10번.

함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: f(x)= {1} over {2} x(1+e ^{2-2x} )]라 두고 있다. 참고로 이 그래프의 개형은 다음과 같다.

이렇게 두고 생각해 볼 때 [eqn: a _{n+1} = {1} over {2} a _{n} (1+e ^{2-2a _{n}} )]이라는 수열이 있다고 하면, 초기값에 따라서 어디로 수렴하는지 그림을 통해(거미줄 도형) 쉽게 짐작이 가능할 것이라고 생각한다.

(1). [eqn: x> {1} over {2}]이면 [eqn: 0<=f``'(x)< {1} over {2}]가 되는 것을 보여라

뜬금없이 왜 도함수의 범위를 구하라고 하는지 생각하면 안된다. 수능수학이든 심층수학이든 논술 수학이든 공통적으로 어려운 문제를 풀어 나가는 방법은, ‘생각의 필연성’ 이다. 문제를 풀 때 뜬금없이 왜 이 풀이가 나왔는가? 이렇게 생각하지 않고 문제에서 어떠한 힌트나, 혹은 문제에서 나와있는 여러 가지 상황을 먼저 보고, 어떻게 풀어야 하는지 차례대로 ‘유추’ 할 수 있는 능력이 필요한 것이다. 만약 이러한 과정을 잘 해낼 수 있다면, 어려운 문제를 단계별로 잘 쪼개서 각각을 점짐적으로 해결해 나갈 수 있을것이라고 생각된다.

이 문제는 그러면 왜 도함수의 범위를 물어보는가? 우리는 이미 교재의 본문에서 이런 내용을 공부했다. 수열이 수렴하는 것을 증명하기 위한 대표적인 두가지 방법이 샌드위치정리와 평균값정리라는 것을 말이다. 그리고 평균값 정리를 사용하려면 당연히 도함수가 나올테고, 그리고 그 범위를 알아내려면 도함수의 범위를 알아야 하지 않겠는가? 따라서 만약에 이 문제에서, (1)번 문제가 아예 없고 바로 (2)번 문제가 나온다고 하더라도 우리는 이 문제를 논리적 필연성을 가지고 해결 할 수 있어야 한다.

[eqn: f(x)= {1} over {2} x(1+e ^{2-2x} )]에서

[eqn: f`` prime (x)= {1} over {2} (1+e ^{2-2x} )-x(e ^{2-x} )][eqn: = {1} over {2} LEFT ( 1+e ^{2-2x} LEFT ( 1-2x RIGHT ) RIGHT )]이다.

우리가 지금 볼 상황은 [eqn: x> {1} over {2}]에서니까 이 범위에서만 이 도함수를 살펴보자.

우리는 지금 [eqn: f``'(x)]의 범위가 필요하므로 새로운 함수 [eqn: g(x)=1+e ^{2-2x} (1-2x)]를 잡자. 그리고 미분하면

[eqn: g`` prime (x)=e ^{2-2x} (4x-4)]가 되고 이것은 [eqn: x=1]에서 극소일 것이다.

그리고 [eqn: g(1)=1-1=0]이므로 어렵지 않게 [eqn: g(x)>=0]임을 확인할 수 있다.

그러면 [eqn: f``'(x)= {1} over {2} g(x)][eqn: >=0]이 성립한다.

그다음 [eqn: x> {1} over {2}]에서 [eqn: 1-2x<0]이므로

[eqn: g(x)=1+e ^{2-2x} (1-2x)]에서 [eqn: g(x)<1]이다.

그러므로 [eqn: f``'(x)= {1} over {2} g(x)][eqn: < {1} over {2}]라고 할 수 있다.

따라서 지금까지의 논의를 합치면 [eqn: 0<=f``'(x)< {1} over {2}]을 증명할 수 있다.

(2) [eqn: x _{0}]가 양수일 때 수열 {[eqn: x _{n}]}[eqn: (n=0,1,2...)]을 [eqn: x _{n+1} =f(x _{n} )]으로 정하자. 이때 [eqn: x _{0} > {1} over {2}]이면 [eqn: lim _{n->inf} {x _{n} =1}]이 됨을 보여라.

일단 수렴값을 1이라고 고맙게도 알려주고 있다.

그렇다면 우리가 할 일은, [eqn: |x _{n} -1|]에 대하여 샌드위치 정리를 써야 한다는 것이다. 그렇기에 다음 식이 성립한다. (평균값 정리를 사용하였다: 미분가능하고 연속이나 사용가능)

[eqn: |x _{n+1} -1|][eqn: =|f(x _{n} )-f(1)|=|x _{n} -1||f``'(c)|]

인 [eqn: c]가 [eqn: 1]과 [eqn: x _{n}]사이에 존재한다.

※ 엄밀성을 더한다면 [eqn: x _{n} =1]일때와 [eqn: x _{n} !=][eqn: 1]으로 나누어 생각해야 한다. [eqn: x _{n} !=][eqn: 1]이어야 정상적으로 평균값 정리가 사용 가능하다([eqn: 1]과 [eqn: x _{n}]사이에 [eqn: c]가 있기 때문이다) 근데 만약 [eqn: x _{n} =1]이라면 [eqn: x _{n+1}]도 [eqn: 1]이고, 귀납적으로 모든 그 이후의 [eqn: k]에 대해 [eqn: x _{k}]가 [eqn: 1]이 된다. 따라서 결국 [eqn: lim _{n->inf} {x _{n} =1}]이라고 할 수 있다.

그런데 (1)에서 [eqn: 0<=f``'(x)< {1} over {2}]이니까

[eqn: |x _{n+1} -1|][eqn: < {1} over {2} |x _{n} -1|]이 성립한다. 이것을 망원급수처럼 곱해주면 결국 [eqn: 0<=][eqn: |x _{n} -1|< LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} |x _{n-1} -1|]

이라는 식이 나온다. 그리고 [eqn: lim _{n->inf} {}][eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} |x _{n-1} -1|]는 0이므로 샌드위치 정리에 의해 [eqn: lim _{n->inf} {|x _{n} -1|}]은 0이다.

따라서 [eqn: lim _{n->inf} {x _{n} -1=0}]이고 [eqn: lim _{n->inf} {x _{n} =1}]이 성립한다.

※ [eqn: lim _{n->inf} {|a _{n} |=0}]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} =0}]인 것을 어떻게 증명하는가? 그것은, 바로 샌드위치 정리를 이용하는 것이다

[eqn: -|a _{n} |<=a _{n} <=|a _{n} |]이 성립하니까 말이다.

11번.

[eqn: f(x)= {1} over {1+e ^{-x}}]이라고 한다. 참고로 이 그래프를 그려보면 다음과 같다.

(1). 도함수 [eqn: f``'(x)]의 최댓값을 구하시오

역시 도함수의 범위를 묻는다.

[eqn: f``'(x)= {e ^{-x}} over {(1+e ^{-x} ) ^{2}}]가 성립하고, 이때 [eqn: e ^{-x} =t]로 치환하면 이 식은 [eqn: {t} over {LEFT ( 1+t RIGHT ) ^{2}} (t>0)]이 된다. 이것은 쉽게 그래프로 그릴 수 있다

이고, 뭐 정확한 값은 미분하여 극댓값을 알아내면 된

다. [eqn: g(t)=][eqn: {t} over {LEFT ( 1+t RIGHT ) ^{2}} (t>0)]에서 미분하면 [eqn: g``'(t)]는

[eqn: {1-t} over {(t+1) ^{3}}]이므로  [eqn: t=1]시 극대이다. 따라서 그때의 값 [eqn: g(1)= {1} over {4}]이므로 [eqn: f``'(x)<= {1} over {4}]라고 할 수 있다.

(2). 방정식 [eqn: f(x)-x=0]은 1개의 실수해만 가짐을 증명하시오

1번에서의 결과를 이용하는 것이 제일 이상적일 것이다.  [eqn: g(t)=][eqn: {t} over {LEFT ( 1+t RIGHT ) ^{2}} (t>0)]인데 이것은 범위 내에서 양수이므로 결국 [eqn: f``'(x)>0]이다. 따라서 [eqn: f(x)]는 증가함수 인 것이다.

그리고 [eqn: f(1)= {1} over {1+ {1} over {e}} <1]이 성립하고, [eqn: f(0)= {1} over {2} >0]

이므로 사잇값 정리에 의해서 [eqn: f(x)-x]는 0과 1사이에 근이 무조건 하나 존재한다.

※ 엄밀하게는 사잇값 정리를 쓸 수 있는 조건을 써 주어야 한다. 그 조건이란 연속이면 되는 것인데, 이 문제에서 성립한다.

그리고 근이 만약 두 개 존재한다면? 그러면 [eqn: F(x)=f(x)-x]라고 둘 때 [eqn: F(alpha)=F(beta)]라는 것인데, 그렇다면 롤정리로 인해서 [eqn: F``'(c)=0]인 [eqn: c]가 [eqn: alpha]와 [eqn: beta] 사이에 존재한다.

※ 역시 롤 정리를 사용할 조건을 언급하는 것이 좋다 여기에서는 [eqn: F(x)=f(x)-x]가 개구간에서 미분가능하고 폐구간에서 연속이니 사용 가능하다

[eqn: F``'(c)=0]를 풀면, [eqn: f``'(c)=1]인데 (1)번에서 우리는 [eqn: f``'(c)<= {1} over {4}]라는 결과를 얻어냈으므로 모순이다.

따라서 근은 무조건 한 개만 존재해야 한다.

(3). (2)번의 해를 [eqn: alpha]라고 하자. 이때 점화식 [eqn: a _{n+1} =f(a _{n} )]([eqn: n=1,2,3...])이라고 주어져 있을 때 [eqn: lim _{n->inf} {a _{n}}]을 구하라

수렴할 것으로 예상되는 점을 먼저 찾아야 한다. 즉 [eqn: f(x)=x]의 해가 수렴할 것으로 예상되는 지점인데, 마침 그 근을 문제에서 [eqn: alpha]라고 주고 있다. 따라서 다음 식을 꾸릴 수 있다. (평균값 정리 이용함)

[eqn: |a _{n+1} -alpha|=|f(a _{n} )-f(alpha)|=|f``'(d)||a _{n} -alpha|]

인 [eqn: d]가 [eqn: a _{n}]과 [eqn: alpha]사이에서 존재한다. 그런데

[eqn: f`` prime (x) <= {1} over {4}]이므로 [eqn: |a _{n+1} - alpha |<= {1} over {4} |a _{n} - alpha |]가 성립하고 망원급수처럼 생각해 주면 [eqn: |a _{n} -alpha|<= LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n-1} |a _{1} -alpha|]

이고 [eqn: lim _{n->inf} {}][eqn: LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n-1} |a _{1} - alpha |][eqn: =0]이므로 샌드위치에 의해

[eqn: lim _{n->inf} {}][eqn: |a _{n} - alpha |][eqn: =0~]이 성립하므로, 역시 [eqn: lim _{n->inf} {}][eqn: a _{n} - alpha][eqn: =0]

이 성립한다. 따라서 [eqn: lim _{n->inf} {a _{n}} =alpha]가 증명된다.

12번.

[eqn: x _{1} =a,][eqn: x _{n+1} = {1} over {2} x _{n} +x _{n} ^{b}]([eqn: a,b>0])인 수열 {[eqn: x _{n}]}이 있다고 문제에서 설정하고 있다. 여기서 까다로운점은 [eqn: x _{n+1} = {1} over {2} x _{n} +x _{n} ^{b}]으로, [eqn: f(x _{n} )=x _{n+1}] 과 [eqn: f(x)= {1} over {2} x+x ^{b}]라고 뒀을 때 [eqn: f(x)]의 그래프 개형이 [eqn: b]의 범위에 따라서 달라질 수 있다는 것이다. 그래프의 개형이 달라지면, PICARD 거미줄 도형에 미루어 생각해 볼 때 수렴값의 종류, 그리고 개수도 역시 달라질 확률이 높기에 어려운 상황인 것이다.

그리로 [eqn: a>0,`b>0]에서 모든 [eqn: x _{n}]이 어차피 양수일 것이므로 [eqn: x>=0]인 상황에서 생각하면 된다.

(1) [eqn: a]에 따라서 수열 {[eqn: x _{n}]}의 극한값이 2개 이상 존재할 수 있는 [eqn: b]의 범위를 구하시오

위의 논의에서 살펴보았듯이, 먼저 함수 [eqn: f(x)], 즉

[eqn: f(x)= {1} over {2} x+x ^{b}]의 개형을 알아볼 필요가 있다는 것을 알 수 있었다. 따라서 이 그래프의 개형을 알아보기 위해 미분과 두 번 미분을 하면 다음과 같다.

[eqn: f``'(x)= {1} over {2} +bx ^{b-1}], [eqn: f``''(x)=b(b-1)x ^{b-2}],  [eqn: f(0)=0]

도함수보단 이계 미분함수가 상수항이 없어 다루기가 쉬우니, 이계 도함수를 살펴 보도록 한다.

[eqn: f``''(x)=b(b-1)x ^{b-2}]에서 [eqn: 0<b<1]이면 이계미분의 범위가 [eqn: x>0]에서 음수이니 위로 볼록이다. 반대로 [eqn: b>1]이면 그래프가 아래로 볼록이고 또 [eqn: b=1]이면 [eqn: f(x)= {3} over {2} x]의 일차함수가 된다. 따라서 경우를 세가지로 나누어 생각해야 한다는 것을 추론할 수 있다.

ⅰ. [eqn: 0<b<1]

[eqn: f``''(x)=b(b-1)x ^{b-2}]에서 [eqn: 0<b<1]이면 이계미분의 범위가 [eqn: x>0]에서 음수이니 위로 볼록이다. 그리고 [eqn: f(0)=0]이 주어져 있고, 또 [eqn: f``'(x)= {1} over {2} +bx ^{b-1}]에서 [eqn: lim _{x->0+} {f``'(x)=inf}]이므로 그래프의 개형을 추론하면 다음과 같다.

그러면 [eqn: x _{1} =a]이라는 초기값이 주어져 있을 때 수렴값이 어떻게 되는지 거미줄 도형을 이용해서 생각해 볼 수 있다.

그리고 [eqn: y=x]와 함수 [eqn: f(x)]의 교점에 해당하는 [eqn: x]좌표는 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {b-1}}]이다. 이제 초기값의 범위를 나누어 보면

① [eqn: 0<a<][eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {b-1}}]

거미줄 도형에 의해 [eqn: y=x]와 함수 [eqn: f(x)]의 교점으로 수렴해 간다

② [eqn: a>][eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {b-1}}]

[eqn: y=x]와 함수 [eqn: f(x)]의 교점으로 수렴해 간다

③ [eqn: a=][eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {b-1}}]

[eqn: y=x]와 함수 [eqn: f(x)]의 교점으로 수열의 값이 일정하므로 결국 그 교점으로 수렴값이 정해진다

따라서 이 경우에는, 모두 한 점으로 수렴해 간다는 사실을 알 수 있다

ⅱ. [eqn: b>1]

[eqn: f``''(x)=b(b-1)x ^{b-2}]에서 [eqn: b>1]이면 이계미분의 범위가 [eqn: x>0]에서 양수이니 아래로 볼록이다. 그리고 [eqn: f(0)=0]이 주어져 있고, 또 [eqn: f``'(x)= {1} over {2} +bx ^{b-1}]에서 [eqn: 0]이므로 그래프의 개형을 추론하면 다음과 같다.

그러면 [eqn: x _{1} =a]이라는 초기값이 주어져 있을 때 수렴값이 어떻게 되는지 거미줄 도형을 이용해서 생각해 볼 수 있다.

그리고 [eqn: y=x]와 함수 [eqn: f(x)]의 교점에 해당하는 [eqn: x]좌표는 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {b-1}}]이다. 이제 초기값의 범위를 나누어 보면

① [eqn: 0<a<][eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {b-1}}]

거미줄 도형에 의해 원점으로 수렴해 간다

② [eqn: a>][eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {b-1}}]

발산한다

③ [eqn: a=][eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {b-1}}]

[eqn: y=x]와 함수 [eqn: f(x)]의 교점으로 수열의 값이 일정하므로 결국 그 교점으로 수렴값이 정해진다

지금 이 경우를 보면, ①번 경우와 ③번경우의 수렴값이 다르고, 두 개라는 것을 알 수 있다.

※두 수렴값이 같을 수 있을까? 만약 같다면 0[eqn: =][eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {b-1}}]이라는 소리이므로 불가능하다.

ⅲ. [eqn: b=1]

[eqn: f(x)= {3} over {2} x]이고 그냥 생각해 보면 [eqn: x _{n+1} = {3} over {2} x _{n}]에서 [eqn: x _{n} = LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{n-1} a]으므로 [eqn: a>0]에서 [eqn: lim _{n->inf} {x _{n}}]은 발산한다.

따라서 우l의 세가지 경우를 모두 살펴볼 때 문제에서 말하는, 수렴값이 두 개가 가능한 지점은 [eqn: b>1] 라는 것을 알 수 있다.

(2) [eqn: 0<a< {1} over {2}]이고 [eqn: b=2]일 때, 수열 {[eqn: x _{n}]}의 극한값이 0이 됨을 설명하고, 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} x _{n}]은 수렴함을 보이시오. (HINT: 어떤 수열이 증가, 또는 감소수열이면서 그 범위가 한정되어져 있다면 이 수열은 수렴한다)

[eqn: b=2]이므로 (1)에서 구한 [eqn: b>1]의 범위에 해당한다. 그리고 이때 [eqn: f(x)= {1} over {2} x+x ^{2}]이고, 이 그래프가 [eqn: y=x]와 만나는 점을 구해보면 [eqn: {1} over {2} , {1} over {2}]이라는 사실을 알 수 있다. 그렇다면 이미 우리는 거미줄 도형을 통해 극한값이 0으로 감을 추정한 바 있다.

그러나 이는 엄밀한 증명이라고 하기에는 좀 부족함이 있다. 엄밀한 증명을 위해서는 대수적으로, 모든 상황을 고려해 식으로 풀어가는 것이 좋다.

문제에서 (HINT: 어떤 수열이 증가, 또는 감소수열이면서 그 범위가 한정되어져 있다면 이 수열은 수렴한다) 라는 힌틀를 주었는데 이는 단조수렴정리(MST) 라는 것을 우리는 알고 있다. 그래서 아마 이것을 이용해서 증명을 해야 할 것이다.

※ 본문에서 단조수렴정리를 사용할 때에는 다음 두가지를 보여야 한다고 설명했다.

ⅰ. 감소 혹은 증가 (단조성)

ⅱ. 유계 (상한과 하한 존재)

그렇다면 이제 문제의 수열이 이 성질을 만족하는지 살펴 보자.

ⅰ. [eqn: x _{n}]은 감소수열인가 (거미줄 도형을 통해 감소함을 유추 가능)

[eqn: x _{n+1} = {1} over {2} x _{n} +x _{n} ^{2} <x _{n}]이면 된다는 것인데 이것은

[eqn: x _{n} < {1} over {2}]와 동치이다.

그렇다면 이제 귀납적으로 생각을 해 볼 수 있다.

[eqn: 0<x _{1} =a< {1} over {2}]이므로 위의 논리에 의해서 [eqn: x _{2} <x _{1}]이

성립한다. 따라서 [eqn: x _{2} < {1} over {2}]이다.

이것을 반복하면 결국 [eqn: x _{n} < {1} over {2}], [eqn: x _{n+1} <x _{n}]이 성립하여 결국 감소함수라고 할 수 있다.

※엄밀하게 서술하려면 [eqn: n=1,`n=k,`n=k+1]일때를 순차적으로 나누어 서술하면 되겠다.

ⅱ. 수열 [eqn: x _{n}]이 아래로 막혀 있는가

이 역시 수학적 귀납법을 이용한다. [eqn: 0<x _{1} =a< {1} over {2}]이므로 일단 [eqn: x _{1}]은 양수이다.

그렇다면 이제 [eqn: x _{k}]가 양수라고 가정한다. 그러면

[eqn: x _{n+1} = {1} over {2} x _{n} +x _{n} ^{2}]에서 [eqn: x _{k+1} = {1} over {2} x _{k} +x _{k} ^{2}]가 성립하므로 [eqn: x _{k} >0]이면 [eqn: x _{k+1} >0]이 성립한다. 따라서 귀납적으로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x _{n} >0]이라고 할 수 있다. 따라서 수열 [eqn: x _{n}]은 아래로, 즉 0이라는 값에 막혀 있다고 할 수 있다.

위의 논의들로 인해서 드디어 우리는 수열 {[eqn: x _{n}]}이 수렴한다는 것을 증명할 수 있었다. 그러나, 추가적으로

무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} x _{n}]가 수렴함을 보이라는 문제가 존재한다. 이것은 다음과 같은 식 조작을 가하면 된다.

[eqn: x _{n+1} = {1} over {2} x _{n} +x _{n} ^{2}][eqn: =x _{n} ( {1} over {2} +x _{n} )][eqn: <=x _{n} (a+ {1} over {2} )]

여기서 [eqn: a+ {1} over {2}]를 상수 [eqn: k]라고 치환하겠다.

그렇게 된다면 [eqn: x _{n+1} <=kx _{n}]이 성립하고 결국

[eqn: x _{n+1} <= LEFT ( k RIGHT ) ^{n} x _{1}]이 성립하고 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} k ^{n} x _{1}]가 수렴하므로  비교판정법* 에 의해 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} x _{n}]은 수렴하게 된다.

※여기서 비교 판정법은 엄밀히 말하면 교과 과정은 아니나, 추론이 가능하다.	교재의 본문에서도 비교판정을 비롯한 여러 가지 판정법에 대하여 서술해 놓은 부분이 있으니 참고하도록 하자.

(3) [eqn: 0<b<1]일 때, 수열 {[eqn: x _{n}]}이 수렴한다면 그 극한값은 0이 아님을 보이시오

아래의 상황에서 수열 {[eqn: x _{n}]}의 수렴값을 묻는 문제이다. 일단 우리는 이미, 거미줄 도형을 통해 어디로 수렴하는지 알고 있으며 ([eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {b-1}}],[eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {b-1}}]) 그것이 원점이 아니라는 사실도 알고 있기에 0으로는 수렴하지 않는 다는 것을 이미 알고 있다.

하지만 우리는 이제 이 사실을, 대수적으로 표현하여 좀 더 엄밀한 증명을 해야 할 것이다.

범위를 나누어 증명하자. 먼저 만약 [eqn: a=][eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {b-1}}]면, 어차피 모든 수열의 값이 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {b-1}}]일 테니깐 이값은 0이 아니니 보였다.

그다음 [eqn: a>][eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {b-1}}]이면 어떻게 되는가? 지금 우리가 보여야 할 것은 [eqn: x _{n}][eqn: >][eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {b-1}}]이면 충분하다. 이를 보이기 위해 수학적 귀납법을 이용한다

① [eqn: x _{1}][eqn: >][eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {b-1}}]인가

[eqn: a>][eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {b-1}}]이니 성립

② [eqn: x _{k} >][eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {b-1}}]가정

③ [eqn: x _{k+1} = {1} over {2} x _{k} +x _{k} ^{b} > LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{b} over {b-1}} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{b} over {b-1}} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {b-1}}]

이 성립하므로 성립

그러므로 수열은 0으로 갈 수 없다.

이제 [eqn: 0<a<][eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {b-1}}]일 때 0으로 가지 않음을 보여야 하는데, 이때는 수열이 증가수열임을 보이면 된다.

즉 [eqn: x _{k+1} = {1} over {2} x _{k} +x _{k} ^{b}][eqn: >x _{k}]임을 보여야 하는데, 이를 풀면 [eqn: 0<][eqn: x _{k} <][eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {b-1}}]면 된다는 결과가 나온다. 그런데 귀납적으로 생각해 보면 일단 [eqn: k=1]일 때 [eqn: a=x _{1}]이니 [eqn: 0<a<][eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {b-1}}]이니 성립하고, 그러면

[eqn: 0<][eqn: x _{2} <][eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {b-1}}]가 성립한다. 따라서 이렇게 정리하면  [eqn: 0<][eqn: x _{k} <][eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {b-1}}]라는 결과가 나오니

[eqn: x _{k+1} = {1} over {2} x _{k} +x _{k} ^{b}][eqn: >x _{k}]가 성립하고, 결과적으로 수열은 증가하기에 0으로 갈 수 없다는 것이다.