<외적 이용하기 in 수능/논술/심층면접>

외적의 성질

[eqn: ->] 두 벡터를 외적하면 두 각각의 기존에 존재하는 벡터와 서로 수직한 벡터가 등장한다.

즉 벡터의 외적은 벡터라는 뜻이다. 이는 내적과 구분되어야 하는데, 두 벡터를 내적하면 항상 스칼라가 나오기 때문이다.

그렇다면, 외적결과가 결국 벡터라면 그 벡터에 대해 논의할 필요가 있다. 그렇다면 벡터의 성분은 무엇인가? 바로, 시점 / 크기 / 방향 이 아닌가?

1. 시점: 그냥 원점 [eqn: O LEFT ( 0,0,0 RIGHT )]으로 우리 임의로 정한다

2. 크기 및 방향: 다음 방법을 따라 한다

만약 벡터[eqn: LEFT ( a,b,c RIGHT )]와 [eqn: LEFT ( d,e,f RIGHT )]를 외적한다고 하면 그 결과는 다음과 같이 구할 수 있다.

	step1. 왼쪽 그림과 같이 표를 쓴다. 이때 [eqn: i,j,k]는 각각 물리에서 쓰는 [eqn: x,y,z]방향의 단위벡터를 의미한다. 굳이 이해할 필요는 없다. 방법만 알아두자

step2. 다음 3가지 계산을 수행한다. 첫 번째 과정에서는 저 빨간 두 선을 그어 주고, (그럼 4개가 남겠죠) 저렇게 크로스로 곱해(파랑색) [eqn: ce-bf]를 값으로 취한다. (사실 이는, 행렬의 행렬식 determinent와 연관되는 내용이지만 어차피 과정은 몰라도 될 것이다.) 두 번째에서도 마찬가지로 [eqn: cd-af]를 취하려고 했으나... 두 번째에서는 –1을 곱해야 한다. 세 번째에서는 첫 번째 과정과 마찬가지로 [eqn: bd-ae]를 취한다.

step3. 그러면 결국 ([eqn: ce-bf],[eqn: LEFT ( -1 RIGHT ) times][eqn: cd-af],[eqn: bd-ae])가 외적의 결과이다.

예시: (1,2,3)과 (2,5,7)을 외적하자

풀이: [eqn: {dmatrix{i&j&k#1&2&3#2&5&7}}]에서 [eqn: LEFT ( 14-15,(-1)(7-6),5-4 RIGHT )]인 즉 [eqn: LEFT ( 1,-1,1 RIGHT )]이 외적의 결과이다.

그러면 결국 이 외적한 결과는 기존 두 벡터(1,2,3)과 (2,5,7)와 각각 서로 수직하다.

외적이 아니면 이 과정은 어떻게 구하는가? 내적으로 구해야 한다. 어떻게?

바로, 그 수직인 어떤 벡터를 [eqn: LEFT ( a,b,1 RIGHT )]라고 두고 ([eqn: LEFT ( a,b,c RIGHT )]로 두면 미지수를 다 구할 수 없기 때문에 [eqn: c]를 1로 고정시킨 것임. 어차피 모든 벡터는 적절한 값을 곱하고 나누어 [eqn: c]의 값을 1로 만들 수 있기에.)

[eqn: LEFT ( a,b,1 RIGHT )]과 [eqn: LEFT ( 1,2,3 RIGHT )]을 내적한 값이 0

[eqn: LEFT ( a,b,1 RIGHT )]과 [eqn: LEFT ( 2,5,7 RIGHT )]을 내적한 값이 0

이렇게 해서 미지수를 구해낼 것이다. 외적이 익숙해 지면 외적이 훨씬 빠르고 간단해진다.

활용예시

0. 두 주어진 벡터와 각각 수직인 새로운 벡터를 구해낼 수 있다.

넓이

벡터 [eqn: {vec{OA}} =][eqn: LEFT ( a,b,c RIGHT )]와 [eqn: {vec{OB}} =][eqn: LEFT ( d,e,f RIGHT )]로 이루어진 두 벡터를 다음과 같이 뒀을 때

		이때 [eqn: {1} over {2} | {vec{OA}} TIMES {vec{OB}} |]가 바로 저 삼각형 [eqn: TRIANGLE OAB]의 넓이가 된다. 증명: [eqn: | {vec{OA}} TIMES {vec{OB}} |=| {vec{OA}} || {vec{OB}} |sin`theta]이기 때문임.

2.두 공간직선 사이의 거리를 쉽게 구할 수 있다

두 직선이 있다고 해 보자

	평행하지 않은 두 직선[eqn: l _{1}]과 [eqn: l _{2}]를 셋팅한다. 이때 [eqn: l _{1}]의 방향벡터는 [eqn: d _{1} = LEFT ( a,b,c RIGHT )]이고 [eqn: l _{2}]의 방향벡터는 [eqn: d _{2} = LEFT ( d,e,f RIGHT )]이다.

이때 다음 상황을 설정해 준다.

	바로 평행한 어떤 두 평면위에 각각의 직선 [eqn: l _{1}]과 [eqn: l _{2}] 두 직선이 모두 포함되도록 하는 것이다. 왼쪽 그림처럼 말이다. 그런데 이런 상황이 가능한가?

		가능하다. 바로 왼쪽 결과처럼 잡아 주면 되기 때문이다. 첫 번째 그림의 파랑직선은 두 직선과 모두 수직한 선이다. 이때 저 파랑 직선을 법선벡터로 하는 두 개 평면을 그리면 된다.

자 그러면 이제 다음 상황을 다시 보자 그리고 이때 저 평면의 크기 1인 법선 벡터[eqn: {vec{n}}]을 잡는다

	우리가 구해야 할 부분의 길이는 지금 저 파랑 선분의 길이임을 숙지하자. 그리고 지금 [eqn: A,B]와 선분 [eqn: {bar{AB}}]는 그냥 아무 선분이다. [eqn: A]는 [eqn: l _{1}]위의 아무 점이고 [eqn: B]는 [eqn: l _{2}]위의 아무 점이다. 그때 [eqn: {vec{AB}} BULLET {vec{n}}]은 무엇인가? 내적의 정의를 떠올려라. 바로 [eqn: {vec{n}}]을 기준으로 한 그 벡터에 [eqn: {vec{AB}}]를 내린 것 아닌가?

그러면 결국 저 파랑 선분으 길이는 [eqn: | {vec{AB}} BULLET {vec{n}} |]이다. 이게 끝이다.

[eqn: {vec{n}}]은 외적으로 구하면 된다. 왜냐면 [eqn: {vec{n}}]은 [eqn: d _{1}]과 [eqn: d _{2}]각각과 수직하기에.

예제

[eqn: {x-2} over {2} = {y-1} over {3} = {z-4} over {4}]와 [eqn: {x+1} over {1} = {y-2} over {-2} = {x-3} over {3}]의 최단 거리 구하기

[eqn: {vec{n}}]을 구하기 위해 외적을 이용한다. 즉 [eqn: LEFT ( 2,3,4 RIGHT )]와 [eqn: LEFT ( 1,-2,3 RIGHT )]을 외적한다.

[eqn: {dmatrix{i&j&k#2&3&4#1&-2&3}}]에서 [eqn: LEFT ( 17,-2,-7 RIGHT )]이 나온다.우리는 단위벡터가 필요하므로

[eqn: {vec{n}}][eqn: = {1} over {sqrt {289+4+49}} LEFT ( 17,-2,-7 RIGHT )]이다.

2. 아무 [eqn: A,B]를 잡자. 걍 나는 잡기쉬운 [eqn: A LEFT ( 2,1,4 RIGHT )]와 [eqn: B LEFT ( -1,2,3 RIGHT )]을 잡겠다.

그러면 [eqn: {vec{AB}} = LEFT ( -3,1,-1 RIGHT )]이 나온다

3. 결국 답은 [eqn: | {vec{AB}} BULLET {vec{n}} |]이니 [eqn: {1} over {sqrt {289+4+49}} LEFT ( 17,-2,-7 RIGHT ) BULLET][eqn: LEFT ( -3,1,-1 RIGHT )]

[eqn: =][eqn: {1} over {sqrt {289+4+49}} LEFT ( -51-2+7 RIGHT )][eqn: = {1} over {sqrt {289+4+49}} (-46)]이다.

그럼 이것의 절댓값은 [eqn: {46} over {sqrt {289+4+49}}]이고 이게 답이다

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3. 직선과 점과의 거리를 쉽게 구할 수 있다

직선과 점을 설정한다

	직선 [eqn: l]와 [eqn: P]를 설정한다. 이때 직선의 방향벡터는 [eqn: d]이다.

	왼쪽과 같은 설정을 도입한다. [eqn: A]는 직선 위의 아무 점이고 나의 목적은 여기서 벡터[eqn: PA]와 벡터[eqn: d]로 이루어진 평행사변형을 만드는 것이다. 그럼이제 두가지 방법으로 저 평행사변형의 넓이를 구해 보자.

넓이는 [eqn: x]곱하기 [eqn: | {vec{d}} |]

외적을 이용하면 저 넓이는 [eqn: | {vec{d}} times {vec{AP}} |]

따라서 [eqn: | {vec{d}} times {vec{AP}} |][eqn: =x| {vec{d}} |]에서 결국 우리가 구하고자 하는 [eqn: x]는 [eqn: x= {| {vec{d}} times {vec{AP}} |} over {| {vec{d}} |}]이다.

예제: [eqn: P LEFT ( 1,1,1 RIGHT )]이 있고 [eqn: Q LEFT ( 0,6,8 RIGHT )]과 [eqn: R LEFT ( -1,4,7 RIGHT )]이 있다. 이때 직선 [eqn: QR]과 [eqn: P]와의 최단 거리는?

풀이: 먼저 방향벡터를 구한다 방향벡터는 [eqn: {vec{d}} = {vec{QR}} = LEFT ( -1,-2,-1 RIGHT )]이다 그럼 [eqn: | {vec{d}} |= sqrt {6}].

[eqn: A]를 대충 주어진 점 [eqn: Q]인[eqn: LEFT ( 0,6,8 RIGHT )]로 잡자. 그럼 [eqn: {vec{AP}}]는 [eqn: LEFT ( 1,-5,-7 RIGHT )]이다

그럼 [eqn: {vec{AP}}]와 [eqn: {vec{d}}]를 외적한 것의 절댓값을 구해야 한다

[eqn: {dmatrix{i&j&k#1&2&1#1&-5&-7}}]에서 [eqn: LEFT ( -9,8,-7 RIGHT )]이 된다. 이것의 크기는 [eqn: sqrt {81+64+49} = sqrt {194}]

답은 [eqn: {sqrt {194}} over {sqrt {6}} = {sqrt {97}} over {sqrt {3}}]이다.