27. 세 변의 길이가 각각 [eqn: bar{AB} =13], [eqn: bar{BC} =21], [eqn: bar{CA} =20]인 삼각형 [eqn: ABC]의 한 변 [eqn: bar{BC}] 위에 한 점 [eqn: P]가 움직이고 있다. 점 [eqn: P]가 점 [eqn: B]로부터 떨어진 거리를 [eqn: x], 점 [eqn: A]로부터 떨어진 거리를 [eqn: y], 삼각형 [eqn: ABP]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라고 하자. 부등식 [eqn: {13} over {2R} + {dy} over {dx} GEQ 0]을 만족시키는 점 [eqn: P]가 존재할 수 있는 선분 [eqn: BC] 위의 구간의 길이는 [eqn: p]이다. [eqn: p]의 값을 구하시오.

[4점]

<풀이>

[eqn: {} ^{1}] 그림을 그리는 프로그램을 찾지 못해서 그림을 못 그렸습니다.

종이에 삼각형을 그리시고 문제 풀이를 보시면 될 것 같습니다.

[eqn: {} ^{2}] 삼각형 [eqn: ABC]에서 변 [eqn: BC]를 밑변으로 두고 문제를 푸시면 그림이 편할 것 같습니다.

삼각형 [eqn: ABP]를 생각하면 [eqn: bar{AB} =13,` bar{BP} =x,` bar{PA} =y]를 만족하기 때문에 각 [eqn: ABP]에 대해 코사인 법칙을 사용하면

[eqn: y ^{2} =13 ^{2} +x ^{2} -2 TIMES 13 TIMES x TIMES cos alpha]입니다. (각 [eqn: ABC]의 크기를 [eqn: alpha]라고 합시다.)

양변을 [eqn: x]에 대해 미분하면 [eqn: 2y {dy} over {dx} =2x-2 TIMES 13cos alpha]이고, 정리하면

[eqn: {dy} over {dx} = {x-13cos alpha } over {y}]입니다.

점 [eqn: A]에서 변 [eqn: BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: H]라고 하고, 점 [eqn: P]가 점 [eqn: H] 보다 왼쪽에 있다고 가정합시다.

[eqn: x-13cos alpha = bar{BP} - bar{BH} =- bar{PH}]이고, [eqn: y= bar{AP}]이므로, [eqn: {dy} over {dx} =- {bar{PH}} over {bar{AP}}]입니다.

따라서 각 [eqn: APC]의 크기를 [eqn: beta]라고 할 때, [eqn: {dy} over {dx} =-cos beta]입니다.

만약에 점 [eqn: P]가 점 [eqn: H]보다 오른쪽에 있다고 가정한다면, [eqn: {dy} over {dx} = {bar{AP}} over {bar{PH}} =-cos beta]으로 결과가 같습니다. [eqn: beta]가 [eqn: {pi} over {2}]보다 더 크기 때문에 [eqn: cos beta]가 음수가 나오기 때문이죠.

그러므로, [eqn: {dy} over {dx} =-cos beta]입니다.

또, 삼각형 [eqn: ABP]에서의 사인 법칙에 의해 [eqn: R= {bar{AB}} over {2sin(pi- beta )} = {bar{AB}} over {2sin beta }]입니다.

그러므로, [eqn: 2Rsin beta = bar{AB} =13]이고, [eqn: sin beta = {13} over {2R}]을 만족하게 됩니다.

결국 문제에서 만족시키고자하는 부등식 [eqn: {13} over {2R} + {dy} over {dx} GEQ 0]은 [eqn: sin beta -cos beta GEQ 0]와 같은 부등식입니다.

그러므로, 부등식의 영역으로 생각하면 [eqn: {pi} over {4} LEQ beta LEQ {5pi} over {4}]을 만족해야합니다.

즉, 점 [eqn: P]는 선분 [eqn: BC]위를 움직일 때 [eqn: ANGLE APC= beta]가 위 조건을 만족시키면서 움직이면 됩니다.

이제 점 [eqn: H]의 위치를 정확하게 파악해봅시다.

[eqn: bar{BH} =x], [eqn: bar{CH} =21-x]이므로 피타고라스의 정리에 의해

[eqn: 13 ^{2} -x ^{2} =20 ^{2} -(21-x) ^{2}], [eqn: 13 ^{2} -x ^{2} =20 ^{2} -21 ^{2} +42x-x ^{2}], [eqn: 13 ^{2} =-41+42x], [eqn: x= {169+41} over {42} =5]입니다.

즉, 삼각형 [eqn: ABC]는 세 변의 길이가 [eqn: (5,`12,`13)]인 삼각형 [eqn: ABH]와 세 변의 길이가 [eqn: (12,`16,`20)]인 삼각형 [eqn: AHC]가 변 [eqn: AC]를 공유하면서 맞댄 삼각형입니다.

이제 [eqn: beta]를 마지막으로 따져주면, 점 [eqn: P]가 점 [eqn: B]와 [eqn: H]에 존재할 경우에는

[eqn: beta = ANGLE APC GEQ ANGLE ABC GEQ {pi} over {4}]이므로, 항상 존재할 수 있습니다.

그러나 점 [eqn: P]가 [eqn: H]와 [eqn: C]사이에 있을 때는 [eqn: bar{HP _{1}} =12]를 만족시키는 점 [eqn: P _{1}]을 기준으로 존재할 수 있고 없고가 갈립니다.

[eqn: ANGLE AP _{1} C= {3pi} over {4}]이기 때문이죠. 따라서 점 [eqn: P]가 존재할 수 있는 구간은

점 [eqn: B]부터 점 [eqn: P _{1}] 사이의 구간입니다. 따라서 길이는 [eqn: 5+12=17]이고,

[eqn: THEREFORE p=17]입니다.