}]의 방정식은 [eqn: sqrt {3} x+2y-4=0]

[eqn: rm {dyad{CD}}]는 [eqn: rm {dyad{AB}}]와 원점에 대하여 대칭이므로, [eqn: rm {dyad{CD}}]의 방정식은 [eqn: sqrt {3} x+2y+4=0]

평행한 두 직선 [eqn: rm {dyad{AB}}], [eqn: rm {dyad{CD}}] 사이의 거리는 [eqn: rm{barBC}]이므로

[eqn: THEREFORE ~ rm {bar{BC}} = {LEFT | 4- LEFT ( -4 RIGHT ) RIGHT |} over {sqrt {LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2} +2 ^{2}}} = {8} over {sqrt {7}}]

[eqn: rm {dyad{AB}}], [eqn: rm {dyad{CD}}]의 기울기는 [eqn: - {sqrt {3}} over {2}]이므로, [eqn: rm {dyad{BC}}], [eqn: rm {dyad{AD}}]의 기울기는 [eqn: {2} over {sqrt {3}}]이다. 따라서 접선 [eqn: rm {dyad{BC}}], [eqn: rm {dyad{AD}}]의 방정식은 각각

[eqn: 2x- sqrt {3} y+ sqrt {19} =0], [eqn: 2x- sqrt {3} y- sqrt {19} =0]

[eqn: THEREFORE ~ rm {bar{AB}} = {LEFT | sqrt {19} - LEFT ( - sqrt {19} RIGHT ) RIGHT |} over {sqrt {2 ^{2} + LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2}}} = {2 sqrt {19}} over {sqrt {7}}]

따라서 직사각형의 넓이는 [eqn: {8} over {sqrt {7}} TIMES {2 sqrt {19}} over {sqrt {7}} = {16 sqrt {19}} over {7}]

[eqn: THEREFORE ~a+b=23]

① [eqn: 17]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 25]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 25

타원 [eqn: {x ^{2}} over {16} + {y ^{2}} over {9} =1`]과 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 4,``0 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( 0,``-3 RIGHT )]이 있다. 이 타원 위의 점 [eqn: rm P`]에 대하여 삼각형 [eqn: rm ABP`]의 넓이가 [eqn: k`]가 되도록 하는 점 [eqn: rm P`]의 개수가 [eqn: 3`]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은?

[정답] ④

[해설]

그림과 같이 삼각형 [eqn: rmABP]의 넓이가 [eqn: k]인 점 [eqn: rmP]의 개수가 [eqn: 3]개가 되기 위해서는 직선 [eqn: rmAB]와 평행한 직선이 타원과 접하는 접점이 점 [eqn: rmP] 중 하나이어야 한다.

직선 [eqn: rmAB]의 기울기가 [eqn: 3over4]이므로 타원에 접하는 접선의 방정식은

[eqn: y= 3over4 x+-root{16times 9over16 +9}= 3over4 x+-3root2]

그림과 같이 [eqn: y]절편이 음수이어야 하므로

[eqn: y= 3over4 x-3root2]

점 [eqn: rmA left(4,``0right)]에서 직선 [eqn: 3x-4y-12root2 =0]까지의 거리를 [eqn: d]라 하면

[eqn: d={left|`12-12root2`right|}overroot{9+16}={12root2 -12}over5]

[eqn: rmbarAB =5]이므로 삼각형 [eqn: rmABP]의 넓이 [eqn: k]는

[eqn: k= 1over2 times5times{12root2 -12}over5 ={6root2 -6}over5]

① [eqn: 3 sqrt {2} -3]	② [eqn: 6 sqrt {2} -7]	③ [eqn: 3 sqrt {2} -2]

④ [eqn: 6 sqrt {2} -6]	⑤ [eqn: 6 sqrt {2} -5]

07 기하	04 이차곡선과접선
03 쌍곡선과 접선
02 쌍곡선과 접선2 (접점조건)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 25

쌍곡선 [eqn: {x^2 - y^2 over3 = 1}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]위의 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmP]에서의 접선의 [eqn: x]절편이 [eqn: 1over3]이다. 쌍곡선 [eqn: x^2 - y^2 over3 = 1]의 두 초점 중 [eqn: x]좌표가 양수인 점을 [eqn: rmF]라 할 때, 선분 [eqn: rmPF]의 길이는?

[정답] ①

[해설]

접점 [eqn: rmP]를 [eqn: (x_{1} , ````y_{1})] 이라 하면 접선의 방정식은

[eqn: x_{1} x - {{y_{1} y} over 3 =1]이므로 [eqn: x]절편이 [eqn: 1 over 3]이므로 [eqn: left( 1over 3 ,````0 right)]를 지난다.

[eqn: 1over3 x_{1} =1], 즉, [eqn: x_{1} = 3]이므로 점 [eqn: rmP ( 3 ,```` 2root6 )] ([eqn: because```` y_{1} >0])

초점의 좌표중 양수인 좌표는 [eqn: {rm F(2,````0)] ([eqn: because ```` c^{2}=a^{2}+b^{2}])

그러므로 선분 [eqn: rmPF]의 길이는

[eqn: root { (3 - 2 )^{2} + (2root6 -0 )^{2} }= root {1+24 }= 5]

① [eqn: 5]	② [eqn: 16 over3]	③ [eqn: 17 over3]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 19 over3]

다음 그림과 같이 두 초점이 [eqn: rm F` it LEFT ( 3,``0 RIGHT )], [eqn: rm F``' it LEFT ( -3,``0 RIGHT )]인 쌍곡선 위의 점 [eqn: rm P` it LEFT ( 4,``p RIGHT )]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm Q]라 하자. 점 [eqn: rm Q]가 선분 [eqn: rm F``'F]를 [eqn: 2`:`1]로 내분할 때, [eqn: p]의 값은?

[정답] ①

[해설]

쌍곡선의 방정식을 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]로 놓으면

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =9][eqn: cdots cdots ㉠]

점 [eqn: rm P it (4,``p)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: {4x} over {a ^{2}} - {py} over {b ^{2}} =1][eqn: cdots cdots ㉡]

[eqn: y=0]을 [eqn: ㉡]에 대입하면 [eqn: x= {a ^{2}} over {4}]

[eqn: rm Q it LEFT ( {a ^{2}} over {4},``0 RIGHT )]

점 [eqn: rm Q]는 길이가 [eqn: 6]인 선분 [eqn: rm F``'F`]를 [eqn: 2`:`1]로 내분하므로 점 [eqn: rm Q]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 1]이다.

[eqn: {a ^{2}} over {4} =1]에서 [eqn: a ^{2} =4]

[eqn: a ^{2} =4]를 [eqn: ㉠]에 대입하면 [eqn: b ^{2} =5]

따라서 쌍곡선의 방정식은 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {5} =1]이다.

점 [eqn: rm P it (4,``p)]는 이 쌍곡선 위의 점이므로

[eqn: {4 ^{2}} over {4} - {p ^{2}} over {5} =1]에서 [eqn: {p ^{2}} over {5} =3],  [eqn: p ^{2} =15]

[eqn: therefore][eqn: p= sqrt {15}]

① [eqn: root15]	② [eqn: 3root2]	③ [eqn: root21]

④ [eqn: 2root6]	⑤ [eqn: 3root3]

[출처]	2015 모의_공공 사관학교 고3 07월 5

쌍곡선 [eqn: 7x^2 -ay^2 =20] 위의 점 [eqn: LEFT ( 2 ,`` b RIGHT )`]에서의 접선이 점 [eqn: LEFT ( 0 , ``-5 RIGHT )`]를 지날 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.)

[정답] ①

[해설]

점 [eqn: (2, ``b)]이 쌍곡선 [eqn: 7x^2 -ay^2 =20] 위의 점이므로

[eqn: 4 cdot2^2 -ab^2 =20]

∴ [eqn: ab^2 =8]	⋯⋯ ㉠

쌍곡선 [eqn: 7x^2 -ay^2 =20] 위의 점 [eqn: (2, ``b)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: 7(2x)-a(by)=20] 즉,   [eqn: 14x -aby =20]

직선 [eqn: 14x -aby =20]이 점 [eqn: (0, ``-5)]를 지나므로

[eqn: 5ab =20]

∴ [eqn: ab=4]	⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡에서  [eqn: a=2], [eqn: b=2]  ∴ [eqn: a+b=4]

[다른 풀이]

점 [eqn: (2, ``b)]이 쌍곡선 [eqn: 7x^2 -ay^2 =20] 위의 점이므로

[eqn: 4 cdot2^2 -ab^2 =20]

∴ [eqn: ab^2 =8]	⋯⋯ ㉠

[eqn: 7x^2 -ay^2 =20]에서 음함수의 미분법에 의하여

[eqn: 14x -2ay cdot dy overdx =0]

∴ [eqn: dy overdx = 7x overay]

점 [eqn: (2, ``b)]에서의 접선의 기울기는 두 점 [eqn: (2, ``b)], [eqn: (0, ``-5)]를 지나는 직선의 기울기와 같으므로

[eqn: { 7cdot2} over { ab} = b+5 over2]

[eqn: 28 =ab^2 +5ab = 8+ab](∵ ㉠)

∴ [eqn: ab =4] ⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡에서  [eqn: a=2], [eqn: b=2]

∴ [eqn: a+b=4]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

07 기하	05 평면벡터의연산
01 벡터의 뜻과 연산
05 벡터의 연산3 (도형에서 벡터의 연산)

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 26

그림과 같이 정삼각형 [eqn: rm ABC`]에서 선분 [eqn: rm BC`]의 중점을 [eqn: rm M`]이라 하고, 직선 [eqn: rm AM`]이 정삼각형 [eqn: rm ABC`]의 외접원과 만나는 점 중 [eqn: rm A`]가 아닌 점을 [eqn: rm D`]라 하자.

[정답] ③

[해설]

세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmM], [eqn: rmD]는 일직선 위에 있으므로 [eqn: rmvecAD =itk rmvecAM]

[eqn: angle rmCAD=30DEG]이므로

[eqn: rmbarAC = 2overroot3 barAM = root3 over2 barAD]

따라서 [eqn: rmbarAD = 4over3 barAM]에서 [eqn: k= 4over3]

또한, [eqn: rmvecAM = 1over2 left(vecAB +vecAC right)]이므로

[eqn: rmvecAD = 4over3 vecAM = 4over3 times 1over2 left(vecAB +vecAC right)= 2over3 vecAB + 2over3 vecAC]

따라서 [eqn: m= 2over3], [eqn: n= 2over3]이므로 [eqn: m+n= 4over3]

[eqn: vec{rm AD} = it m rm vec{AB} + it n rm vec{AC} `]

일 때, [eqn: m+n`]의 값은? (단, [eqn: m,````n`]은 상수이다.)

① [eqn: {7} over {6}]	② [eqn: {5} over {4}]	③ [eqn: {4} over {3}]

④ [eqn: {17} over {12}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

다음 그림에서 원의 중심은 [eqn: rm O]이고, 선분 [eqn: rm OA]와 선분 [eqn: rm OB]는 원의 반지름이며 [eqn: rm vec OA it bot rm vec OB it], [eqn: rm angle AOC it =45DEG]이다. [eqn: rm vec OA it =veca], [eqn: rm vec OB it =vecb]라 할 때, [eqn: rm vec OC it = m veca +n vecb]를 만족시키는 두 실수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: 3m^2 +n^2]의 값은?

[정답] ④

[해설]

선분 [eqn: rm AB]의 중점을 [eqn: rm M]이라 하면
[eqn: {vec{a}} + {vec{b}}=2rm vec OM it]
원의 반지름의 길이를 [eqn: r]이라 하자.
벡터 [eqn: {vec {rm OM it}}]은 크기가 [eqn: { r} over { sqrt { 2} }]이고
벡터 [eqn: rm vec OC it]의 크기는 [eqn: r]이므로
[eqn: {vec {rm OC it}} = { 1} over { sqrt { 2} } ( {vec{a}} + {vec{b}})]
[eqn: therefore3m ^{2} +n ^{2} =2]

① [eqn: { 1} over { 4}]	② [eqn: { 1} over { 2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

다음 그림과 같이 중심이 [eqn: rm O it]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 위의 세 점 [eqn: rm A it], [eqn: rm B it], [eqn: rm C it]가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

[정답] ②

[해설]

다음 그림과 같이 점 [eqn: rm C it `]에서 두 선분 [eqn: rm OA ,``OB `]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm H_1 ,``H_2]라 하면

[eqn: rm vec OH_1 = vec OA it times cos 45 Deg = root 2 over 2 vec a]

[eqn: rm vec OH_2 = vec OB it times cos 45 Deg = root 2 over 2 vec b]

따라서 [eqn: rm vec OC it = it rm vec OH_1 + vec O H_2 `]에서

[eqn: vec c = it root 2 over 2 vec a + root 2 over 2 vec b = root 2 over 2 left (vec a + vec b right )]

[eqn: vec\OA][eqn: = veca],  [eqn: vec\OB][eqn: = vecb],  [eqn: vec\OC][eqn: =vecc]

일 때, [eqn: vecc]를 [eqn: veca], [eqn: vecb]로 나타내면?

(가) [eqn: vec\OA ⊥ vec\OB]

(나) [eqn: bar\OC]는 [eqn: rm ∠AOB]의 이등분선이다.

① [eqn: 1 over 2 (veca +vecb )]	② [eqn: root2 over 2 (veca +vecb )]	③ [eqn: 2 over 3 (veca +vecb )]

④ [eqn: 3 over 4 (veca +vecb )]	⑤ [eqn: veca +vecb]

07 기하	05 평면벡터의연산
02 벡터의 해석과 활용
05 벡터의 해석5 (Mm)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 27

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: {4}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]인 정삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 점 [eqn: rmA]를 지나고 직선 [eqn: rmBC]에 평행한 직선을 [eqn: l]이라 할 때, 세 직선 [eqn: rmAC], [eqn: rmBC], [eqn: l]에 모두 접하는 원을 [eqn: O]라 하자. 원 [eqn: O]위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: left |`` vec{rmAC} + vec{rmBP} ``right |]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: Mm]의 값은?
(단, 원 [eqn: O]의 중심은 삼각형 [eqn: rmABC]의 외부에 있다.)

[정답] ④

[해설]

원의 중심을 [eqn: rmO]라 하면

[eqn: vec {rmBP} = vec{ rmBO}+vec{ rmOP}]

이고 점 [eqn: rmB]를 원점으로 설정하면 점 [eqn: rm A (2,````2root3 )], 점 [eqn: rmC( 4,````0)], 점 [eqn: rmO][eqn: (5,```` root3 )]이고 반지름의 길이가 [eqn: root3]이다.

[eqn: THEREFORE```` vec{ rmAC} + vec{ rmBP}][eqn: = ( vec{ rmAC} + vec{ rmBO} )+vec{ rmOP}]
[eqn: = (2,````-2root3 ) + (5,````root3 ) + rm vec{ OP}]
[eqn: = (7,````-root3 ) + vec{ rmOP}]

최댓값은 중심을 지나고 일직선에서 반지름의 길이를 더한 값이고,

최솟값은 중심을 지나는 일직선에서 반지름의 길이를 뺀 값이다.

[eqn: bar{rmBO} = root {7^{2} + (-root3 )^{2} } = 2root 13]

그러므로 최댓값은 [eqn: 2root 13 + root 3], 최솟값은 [eqn: 2root 13 -root3]

[eqn: THEREFORE````Mm= (2root13 +root 3 ) ( 2root 13 - root 3 ) = 52 -3 = 49]

① [eqn: 46]	② [eqn: 47]	③ [eqn: 48]

④ [eqn: 49]	⑤ [eqn: 50]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정삼각형 [eqn: rmABC]의 내부에 원 [eqn: rmO]가 내접해 있다. 원 [eqn: rmO] 위의 임의의 세 점 [eqn: rmP,~Q,~R]에 대하여 [eqn: rm LEFT | vec{AP} + vec{BQ} + vec{CR} RIGHT |]의 최댓값은?

[정답] ⑤

[해설]

정삼각형의 무게중심을 [eqn: rmG]라고 하면 벡터의 성질에 의해 세 벡터 [eqn: rm vec{AP} ,~ vec{BQ} ,~ vec{CR}]을 각각 [eqn: rm vec{AG} + vec{GP} ,~ vec{BG} + vec{GQ} ,~ vec{CG} + vec{GR}]로 나타낼 수 있습니다. 따라서

[eqn: rm LEFT | vec{AP} + vec{BQ} + vec{CR} RIGHT | = LEFT | LEFT ( vec{AG} + vec{GP} RIGHT ) + LEFT ( vec{BG} + vec{GQ} RIGHT ) + LEFT ( vec{CG} + vec{GR} RIGHT ) RIGHT |]

가 성립합니다.

이때, [eqn: rm LEFT | vec{AG} + vec{BG} + vec{CG} RIGHT | =0]이므로

[eqn: rm LEFT | vec{AP} + vec{BQ} + vec{CR} RIGHT | = LEFT | LEFT ( vec{AG} + vec{GP} RIGHT ) + LEFT ( vec{BG} + vec{GQ} RIGHT ) + LEFT ( vec{CG} + vec{GR} RIGHT ) RIGHT |]

[eqn: =rm LEFT | vec{GP} + vec{GQ} + vec{GR} RIGHT |]

내접원의 반지름의 길이가 [eqn: r]이라고 하면 세 벡터 [eqn: rm vec{GP} ,~ vec{GQ} ,~ vec{GR}]의 크기가 모두 내접원의 반지름의 길이로 같으므로 세 벡터가 모두 같은 방향일 때 [eqn: rm LEFT | vec{GP} + vec{GQ} + vec{GR} RIGHT |]의 값은 [eqn: 3r]로 최대가 됩니다.

따라서 [eqn: rm LEFT | vec{AP} + vec{BQ} + vec{CR} RIGHT |]의 최댓값은 [eqn: 3 sqrt {3}]입니다.

※ 즉, 세 점 [eqn: rmP,~Q,~R]이 같은 위치에 있을 때, [eqn: rm LEFT | vec{AP} + vec{BQ} + vec{CR} RIGHT |]은 최댓값을 가지게 됩니다.

① [eqn: 2 sqrt {2}]	② [eqn: 2 sqrt {3}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 3 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 3 sqrt {3}]

[출처]	2022 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능특강 레벨3 실력완성

한 평면에 한 변의 길이가 [eqn: rm 2]인 정삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]와 반지름의 길이가 같은 두 원 [eqn: O_{1}], [eqn: O_{2}]가 있다. 그림과 같이 두 원 [eqn: O_{1}], [eqn: O_{2}]는 점 [eqn: {rm{D}} it]에서만 만나고 직선 [eqn: {rm{BC}} it]와 각각 두 점 [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{B}} it]에서 접한다. 원 [eqn: O_{1}] 위의 한 점 [eqn: {rm{P}} it]와 원 [eqn: O_{2}] 위의 한 점 [eqn: {rm{Q}} it]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]는 직선 [eqn: {rm{AD}} it]에 대하여 대칭이므로 선분 [eqn: {rm{PQ}} it]의 중점을 [eqn: {rm{M}} it]이라 하면 점 [eqn: {rm{M}} it]은 항상 직선 [eqn: {rm{AD}} it] 위에 있다.

이때 [eqn: {vec{{rm{AP}} it }}+{vec{{rm{AQ}} it }}=2 {vec{{rm{AM}} it }}]이므로

[eqn: |{vec{{rm{AP}} it }}+{vec{{rm{AQ}} it }}|=|2 {vec{{rm{AM}} it }}|=2 {vec{{rm{AM}} it }}]

변 [eqn: {rm{BC}} it]의 중점을 [eqn: {rm{M}} it _{1}]이라 하면 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]는 한 변의 길

이가 [eqn: rm 2]인 정삼각형이므로 [eqn: overline{{rm{AM}} it _{1}}= sqrt{3}]이다.

그림과 같이 점 [eqn: {rm{P}} it]가 점 [eqn: {rm{C}} it]이고 점 [eqn: {rm{Q}} it]가 점 [eqn: {rm{B}} it]일 때,

[eqn: |{vec{{rm{AP}} it }}+{vec{{rm{AQ}} it }}|=|{vec{{rm{AB}} it }}+{vec{{rm{AC}} it }}|= left|2 {vec{{rm{AM}} it _{1}}} right|=2 {vec{{rm{AM}} it _{1}}}=2 sqrt{3}]

[eqn: overline{{rm{AM}} it _{1}} leq overline{{rm{AM}} it }]이므로

[eqn: |{vec{{rm{AP}} it }}+{vec{{rm{AQ}} it }}|]의 최솟값은 [eqn: 2 sqrt{3}]

이다.

원 [eqn: O_{1}]의 중심을 [eqn: {rm{O}} it _{1}]이라 하면

사각형 [eqn: {rm{CM}} it _{1} {rm{DO}} it _{1}]은 정사각형

이므로

[eqn: overline{{rm{CO}} it _{1}}= overline{{rm{CM}} it _{1}}=1]

즉, 원 [eqn: O_{1}]의 반지름의 길이는 [eqn: rm 1]이고, 마찬가지로 원 [eqn: O_{2}]의 반지름의 길이도 [eqn: rm 1]이다.

직선 [eqn: {rm{PQ}} it]가 두 원 [eqn: O_{1}], [eqn: O_{2}]에 모두 접하고 직선 [eqn: {rm{BC}} it]가 아닐 때, 직선 [eqn: {rm{PQ}} it]와 직선 [eqn: {rm{AD}} it]가 만나는 점을 [eqn: {rm{M}} it _{2}]라 하면 선분 [eqn: {rm{M}} it _{1} {rm{M}} it _{2}]의 길이는 원 [eqn: O_{1}], 원 [eqn: O_{2}]의 지름의 길이와 같으므로 [eqn: overline{{rm{M}} it _{1} {rm{M}} it _{2}}=2]

[eqn: overline{{rm{AM}} it } leq overline{{rm{AM}} it _{2}}= overline{{rm{AM}} it _{1}}+ overline{{rm{M}} it _{1} {rm{M}} it _{2}}= sqrt{3}+2]이므로

[eqn: |{vec{{rm{AP}} it }}+{vec{{rm{AQ}} it }}|=2 {vec{{rm{AM}} it }}]의 최댓값은

[eqn: 2( sqrt{3}+2)=2 sqrt{3}+4]

따라서 [eqn: |{vec{{rm{AP}} it }}+{vec{{rm{AQ}} it }}|]의 최댓값과 최솟값의 합은

[eqn: (2 sqrt{3}+4)+2 sqrt{3}=4+4 sqrt{3}]

[eqn: |{vec{{rm{AP}} it }}|=|{vec{{rm{AQ}} it }}|], [eqn: angle {rm{PAD}} it = angle {rm{QAD}} it]

일 때, [eqn: |{vec{{rm{AP}} it }}+{vec{{rm{AQ}} it }}|]의 최댓값과 최솟값의 합은?

① [eqn: 2+2 sqrt{3}]	② [eqn: 3+2 sqrt{3}]	③ [eqn: 2+3 sqrt{3}]

④ [eqn: 3+4 sqrt{3}]	⑤ [eqn: 4+4 sqrt{3}]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 10월 18

[eqn: rm overline AB = 8], [eqn: rm overline BC = 6`]인 직사각형 [eqn: rm ABCD`]에 대하여 네 선분 [eqn: rm AB], [eqn: rm CD], [eqn: rm DA], [eqn: \BD`]의 중점을 각각 [eqn: rm E], [eqn: \F], [eqn: \G], [eqn: \H`]라 하자. 선분 [eqn: \CF`]를 지름으로 하는 원 위의 점 [eqn: \P`]에 대하여 [eqn: left|` vec { rmEG }+ vec { rm HP} `right|`]의 최댓값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: LEFT | rm {vec{EG}} + {vec{rm HP}} RIGHT | = LEFT | rm {vec{BH}} + {vec{rm HP}} RIGHT | =left| {vec{rm BP}}right |`]이므로

[eqn: left|rm vec { EG}+} vec { rm HP}right|`]의 최댓값은 [eqn: left|rm vec {BP }right|`]의 최댓값과 같다.

즉, 원 밖의 한 점 [eqn: rm B`]에서 원 위의 점 [eqn: rm P`]에 이르는 거리의 최댓값이다.

따라서 원의 중심을 [eqn: rm O`]라 하면 [eqn: left|rm vec { BP }right|`]의 최댓값은

[eqn: bar { rm BO }+2][eqn: = sqrt {6^{2}+2 ^{2}} } +2][eqn: =2root10 +2]

① [eqn: 8]	② [eqn: 2+2root10]	③ [eqn: 2+2root11]

④ [eqn: 2+4root3]	⑤ [eqn: 2+2root13]

07 기하	06 위치벡터와평면벡터의성분
02 벡터의 성분과 연산
08 벡터의 성분8 (추론과 해석)

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 20

좌표평면에서 점 [eqn: {rm{A}} it (0,``12)]와 양수 [eqn: t]에 대하여 점 [eqn: {rm{P}} it (0,`` t)]와 점 [eqn: {rm{Q}} it]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

점 [eqn: {rm{Q}} it]의 좌표를 [eqn: (x,`` y)]라 하면

[eqn: {vec{{rm{OA}} it }} BULLET {vec{{rm{PQ}} it }}=(0,``12) BULLET (x,`` y-t)=12(y-t)=0], [eqn: y=t]

[eqn: {t} over {3} leq sqrt{x^{2}+(y-t)^{2}} leq {t} over {2}]

따라서 [eqn: y=t], [eqn: {t} over {3} leq|x| leq {t} over {2}], [eqn: 6 leq t leq 12]

즉 [eqn: 2` vert `x` vert LEQ y LEQ 3vert `x` vert], [eqn: 6 leq y leq 12]

이것을 좌표평면에 나타내면 아래그림과 같다.

따라서 구하려는 최솟값은 [eqn: {rm{A}} it (0,``12)]에서 직선 [eqn: y=3 x]에 이르는 거리 [eqn: m={12} over { sqrt{10}}]

최댓값은 [eqn: {rm{A}} it (0,``12)]에서 [eqn: {rm{Q}} it (3,``6)]의 거리 [eqn: M= sqrt{9+36}=3 sqrt{5}]

[eqn: therefore~ ~ M m={12} over { sqrt{10}} times 3 sqrt{5}=18 sqrt{2}]

(가) [eqn: {vec{{rm{OA}} it }} BULLET {vec{{rm{PQ}} it }}=0]

(나) [eqn: {t} over {3} leq|{vec{{rm{PQ}} it }}| leq {t} over {2}]

[eqn: 6 leq t leq 12]에서 [eqn: |{vec{{rm{AQ}} it }}|]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M m]의 값은?

① [eqn: 12 sqrt{2}]	② [eqn: 14 sqrt{2}]	③ [eqn: 16 sqrt{2}]

④ [eqn: 18 sqrt{2}]	⑤ [eqn: 20 sqrt{2}]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 09월 19

좌표평면 위에 두 점 [eqn: {rmA}(1,``` 0)], [eqn: {rmB}(0,``` 1)]이 있다. 중심각의 크기가 [eqn: { pi}over{2}]인 부채꼴 [eqn: {rmOAB}]의 호 [eqn: {rmAB}] 위를 움직이는 점 [eqn: {rmX}]와 함수 [eqn: y= (x- 2)^{2 }+ 1][eqn: LEFT ( 2 LEQ x LEQ 3 RIGHT )`]의 그래프 위를 움직이는 점 [eqn: {rmY}]에 대하여

[정답] ①

[해설]

[eqn: rm vecOP = vec OY + vecXO]이고, 모든 [eqn: rm vec XO]의 시점을 점 [eqn: rmY]로 평행이동하면

다음 그림과 같이 점 [eqn: rmY]를 중심으로 하는 반지름이 [eqn: 1]인 사분원이다.

이때 점 [eqn: rmY]는 [eqn: y= (x-2)^2 +1][eqn: (2 le x le 3 )]위를 움직이므로

영역 [eqn: R]은 다음 그림의 색칠한 부분과 같다.

따라서 점 [eqn: rmO]로부터 거리의 최댓값은 [eqn: rmP]가 [eqn: (3 `,``1 )]일 때 [eqn: M= sqrt {10}]

최솟값은 원점과 [eqn: (2 `,``1 )]사이의 거리에서 반지름 [eqn: 1]을 뺀 [eqn: m=sqrt {5} -1]이다.

[eqn: M^2 + m^2 = 16 - 2root5]

[eqn: vec{{rmOP}}=vec{{rmOY}}`-vec{{rmOX}}]

를 만족시키는 점 [eqn: {rmP}]가 나타내는 영역을 [eqn: {rmR}]라 하자. 점 [eqn: {rmO}]로부터 영역 [eqn: {rmR}]에 있는 점까지의 거리의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m `]이라 할 때, [eqn: M^{`2}+ m^{2 }]의 값은?
(단, [eqn: rm O]는 원점이다.)

① [eqn: 16 - 2 sqrt 5]	② [eqn: 16 - sqrt 5]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 16 + sqrt 5]	⑤ [eqn: 16 + 2 sqrt 5]

[출처]	2013 모의_공공 사관학교 고3 07월 15

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: rm 2]이고 중심각의 크기가 [eqn: { pi} over {3}]인 부채꼴 [eqn: {rm{OAB}} it]에서 선분 [eqn: {rm{OA}} it]의 중점을 [eqn: {rm{M}} it]이라 하자. 점 [eqn: {rm{P}} it]는 두 선분 [eqn: {rm{OM}} it]과 [eqn: {rm{BM}} it] 위를 움직이고, 점 [eqn: {rm{Q}} it]는 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위를 움직인다. [eqn: {vec{{rm{OR}} it }}={vec{{rm{OP}} it }}+{vec{{rm{OQ}} it }}]를 만족시키는 점 [eqn: {rm{R}} it]가 나타내는 영역 전체의 넓이는?

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: {rm{P}} it]가 선분 [eqn: {rm{OM}} it] 위를 움직일 때, 점 [eqn: {rm{R}} it]이 존재하는 영역은 다음 그림의 어두운 부분과 같다.

점 [eqn: {rm{P}} it]가 선분 [eqn: {rm{BM}} it] 위를 움직일 때, 점 [eqn: {rm{R}} it]이 존재하는 영역은 다음 그림의 어두운 부분과 같다.

따라서 점 [eqn: {rm{R}} it]이 나타내는 영역은 다음 그림과 같다.

위 영역의 넓이는 가로의 길이가 [eqn: rm 2]이고 세로의 길이가 [eqn: sqrt{3}]인 직사각형의 넓이와 같다.

따라서 구하는 넓이는 [eqn: 2 sqrt{3}]이다.

① [eqn: sqrt{3}]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: 2 sqrt{3}]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: 3 sqrt{3}]

07 기하	07 평면벡터의내적
01 평면벡터의 내적
02 내적2 (내적 구하기, 벡터의 크기 구하기)

두 벡터 [eqn: vec{a},~vec{b}`]에 대하여 [eqn: |`vec{a}`|=2,~|`vec{b}`|=3`]이고 두 벡터 [eqn: vec{a},~vec{b}`]가 이루는 각의 크기가 [eqn: { pi} over { 3}`]일 때, 벡터 [eqn: vec{a}-2vec{b}`]의 크기는?

[정답] ③

[해설]

[eqn: |`vec{a}-2vec{b}`|^2`][eqn: =(vec{a}-2vec{b})bullet(vec{a}-2vec{b})`]
[eqn: =|`vec{a}`|^2`-4vec{a}bulletvec{b}+4|`vec{b}`|^2]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이때 [eqn: |`vec{a}`|=2,~|`vec{b}`|=3`]이고 두 벡터 [eqn: vec{a},~vec{b}`]가 이루는 각의 크기가 [eqn: { pi} over { 3}`]이므로

[eqn: vec{a}bulletvec{b}][eqn: =|`vec{a}`||`vec{b}`|`cos` { pi} over { 3}][eqn: =2times3times { 1} over { 2}][eqn: =3]

따라서 ㉠은

[eqn: |`vec{a}`|^2`-4vec{a}bulletvec{b}+4|`vec{b}`|^2]

[eqn: =2^2`-4times3+4times3^2]

[eqn: =4-12+36][eqn: =28]

이므로 벡터 [eqn: vec{a}-2vec{b}`]의 크기는 [eqn: 2sqrt { 7}`]이다.

① [eqn: sqrt { 26}]	② [eqn: 3sqrt { 3}]	③ [eqn: 2sqrt { 7}]

④ [eqn: sqrt { 29}]	⑤ [eqn: sqrt { 30}]

두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]가 이루는 각의 크기가 [eqn: 60DEG]이고, [eqn: LEFT | veca RIGHT |=3], [eqn: LEFT | vecb RIGHT |=2]일 때, [eqn: LEFT | veca -vecb RIGHT |]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: LEFT | {vec{a}} - {vec{b}} RIGHT | ^{2}][eqn: = LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2}][eqn: -2 {vec{a}} BULLET {vec{b}}][eqn: + LEFT | {vec{b}} RIGHT | ^{2}]

[eqn: = LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2}][eqn: -2 LEFT | {vec{a}} RIGHT |][eqn: LEFT | {vec{b}} RIGHT |][eqn: cos60 DEG][eqn: + LEFT | {vec{b}} RIGHT | ^{2}]

[eqn: =9][eqn: -2 times 3][eqn: times 2][eqn: times {1} over {2}][eqn: +2 ^{2}]

[eqn: =7]

[eqn: therefore LEFT | {vec{a}} - {vec{b}} RIGHT |][eqn: = sqrt {7}]

① [eqn: sqrt { 19}]	② [eqn: sqrt { 13}]	③ [eqn: sqrt { 11}]

④ [eqn: sqrt { 7}]	⑤ [eqn: sqrt { 3}]

[출처]	2014 모의_공공 사관학교 고3 07월 3

두 벡터 [eqn: {vec{a}}], [eqn: {vec{b}}]가 이루는 각의 크기가 [eqn: 60 DEG]이고, [eqn: |{vec{a}}|=2], [eqn: |{vec{b}}|=3]일 때, [eqn: |{vec{a}}-2 {vec{b}}|]의 값은?

[정답] ③

[해설]

두 벡터 [eqn: {vec{a}}], [eqn: {vec{b}}]가 이루는 각의 크기가 [eqn: 60 DEG]이고,

[eqn: vert `` {vec{a}} `` vert =2], [eqn: vert {vec{``b``}} vert =3]이므로

[eqn: {vec{a}} BULLET {vec{b}}=|{vec{a}} PVER {vec{b}}| cos 60 DEG =2 times 3 times {1} over {2}=3]

[eqn: |{vec{a}}-2 {vec{b}}|^{2}][eqn: =({vec{a}}-2 {vec{b}}) BULLET ({vec{a}}-2 {vec{b}})]
[eqn: =|{vec{a}}|^{2}-4 {vec{a}} BULLET {vec{b}}+4|{vec{b}}|^{2}]
[eqn: =4-12+36]
[eqn: =28]

[eqn: THEREFORE ~vert ` {vec{a}} -2 {vec{b}} ` vert = sqrt {28} =2 sqrt {7}]

① [eqn: 3 sqrt{2}]	② [eqn: 2 sqrt{6}]	③ [eqn: 2 sqrt{7}]

④ [eqn: 4 sqrt{2}]	⑤ [eqn: rm 6]

07 기하	07 평면벡터의내적
02 내적의 성분계산
03 성분과 내적3 (평행 또는 수직)

[출처]	2017 모의_공공 사관학교 고3 07월 1

두 벡터 [eqn: {vec{a}}=(2,``1)], [eqn: {vec{b}}=(-1,`` k)]에 대하여 두 벡터 [eqn: {vec{a}}], [eqn: {vec{a}}-{vec{b}}]가 서로 수직일 때, [eqn: k]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: {vec{a}}=(2,``1)], [eqn: {vec{a}}-{vec{b}}=(2,``1)-(-1,`` k)=(3,``1-k)]

[eqn: {vec{a}} BULLET ({vec{a}}-{vec{b}})=(2,``1) BULLET (3,``1-k)=6+1-k=0]

[eqn: THEREFORE~ k=7]

① [eqn: rm 4]	② [eqn: rm 5]	③ [eqn: rm 6]

④ [eqn: rm 7]	⑤ [eqn: rm 8]

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 27

그림과 같이 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=3], [eqn: overline{{rm{BC}} it }=4]인 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 선분 [eqn: {rm{AC}} it]를 [eqn: 1: 2]로 내분하는 점을 [eqn: {rm{D}} it], 선분 [eqn: {rm{AC}} it]를 [eqn: 2: 1]로 내분하는 점을 [eqn: {rm{E}} it]라 하자. 선분 [eqn: {rm{BC}} it]의 중점을 [eqn: {rm{F}} it]라 하고, 두 선분 [eqn: {rm{BE}} it], [eqn: {rm{DF}} it]의 교점을 [eqn: {rm{G}} it]라 하자. [eqn: {vec{{rm{AG}} it }} BULLET {vec{{rm{BE}} it }}=0]일 때, [eqn: cos ( angle {rm{ABC}} it )={q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 37]

[해설]

그림과 같이

[eqn: {vec{{rm{BA}} it }}={vec{a}}], [eqn: {vec{{rm{BC}} it }}={vec{c}}]라 놓으면

[eqn: {vec{{rm{BD}} it }}={2} over {3} {vec{a}}+{1} over {3} {vec{c}}], [eqn: ~ {vec{{rm{BE}} it }}={1} over {3} {vec{a}}+{2} over {3} {vec{c}}], [eqn: ~ {vec{{rm{BF}} it }}={1} over {2} {vec{c}}]

[eqn: {vec{{rm{BG}} it }}]는 실수 [eqn: t], [eqn: s]에 대하여

[eqn: {t} over {3} {vec{a}}+{2 t} over {3} {vec{c}}=s left({2} over {3} {vec{a}}+{1} over {3} {vec{c}} right)+(1-s) left({1} over {2} {vec{c}} right)]

[eqn: {t} over {3}={2 s} over {3}], [eqn: {2 t} over {3}={s} over {3}+{1-s} over {2}],

[eqn: t={2} over {3}], [eqn: s={1} over {3}], [eqn: {vec{{rm{BG}} it }}={2} over {9} {vec{a}}+{4} over {9} {vec{c}}], [eqn: {vec{{rm{AG}} it }}={vec{{rm{BG}} it }}-{vec{{rm{BA}} it }}=-{7} over {9} {vec{a}}+{4} over {9} {vec{c}}]

[eqn: {vec{{rm{AG}} it }} BULLET {vec{{rm{BE}} it }}][eqn: = left(-{7} over {9} {vec{a}}+{4} over {9} {vec{c}} right) BULLET left({1} over {3} {vec{a}}+{2} over {3} {vec{c}} right)]
[eqn: ={1} over {27}(-7 {vec{a}}+4 {vec{c}})({vec{a}}+2 {vec{c}})][eqn: ={1} over {27} left{ -7|{vec{a}}|^{2}+8|{vec{c}}|^{2}-10({vec{a}} BULLET {vec{c}}) it right}][eqn: ={1} over {27} left{ -63+128-10({vec{a}} BULLET {vec{c}}) it right} =0]

따라서 [eqn: {vec{a}} BULLET {vec{c}}={13} over {2}], [eqn: cos theta={{vec{a}} BULLET {vec{c}}} over {|{vec{a}} PVER {vec{c}}|}={{13} over {2}} over {3 times 4}={13} over {24}={q} over {p}]

[eqn: therefore~ ~ p+q=37]

그림과 같이 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=3], [eqn: overline{{rm{BC}} it }=4]인 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 선분 [eqn: {rm{AC}} it]를 [eqn: 1: 2]로 내분하는 점을 [eqn: {rm{D}} it], 선분 [eqn: {rm{AC}} it]를 [eqn: 2: 1]로 내분하는 점을 [eqn: {rm{E}} it]라 하자. 선분 [eqn: {rm{BC}} it]의 중점을 [eqn: {rm{F}} it]라 하고, 두 선분 [eqn: {rm{BE}} it], [eqn: {rm{DF}} it]의 교점을 [eqn: {rm{G}} it]라 하자. [eqn: {vec{{rm{AG}} it }} BULLET {vec{{rm{BE}} it }}=0]일 때, [eqn: cos ( angle {rm{ABC}} it )={q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 37]

[해설]

[eqn: {vec{{rm{BA}} it }}={vec{a}}], [eqn: {vec{{rm{BC}} it }}={vec{c}}]라 놓으면

[eqn: {vec{{rm{BD}} it }}={2} over {3} {vec{a}}+{1} over {3} {vec{c}}], [eqn: {vec{{rm{BE}} it }}={1} over {3} {vec{a}}+{2} over {3} {vec{c}}], [eqn: {vec{{rm{BF}} it }}={1} over {2} {vec{c}}]

이므로 실수 [eqn: t], [eqn: s]에 대하여

[eqn: {vec{{rm{BG}} it }}=t left({1} over {3} {vec{a}}+{2} over {3} {vec{c}} right)=s left({2} over {3} {vec{a}}+{1} over {3} {vec{c}} right)+(1-s) left({1} over {2} {vec{c}} right)]

이때 [eqn: {t} over {3}={2 s} over {3}], [eqn: {2 t} over {3}={s} over {3}+{1-s} over {2}]이므로

[eqn: t={2} over {3}], [eqn: s={1} over {3}]

[eqn: therefore~{vec{{rm{BG}} it }}={2} over {9} {vec{a}}+{4} over {9} {vec{c}}]

또한 [eqn: {vec{{rm{AG}} it }}={vec{{rm{BG}} it }}-{vec{{rm{BA}} it }}=IT-{7} over {9} {vec{a}}+{4} over {9} {vec{c}}]이므로

[eqn: {vec{{rm{AG}} it }} BULLET {vec{{rm{BE}} it }}][eqn: = left(-{7} over {9} {vec{a}}+{4} over {9} {vec{c}} right) BULLET left({1} over {3} {vec{a}}+{2} over {3} {vec{c}} right)]
[eqn: ={1} over {27}(-7 {vec{a}}+4 {vec{c}})({vec{a}}+2 {vec{c}})]
[eqn: ={1} over {27} left{ -7|`{vec{a}}`|^{2}+8|`{vec{c}}`|^{2}-10({vec{a}} BULLET {vec{c}}) it right}]
[eqn: ={1} over {27} left{ -63+128-10({vec{a}} BULLET {vec{c}}) it right} =0]

[eqn: therefore~{vec{a}} BULLET {vec{c}}= {13} over {2}]

[eqn: therefore~ cos theta= {{vec{a}} BULLET {vec{c}}} over {|`{vec{a}}`| |`{vec{c}}`|}={13} over {3 times 4}={13} over {24}]

[eqn: therefore~p+q= 24+13=37]

07 기하	07 평면벡터의내적
03 내적의 활용
01 활용1 (움직이는 점 조건과 자취)

곡선 [eqn: y= root{1-x^2 } ` LEFT ( 1 over 2 le x le 1 RIGHT )] 위의 점 [eqn: rmX]와 선분 [eqn: x+root3 y =2 ``(0 le x le 2 )] 위의 점 [eqn: rmY]에 대하여

[정답] ③

[해설]

① 곡선 [eqn: y= root{1-x^2 }]의 점 [eqn: LEFT ( 1 over 2 ,~ root3 over2 RIGHT )]에서의 접선의 방정식을 구해보자.
[eqn: x^2 +y^2 =1]이므로 [eqn: 1 over 2 x +root3 over 2 y =1]

② [eqn: vec { rmOX} bullet vec { rmOY}]의 의미
[eqn: vec { rmOX}bullet vec { rmOY} = left|` vec { rmOX} ` right| ` left|` vec { rmOY'} ` right| = left|` vec { rmOY'} ` right|]
점 [eqn: LEFT ( 0,~ 2 over root3 RIGHT )]를 점 [eqn: rmA], 점 [eqn: (2,~0)]을 점 [eqn: rmB]라 하고 점 [eqn: rmA]가 [eqn: rmY]일 때 [eqn: rmY= Y_1], 점 [eqn: rmB]가 [eqn: rmY]일 때 [eqn: rmY= Y_2]라 하자.
[eqn: vec { rmOX}]가 다음 그림과 같을 때 가능한 [eqn: rmY']의 위치는 선분 [eqn: rmY_1 ' Y_2 '] 위이다.
[eqn: vec { rmOP}= left|` vec { rmOY'} ` right| ` vec { rmOX}]이고 [eqn: left|` vec { rmOX} ` right| =1]이므로 점 [eqn: rmP]는 직선 [eqn: rmOX] 위의 점이고 그 위치는 [eqn: rmY']과 같다. [eqn: vec { rmOP}= vec { rmOY'}]
[eqn: rmX]가 곡선 [eqn: y= root{1- x^2 } `` LEFT ( 1 over 2 le x le 1 RIGHT )] 위를 움직임에 따라 가능한 [eqn: rmY']이 다르게 나온다.
그러나 [eqn: rmY']은 항상 [eqn: angle{RmOY_1 ' A= pi over 2], [eqn: rmY_2 }']은 항상 [eqn: angle{rmOY_2 ' B= pi over 2]를 만족시킨다.
따라서 점 [eqn: rmY_1 ']은 [eqn: bar{rmOA}]를 지름으로 하는 원 위의 점이고 점 [eqn: rmY_2 ']은 [eqn: bar{rmOB]를 지름으로 하는 원 위의 점이다.

	(점 [eqn: rmP]가 나타내는 영역)
[그림1]
[그림2]	[그림3]

위 그림에서

[그림1][eqn: =][그림2][eqn: -][그림3]

[eqn: S`_{1}]	[eqn: S`_{2}]
[eqn: S`_{3}]	[eqn: S`_{4}]

위 그림에서

[eqn: S_1][eqn: = 1 over 2 cdot 1 ^2 cdot 2 over 3 pi][eqn: = pi over 3]

[eqn: S_2][eqn: = 1 over 2 cdot 1 cdot 1 cdot sin pi over 3][eqn: = root3 over 4]

[eqn: S_3][eqn: = 1 over 2 cdot 1 cdot 1 over root3 cdot sin pi over 6][eqn: = 1 over {4root3 }]

[eqn: S_4][eqn: = 1 over 2 cdot LEFT ( { 1} over { root3 } RIGHT )^2 cdot 2 over 3 pi][eqn: = 1 over 9 pi]

이다. 따라서

[eqn: S_1 + S_2 + S_3 - S_4][eqn: = pi over 3 + root3 over 4 + 1 over {4root3 } - pi over 9]
[eqn: = 2 over 9 pi + { 3root3 +root3 } over { 12}]
[eqn: = 2 over 9 pi + root3 over3]

[eqn: vec { rmOP} = ( vec { rmOX} bullet vec { rmOY} ) ` vec { rmOX}]

를 만족시키는 점 [eqn: rmP]가 나타내는 영역의 넓이는?

① [eqn: pi over 9 + { root3 } over { 3}]	② [eqn: pi over 9 + root3 over 4]	③ [eqn: { 2 } over { 9}pi + root3 over 3]

④ [eqn: { 2} over { 9}pi + root3 over 6]	⑤ [eqn: { pi} over { 3} + { 5root3 } over { 6}]

[eqn: rm barAB =2]인 정삼각형 [eqn: rmABC]의 내부의 점 [eqn: rmP]가

[정답] ②

[해설]

[eqn: rmTRIANGLE ABC]의 무게중심을 [eqn: rmG]라고 하면

[eqn: rm {vec{PA}} BULLET {vec{PB}}][eqn: rm= LEFT ( {vec{GA}}-{vec{GP}} RIGHT ) bullet LEFT ( {vec{GB}}-{vec{GP}} RIGHT )]
[eqn: rm = LEFT ( {vec{GA}} BULLET {vec{GB}} RIGHT ) - LEFT ( {vec{GA}} + {vec{GB}} RIGHT ) BULLET {vec{GP}} +left|{vec{GP}}right| ^{2}]

마찬가지로 하면,

[eqn: rm {vec{PA}} BULLET {vec{PB}} + {vec{PB}} BULLET {vec{PC}} + {vec{PC}} BULLET {vec{PA}}]

[eqn: rm = LEFT ( {vec{GA}} BULLET {vec{GB}} RIGHT ) - LEFT ( {vec{GA}} + {vec{GB}} RIGHT ) BULLET {vec{GP}} +left|{vec{GP}}right| ^{2}]

[eqn: rm + LEFT ( {vec{GB}} BULLET {vec{GC}} RIGHT ) - LEFT ( {vec{GB}} + {vec{GC}} RIGHT ) BULLET {vec{GP}} + LEFT | {vec{GP}} RIGHT | ^{2}]

[eqn: rm + LEFT ( {vec{GC}} BULLET {vec{GA}} RIGHT ) - LEFT ( {vec{GC}} + {vec{GA}} RIGHT ) BULLET {vec{GP}} + LEFT | {vec{GP}} RIGHT | ^{2}]

[eqn: rm {vec{GA}} BULLET {vec{GB}}][eqn: = rm {vec{GB}} BULLET {vec{GC}}][eqn: = rm {vec{GC}} BULLET {vec{GA}}][eqn: = {2 sqrt {3}} over {3} CDOT {2 sqrt {3}} over {3} CDOT cos120 DEG]
[eqn: =- {2} over {3}]

이고 [eqn: rm {vec{GA}} + {vec{GB}} + {vec{GC}} = {vec{0}}]이므로, 정리하면

[eqn: rm {vec{PA}} BULLET {vec{PB}} + {vec{PB}} BULLET {vec{PC}} + {vec{PC}} BULLET {vec{PA}}][eqn: rm =-2+3 LEFT | {vec{GP}} RIGHT | ^{2}][eqn: =-1]

[eqn: THEREFORE ~ rm LEFT | {vec{GP}} RIGHT | = {1} over {sqrt {3}}]

따라서 점 [eqn: rmP]는 점 [eqn: rmG]를 중심으로 하고 반지름이 [eqn: {1} over {sqrt {3}}]인 원 위의 점이다. 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형의 넓이는 [eqn: {pi} over {3}]이다.

[eqn: rm vecPA bullet vecPB + vecPB bullet vecPC + vecPC bullet vecPA leq-1]

을 만족하면서 움직일 때, 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형의 넓이는?

① [eqn: pi over2]	② [eqn: pi over3]	③ [eqn: pi over4]

④ [eqn: pi over6]	⑤ [eqn: pi over8]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 30

좌표평면 위의 두 점 [eqn: {rmA(6 ,```` 0)}{{from^2021^7월 사관학교^중}}], [eqn: rmB(6 ,```` 5)]와 음이 아는 실수 [eqn: k]에 대하여 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold37]

[해설]

(가) [eqn: vec{rmOP} = it k ( vec{ rmOA} + vec{ rmOB} ) = it k (12,````5)]이므로 [eqn: vec {rmOP}]는 [eqn: (12, ````5)]와 평행한 벡터이다. [eqn: vec { rmOP} bullet vec{ rmOA} leq 21]에서 내적의 정의에서 시점을 일치시키고 다른 벡터에 정사영한 선분의 길이의 곱을 의미하는 것이므로 [eqn: vec{ rmOA}]의 크기가 [eqn: 6]이므로 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 7over 2]를 넘을 수 없다.

(나) [eqn: left |``vec{ rmAQ}`` right| = left| ``vec{ rmAB}`` right| = 5] 즉, 점 [eqn: rmQ]는 중심을 [eqn: rmA]로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 5]인 원 위의 점이다. [eqn: vec { rmOQ} bullet vec{ rmOA} leq 21]에서 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 7over 2]를 넘을 수 없다.

[eqn: rm vec{ OX} = vec{ rmOP} + vec {rmOQ}]에서 변수는 [eqn: x]좌표만 움직일 수 있으므로 넓이는 평행이동하여 잘라 붙이면 직사각형 모양으로 된다.

이때 [eqn: rmQ]의 [eqn: y]좌표의 폭이 높이가 될 수 있으며, [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표의 변화는 [eqn: 0]에서 [eqn: 7 over 2]이므로 가로의 길이는 [eqn: 7 over 2]이다.

중심이 [eqn: (6,```0)]이고 반지름이 [eqn: 5]인 원에서 [eqn: y]값의 변화가 가장 큰 값은 [eqn: x= 7 over 2]일 때이므로

[eqn: left( 7 over 2 -6 right)^{2} +y^{2} = 25], [eqn: y^{2} = 25 - 25 over 4]

[eqn: y^{2} = 75 over 4 ,````y= +- {5 root3} over 2]

그러므로 세로의 길이는 [eqn: 5root3]이다.

따라서 도형의 넓이는 [eqn: 5root3 times 7 over 2 = 35 over 2 root3]

즉, [eqn: p=2 ,````q=35]이므로 [eqn: p+q = 35+2 =37]

(가) [eqn: vec{rmOP} = k(vec{rmOA}+vec{rmOB})]이고 [eqn: vec{rmOP}BULLET vec{rmOA} le 21]이다.

(나) [eqn: left |`` vec{rmAQ}``right | = left |`` vec{rmAB}``right |]이고 [eqn: vec{rmOQ}BULLET vec{rmOA} le 21]

[eqn: vec{rmOX} =vec{rmOP} + vec{rmOQ}]를 만족시키는 점 [eqn: rmX]가 나타내는 도형의 넓이는 [eqn: q overp sqrt3]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

07 기하	07 평면벡터의내적
03 내적의 활용
03 내적의 Mm1 (성분이용)

좌표평면에서 원 [eqn: x^{2}+y^{2}=1] 위의 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]에 대하여 [eqn: overline{{rm{PQ}} it }= sqrt{2}]이다. 점 [eqn: {rm{R}} it (2,``3)]에 대하여 [eqn: {vec{{rm{RP}} it }} BULLET {vec{{rm{RQ}} it }}]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M times m]의 값은?

[정답] ③

[해설]

원 [eqn: x^{2}+y^{2}=1]의 중심은 원점 [eqn: {rm{O}} it]이고 반지름의 길이는 [eqn: rm 1]이므로 선분 [eqn: {rm{PQ}} it]의 중점을 [eqn: {rm{M}} it]이라 할 때,

[eqn: overline{{rm{OM}} it }= sqrt{1^{2}- left({ sqrt{2}} over {2} right)^{2}}={ sqrt{2}} over {2}]

즉, 두 직선 [eqn: {rm{OP}} it], [eqn: {rm{OQ}} it]는 서로 수직이다.

또한 점 [eqn: {rm{M}} it]이 나타내는 도형은 그림과 같이 중심이 원점 [eqn: {rm{O}} it]이고 반지름의 길이가 [eqn: { sqrt{2}} over {2}]인 원이다.

[eqn: {vec{{rm{RP}} it }} BULLET {vec{{rm{RQ}} it }}=({vec{{rm{OP}} it }}-{vec{{rm{OR}} it }}) BULLET ({vec{{rm{OQ}} it }}-{vec{{rm{OR}} it }})]

[eqn: ={vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{OQ}} it }}-{vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{OR}} it }}-{vec{{rm{OR}} it }} BULLET {vec{{rm{OQ}} it }}+|{vec{{rm{OR}} it }}|^{2}]

[eqn: =0-{vec{{rm{OR}} it }} BULLET ({vec{{rm{OP}} it }}+{vec{{rm{OQ}} it }})+ left( sqrt{2^{2}+3^{2}} right)^{2}]

[eqn: =13-2 {vec{{rm{OR}} it }} BULLET left({{vec{{rm{OP}} it }}+{vec{{rm{OQ}} it }}} over {2} right)]

[eqn: =13-2 {vec{{rm{OR}} it }} BULLET {vec{{rm{OM}} it }}]

이므로 [eqn: {vec{{rm{OR}} it }} BULLET {vec{{rm{OM}} it }}]이 최소일 때 [eqn: {vec{{rm{RP}} it }} BULLET {vec{{rm{RQ}} it }}]는 최대이고, [eqn: {vec{{rm{OR}} it }} BULLET {vec{{rm{OM}} it }}]이 최대일 때 [eqn: {vec{{rm{RP}} it }} BULLET {vec{{rm{RQ}} it }}]는 최소이다.

[eqn: {vec{{rm{OR}} it }} BULLET {vec{{rm{OM}} it }}]은 두 벡터 [eqn: {vec{{rm{OR}} it }}]와 [eqn: {vec{{rm{OM}} it }}]이 이루는 각의 크기가 [eqn: 180 DEG]일 때 최소이므로 [eqn: {vec{{rm{RP}} it }} BULLET {vec{{rm{RQ}} it }}]의 최댓값은

[eqn: M=13-2 {vec{{rm{OR}} it }} BULLET {vec{{rm{OM}} it }}]

[eqn: =13-2|{vec{{rm{OR}} it }}||{vec{{rm{OM}} it }}| cos 180 DEG]

[eqn: =13-2 times sqrt{13} times { sqrt{2}} over {2} times(-1)]

[eqn: =13+ sqrt{26}]

또 [eqn: {vec{{rm{OR}} it }} BULLET {vec{{rm{OM}} it }}]은 두 벡터 [eqn: {vec{{rm{OR}} it }}]와 [eqn: {vec{{rm{OM}} it }}]이 이루는 각의 크기가 [eqn: 0 DEG]일 때 최대이므로 [eqn: {vec{{rm{RP}} it }} BULLET {vec{{rm{RQ}} it }}]의 최솟값은

[eqn: m][eqn: =13-2 {vec{{rm{OR}} it }} BULLET {vec{{rm{OM}} it }}]
[eqn: =13-2|{vec{{rm{OR}} it }}||{vec{{rm{OM}} it }}| cos 0 DEG]
[eqn: =13-2 times sqrt{13} times { sqrt{2}} over {2} times 1]
[eqn: =13- sqrt{26}]

따라서 [eqn: M times m=(13+ sqrt{26})(13- sqrt{26})=143]

① [eqn: rm 141]	② [eqn: rm 142]	③ [eqn: rm 143]

④ [eqn: rm 144]	⑤ [eqn: rm 145]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmP,~Q]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ③

[해설]

원점 [eqn: rmO]에 대하여

[eqn: rm barOP = barOQ =1]이고

조건 (나)에 의하여

[eqn: rmanglePOQ=90°]

즉, [eqn: rm vecOP BOT vecOQ]이다.

따라서 [eqn: rm vecOP = it vecp ,~ rm vecOQ = it vecq ,~rm vecOR = it vecr]라 하면

[eqn: rm vecRP bullet vecRQ][eqn: = rm LEFT ( vecOP -vecOR RIGHT ) bullet LEFT ( vecOQ - vecOR RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( vecp - vecr RIGHT ) bullet LEFT ( vecq - vecr RIGHT )]
[eqn: = vecp bullet vecq - vecp bullet vecr - vecr bullet vecq + left|`vecr` right|^2]
[eqn: =it-vecr bullet LEFT ( vecp + vecq RIGHT ) + LEFT ( 2^2 +3^2 RIGHT )]
[eqn: =13 -vecr bullet LEFT ( vecp + vecq RIGHT )]

이때 [eqn: vecp + vecq =veca]라 하면

[eqn: left|`vecp + vecq` right| = left|`veca `right| = sqrt { 1^2 +1^2 } = sqrt { 2}]

이므로 벡터 [eqn: veca]의 종점이 나타내는 도형은 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: sqrt { 2}]인 원이다.

따라서 [eqn: vecr bullet LEFT ( vecp + vecq RIGHT )]가 최댓값과 최솟값을 갖는 경우는 [eqn: veca]의 종점이 그림과 같이 직선 [eqn: rmOR]가 원 [eqn: x^2 +y^2 =2]와 만나는 두 점 [eqn: rmA,~B]일 때 각각 최댓값과 최솟값을 갖는다.

즉, [eqn: vecr bullet LEFT ( vecp + vecq RIGHT )]의 최댓값은

[eqn: sqrt { 2^2 +3^2} times sqrt { 2 }` cos`0° = sqrt { 26}]

[eqn: vecr bullet LEFT ( vecp + vecq RIGHT )]의 최솟값은

[eqn: sqrt { 2^2 +3^2} times sqrt { 2 }` cos`180° = it - sqrt { 26}]

따라서 [eqn: M`=13+ sqrt { 26} ,~m=13 - sqrt { 26}]이므로

[eqn: M`m][eqn: =LEFT ( 13 + sqrt { 26} RIGHT ) LEFT ( 13- sqrt { 26} RIGHT )]
[eqn: =169-26]
[eqn: =143]

(가) 두 점 [eqn: rmP,~Q]는 원 [eqn: x^2 +y^2 =1] 위의 점이다.

(나) [eqn: rm barPQ = sqrt { 2}]

점 [eqn: rmR LEFT ( 2,~3 RIGHT )]에 대하여 [eqn: rm vecRP bullet vecRQ]의 최댓값을 [eqn: M`], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M`m]의 값은?

① [eqn: 141]	② [eqn: 142]	③ [eqn: 43]

④ [eqn: 144]	⑤ [eqn: 145]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 30

좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm A LEFT ( 6,``0 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( 2,``6 RIGHT )], [eqn: rmC LEFT ( it k,``-2k RIGHT )][eqn: LEFT ( k>0 RIGHT ) `]과 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 내부 또는 변 위의 점 [eqn: rm P`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 7]

[해설]

점 [eqn: rmP left(itx,``y right)]라 하면 조건 (가)에서

[eqn: 5left(4,``-6right)bullet left(x,``y right)-left(2,``6right)bullet left(x-6,``y right)=left(6,``0right)bullet left(2,``6right)]

[eqn: 20x-30y-2x+12-6y=12]

[eqn: therefore][eqn: y= 1over2 x]

위의 그림과 같이 직선 [eqn: rmAB]와 [eqn: y= 1over2 x]의 교점을 [eqn: rmD]라 하자.

직선 [eqn: rmAB]의 방정식은 [eqn: y=it- 3over2 left(x-6right)= it- 3over2 x+9]

직선 [eqn: y= 1over2 x]와 연립하면 [eqn: x= 9over2], [eqn: y= 9over4]이므로 [eqn: rmD left(9over2 ,``9over4 right)]이다.

직선 [eqn: rmBC]와 직선 [eqn: y= 1over2 x]의 교점을 [eqn: rmE]라 하면 점 [eqn: rmP]의 자취는 선분 [eqn: rmDE]와 같다.

점 [eqn: rmP]의 자취의 길이가 [eqn: root5]이므로 [eqn: rmbarDE =root5]이고, 두 점 [eqn: rmD], [eqn: rmE]를 지나는 직선의 기울기가 [eqn: 1over2]이므로 [eqn: rmE left(5over2 ,``5over4 right)]이다.

세 점 [eqn: rmB], [eqn: rmE], [eqn: rmC]가 일직선 위에 있으므로

[eqn: {-2k-6}overk-2 ={- 19over4}over{1over2}], [eqn: k= 10over3]

[eqn: therefore][eqn: rmC left(10over3 ,``- 20over3 right)]

점 [eqn: rm P LEFT ( it a,``a over2 RIGHT )]라 하면 [eqn: 5over2 le a le 9over2]이고

[eqn: rmvecOA bullet vecCP][eqn: =left(6,``0right)bullet left(a- 10over3 ,``a over2 + 20over3 right)]
[eqn: =6a-20]

따라서 [eqn: a= 9over2]일 때, [eqn: 6a-20]의 최댓값은 [eqn: 7]이므로 [eqn: rmvecOA bullet vecCP]의 최댓값은 [eqn: 7]이다.

(가) [eqn: 5 rm vec{BA} BULLET vec{OP} - vec{OB} BULLET vec{AP} = vec{OA} BULLET vec{OB}]

(나) 점 [eqn: rm P`]가 나타내는 도형의 길이는 [eqn: sqrt {5} `]이다.

[eqn: rm vec{OA} BULLET vec{CP} `]의 최댓값을 구하시오. (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.)

07 기하	07 평면벡터의내적
03 내적의 활용
05 내적의 Mm3 (벡터의 분할)

[출처]	2014 모의_공공 사관학교 고3 07월 29

한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형 [eqn: rm ABCD]에서 변 [eqn: rm AB]와 변 [eqn: rm AD]에 모두 접하고 점 [eqn: rm C]를 지나는 원을 [eqn: O``]라 하자. 원 [eqn: O] 위를 움직이는 점 [eqn: rm X]에 대하여 두 벡터 [eqn: vec{rmAB}], [eqn: vec{rm CX}]의 내적 [eqn: vec{rmAB} cdot vec{rm CX}`]의 최댓값은 [eqn: a-b sqrt { 2}]이다. [eqn: a+b]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold80]

[해설]

점 [eqn: rm X]에서 직선 [eqn: rm CD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면

[eqn: vec{rmCX}][eqn: = vec{rm CH} + vec{rmHX}]

[eqn: vec{rmAB} cdot vec{rm CX}][eqn: =vec{rmAB} cdot LEFT ( vec{rm CH} + vec{rmHX} RIGHT )]
[eqn: =vec{rmAB} cdot vec{rm CH}] (∵ [eqn: vec{rm AB} bot vec{rm HX}])

점 [eqn: rm H]는 다음 그림의 선분 [eqn: rm DE] 위에 존재한다.

(ⅰ) 점 [eqn: rm H]가 점 [eqn: rm C]의 왼쪽에 위치하는 경우
[eqn: vec{rmAB}]와 [eqn: vec{rm CH}]의 방향은 서로 반대이다.
따라서 [eqn: vec{rmAB} cdot vec{rm CH}][eqn: =-bar{rmAB} cdot bar{rm CH}]

(ⅱ) 점 [eqn: rm H]가 점 [eqn: rm C]인 경우
[eqn: vec{rmCH}=vec0]이므로 [eqn: vec{rmAB} cdot vec{rm CH}][eqn: =0]

(ⅲ) 점 [eqn: rm H]가  점 [eqn: rm B]의 오른쪽에 위치하는 경우
[eqn: vec{rmAB}]와 [eqn: vec{rm CH}]의 방향이 같으므로
[eqn: vec{rmAB} cdot vec{rm CH}][eqn: =bar{rmAB} cdot bar{rm CH}]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 점 [eqn: rm H]가 점 [eqn: rm E]와 일치할 때, [eqn: vec{rmAB} cdot vec{rm CH}]는

최댓값 [eqn: bar{rmAB} cdot bar{rm CE} = 4 bar{rmCE}]를 갖는다.

원의 중심을 [eqn: rm O], 반지름을 [eqn: r]이라 하면

[eqn: bar{rm AC}][eqn: = rm barAO +barOC][eqn: =][eqn: ( sqrt { 2}+1)r]

사각형 [eqn: rm ABCD]가 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형이므로 [eqn: bar{rm AC} = 4 sqrt { 2}]이다.
따라서 [eqn: ( sqrt { 2}+1)r][eqn: = 4 sqrt { 2}]에서
[eqn: r = { 4 sqrt { 2} } over { sqrt { 2}+1 }][eqn: =8-4 sqrt { 2}]
따라서 [eqn: rm barCE][eqn: =2r -4][eqn: =12-8 sqrt { 2}]이다.
따라서 [eqn: vec{rmAB} cdot vec{rm CX}]의 최댓값은
[eqn: 4 (12-8 sqrt { 2} ) =48 -32 sqrt { 2}]
∴ [eqn: a=48], [eqn: q =32]
∴ [eqn: a+b =80]

[출처]	2016 모의_공공 사관학교 고3 07월 28

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 5`]인 원 [eqn: C``]와 원 [eqn: C`] 위의 점 [eqn: rmA`]에서의 접선 [eqn: l`]이 있다. 원 [eqn: C`] 위의 점 [eqn: rmP`]와 [eqn: bar{rmAB}=24`]를 만족시키는 직선 [eqn: l] 위의 점 [eqn: rmB`]에 대하여 [eqn: {vec{rmPA}} cdot {vec{rmPB}} `]의 최댓값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold180`]

[해설]

[eqn: {vec{rmPA}} cdot {vec{rmPB}} `][eqn: rm=(`` vec{OA it} `-`` vec{OP it} `) CDOT (` vec{OB it} `-` vec{OP it} `)]
[eqn: rm=` vec{OA it} BULLET ` vec{OB it} ``+` vec{OP it} ` ^{2} `-(` vec{OA it} `+` vec{OB it} `) BULLET ` vec{OP it} `]

여기서, [eqn: rm` vec{OA it} BULLET ` vec{OB it} ``=25] , [eqn: rm` vec{OP it} ` ^{2} `=25] 이고

[eqn: rmAB`]의 중점을 Q라 하면

[eqn: rm` vec{OA it} `+` vec{OB it} `=2` vec{OQ it} ``]

[eqn: rm` vec{OP it} `]와 [eqn: rm` vec{OQ it} `]가 반대방향일 때, [eqn: {vec{rmPA}} cdot {vec{rmPB}} `]는 최댓값을 가진다

[eqn: THEREFORE][eqn: {vec{rmPA}} cdot {vec{rmPB}} `][eqn: LEQ 25+25-2(-5 TIMES 13)=180]

[출처]	2017 모의_공공 사관학교 고3 07월 29

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: rm 2]인 정삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]와 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]이고 선분 [eqn: {rm{AB}} it]와 직선 [eqn: {rm{BC}} it]에 동시에 접하는 원 [eqn: O]가 있다. 원 [eqn: O] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]와 선분 [eqn: {rm{BC}} it] 위의 점 [eqn: {rm{Q}} it]에 대하여 [eqn: {vec{{rm{AP}} it }} BULLET {vec{{rm{AQ}} it }}]의 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: a+b sqrt{3}]이다. [eqn: a^{2}+b^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 유리수이고, 원 [eqn: O]의 중심은 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 외부에 있다.)

[정답] [eqn: 40]

[해설]

원의 중심을 [eqn: {rm{O}} it]라 하면

[eqn: {vec{{rm{AP}} it }}={vec{{rm{AO}} it }}+{vec{{rm{OP}} it }}]이므로

[eqn: {vec{{rm{AP}} it }} BULLET {vec{{rm{AQ}} it }}=({vec{{rm{AO}} it }}+{vec{{rm{OP}} it }}) BULLET {vec{{rm{AQ}} it }}={vec{{rm{AO}} it }} BULLET {vec{{rm{AQ}} it }}+{vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{AQ}} it }}]

여기서 [eqn: {vec{{rm{AO}} it }} BULLET {vec{{rm{AC}} it }} leq {vec{{rm{AO}} it }} BULLET {vec{{rm{AQ}} it }} leq {vec{{rm{AO}} it }} BULLET {vec{{rm{AB}} it }}]

그림에서 [eqn: overline{{rm{BM}} it }={1} over { sqrt{3}}], [eqn: overline{{rm{OD}} it }={ sqrt{3}+1} over { sqrt{3}}],

[eqn: {vec{{rm{AD}} it }}= sqrt{3}-1]이므로

[eqn: {vec{{rm{AO}} it }}= left(-{ sqrt{3}+1} over { sqrt{3}},`` 1- sqrt{3} right)]

[eqn: {vec{{rm{AB}} it }}=(-1,``- sqrt{3})], [eqn: {vec{{rm{AC}} it }}=(1,``- sqrt{3})]

[eqn: {vec{{rm{AO}} it }} BULLET {vec{{rm{AC}} it }}=2-{4} over {3} sqrt{3}], [eqn: {vec{{rm{AO}} it }} BULLET {vec{{rm{AB}} it }}=4-{2} over {3} sqrt{3}]

또, [eqn: {vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{AQ}} it }}=|{vec{{rm{AQ}} it }}| cos theta]이므로 [eqn: -2 leq {vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{AQ}} it }} leq 2]

따라서 최댓값은 [eqn: left(4-{2} over {3} sqrt{3} right)+2=6-{2} over {3} sqrt{3}]

최솟값은 [eqn: left(2-{4} over {3} sqrt{3} right)-2=-{4} over {3} sqrt{3}]

이므로 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: a+b sqrt{3}=6-2 sqrt{3}]

[eqn: therefore~a^{2}+b^{2}=36+4=40]

07 기하	09 공간도형
02 삼수선의 정리
01 삼수선의 정리1 (기본, 길이)

그림과 같이 공간에서 세 선분 [eqn: \OA], [eqn: \OB], [eqn: \OC]가 서로 수직으로 만나고, 그 길이가 각각 [eqn: 20], [eqn: 15], [eqn: 4]이다. 점 [eqn: \C]에서 [eqn: bar \AB]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H]라고 할 때, [eqn: {bar{rm CH}}^{2}`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 160]

[해설]

직각삼각형 [eqn: rmOAB]에서

[eqn: bar { rmAB}= root{15^2 + 20^2 }=25]

삼수선의 정리에 의하여 [eqn: {bar{rmOH}} BOT {bar{rmAB}}]이고 [eqn: TRIANGLE `rmOAB]에서 [eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm OA it}} TIMES {bar{rm OB it}} = {1} over {2} TIMES {bar{rm OH it}} TIMES {bar{rm AB it}}]이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES 20 TIMES 15= {1} over {2} TIMES {bar{rm OH it}} TIMES `25]

[eqn: THEREFORE ` {bar{rm OH it}} =12]

[eqn: BAR{RMCO} BOTBAR{RMOH}]이므로

[eqn: bar{rmCH}= sqrt { 4^{2}+12^{2}}=4 sqrt { 10}]

[eqn: therefore][eqn: {bar{rm CH}}^{2}` = 160]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 24

그림과 같이 평면 [eqn: alpha `] 위에 [eqn: ANGLE rm BAC= {pi } over {2} `]이고 [eqn: rm bar{AB} =1], [eqn: rmbar{AC} = sqrt {3}]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC`]가 있다. 점 [eqn: rm A`]를 지나고 평면 [eqn: alpha `]에 수직인 직선 위의 점 [eqn: rm P`]에 대하여 [eqn: rm bar{PA} =2`]일 때, 점 [eqn: rm P`]와 직선 [eqn: rm BC`] 사이의 거리는?

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: rmA]에서 선분 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 삼수선의 정리에 의해 [eqn: rmbarPH bot barBC]이다.

삼각형 [eqn: rmABC]가 직각삼각형이므로 [eqn: rmbarBC =2]

[eqn: rmbarAH times barBC =barAB times barAC]에서

[eqn: 2rmbarAH =root3]	[eqn: therefore][eqn: rmbarAH = root3 over2]

직각삼각형 [eqn: rmPAH]에서

[eqn: rmbarPH =root{2^2 +left(root3 over2 right)^2}= root19 over2]

① [eqn: {sqrt {17}} over {2}]	② [eqn: {sqrt {70}} over {4}]	③ [eqn: {3 sqrt {2}} over {2}]

④ [eqn: {sqrt {74}} over {4}]	⑤ [eqn: {sqrt {19}} over {2}]

다음 그림과 같이 점 [eqn: rm A]에서 직선 [eqn: rm BC]를 포함한 평면에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하고, 점 [eqn: rm A]에서 선분 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm D]라 하자. [eqn: rm bar AH = it 2], [eqn: rm bar AB = it 4], [eqn: rm bar BD = it root5]일 때, [eqn: rm bar DH]의 길이는?

[정답] ④

[해설]

[eqn: {rm bar {AD}}][eqn: = sqrt {{rm bar {AB}} ^{2} - {rm bar {BD}} ^{2}}][eqn: = sqrt {16-5}][eqn: = sqrt {11}]

[eqn: {rm bar {AH}}][eqn: rm BOT](평면 [eqn: rm BCH)]이고 [eqn: {rm bar {AD}}][eqn: BOT {rm bar {BC}}]이므로

삼수선의 정리에 의하여 [eqn: {rm bar {HD}}][eqn: BOT {rm bar {BC}}]이다.

직각삼각형 [eqn: rm ADH]에서

[eqn: {rm bar {DH}}][eqn: = sqrt {{rm bar {AD}} ^{2} - {rm bar {AH}} ^{2}}][eqn: = sqrt {11-4}][eqn: = sqrt {7}]

① [eqn: 1]	② [eqn: root3]	③ [eqn: root5]

④ [eqn: root7]	⑤ [eqn: 3]

07 기하	09 공간도형
02 삼수선의 정리
03 삼수선의 정리3 (넓이와 부피)

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 9

평면 [eqn: alpha]위에 있는 서로 다른 두 점 [eqn: {rmA}], [eqn: {rmB}]와 평면 [eqn: alpha]위에 있지 않은 점 [eqn: {rmP}]에 대하여 삼각형 [eqn: {rmPAB}]는 한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정삼각형이다. 점 [eqn: {rmP}]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발 [eqn: {rmH}]에 대하여 [eqn: bar{{rmPH}}= 4]일 때, 삼각형 [eqn: {rmHAB}]의 넓이는?

[정답] ⑤

[해설]

삼수선의 정리와 피타고라스의 정리

[eqn: rm bar{PM}`= 3 sqrt3], [eqn: rm bar{HM}`= sqrt11]

[eqn: THEREFORE][eqn: 1 over2 Times 6 Times sqrt11][eqn: = 3 sqrt11]

① [eqn: 3 sqrt 3]	② [eqn: 3 sqrt 5]	③ [eqn: 3 sqrt 7]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 3 sqrt 11]

[출처]	2017 모의_공공 사관학교 고3 07월 15

평면 [eqn: alpha] 위에 있는 서로 다른 두 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]와 평면 [eqn: alpha] 위에 있지 않은 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 삼각형 [eqn: {rm{PAB}} it]는 [eqn: overline{{rm{PB}} it }=4], [eqn: angle {rm{PAB}} it ={ pi} over {2}]인 직각이등변삼각형이고, 평면 [eqn: {rm{PAB}} it]와 평면 [eqn: alpha]가 이루는 각의 크기는 [eqn: { pi} over {6}]이다. 점 [eqn: {rm{P}} it]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 할 때, 사면체 [eqn: {rm{PHAB}} it]의 부피는?

[정답] ④

[해설]

직각이등변삼각형 [eqn: {rm{PAB}} it]에서 [eqn: overline{{rm{PB}} it }=4], [eqn: overline{{rm{AP}} it }= overline{{rm{AB}} it }=2 sqrt{2}]

정사영의 길이에서 [eqn: overline{{rm{AH}} it }= overline{{rm{PA}} it } cos { pi} over {6}= sqrt{6}]

삼수선의 정리에서 [eqn: angle {rm{HAB}} it ={ pi} over {2}]이므로

[eqn: triangle {rm{ABH}} it ={1} over {2} overline{{rm{AB}} it } overline{{rm{AH}} it }=2 sqrt{3}]

그리고 [eqn: overline{{rm{PH}} it }= overline{{rm{PA}} it } sin { pi} over {6}= sqrt{2}]이다.

따라서 사면체 [eqn: rm PHAB]의 부피는

[eqn: V={1} over {3}( triangle {rm{ABH}} it ) overline{{rm{PH}} it }={2 sqrt{6}} over {3}]

① [eqn: { sqrt{6}} over {6}]	② [eqn: { sqrt{6}} over {3}]	③ [eqn: { sqrt{6}} over {2}]

④ [eqn: {2 sqrt{6}} over {3}]	⑤ [eqn: {5 sqrt{6}} over {6}]

서로 평행한 세 직선 [eqn: l], [eqn: m], [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: l] 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], 직선 [eqn: m] 위의 점 [eqn: rmC`], 직선 [eqn: n] 위의 점 [eqn: rmD`]가 다음 조건을 만족한다.

[정답] [eqn: bold{12]

[해설]

점 [eqn: B]에서 평면에 수선을 내렸을 때 만나는 점을 [eqn: Q]라하고,직선[eqn: l]과  평면이 이루는 거리를 [eqn: x]라 하자. 이 때, [eqn: 2 sqrt {6}]과 [eqn: 5]의 길이를 이용하여 직선 [eqn: m]과 직선 [eqn: n] 의 거리를 구하면 1이다. [eqn: bar{PC``}]의 길이를 [eqn: y]라 하면 [eqn: bar{QD``}]의 길이는 [eqn: y+1]이다. 이 때, [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4 ^{2}] 이고, [eqn: x ^{2} +(y+1) ^{2} =( sqrt {21} ) ^{2}] 이므로 연립하면 [eqn: x=2 sqrt {3}], [eqn: y=2]

따라서 삼각형의 넓이는 [eqn: 2 sqrt {3} TIMES 2 TIMES {1} over {2} =2 sqrt {3}]

[eqn: therefore][eqn: S`^{2} = 12]

(가) [eqn: rmbar{AB``} =2 sqrt {6}], [eqn: rmbar{CD``} =5]

(나) [eqn: rmbar{AC``} BOT itl], [eqn: rmbar{AC``} =4]

(다) [eqn: rmbar{BD``} BOT it l], [eqn: rmbar{BD``} = sqrt {21}]

이때 점 [eqn: rmA`]에서 두 직선 [eqn: m], [eqn: n]을 포함하는 평면에 내린 수선의 발을 [eqn: rmP`]라고 할 때, 삼각형 [eqn: rmAPC`]의 넓이를 [eqn: S``]라 하자. [eqn: S`^{2} `]의 값을 구하시오.

07 기하	09 공간도형
02 삼수선의 정리
06 이면각1 (이면각 구하기)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 28

[그림[eqn: {1}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]]과 같이 [eqn: bar{rmAB}=3], [eqn: bar{rmAD} = 2sqrt7]인 직사각형 [eqn: rmABCD] 모형의 종이가 있다. 선분 [eqn: rmAD]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하자. 두 선분 [eqn: rmBM], [eqn: rmCM]을 접는 선으로 하여 [그림[eqn: 2]]와 같이 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmD]가 한 점 [eqn: rmP]에서 만나도록 종이를 접었을 때, 평면 [eqn: rmPBM]과 평면 [eqn: rmBCM]이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하자. [eqn: cos theta]의 값은? (단, 종이의 두께는 고려하지 않는다.)

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: bar{rmAM} = root 7]이고, 점 [eqn: rmM]에서 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH], 점 [eqn: rmA]에서 [eqn: bar {rmBM}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmX]라 하면 직선 [eqn: rmAX]와 [eqn: bar {rmBH}]의 교점이 생긴다. 이때 이 점을 [eqn: rmY]라 하자.

[eqn: triangle{ rmAXM}]과 [eqn: triangle rmMXY], [eqn: triangle{ rmBXA]가 닮음이므로

[eqn: bar {rmMY} = 7 over 3]

[eqn: bar{rm AX} = bar{ rmXP}]이므로 [eqn: cos theta = {bar{ rmXY} over { bar{ rmXP} } = bar{ rmXY} over {bar{rmAX}]

[eqn: triangle{ rmABX}]와 [eqn: triangle{ rmYMX}]이므로

[eqn: bar{ rmXY} over {bar {rmXA}}={bar{rmMY} over {bar{ rmAB} } = 7 over 9]

[eqn: THEREFORE```` cos theta = 7 over 9]

① [eqn: 17 over27]	② [eqn: 2 over3]	③ [eqn: 19 over27]

④ [eqn: 20 over27]	⑤ [eqn: 7 over9]

그림과 같이 평면 [eqn: alpha] 위에 놓인 종이에 길이가 [eqn: 12]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하고 중심이 [eqn: rmO]인 원 [eqn: C]가 그려져 있다. 선분 [eqn: rmOB]위에 [eqn: rm bar{OD} =3 sqrt {2}]인 점 [eqn: rmD]를 정하고 점 [eqn: rmD]를 지나며 선분 [eqn: rmAB]와 이루는 각의 크기가 [eqn: 45°]인 직선 [eqn: l]을 평면 [eqn: alpha] 위에 그린다. 직선 [eqn: l]을 접는 선으로 하여 점 [eqn: rmA]를 포함하는 부분을 접을 때, 접힌 도형에서 점 [eqn: rmA]와 직선 [eqn: l]을 포함하는 평면을 [eqn: beta]라 하고, 점 [eqn: rmA]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영을 [eqn: rmA']이라 하자. 점 [eqn: rmA']이 원 [eqn: C] 위의 점일 때, 두 평면 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하자. [eqn: cos`theta]의 값은?
(단, 종이의 두께는 고려하지 않는다.)

[정답] ①

[해설]

평면 [eqn: alpha]에서 점 [eqn: rmA]의 위치를 점 [eqn: rmA _{0}]이라 하자.

원 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rmA _{0}]을 포함하는 호를 직선 [eqn: l]을 접는 선으로 하여 접을 때, 점 [eqn: rmA]는 직선 [eqn: l]과 수직인 평면 위를 움직인다.

따라서 이 평면을 [eqn: gamma]라 하고, 평면 [eqn: gamma]와 직선 [eqn: l]의 교점을 [eqn: rmE]라 하면

[eqn: rm {bar{A _{0} E}} BOT it`l]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: rm {bar{A _{} E}} BOT it `l]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

[eqn: rm {bar{A _{} A'}} BOT it alpha]이므로 ㉡에서 삼수선의 정리에 의하여

[eqn: rm {bar{A _{} 'E}} BOT it `l]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

따라서 두 평면 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]가 이루는 예각의 크기는

[eqn: theta=angle`rmAEA']

한편, 세 점 [eqn: rmA _{0} ,~E,~A']은 한 평면 [eqn: alpha]위에 있으므로 ㉠, ㉢에서 세 점 [eqn: rmA _{0} ,~E,~A']은 한 직선 위에 있다.

선분 [eqn: rmA _{0} B]는 원 [eqn: C]의 지름이므로

[eqn: rm {bar{A _{0} A prime }} BOT {bar{BA prime }} it]

두 직각삼각형 [eqn: rm A _{0} DE,~A _{0} BA']은 서로 닮은 도형이고

[eqn: rm {bar{OD}} =3 sqrt {2}]이므로

[eqn: rm {bar{A _{0} D}} `:` {bar{DB}} = {bar{A _{0} E}} `:` {bar{EA'}}]

즉, [eqn: rm LEFT ( 6+3 sqrt {2} RIGHT ) `:` LEFT ( 6-3 sqrt {2} RIGHT ) = {bar{A _{0} E}} `:` {bar{EA prime }}]

따라서 직각삼각형 [eqn: rmAEA']에서

[eqn: cos`theta][eqn: = rm {{bar{EA prime }}} over {{bar{AE}}} = {{bar{EA prime }}} over {{bar{A _{0} E}}} = {6-3 sqrt {2}} over {6+3 sqrt {2}}]
[eqn: = {2- sqrt {2}} over {2+ sqrt {2}} = {LEFT ( 2- sqrt {2} RIGHT ) ^{2}} over {2}]
[eqn: =3-2 sqrt {2}]

① [eqn: 3-2 sqrt {2}]	② [eqn: 2- sqrt {3}]	③ [eqn: sqrt {2} -1]

④ [eqn: 2 sqrt {3} -3]	⑤ [eqn: 2- sqrt {2}]

[출처]	2014 모의_공공 사관학교 고3 07월 20

그림은 어떤 사면체의 전개도이다. 삼각형 [eqn: rm BEC]는 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정삼각형이고, [eqn: angle rm ABC =angle CFA =90DEG], [eqn: rm barAC =4]이다. 이 전개도로 사면체를 만들 때, 두 면 [eqn: rm ACF], [eqn: rm ABC]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하자. [eqn: costheta]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

주어진 전개도로 사면체를 만들 때, 전개도의 점 [eqn: rm D], [eqn: rm E], [eqn: rm F]는
일치한다. 사면체에서 이 세 점을 [eqn: rm P]라 하자.
사면체 [eqn: rm PABC]의 점 [eqn: rm P]에서 면 [eqn: rm APC]와 면 [eqn: rm ABC]의 교선
[eqn: rm AC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H], 점 [eqn: rm P]에서 평면 [eqn: rm ABC]에 내린
수선의 발을 [eqn: rm G]라 할 때,
이면각의 정의에 의하여 [eqn: cos theta][eqn: = rm { barHG} over { barPH}]이다.

삼각형 [eqn: rm PAC]와 삼각형 [eqn: rm FAC]가 합동이므로

[eqn: rm barPH bot barAC], [eqn: rm barFH bot barAC]
따라서 삼수선의 정리에 의하여 점 [eqn: rm G]는 직선 [eqn: rm FH] 위에
존재한다.  점 [eqn: rm P]에서 면 [eqn: rm PBC]와 면 [eqn: rm ABC]의 교선 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm I]라 하면 삼각형 [eqn: rm PBC]와 삼각형 [eqn: rm EBC]가 합동이므로

[eqn: rm bar PH bot barBC], [eqn: rm barEH bot barBC]
따라서 삼수선의 정리에 의하여 점 [eqn: rm G]는 직선 [eqn: rm EI] 위에 존재
한다.

[eqn: rm barCF = barCE =2]이므로 직각삼각형 [eqn: rm ABC], [eqn: rm AFC]는 합동이다.
따라서 점 [eqn: rm F]와 점 [eqn: rm B]에서 선분 [eqn: rm AC]에 내린 수선의 발은
일치한다. 따라서 직선 [eqn: rm FH]는 점 [eqn: rm B]를 지난다.
[eqn: cos (angle rm ACB ) = 1 over2]이므로
[eqn: angle rm ACB =60DEG],

[eqn: angle rm CBH =30DEG]
∴ [eqn: rm barFH = bar BH = 2 sin 60DEG = sqrt { 3}]

[eqn: bar{rm BG} `cos 30DEG = 1]에서

[eqn: rm barBG = {2sqrt { 3}} over 3]
[eqn: rm barHG][eqn: = rm barBH - barBG][eqn: = sqrt { 3} over3]
[eqn: therefore][eqn: cos theta][eqn: = rm { barHG} over { barPH}][eqn: = { sqrt { 3} over3 } over { sqrt { 3} }][eqn: = 1 over3] (∵ [eqn: rm barPH = bar FH])

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {6}]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

07 기하	09 공간도형
03 정사영
02 정사영2 (길이)

그림과 같이 모든 모서리의 길이가 [eqn: 6]인 사각뿔 [eqn: rmA-BCDE]에서 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2`:`1]로 내분하는 점을 [eqn: rmF,~]선분 [eqn: rmAC]를 [eqn: 1`:`2]로 내분하는 점을 [eqn: rmG]라 할 때, 선분 [eqn: rmFG]의 평면 [eqn: rmBCDE] 위로의 정사영의 길이는?

[정답] ④

[해설]

점 [eqn: rmA]의 평면 [eqn: rmBCDE] 위로의 정사영을 [eqn: rm A prime]이라 하면 점 [eqn: rm A prime]은 정사각형 [eqn: rmBCDE]의 두 대각선의 교점이다.

점 [eqn: rmF]의 평면 [eqn: rmBCDE] 위로의 정사영을 [eqn: rm F` prime]이라 하면 점 [eqn: rm F` prime]은 선분 [eqn: rm A prime B]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점이고, 점 [eqn: rmG]의 평면 [eqn: rmBCDE] 위로의 정사영을 [eqn: rm G prime]이라 하면 점 [eqn: rm G prime]은 선분 [eqn: rm A prime C]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점이며 선분 [eqn: rmFG]의 평면 [eqn: rmBCDE] 위로의 정사영은 선분 [eqn: rm F` prime G prime]이다.

이때 [eqn: {bar{rm A prime B it}} = {bar{rm A prime C it}} = {1} over {2} {bar{rm BD it}} = {1} over {2} TIMES 6 sqrt {2} =3 sqrt {2}]에서

[eqn: {bar{rm A prime F` prime it}} =2 sqrt {2}], [eqn: {bar{rm A prime G prime it}} = sqrt {2}]이고 [eqn: ANGLE rm F` prime A prime G prime =90 DEG]이므로

[eqn: {bar{rm F` prime G prime it}} = sqrt {{bar{rm A prime F` prime it}} ^{2} + {bar{rm A prime G prime it}} ^{2}} = sqrt {(2 sqrt {2} ) ^{2} +( sqrt {2} ) ^{2}} = sqrt {10}]

따라서 선분 [eqn: rmFG]의 평면 [eqn: rmBCDE] 위로의 정사영의 길이는 [eqn: sqrt {10}]이다.

① [eqn: sqrt {7}]	② [eqn: 2 sqrt {2}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: sqrt {10}]	⑤ [eqn: sqrt {11}]

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 17

그림과 같이 서로 다른 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]의 교선 위에 점 [eqn: {rm{A}} it]가 있다. 평면 [eqn: alpha] 위의 세 점 [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it]의 평면 [eqn: beta]위로의 정사영을 각각 [eqn: {rm{B}} it `prime], [eqn: {rm{C}} it `prime], [eqn: {rm{D}} it `prime]이라 할 때, 사각형 [eqn: {rm{AB}} it `prime {rm{C}} it `prime {rm{D}} it `prime]은 한 변의 길이가 [eqn: 4 sqrt{2}]인 정사각형이고, [eqn: overline{{rm{BB}} it `prime }= overline{{rm{DD}} it `prime }]이다. 두 평면 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: tan theta={3} over {4}]이다. 선분 [eqn: {rm{BC}} it]의 길이는? (단, 선분 [eqn: {rm{BD}} it]와 평면 [eqn: beta]는 만나지 않는다.)

[정답] ④

[해설]

아래 그림과 같이 평면 [eqn: beta]를 평행이동하여 [eqn: overline{{rm{BD}} it }]를 지나도록 하면

삼각형 [eqn: {rm{BCD}} it]의 정사영은 변의 길이가 [eqn: 4 sqrt{2}], [eqn: 4 sqrt{2}], [eqn: 8]인 직각이등변삼각형이다.

이등변삼각형의 성질과 삼수선의 정리에서 [eqn: overline{{rm{BC}} it }= sqrt{25+16}= sqrt{41}]

① [eqn: sqrt{35}]	② [eqn: sqrt{37}]	③ [eqn: sqrt{39}]

④ [eqn: sqrt{41}]	⑤ [eqn: sqrt{43}]

그림과 같이 밑면은 길이가 [eqn: 4]인 선분 [eqn: rm AB]를 지름으로 하는 반원이고 높이가 [eqn: 5sqrt3]인 기둥 모양의 입체도형이 평면 [eqn: alpha]위에 놓여 있다. 또한 중심이 [eqn: rm C], 반지름의 길이가 [eqn: sqrt3]인 구가 이 입체도형의 곡면에 접하며 평면 [eqn: alpha] 위에 놓여 있다. 점 [eqn: rm C]에서 선분 [eqn: rm AB]에 내린 수선의 발이 선분 [eqn: rm AB]의 중점 [eqn: rm M]이고, 이 입체도형의 위쪽 밑면의 반원의 호 위의 한 점 [eqn: rm Q]에 대하여 선분 [eqn: rm BQ]의 평면 [eqn: alpha]위로의 정사영의 길이가 [eqn: 2sqrt3]일 때, 선분 [eqn: rm CQ]의 길이는?

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: rm Q]의 평면 [eqn: alpha]위로의 정사영 [eqn: rm Q prime]은 밑면의 둘레에 있고, 선분 [eqn: rm BQ]의 평면 [eqn: alpha]위로의 정사영의 길이가 [eqn: 2sqrt3]이므로

[eqn: bar{rm BQ prime} =2sqrt3]

또한 [eqn: angle rm AQ prime B = pi over 2], [eqn: bar{ rm AB} =4]이므로

[eqn: bar{ rm AQ prime}][eqn: = sqrt { {bar {rm AB}}^{`2} - { bar {rm BQ prime}}^{`2}}]
[eqn: = sqrt{ 4^{`2} -(2sqrt3 )^{`2}}]
[eqn: = 2]

따라서 점 [eqn: rm Q prime]에서 선분 [eqn: rm AB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면

[eqn: bar{rm AB} times bar{ rm Q prime H} = bar{ rm AQ prime} times bar{ rm BQ prime}]

[eqn: 4 times bar{ rm Q prime H} = 2 times 2 sqrt3]

즉, [eqn: bar{ rm Q prime H} = sqrt3]이므로 [eqn: bar{ rm AH}=1]

또한 구와 평면 [eqn: alpha]의 접점을 [eqn: rm C prime]이라 하면

[eqn: bar{ rm C prime M} = 2+ sqrt3]

이므로 점 [eqn: rm Q prime]에서 선분 [eqn: rm C prime M]에 내린 수선의 발 [eqn: rm I]에 대하여

[eqn: bar { rm C prime I} = bar{ rm C prime M} - bar{ rm IM} = (2+sqrt3 ) -sqrt3 =2]

[eqn: bar{rm Q prime I} = bar{rm AM} - bar{rm AH} =2-1 =1]

따라서 [eqn: bar{ rm C prime Q prime} = sqrt{ 2^{`2} + 1^{`2}} = sqrt5]

즉, 점 [eqn: rm C]에서 선분 [eqn: rm QQ prime]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm J]라 하면

[eqn: bar{ rm CJ} = sqrt5]이고 [eqn: bar{ rm QJ} = 5sqrt3 -sqrt3 =4sqrt3]

이므로

[eqn: bar{ rm CQ}][eqn: = sqrt { {bar{rm CJ}}^{`2}+ {bar{rm QJ}}^{`2} }]
[eqn: = sqrt {(sqrt5 )^{`2} +(4sqrt3 )^ {`2}}]
[eqn: =sqrt53]

① [eqn: sqrt 51]	② [eqn: 2sqrt13]	③ [eqn: sqrt 53]

④ [eqn: 3sqrt6]	⑤ [eqn: sqrt55]

07 기하	09 공간도형
03 정사영
05 정사영5 (정사영의 넓이 구하기. 이면각이 주어지지 않은 경우)

[출처]	2022 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능특강 레벨3 실력완성

그림과 같이 정사면체 [eqn: {rm{ABCD}} it]에서 모서리 [eqn: {rm{AD}} it]를 [eqn: 1: n]으로 내분하는 점을 [eqn: {rm{P}} it]라 하자.

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: {rm{A}} it]의 평면 [eqn: {rm{BCD}} it]위로의 정사영을 [eqn: {rm{A}} it `prime]이라 하고, 선분 [eqn: {rm{BC}} it]의 중점을 [eqn: {rm{M}} it]이라 하면 사면체 [eqn: {rm{ABCD}} it]가 정사면체이므로

점 [eqn: {rm{A}} it `prime]은 삼각형 [eqn: {rm{BCD}} it]의 무게중심이고 두 점 [eqn: {rm{A}} it `prime], [eqn: {rm{P}} it `prime]은 선분 [eqn: {rm{DM}} it] 위에 있다.

정삼각형 [eqn: {rm{BCD}} it]는 직선 [eqn: {rm{DM}} it]에 대하여 대칭이므로 두 삼각형 [eqn: {rm{P}} it `prime {rm{CD}} it], [eqn: {rm{P}} it `prime {rm{DB}} it]의 넓이는 같다.

즉, [eqn: S_{2}=S_{3}]이므로

[eqn: S_{1}=S_{2}+2 S_{3}=S_{2}+2 S_{2}=3 S_{2}]

[eqn: S_{2}=S_{3}={1} over {3} S_{1}]

삼각형 [eqn: {rm{P}} it `prime {rm{BM}} it]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} S_{1}]이므로 삼각형 [eqn: {rm{DBM}} it]에서 두 삼각형 [eqn: {rm{P}} it `prime {rm{BM}} it], [eqn: {rm{P}} it `prime {rm{DB}} it]의 넓이의 비는

[eqn: {1} over {2} S_{1}: S_{3}={1} over {2} S_{1}: {1} over {3} S_{1}=3: 2]

따라서 [eqn: overline{{rm{P}} it `prime {rm{M}} it }: overline{{rm{P}} it `prime {rm{D}} it }=3: 2]이므로

[eqn: overline{{rm{P}} it `prime {rm{M}} it }=3 a], [eqn: overline{{rm{P}} it `prime {rm{D}} it }=2 a(a>0)]이라 하면

[eqn: overline{{rm{DM}} it }= overline{{rm{P}} it `prime {rm{M}} it }+ overline{{rm{P}} it `prime {rm{D}} it }=5 a]

한편, [eqn: overline{{rm{DA}} it `prime }: overline{{rm{A}} it `prime {rm{M}} it }=2: 1]이므로

[eqn: overline{{rm{DA}} it `prime }={2} over {3} overline{{rm{DM}} it }={2} over {3} times 5 a={10} over {3} a]

[eqn: overline{{rm{A}} it `prime {rm{P}} it `prime }= overline{{rm{DA}} it `prime }- overline{{rm{P}} it `prime {rm{D}} it }={10} over {3} a-2 a={4} over {3} a]

또한 두 직각삼각형 [eqn: {rm{AA}} it `prime {rm{D}} it], [eqn: {rm{PP}} it `prime {rm{D}} it]는 서로 닮은 도형이고

점 [eqn: {rm{P}} it]가 선분 [eqn: {rm{AD}} it]를 [eqn: 1: n]으로 내분하는 점이므로

[eqn: overline{{rm{A}} it `prime {rm{P}} it `prime }: overline{{rm{P}} it `prime {rm{D}} it }= overline{{rm{AP}} it }: overline{{rm{PD}} it }=1: n]

[eqn: n={ overline{{rm{P}} it `prime {rm{D}} it }} over { overline{{rm{A}} it `prime {rm{P}} it `prime }}={2 a} over {{4} over {3} a}={3} over {2}]

점 [eqn: {rm{P}} it]의 평면 [eqn: {rm{BCD}} it]위로의 정사영을 [eqn: {rm{P}} it `prime]이라 하고 세 삼각형 [eqn: {rm{P}} it `prime {rm{BC}} it], [eqn: {rm{P}} it `prime {rm{CD}} it], [eqn: {rm{P}} it `prime {rm{DB}} it]의 넓이를 각각 [eqn: S_{1}], [eqn: S_{2}], [eqn: S_{3}]이라 하자. [eqn: S_{1}=S_{2}+2 S_{3}]일 때, 양수 [eqn: n]의 값은?

① [eqn: {5} over {4}]	② [eqn: {11} over {8}]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: {13} over {8}]	⑤ [eqn: {7} over {4}]

[출처]	2016 모의_공공 사관학교 고3 07월 15

그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 12`]인 정사면체 [eqn: rm ABCD`]에서 두 모서리 [eqn: rm BD`], [eqn: rm CD`]의 중점을 각각 [eqn: rmM`], [eqn: rmN`]이라 하자. 사각형 [eqn: rm BCNM`]의 평면 [eqn: rm AMN] 위로의 정사영의 넓이는?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: rmMN]의 중점을 [eqn: rmH,`][eqn: rmTRIANGLE BCD]의 무게중심을 [eqn: rmG`]라 하고

[eqn: rmTRIANGLE AMN]과 [eqn: rm□BCMN]이 이루는 각[eqn: = ANGLE {rmAHG}= theta ``]라 하면

[eqn: rmAH=3 sqrt {11} `,```GH= sqrt {3}],

[eqn: cos theta =rm {GH} over {AH} = {sqrt {33}} over {33}]

[eqn: rm□BCMN] 의 넓이[eqn: = {3} over {4} TIMES TRIANGLE rmBCD]
[eqn: = LEFT ( {3} over {4} TIMES {sqrt {3}} over {4} TIMES 12 ^{2} RIGHT ) =27 sqrt {3}]

정사영의 넓이[eqn: =27 sqrt {3} TIMES {sqrt {33}} over {33} = {27 sqrt {11}} over {11}]

① [eqn: {15 sqrt {11}} over {11}]	② [eqn: {18 sqrt {11}} over {11}]	③ [eqn: {21 sqrt {11}} over {11}]

④ [eqn: {24 sqrt {11}} over {11}]	⑤ [eqn: {27root11}over11]

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 26

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정삼각형 [eqn: {rmACD}]를 한 면으로 하는 사면체 [eqn: {rmABCD}]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 450]

[해설]

그림에서

[eqn: rm bar{BR}`= 9], [eqn: rm bar{BP}`=][eqn: a], [eqn: rm bar{PR}`=][eqn: 9 - a]

[eqn: h^2 = ( 3 sqrt6 )^2 - a^2]

[eqn: = ( 3sqrt3 )^2 - (9-a)^2]

따라서 [eqn: a = 6], [eqn: rm bar{PR}`= 3]

[eqn: S = 1 over2 Times 3 Times left( 6 + 3 over2 right) = 45 over4]

[eqn: THEREFORE][eqn: 40 S= 450]

(가) [eqn: bar{{rmBC}}= 3 sqrt 10]

(나) [eqn: bar{{rmAB}}⊥bar{{rmAC}}], [eqn: bar{{rmAB}}⊥bar{{rmAD}}]

두 모서리 [eqn: {rmAC}], [eqn: {rmAD}]의 중점을 각각 [eqn: {rmM}], [eqn: {rmN}]이라 할 때, 삼각형 [eqn: {rmBMN}]의 평면 [eqn: {rmBCD}] 위로의 정사영의 넓이를 [eqn: S]라 하자. [eqn: 40 times S]의 값을 구하시오.

07 기하	09 공간도형
03 정사영
07 정사영7 (그림자의 넓이)

[출처]	2015 모의_공공 사관학교 고3 07월 20

한 변의 길이가 [eqn: 8]인 정사각형을 밑면으로 하고 높이가 [eqn: 4+4 sqrt { 3}]인 직육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]가 있다. 그림과 같이 이 직육면체의 바닥에 [eqn: rm∠EPF=90DEG]인 삼각기둥 [eqn: rm EFP-HGQ]가 놓여있고 그 위에 구를 삼각기둥과 한 점에서 만나도록 올려놓았더니 이 구가 밑면 [eqn: rm ABCD]와 직육면체의 네 옆면에 모두 접하였다. 태양광선이 밑면과 수직인 방향으로 구를 비출 때, 삼각기둥의 두 옆면 [eqn: rmPFGQ] , [eqn: rm EPQH]에 생기는 구의 그림자의 넓이를 각각 [eqn: S_1], [eqn: S_2] ([eqn: S_1 >S_2])라 하자.□[eqn: S_1 + 1 over sqrt { 3} S_2]의 값은?

[정답] ④

[해설]

구의 중심을 지나고 평면 [eqn: {rm{AEFB}}]에 평행하게 절단하면 구가 밑면 [eqn: {rm{ABCD}}]와 직육면체의 네 옆면에 모두 접하므로 구의 반지름은 [eqn: 4]이고 구의 중심을 [eqn: {rm{X}}]라 하면 구의 중심에서 평면 [eqn: {rm{EFGH}}]에 이르는 거리는 [eqn: (4+4 sqrt{3})-4=4 sqrt{3}]이다.

구와 삼각기둥과 한 점에서 만나므로 그 점은 두 점 [eqn: {rm{P}}], [eqn: {rm{Q}}]의 중점 [eqn: {rm{P}}_{1}]이 된다.

이때 두 점 [eqn: {rm{F}}], [eqn: {rm{G}}]의 중점을 [eqn: {rm{F}}_{1}], 두 점 [eqn: {rm{E}}], [eqn: {rm{H}}]의 중점을 [eqn: {rm{E}}_{1}], 구의 중심 [eqn: {rm{X}}]에서 태양광선에 평행하게 연장하였을 때, 평면 [eqn: {rm{EFGH}}]와 교점을 [eqn: {rm{X}}_{2}]라 하면 삼각형 [eqn: {rm{XX}}_{2} {rm{E}}_{1}]과 [eqn: {rm{F}}_{1} {rm{P}}_{1} {rm{E}}_{1}]는 직각과 맞꼭짓각을 공유하는 [eqn: {rm{AA}}]닮음 관계의 삼각형이 되므로 [eqn: angle {rm{X}}_{2} {rm{XE}}_{1}= theta]라 하면 [eqn: tan theta={4} over {4 sqrt{3}}={ sqrt{3}} over {3}]

[eqn: therefore theta={ pi} over {6}]

이때 삼각기둥에 그림자는 구의 중심을 지나고 직육면체의 밑면에 평행한 평면과의 교원의 넓이는 [eqn: pi cdot 4^{2}=16 pi]이므로

[eqn: {rm{S}}_{2} cos { pi} over {3}+{rm{S}}_{1} cos { pi} over {6}=16 pi]
[eqn: {{rm{S}}_{2}+ sqrt{3} {rm{~S}}_{1}} over {2}=16 pi]

따라서 양변에 [eqn: {2} over { sqrt{3}}]을 곱하면

[eqn: {rm{S}}_{1}+{1} over { sqrt{3}} {rm{S}}_{2}={32 sqrt{3} pi} over {3}]

① [eqn: { 20 sqrt { 3} } over { 3}pi]	② [eqn: 8sqrt { 3}pi]	③ [eqn: { 28 sqrt { 3} } over { 3}pi]

④ [eqn: { 32 sqrt { 3} } over { 3}pi]	⑤ [eqn: 12sqrt { 3}pi]

[출처]	2009 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 15

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: r]인 구 모양의 공이  공중에 있다. 벽면과 지면은 서로 수직이고, 태양광선이 지면과 크기가 [eqn: theta]인 각을 이루면서 공을 비추고 있다. 태양광선과 평행하고 공의 중심을 지나는 직선이 벽면과 지면의 교선 [eqn: l]과 수직으로 만난다. 벽면에 생기는 공의 그림자 위의 점에서 교선 [eqn: l]까지의 거리의 최댓값을 [eqn: a]라 하고, 지면에 생기는 공의 그림자 위의 점에서 교선 [eqn: l]까지의 거리의 최댓값을 [eqn: b]라 하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[정답] ③

[해설]

ㄱ. 구의 지름 중 구의 중심을 지나고 교선 [eqn: l]과 평행한 지름의 정사영의 길이는 변치 않으므로 그림자와 교선 [eqn: l]의 공통부분의 길이는 [eqn: 2r] 이다 (참)
또, 구의 중심을 교선[eqn: l]위에 오도록 평행이동하고 구면 위의 원 중에서 태양광선에 수직인 원의 지름을 [eqn: xy]평면 에서 생각하면 그림과 같다

이때 [eqn: a`cos theta `=`r,``b`sin theta `=r] 이므로

ㄴ. [eqn: a`cos60 ^{CIRC } =b`sin60 ^{CIRC }]에서    [eqn: a= sqrt {3} b]
즉 [eqn: a>b] (거짓)

ㄷ. [eqn: cos theta = {r} over {a} `,``sin theta = {r} over {b}] 이므로
[eqn: sin ^{2} theta `+cos ^{2} theta `=1] 에 대입하면    [eqn: {r ^{2}} over {a ^{2}} + {r ^{2}} over {b ^{2}} =1]
즉 [eqn: {1} over {a ^{2}} + {1} over {b ^{2}} = {1} over {r ^{2}}] (참)

	<보 기>
ㄱ. 그림자와 교선 [eqn: l]의 공통부분의 길이는 2[eqn: r]이다. ㄴ. [eqn: theta =60 DEG]이면 [eqn: a<b]이다. ㄷ. [eqn: {1} over {a ^{2}} + {1} over {b ^{2}} = {1} over {r ^{2}}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

한 변의 길이가 [eqn: 8]인 정사각형을 밑면으로 하고 높이가 [eqn: 4+4 sqrt {3}]인 직육면체 [eqn: rm ABCD-EFGH~]가 있다. 그림과 같이 이 직육면체의 바닥에 [eqn: rmANGLE EPF=90 DEG]인 삼각기둥 [eqn: rm EFP-HGQ]가 놓여 있고 그 위에 구를 삼각기둥과 한 점에서 만나도록 올려놓았더니 이 구가 밑면 [eqn: rm ABCD]와 직육면체의 네 옆면에 모두 접하였다. 태양광선이 밑면과 수직인 방향으로 구를 비출 때, 삼각기둥의 두 옆면 [eqn: rm PFGQ,~EPQH]에 생기는 구의 그림자를 각각 [eqn: S` _{1}], [eqn: S` _{2}][eqn: LEFT ( S` _{1} >S` _{2} RIGHT )`]라 하자. [eqn: S` _{1} + {1} over {sqrt {3}} S` _{2}``]의 값은?

[정답] ②

[해설]

평면 [eqn: rm AEFB]를 정면에서 바라보면 아래 그림과 같다.

[eqn: rm {bar{ON}} =4 sqrt {3}], [eqn: rm {bar{EN}} =4]이므로 [eqn: rm bar { OE}=8], [eqn: rm ANGLE OEN=60 DEG]이다.

[eqn: rm {bar{PE}} =4]이므로 [eqn: rm {bar{EP` prime }} =2]

또한 [eqn: rm {bar{EF}} =8], [eqn: rm {bar{PE}} =4]이므로 [eqn: rm ANGLE EPF=90 DEG]이다.

따라서 구와 삼각기둥의 접점은 모서리 [eqn: rm PQ]의 중점이 된다,

평면 [eqn: rm PFGQ]에 생기는 그림자는 아래 그림에서

활꼴 [eqn: S` _{1} ']에 의해서 생기고 평면 [eqn: rm PQHE]에

생기는 그림자는 활꼴 [eqn: S` _{2} prime]에 의해서 생긴다.

부채꼴의 중심각의 크기가 [eqn: 120 DEG]이므로

[eqn: S` _{2} prime = {16 pi } over {3} -4 sqrt {3}], [eqn: S` _{1} prime = {32 pi } over {3} +4 sqrt {3}]

[eqn: S` _{1} = {S` _{1} prime } over {cos30 DEG } = {64} over {3 sqrt {3}} pi +8],

[eqn: S` _{2} = {S` _{2} prime } over {cos60 DEG } = {32} over {3} pi -8 sqrt {3}]

그러므로 [eqn: S` _{1} + {1} over {sqrt {3}} S` _{2} = {32 sqrt {3}} over {3} pi]이다.

① [eqn: {20 sqrt {3}} over {3} pi]	② [eqn: {32 sqrt {3}} over {3} pi]	③ [eqn: {28 sqrt {3}} over {3} pi]

④ [eqn: 8 sqrt {3} pi]	⑤ [eqn: 12 sqrt {3} pi]

07 기하	09 공간도형
04 기타
03 교과외3 (공간벡터)

[출처]	2017 모의_공공 사관학교 고3 07월 12

좌표공간에서 점 [eqn: (0,`` a,`` b)]를 지나고 평면 [eqn: x+3 y-z=0]에 수직인 직선이 구 [eqn: (x+1)^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=1]과 두 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]에서 만난다. [eqn: overline{{rm{AB}} it }=2]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

구의 지름의 길이가 [eqn: rm 2]이고 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=2]이므로

선분 [eqn: {rm{AB}} it]는 구의 중심 [eqn: (-1,``0,``2)]를 지난다.

평면의 법선벡터가 직선 [eqn: {rm{AB}} it]의 방향벡터이므로

직선 [eqn: {rm{AB}} it]의 방정식은 [eqn: {x+1} over {1}={y} over {3}={z-2} over {-1}]인데, 이것이 점 [eqn: (0,`` a,`` b)]를 지난다.

따라서 [eqn: 1={a} over {3}={b-2} over {-1}]

[eqn: a=3], [eqn: b=1]

[eqn: therefore~a+b=4]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: rm 0]

④ [eqn: rm 2]	⑤ [eqn: rm 4]

그림과 같이 [eqn: rm bar{AB} `=4,```` bar{BC} `=3,```` bar{CA} `=5]인 삼각형 [eqn: rm ABC]와 점 [eqn: rm A]에서만 만나는 평면 [eqn: alpha]가 직선 [eqn: rm BC]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. 점 [eqn: rm C]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm ADH]의 두 변의 길이가 [eqn: 5]이다. 선분 [eqn: rm AC]를 지름으로 하는 구와 선분 [eqn: rm AD]를 지름으로 하는 구가 만나서 생기는 원을 [eqn: C`]라 할 때, 원 [eqn: C`]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영의 넓이는 [eqn: p `pi`]이다. [eqn: 9p ^{2}]의 값을 구하시오.
(단, 점 [eqn: rm B]가 점 [eqn: rm C]보다 평면 [eqn: alpha]와 더 가깝다.)

[정답] [eqn: 44]

[해설]

<조건 ‘삼각형 [eqn: rm ADH]의 두 변의 길이가 [eqn: 5]이다.’에 대한 해석>

선분 [eqn: rm AH]는 선분 [eqn: rm AC]의 평면 [eqn: alpha]로의 정사영이므로 길이가 [eqn: 5] 미만일 수 밖에 없다. 따라서 [eqn: rm bar{DH} `= bar{DA} `=5]이다.

(참고) 만약 선분 [eqn: rm AH]의 길이도 [eqn: 5]이려면 점 [eqn: rm C] 역시 평면 [eqn: alpha] 위의 점이어야 하는데 이는 문제 조건에 의하여 모순이다.

[eqn: rm bar{AB} `=4,```` bar{BC} `=3,```` bar{CA} `=5]인 삼각형 [eqn: rm ABC]는 피타고라스의 정리를 만족시키므로 [eqn: rm ANGLE CBA= {pi } over {2}]인 직각삼각형인데, [eqn: rm bar{DA} `=5] 이므로 삼각형 [eqn: rm ACD]는 [eqn: rm bar{CA} `= bar{DA} `=5]인 이등변삼각형이다.

점 [eqn: rm B]가 점 [eqn: rm A]에서 선분 [eqn: rm CD]에 내린 수선의 발이므로, 따라서 이 점은 선분 [eqn: rm CD]의 중점이 된다. (이등변삼각형 성질)

즉, [eqn: rm angle ABD = { pi} over { 2} ,````bar BD` = 3(= bar BC )]임을 알 수 있다.

선분 [eqn: rm AC]를 지름으로 하는 구와 선분 [eqn: rm AD]를 지름으로 하는 구는 동시에 [eqn: rm A]를 지나고 있으며 [eqn: rm ANGLE ABC= ANGLE ABD= {pi } over {2}]을 지름의 원주각으로 생각한다면 두 구는 동시에 [eqn: rm B]를 지나고 있다는 사실 역시 알 수 있다.

이는 두 구의 교선인 원 [eqn: C] 위에 점 [eqn: rm A,````B]가 있다는 말과 같다.

선분 [eqn: rm AC]를 지름으로 하는 구의 중심을 [eqn: rm O _{1}], 선분 [eqn: rm AD]를 지름으로 하는 구의 중심을 [eqn: rm O _{2}]라 하자. 그리고 [eqn: rm O _{1} ,````O _{2}]는 각각 두 선분 [eqn: rm AC, ````AD]의 중점이기도 하므로 [eqn: rm vec{O _{1} O _{2}}]와 [eqn: rm vec CD]는 평행하다.

또한 두 구의 위치관계에 의하여 교선 [eqn: C`]는 [eqn: rm vec{O _{1} O _{2}}]에 수직한 평면 [eqn: beta] 위에 있게 된다. 평면 [eqn: beta]의 법선벡터는 [eqn: rm vec{O _{1} O _{2}}]와 평행한 [eqn: rm vec{CD}]로 생각한다면, 교선 [eqn: C`]가 평면 [eqn: alpha]와 이루는 사이각은 두 벡터 [eqn: rm vec{CD} ,```` vec{CH}] ([eqn: alpha]의 법선벡터)가 이루는 각과 같게 된다.

또한 교선 [eqn: C`]는 선분 [eqn: rm AB]를 지름으로 하는 원이므로, [eqn: C`]의 평면 [eqn: alpha]로의 정사영의 넓이는 [eqn: 4 pi TIMES cos( rm ANGLE DCH)= {2 sqrt {11}} over {3} pi]이다.

(삼각형 [eqn: rm CDH]에서 피타고라스의 정리에 의하여 [eqn: rm bar CH` = root 11])

따라서 [eqn: 9p^2 =44]이다.

그림과 같이 모든 모서리의 길이가 [eqn: 4]인 정사각뿔 [eqn: rmA-BCDE]와 한 모서리의 길이가 [eqn: 4]인 정육면체 [eqn: rmBCDE-FGHI]가 면 [eqn: rmBCDE]를 공유하고 있다. 선분 [eqn: rmCG]와 선분 [eqn: rmDH]를 [eqn: 3 `:` 1`]로 내분하는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하고, 선분 [eqn: rmAE]와 선분 [eqn: rmAD]의 중점을 각각 [eqn: rmR], [eqn: rmS], 삼각형 [eqn: rmABE]의 무게중심을 [eqn: rmT]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmRST]의 평면 [eqn: rmBPQE] 위로의 정사영의 넓이는?

[정답] ⑤

[해설]

주어진 도형을 좌표공간에 놓고, [eqn: rm`E(0,~0,~0)], [eqn: rm`B(4,~0,~0)], [eqn: rm`D(0,~4,~0)], [eqn: rm`P(4,~4,~-3)], [eqn: rm`Q(0,~4,~-3)] 이라 하자.

평면 [eqn: rm`BPQE]의 방정식은 [eqn: 3y+4z=0] (평면 [eqn: alpha] 라 하자) 이다.

삼각형 [eqn: rm`RST]를 지나는 평면은 평면 [eqn: rm`RBCS](평면 [eqn: beta]라 하자)와 같고, 평면의 방정식을 [eqn: ax+by+cz=d]라 두고

[eqn: rm`B(4,~0,~0)], [eqn: rm`C(4,~4,~0)], [eqn: rm`R(1,~1,~ sqrt {2} )], [eqn: rm`S(1,~3,~ sqrt {2} )]를 각각 대입하여 구하면,

[eqn: beta `:` sqrt {2} x+3z-4 sqrt {2} =0]이다.

평면 [eqn: alpha]와 평면 [eqn: beta]가 이루는 예각을 [eqn: theta]라 하면,

각각의 법선벡터가 [eqn: (0,~3,~4)], [eqn: LEFT ( sqrt {2} ,~0,~3 RIGHT )]이고 [eqn: cos` theta = {12} over {5 sqrt {11}}]

또한, 평면 [eqn: alpha]위의 삼각형[eqn: rm`RST]의 넓이를 구하면

그림과 같이

[eqn: {1} over {2} TIMES 2 TIMES {sqrt {11}} over {3} = {sqrt {11}} over {3}]

따라서, 삼각형 [eqn: rmRST]의 평면 [eqn: rmBPQE] 위로의 정사영의 넓이는

[eqn: {sqrt {11}} over {3} TIMES {12} over {5 sqrt {11}} = {4} over {5}]

① [eqn: {8} over {15}]	② [eqn: {3} over {5}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {11} over {15}]	⑤ [eqn: {4} over {5}]

07 기하	10 공간좌표
02 분점
01 분점1 (분점의 좌표)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 24

좌표공간의 두 점 [eqn: {rmA(0 ,```` 2 ,```` -3)}{{from^2021^7월 사관학교^중}}], [eqn: rmB(6 ,```` -4 ,```` 15)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB] 위에 점 [eqn: rmC]가 있다. 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에서 [eqn: xy]평면에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmA prime], [eqn: rmB prime], [eqn: rmC prime]이라 하자. [eqn: 2bar{rmA primeC prime} = bar{rmC primeB prime}]일 때, 점 [eqn: rmC]의 [eqn: z]좌표는?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: 2bar{rmA primeC prime} = bar{rmC primeB prime}]이므로 점 [eqn: rmC`']은 선분 [eqn: rmA'B']의 [eqn: 1``:``2]내분점이다.

즉, 점 [eqn: rmC]는 선분 [eqn: rmAB]의 [eqn: 1``:``2] 내분점이므로 점 [eqn: rmC][eqn: z]의 좌표는

[eqn: {(-3) times 2 + 15 times 1 } over 1+2 = 3]

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

두 점 [eqn: rm A it (1,````-1,```1),```` rm B it (-2,````0,````4)]를 이은 선분 [eqn: RMAB]의 연장선 위에 [eqn: 2 rm {bar{AB}} it =3 rm {bar{BC}} it]가 되도록 하는 점 [eqn: RMC]의 좌표를 구하시오.

[정답] [eqn: LEFT ( -4 , ~ 2 over 3 , ~ 6 RIGHT )]

[해설]

[eqn: 2 rm bar AB = 3 bar BC]이므로 [eqn: rm bar AB `:` bar BC = 3` : `2]

따라서 점 [eqn: rmC]는 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 [eqn: 1`:`2]로 내분한 점 또는 [eqn: 5`:`2]로 외분한 점이다.

이때, 선분 [eqn: rmAB]의 연장선 위에 있는 점은 선분 [eqn: rmAB]의 외분점이므로 점 [eqn: rmC]의 좌표를 [eqn: ( x_1 , ~ y _1 , ~ z_1 )]이라고 하면

[eqn: x_1 = { 5 times ( -2) -2 times 1 } over 5-2 = `-4]

[eqn: y_1 = { 5 times 0 -2 times (-1) } over 5-2 = 2 over 3],

[eqn: z_1 = { 5 times 4 -2 times1 } over 5-2 =6]

이므로 점 [eqn: rmR]의 좌표는 [eqn: LEFT ( -4 , ~ 2 over 3 , ~ 6 RIGHT )]

좌표 공간의 두 점 [eqn: rm { A LEFT ( 1,`` -3,`` 2 RIGHT ) }], [eqn: rm { B LEFT ( 3,`` -1,`` -2 RIGHT ) }`]에 대하여 선분 [eqn: rm { AB` }]를 [eqn: m `:` n][eqn: LEFT ( m>0,`` n>0 RIGHT ) `]으로 내분하는 점을 [eqn: rm P LEFT ( ita,``b,``c RIGHT ) `]라 하자. 삼각형 [eqn: rm { AOP }`]의 넓이가 [eqn: sqrt {3} `]일 때, [eqn: {n LEFT ( LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT | + LEFT | c RIGHT | RIGHT )} over {m} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm { O` }]는 원점이다.)

[정답] [eqn: 15]

[해설]

[eqn: rm {bar{OA}}][eqn: = sqrt {1 ^{2} + LEFT ( -3 RIGHT ) ^{2} +2 ^{2}} = sqrt {14}]

[eqn: rm {bar{BP}}][eqn: = sqrt {3 ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2}} = sqrt {14}]

이므로 삼각형 [eqn: rm { AOB` }]는 [eqn: rm { {bar{OA}} = {bar{OB}} ` }]인 이등변삼각형이다.

선분 [eqn: rm AB`]의 중점을 [eqn: rm M`]이라 하면 점 [eqn: rm M`]의 좌표는

[eqn: rm { M LEFT ( {1+3} over {2} ,~ {-3+ LEFT ( -1 RIGHT )} over {2} ,~ {2+ LEFT ( -2 RIGHT )} over {2} RIGHT ) }],

즉 [eqn: rm { M LEFT ( 2,~-2,~0 RIGHT ) ` }]이므로

[eqn: rm {bar{OM}}][eqn: = sqrt {2 ^{2} + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} +0 ^{2}} =2 sqrt {2}]

또한

[eqn: rm {bar{AB}}][eqn: = sqrt {LEFT ( 3-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT { -1- LEFT ( -3 RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT ( -2-2 RIGHT ) ^{2}} =2 sqrt {6}]

따라서 삼각형 [eqn: rm { AOB` }]의 넓이는

[eqn: rm { {1} over {2} TIMES {bar{AB}} TIMES {bar{OM}} }][eqn: = {1} over {2} TIMES 2 sqrt {6} TIMES 2 sqrt {2} =4 sqrt {3}]

삼각형 [eqn: rm { AOP` }{over{`r`l`t`j`q`d`l`0`9`4`5`}}]의 넓이를 [eqn: S _{1}], 삼각형 [eqn: rm { BOP` }]의 넓이를 [eqn: S _{2} `]라 하면 [eqn: S _{2} =4 sqrt {3} - sqrt {3} =3 sqrt {3} `]이므로

[eqn: S _{1} :S _{2} = sqrt {3} :3 sqrt {3} =1:3]

즉, [eqn: rm { {bar{AP}} : {bar{BP}} =1:3` }]이므로 [eqn: m:n=1:3]

또한 점 [eqn: rm { P` }]의 좌표는

[eqn: rm { P LEFT ( {1 TIMES 3+3 TIMES 1} over {1+3} ,~ {1 TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) +3 TIMES LEFT ( -3 RIGHT )} over {1+3} ,~ {1 TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) +3 TIMES 2} over {1+3} RIGHT ) }]

즉, [eqn: rm { P LEFT ( {3} over {2} ,~- {5} over {2} ,~1 RIGHT ) }]

따라서 [eqn: a= {3} over {2}], [eqn: b=it- {5} over {2}], [eqn: c=1`]이고 [eqn: {n} over {m} =3`]이므로

[eqn: {n LEFT ( LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT | + LEFT | c RIGHT | RIGHT )} over {m}][eqn: =3 TIMES LEFT ( LEFT | {3} over {2} RIGHT | + LEFT | - {5} over {2} RIGHT | + LEFT | 1 RIGHT | RIGHT ) =15]

07 기하	10 공간좌표
02 분점
02 분점2 (분점의 위치)

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 11

좌표공간의 두 점 [eqn: {rmA}(2,``` 2,``` 1)], [eqn: {rmB}(a,``` b,``` c)]에 대하여 선분 [eqn: {rmAB}]를 [eqn: 1 : 2]로 내분하는 점이 [eqn: y]축 위에 있다. 직선 [eqn: {rmAB}]와 [eqn: xy]평면이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: tan`theta = { sqrt 2 }over{4}]이다. 양수 [eqn: b]의 값은?

[정답] ③

[해설]

선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1`:`2]로 내분하는 점의 좌표는

[eqn: left({a+4}over3 ,``{b+4}over3 ,``{c+2}over3 right)]

이 점이 [eqn: y]축 위에 있으므로

[eqn: {a+4}over3 =0], [eqn: {c+2}over3 =0]

따라서 [eqn: a=-4], [eqn: c=-2]이므로 [eqn: rmB left(it-4,``b,``-2right)]

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 [eqn: xy]평면에 정사영시킨 점을 각각 [eqn: rmA prime], [eqn: rmB prime]이라 하면

[eqn: rmA prime left(2,``2,``1right)], [eqn: rmB prime left(-4,``itb,``-2right)]

[eqn: rmbarAB =root{36+it left(b-2right)^2 +9], [eqn: rmbar{A prime B prime}=root{36+it left(b-2right)^2 +9]이고, [eqn: tan`theta= root2 over4]에서 [eqn: cos`theta={2root2}over3]이다.

따라서 [eqn: rmbarAB cos`theta=bar{A primeB prime]에서

[eqn: root{left(b-2right)^2 +45}cdot{2root2}over3 =root{left(b-2right)^2 +45]

[eqn: therefore][eqn: b=8``left(because````b>0right)]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

두 점 [eqn: rm A it (2,``-3,``1)], [eqn: rm B it (a,``b,``c)]에 대하여 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 1:3]으로 내분하는 점이 [eqn: xy]평면에 있고 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 3:1]으로 외분하는 점이 [eqn: z]축 위에 있을 때, [eqn: abc]의 값은?

[정답] ④

[해설]

선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 1:3]으로 내분하는 점이 [eqn: xy]평면에 있으므로 [eqn: z]좌표는 [eqn: 0]이다.

[eqn: {c+3} over {1+3}][eqn: =0],  [eqn: c=-3]

선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 3:1]로 외분하는 점이 [eqn: z]축 위에 있으므로 [eqn: x]좌표, [eqn: y]좌표는 [eqn: 0]이다.

[eqn: {3a-2} over {3-1}][eqn: =0],  [eqn: a= {2} over {3}]

[eqn: {3b+3} over {3-1}][eqn: =0],  [eqn: b=-1]

[eqn: therefore abc][eqn: =2]

① [eqn: -2]	② [eqn: - 1 over 2]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

두 점 [eqn: rmA left(-1,``4,``2right)], B[eqn: (a,~b,~c)]에 대하여 [eqn: zx]평면이 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1`:`2]로 내분하고, 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2`:`3]으로 외분하는 점이 [eqn: y]축 위에 있을 때, [eqn: abc]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: {bar{rmAB}}]를 1:2로 내분하는 점을 P라고 하면 점 P는 [eqn: zx]평면 위에 있으므로 [eqn: y]의 좌표가 0이다.
[eqn: {1 TIMES b+2 TIMES 0} over {1+2} =0]이므로  [eqn: b=-8]
[eqn: {bar{rmAB}}]를 2:3으로 외분하는 점을 Q라고 하면 점 Q는 [eqn: y]축 위에 있으므로 [eqn: x]의 좌표와 [eqn: z]의 좌표가 0이다.
[eqn: {2 TIMES a-3 TIMES LEFT ( -1 RIGHT )} over {2-3} =0]이므로   [eqn: a=- {3} over {2}]
[eqn: {2 TIMES c-3 TIMES 2} over {2-3} =0]이므로  [eqn: c=3]
따라서  [eqn: abc=36]

① [eqn: -36]	② [eqn: -16]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 48]

07 기하	10 공간좌표
03 구의 방정식
04 구의 방정식4 (현 또는 접선의 길이)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 26

좌표공간에서 중심이 [eqn: {rmA(ita ,```` -3 ,```` 4)}{{from^2021^7월 사관학교^중}}][eqn: (a>0)]인 구 [eqn: S]가 [eqn: x]축과 한 점에서만 만나고 [eqn: bar{rmOA}=3sqrt3]일 때, 구 [eqn: S]가 [eqn: z]축과 만나는 두 점 사이의 거리는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

[정답] ②

[해설]

구가 [eqn: x]축과 만나는 한 점의 좌표를 [eqn: rmH]라 하면 점 [eqn: rmH ( ita,````0,````0)]이다. 이때 선분 [eqn: rmAH]의 길이가 반지름이므로

[eqn: bar{ rmAH} = root { 0+ (-3)^{2} + 4^{2} }= 5]

[eqn: bar{ rmOA} = 3root3]이므로

[eqn: bar{ rmOA} = root{it a^{2} +3^{2} +4^{2} }= root {a^{2} +25} = root 27]

[eqn: THEREFORE```` a= root2] ([eqn: because ```` a>0])

[eqn: z]축에 수선의 발을 내린 점을 [eqn: rmG]라 하면 [eqn: rmG( 0,````0,````4)]이고

[eqn: bar{ rmAG} = root { (root2 )^{2} + (-3)^{2} +0}= root 11]

[eqn: z]축에서 만나는 두 점을 [eqn: rmQ,````Q']라 하면 [eqn: bar{ rmQQ' }= 2 bar{ rmGQ]이고

[eqn: {bar{rm GQ}} ^{2} = {bar{rm AQ}} ^{2} - {bar{rm AG}}^{2}][eqn: = 25 - 11 = 14]이므로

[eqn: bar{ rmGQ} = root 14]

따라서 두 점 사이의 거리는 [eqn: 2root14]

① [eqn: 3sqrt6]	② [eqn: 2sqrt14]	③ [eqn: sqrt58]

④ [eqn: 2sqrt15]	⑤ [eqn: sqrt62]

좌표공간에서 점 [eqn: {rmC}it LEFT (a,`` 0,`` 4 RIGHT )`]를 중심으로 하는 구 [eqn: S` `]가 [eqn: x `]축과 두 점 [eqn: rmA LEFT (4,`` 0,`` 0 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT (-2,`` 0,`` 0 RIGHT )`]에서 만나고 [eqn: z `]축과 두 점 [eqn: rmE], [eqn: rmF`]에서 만난다. 선분 [eqn: rmEF`]의 길이는?

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: rmC]의 [eqn: y`]좌표가 [eqn: 0]이므로 점 [eqn: rmC]는 [eqn: zx`]평면 위에 놓인다.

선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면 점 [eqn: rmM]의 좌표는

[eqn: rmM LEFT ( {4+(-2)} over {2} ,~ {0+0} over {2} ,~ {0+0} over {2} RIGHT )]

즉, [eqn: rm M(1,~0,~0)]

점 [eqn: rmM]을 지나고 [eqn: xy`]평면에 수직인 직선이 구의 중심 [eqn: rmC]를 지나므로 두 점 [eqn: rmC], [eqn: rmM]의 [eqn: x`]좌표는 서로 같다.

[eqn: a=1]

구 [eqn: S``]와 [eqn: zx`]평면이 만나서 생기는 원은 다음 그림과 같다.

직각삼각형 [eqn: rmCAM]에서

[eqn: rmbar{AM}=4-1=3], [eqn: rmbar{CM}=4]이므로

[eqn: rm bar{CA} = sqrt {rm bar{AM} ` ^{2} + bar{CM} ` ^{2}} = sqrt {3 ^{2} +4 ^{2}} =5]

따라서 구 [eqn: S``]는 중심이 [eqn: rmC(1,~0,~4)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 5]이므로 구 [eqn: S``]의 방정식은

[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} +(z-4) ^{2} =25]	[eqn: {cdots}{cdots}]㉠

선분 [eqn: rmEF]의 중점을 [eqn: rmN]이라 하면 [eqn: rmbar{CN}=1]이므로

두 점 [eqn: rmE], [eqn: rmF] 중 [eqn: z`]좌표가 양수인 점을 [eqn: rmE]라 하면 직각삼각형 [eqn: rmCEN]에서

[eqn: rm bar{EN} = sqrt {rm bar{CE} ` ^{2} - bar{CN} ` ^{2}} = sqrt {5 ^{2} -1 ^{2}} =2 sqrt {6}]

따라서 [eqn: rmbar{EF}=2rmbar{EN}=2{times}2 sqrt {6} =4 sqrt {6}]

① [eqn: 4 sqrt {2}]	② [eqn: 4 sqrt {3}]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 4 sqrt {5}]	⑤ [eqn: 4 sqrt {6}]

두 점 [eqn: rm A it (2,``-1,``4)], [eqn: rm B it (0,``3,``2)]를 지름의 양 끝점으로 하는 구와 [eqn: z]축이 만나는 점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]라고 할 때, 선분 [eqn: rm PQ]의 길이는?

[정답] ②

[해설]

선분 [eqn: rm AB]를 지름으로 하는 구는 선분 [eqn: rm AB]의 중점 [eqn: LEFT ( 1,``1,``3 RIGHT )]이 중심이고, 반지름의 길이가 [eqn: sqrt {6}]이다.

따라서 구의 방정식은

[eqn: (x-1) ^{2} +(y-1) ^{2} +(z-3) ^{2}][eqn: =6]

구와 [eqn: z]축이 만나는 생기는 교점을 구하면

[eqn: x][eqn: =y][eqn: =0]을 대입하면 [eqn: (z-3)^2][eqn: =4]

따라서 교점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,``0,``5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0,``0,``1 RIGHT )]이므로

[eqn: rm bar PQ][eqn: =4]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

07 기하	10 공간좌표
03 구의 방정식
06 구의 방정식6 (자취 및 활용)

다음 그림과 같이 좌표공간에 구 [eqn: S]와 구 [eqn: S]가 내접하고 있는 정육면체 [eqn: rm ABCD- EFGO]가 있다. 다음 물음에 답하시오. (단, [eqn: rm O]는 원점이다.)

[정답] (1) [eqn: (3,``-3,``3)] (2) [eqn: 6 pi] (3) [eqn: 2 sqrt {3} pi]

[해설]

(1) 구 [eqn: S]는 점 [eqn: rm P it (5,``-2,``5)]를 지나고 [eqn: xy]평면, [eqn: yz]평면, [eqn: zx]평면에 동시에 접하므로 구 [eqn: S]의 중심의 좌표를 [eqn: (r,``-r,``r)]이라 하면 구의 방정식은

[eqn: (x-r) ^{2}][eqn: +(y+r) ^{2}][eqn: +(z-r) ^{2}][eqn: =r ^{2}]

점 [eqn: rm P]의 좌표를 구의 방정식에 대입하면

[eqn: r ^{2}][eqn: -12r][eqn: +27=0]

[eqn: r=3] 또는 [eqn: r= 9]

따라서 구 [eqn: S]의 중심 [eqn: rm K]의 좌표는 [eqn: (3,``-3,``3)]이다.

(2) [eqn: rm A it (0,``-6,``6)], [eqn: rm F it (6,``-6,``0)], [eqn: rm O it (0,``0,``0)]에서 점 [eqn: rm H]의 좌표는 [eqn: (2,``-4,``2)]이므로

[eqn: {rm bar {HK}}][eqn: = sqrt {1+1+1}][eqn: = sqrt {3}]

따라서 단면 [eqn: T]의 반지름의 길이는

[eqn: sqrt {3 ^{2} -( sqrt {3} ) ^{2}}][eqn: = sqrt {6}]이므로 단면 [eqn: T]의 넓이는 [eqn: 6 pi]이다.

(3) [eqn: rm triangle AFO =][eqn: {sqrt {3}} over {4}][eqn: times (6 sqrt {2} ) ^{2}][eqn: =18 sqrt {3}]

[eqn: rm triangleEFO][eqn: =18]

삼각형 [eqn: rm AFO]의 평면 [eqn: rm EFGO] 위로의 정사영이 삼각형 [eqn: rm EFO]이므로 단면 [eqn: T]와 평면 [eqn: rm EFGO]가 이루는 각을 [eqn: theta]라 하면

[eqn: cos theta][eqn: = {rm triangleEFO} over {rm triangleAFO}][eqn: = {sqrt {3}} over {3}]

따라서 단면 [eqn: T]의 평면 [eqn: rm EFGO] 위로의 정사영의 넓이는

[eqn: 6 pi][eqn: times {sqrt {3}} over {3}][eqn: =2 sqrt {3} pi]

(1) 구 [eqn: S]는 점 [eqn: rm P it (5,``-2,``5)]를 지나고 [eqn: xy]평면, [eqn: yz]평면, [eqn: zx]평면에 동시에 접하는 두 구 중 반지름의 길이가 더 작은 구이다. 구 [eqn: S]의 중심 [eqn: rm K]의 좌표를 구하시오.

(2) (1)에서 찾은 구 [eqn: S]가 평면 [eqn: rm AFO]에 의해 잘린 단면 [eqn: T]의 넓이를 구하시오. (단, 선분 [eqn: rm CE]와 평면 [eqn: rm AFO]가 만나는 점 [eqn: rm H]는 [eqn: rm triangle AFO]의 무게중심이다.)

(3) (2)에서 찾은 단면 [eqn: T]의 평면 [eqn: rm EFGO] 위로의 정사영의 넓이를 구하시오.

좌표공간의 점 [eqn: rm A it (1,``1,``1)]을 중심으로 하는 구 [eqn: S]가 [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축과 각각 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R]에서 접한다. 삼각형 [eqn: rm PQR]에 외접하는 원의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영의 넓이는?

[정답] ④

[해설]

점 [eqn: rm A it (1,``1,``1)]에서 [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축에 내린 수선의 발이 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R]이므로

[eqn: rm P it (1,``0,``0)], [eqn: rm Q it (0,``1,``0)], [eqn: rm R it (0,``0,``1)]

삼각형 [eqn: rm PQR]은 한 변의 길이가 [eqn: sqrt {2}]인 정삼각형이므로

[eqn: rm trianglePQR][eqn: = {sqrt {3}} over {4}][eqn: times ( sqrt {2} ) ^{2}][eqn: = {sqrt {3}} over {2}]

[eqn: rm triangleOPQ][eqn: = {1} over {2}][eqn: times 1 ^{2}][eqn: = {1} over {2}]

삼각형 [eqn: rm PQR]과 [eqn: xy]평면이 이루는 각을 [eqn: theta]라 하면

[eqn: cos theta][eqn: = {rm triangleOPQ} over {rm trianglePQR}][eqn: = {sqrt {3}} over {3}]

정삼각형 [eqn: rm PQR]에 외접하는 원의 반지름의 길이는

[eqn: r][eqn: = {sqrt {3}} over {2}][eqn: times sqrt {2}][eqn: times {2} over {3}][eqn: = {sqrt {6}} over {3}]

따라서 이 원의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영의 넓이는

[eqn: pi r ^{2}][eqn: times `cos theta][eqn: = {2} over {3} pi][eqn: times {sqrt {3}} over {3}][eqn: = {2 sqrt {3}} over {9} pi]

① [eqn: root3 over18 pi]	② [eqn: root3 over9 pi]	③ [eqn: root3 over6 pi]

④ [eqn: { 2root3} over { 9} pi]	⑤ [eqn: { 5root3} over {18 }pi]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 29

좌표공간에 점 [eqn: LEFT ( 4,``3,``2 RIGHT )]를 중심으로 하고 원점을 지나는 구

[정답] [eqn: 261]

[해설]

점 [eqn: rmP left(ita,``b,``7right)]에서 [eqn: xy]평면에 내린 수선의 발을 [eqn: rmP`prime]이라 하면 [eqn: rmP prime left(ita,``b,``0right)]

구의 중심 [eqn: left(4,``3,``2right)]에서 [eqn: xy]평면에 내린 수선의 발을 [eqn: rmC`prime]이라 하면 [eqn: rmC prime left(4,``3,``0right)]

[eqn: a^2 +b^2 <25]이므로 [eqn: rmP`prime]인 [eqn: rmC`prime]보다 원점에서 더 가깝다.

원점과 두 점 [eqn: rmP`prime], [eqn: rmC`prime]을 지나는 직선을 가로축으로 하고, [eqn: z]축을 세로축으로 하여 그림을 그리면 다음과 같다.

점 [eqn: rmP]는 구 위의 점이므로

[eqn: left(a-4right)^2 +left(b-3right)^2 +25=29], [eqn: left(a-4right)^2 +left(b-3right)^2 =4]

[eqn: therefore][eqn: rmbar{P`prime C`prime}=it root{left(a-3right)^2 +left(b-4right)^2}=2]

[eqn: rmbar{PP`prime}=7]이고, [eqn: rmbar{OC`prime}=5]에서 [eqn: rmbar{OP`prime}=3]이므로

[eqn: rmbarOP =root{7^2 +3^2}=root58]

선분 [eqn: rmOP]는 원 [eqn: C]의 지름이므로 원 [eqn: C]의 반지름은 [eqn: {root58}over2]이고, 원 [eqn: C]와 [eqn: xy]평면이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 [eqn: cos`theta= 3over{root58}]이다.

따라서 원 [eqn: C]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영의 넓이는

[eqn: pi left(root58 over2 right)^2 times 3overroot58 = 3over4 root58 pi]

따라서 [eqn: k= 3over4 root58]이므로 [eqn: 8k^2 =261]이다.

[eqn: S``:`` LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-2 RIGHT ) ^{2} =29]

가 있다. 구 [eqn: S`]위의 점 [eqn: rm P LEFT ( it a,``b,``7 RIGHT )]에 대하여 직선 [eqn: rm OP`]를 포함하는 평면 [eqn: alpha `]가 구 [eqn: S`]와 만나서 생기는 원을 [eqn: C`]라 하자. 평면 [eqn: alpha `]와 원 [eqn: C`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 직선 [eqn: rm OP`]와 [eqn: xy`]평면이 이루는 각의 크기와 평면 [eqn: alpha `]와 [eqn: xy`]평면이 이루는 각의 크기는 같다.

(나) 선분 [eqn: rm OP`]는 원 [eqn: C`]의 지름이다.

[eqn: a ^{2} +b ^{2} <25`]일 때, 원 [eqn: C`]의 [eqn: xy`]평면 위로의 정사영의 넓이는 [eqn: k pi `]이다. [eqn: 8k ^{2} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.)

07 기하	10 공간좌표
03 구의 방정식
07 구의 방정식7 (Mm)

[출처]	2014 모의_공공 사관학교 고3 07월 28

좌표공간에서 구 [eqn: (x-6)^2 +(y+1)^2 +(z-5)^2 =16] 위의 점 [eqn: rm P]와 [eqn: yz]평면 위에 있는 원 [eqn: (y-2)^2 +(z-1)^2 =9] 위의 점 [eqn: rm Q] 사이의 거리의 최댓값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold14`]

[해설]

구 [eqn: (x-6)^2 +(y+1)^2 +(z-5)^2 =16]는 중심이 [eqn: (6, ``-1, ``5)]
이고 반지름이 [eqn: 4]이다. 원 [eqn: (y-2)^2 +(z-1)^2 =9]는 중심이 [eqn: (0, ``2, ``1)]이고 반지름이 [eqn: 3]이다. 구의 중심을 [eqn: rm C_1][eqn: (6, ``-1, ``5)], 원의 중심을 [eqn: rm C_2][eqn: (0, ``2, ``1)]라 하고 [eqn: rm C_1]에서 [eqn: yz]평면에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H][eqn: (0, ``-1, ``5)]라 하자.

원위를 움직이는 점 [eqn: rm Q]를 고정시킬 때, 점 [eqn: rm Q]에 대하여
[eqn: bar{rm PQ}]가 최대가 되도록 하는 점 [eqn: rm P]는 직선 [eqn: rm C_1][eqn: rm Q] 위에 놓인다.
이때, [eqn: bar{rm PQ}]의 최댓값은 [eqn: rm bar{PC_1} + bar{C_1 Q}=4+ bar{C_1 Q}]이다.
따라서 [eqn: rm bar{C_1 Q}]가 최대일 때, [eqn: bar{rm PQ}]가 최대가 된다.

[eqn: bar{rm C_1 Q}][eqn: rm=sqrt { {bar{C_ 1 H}}^2 + {barHQ}^2 }][eqn: rm=sqrt {6^2 + {barHQ}^2 }]
따라서 [eqn: rm barHQ]가 최대일 때, [eqn: bar{rm C_1 Q}]가 최대가 된다.

[eqn: rm barHQ]가 최대가 되도록 하는 점 [eqn: rm Q]는 직선 [eqn: rm H][eqn: rmC_2] 위에 놓인다.
이때, 최댓값은
[eqn: rm bar{HC_2} + bar{C_2 Q}][eqn: = sqrt { 0^2 +3^2 +(-4)^2} + 3][eqn: =8]

따라서 [eqn: bar{rm C_1 Q}]의 최댓값은
[eqn: rm sqrt {6^2 + {barHQ}^2 }][eqn: =sqrt { 6^2 +8^2}][eqn: =10]
따라서 [eqn: bar{rm PQ}]의 최댓값은

[eqn: rm 4+ bar{C_1 Q}][eqn: =14]

좌표공간에서 구 [eqn: x^2 +y^2 + LEFT (z-1 RIGHT )^2 =5 `]와 [eqn: xy `]평면이 만나서 생기는 도형 위의 점 [eqn: rm P `]와 구 [eqn: LEFT (x-3 RIGHT )^2 + LEFT (y-4 RIGHT )^2 + LEFT (z-4 RIGHT )^2 =1] 위의 점 [eqn: rm Q `]에 대하여 선분 [eqn: RM PQ `]의 길이의 최솟값은?

[정답] ②

[해설]

구 [eqn: x^2 +y^2 +(z-1)^2 =5`]에 [eqn: z=0 `]을 대입하면

[eqn: x^2 +y^2 +(0-1)^2 =5`]

[eqn: x^2 + y^2 = 4]

따라서 구 [eqn: x^2 +y^2 +(z-1)^2 =5`]와 [eqn: xy `]평면이 만나서 생기는 도형은 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: 2`]인 [eqn: xy`]평면 위의 원이다.

구 [eqn: (x-3)^2 +(y-4)^2 +(z-4)^2 =1`]의 중심은 [eqn: rm C( 3, ~ 4, ~ 4) `]

이고 반지름의 길이는 [eqn: 1`]이다.

점 [eqn: rm C`]에서 [eqn: xy`]평면에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H `]라 하면 점 [eqn: rm H `]의 좌표는 [eqn: (3, ~ 4, ~ 0)`]이다.

선분 [eqn: rm OH `]와 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: 2`]인 [eqn: xy`]평면 위의 원이 만나는 점을 [eqn: rm R `]라 하고, 선분 [eqn: rm CR `]와 구 [eqn: (x-3)^2 +(y-4)^2 +(z-4)^2 =1`]이 만나는 점을 [eqn: rm S`]라 하자.

선분 [eqn: rm PC `]와 구 [eqn: (x-3)^2 +(y-4)^2 +(z-4)^2 =1`]이 만나는 점을 [eqn: rm Q prime `]이라 하면

[eqn: rm bar PQ ge bar{ PQ prime} = bar PC -1]	[eqn: cdots] ㉠

한편,

[eqn: rm bar PC = root{ { bar CH}^2 + { bar PH}^2 } ge root{ { bar CH}^2 + { bar RH}^2 }]	[eqn: cdots] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: rm bar PQ ge root{ { bar CH}^2 + { bar RH}^2 }-1]

즉 점 [eqn: rm P `]가 점 [eqn: rm R`]이고 점 [eqn: rm Q`]가 점 [eqn: rm S `]일 때, 선분 [eqn: rm PQ `]의 길이는 최소이다.

이때 [eqn: rm bar OH = root{ 3^2 + 4^2 + 0} = 5], [eqn: rm bar OR = 2 `]이므로 [eqn: rm bar RH = 3]

또 직각삼각형 [eqn: rm CRH `]에서 [eqn: rm bar CH = 4]이므로

[eqn: rm bar CR = root{ { bar CH}^2 + { bar RH}^2 }][eqn: = root{ 4^2 + 3^2 } = 5]

따라서 [eqn: rm bar RS = bar RC - bar SC = 5-1=4 `]이므로 구하는 최솟값은 [eqn: 4`]이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

좌표공간에서 구 [eqn: S: (x-3)^2 +(y-4)^2 + (z-4root3 )^2 = 4]와 [eqn: xy]평면 위의 원 [eqn: C: x^2 +y^2 = 1]이 있다. 원 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rm P]와 구 [eqn: S] 위의 점 [eqn: rm Q]에 대하여 선분 [eqn: rm PQ]의 길이의 최솟값은?

[정답] ③

[해설]

구 [eqn: S]의 중심을 [eqn: rm D]라 하면 [eqn: rm D it (3,``4,``4 sqrt {3} )]이고, 점 [eqn: rm D]에서 [eqn: xy]평면에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면 [eqn: rm H it (3,``4,``0)]이다.

원점 [eqn: rm O]에 대하여 선분 [eqn: rm OH]와 원 [eqn: C]의 교점을 [eqn: rm A]라 하면

[eqn: {rm bar {OH}}][eqn: = sqrt {3 ^{2} +4 ^{2}}][eqn: =5]

[eqn: {rm bar {AH}}][eqn: = {rm bar {OH}}][eqn: - {rm bar {OA}}][eqn: =5-1][eqn: =4]

[eqn: {rm bar {OA}}][eqn: `: {rm bar {AH}}][eqn: =1:4]

점 [eqn: rm A]는 선분 [eqn: rm OH]를 [eqn: 1:4]으로 내분하는 점이므로 [eqn: rm A][eqn: LEFT ( {3} over {1+4},`` {4} over {1+4},``0 RIGHT )][eqn: = rm A it LEFT ( {3} over {5},`` {4} over {5},``0 RIGHT )]

[eqn: {rm bar {DA}}][eqn: = sqrt {LEFT ( 3- {3} over {5} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 4- {4} over {5} RIGHT ) ^{2} +(4 sqrt {3} ) ^{2}}][eqn: =8]

선분 [eqn: rm DA]와 구 [eqn: S]가 만나는 점을 [eqn: rm B]라 하면

점 [eqn: rm Q]가 점 [eqn: rm B], 점 [eqn: rm P]가 점 [eqn: rm A]에 있을 때

선분 [eqn: rm PQ]의 길이는 최소이다.

[eqn: {rm bar {PQ}}][eqn: GEQ {rm bar {AB}}][eqn: = {rm bar {DA}}][eqn: - {rm bar {DB}}][eqn: =8][eqn: -2][eqn: =6]

따라서 선분 [eqn: rm PQ]의 길이의 최솟값은 [eqn: 6]이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[기하] 사관학교 최근10개년(빠른 정답)
유형별한글	2022.12.16

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 11]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 20]

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ②

[정답] [eqn: bold12]

[정답] [eqn: 192]

[정답] ③

[정답] [eqn: 36]

[정답] ③

[정답] ③

[정답] [eqn: 13]

[정답] ④

[정답] [eqn: bold66]

[정답] ②

[정답] ②

[정답] [eqn: bold { 4}]

[정답] ②

[정답] [eqn: bold24]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold40]

[정답] ①

[정답] [eqn: 50]

[정답] [eqn: 40]

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ④

[정답] [eqn: 37]

[정답] [eqn: 37]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] [eqn: bold37]

[정답] ③

[정답] ③

[정답] [eqn: 7]

[정답] [eqn: bold80]

[정답] [eqn: bold180`]

[정답] [eqn: 40]

[정답] [eqn: 160]

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] [eqn: bold{12]

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 450]

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 44]

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] [eqn: LEFT ( -4 , ~ 2 over 3 , ~ 6 RIGHT )]

[정답] [eqn: 15]

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] (1) [eqn: (3,``-3,``3)] (2) [eqn: 6 pi] (3) [eqn: 2 sqrt {3} pi]

[정답] ④

[정답] [eqn: 261]

[정답] [eqn: bold14`]

[정답] ②

[정답] ③

[기하] 사관학교 최근10개년(해설)
유형별한글	2022.12.16