확통의 끝

I. 경우의 수와 확률

1. 문제 상황 관찰 : 실제 예를 들어서 관찰

2. 1을 바탕으로 분류

※ 분류의 종류

[eqn: {cases{미시&:`구해야`하는`문제상황`자체를`분류#거시&:`한걸음`물러서서`전체`사건의`차원에서`분류(여사건)}}]

※ 좋은 분류

① 분류의 기준은 핵심 변수

(핵심 변수 : 문제를 3~5개의 경우의 수로 나눌 수 있는 기준점)

② 분류의 시점은 균일성 파괴

(균일성이 파괴된다면 [eqn: times]로만 풀 수 없다)

③ 당연히 누락이 있어서는 안된다.

(하지만, 따로 나중에 더해줄 수 있다면 누락이 있어도 된다)

④ 중복이 있다면 안된다.

(하지만, 따로 나중에 중복을 중복횟수에 따라 처리한다면 있어도 된다)

3. 경우의 수를 구하거나, 확률을 구한다.

※ 확률 역시 경우의 수로 구해야 한다.

(과거에는 확률로 확률을 구하는 문제들이 많았으나, 지금은 경우의 수 메타임)

※ 경우의 수, 확률 문제는 최후의 수단으로는 ‘벤 다이어그램’ 그리면 편하다.

4. 경우의 수, 확률을 다루는 변치않는 원칙

① 예를 생성

② 분류(Categorizing)

③ 추적(Tracking) : 직접 배치, 배열을 눈에 보이게 수행하면서 수식화 작업 진행

(눈에 보이게 배치/배열을 해야 중복/누락이 없으며 균일성 파괴지점을 볼 수 있음)

II. 통계적 추정

1. 어떤 물리량인가? 연속확률분포(모평균) vs 이산확률분포(모비율)

2. 타입은 크게 두 가지이다.

① 부분 → 전체 추정 (표본평균/표본비율을 바탕으로 모비율 추정)

※ 부분에서 전체를 추정할 때에는 부분의 정보를 사용한다.

(예) 표본표준편차([eqn: sigma`'])=모표준편차([eqn: sigma]) / 표본표준편차([eqn: sqrt {`( hat{p} ` TIMES ` hat{q} )}])=모표준편차([eqn: sqrt {p`times`q}])

② 전체 → 부분 판정 (모평균/모비율을 바탕으로 표본 판정)

3. 확률변수가 무엇인가?

※ 확률변수에 따라 구해야 하는 답이 달라질 수 있다.

(예) 표본의 모든 변량의 합 : [eqn: n`times`bar{X}] / 표본평균 : [eqn: bar{X}]

미적2의 끝

I. 미분

1. [eqn: f``'(x)]의 세 가지 의미 : [eqn: {cases{pile{정의`:` lim _{h -> 0} {{f(x+h)-f(x)} over {h}}#미분`공식`:`f` prime (x)`````````````````````````````````}&#기하`:`(x,`f(x))에서`y=f(x)에`접하는`직선의`기울기&}}]

※ 정의가 가장 중요하다. (올해 6평 21번)

2. 미분의 목적

① 최대, 최소의 좋은 후보군 관찰

* 최대, 최소는 경곗값과 [eqn: f`'(x)=0]인 지점에서의 함숫값 중에 반드시 있다.

(최대최소의 정리 + 미분가능한 함수)

* 위의 후보군 중에는 극값이 아닌 함정도 있으니 주의(쉬어가는 점)

② 방정식 및 부등식의 풀이

* 그래프를 그려서 방정식 및 부등식을 풀기 위해서는 그래프를 그려야 함

* 미분하여 도함수를 관찰하는 것은 원함수의 그래프를 그릴 때 많은 도움이 된다.

(why? 부호 변화만 관찰하면 되니까)

(!) 그러나, 주의해야 할 점이 있다.

원함수를 구간을 나누어서 각각 미분하여 관찰할 때, 나누어지는 지점(접합점)의 극대 극소 여부는 따로 관찰해야 한다.

※ 원함수 자체의 식에서도 얻을 수 있는 것이 있다.

※ 그래프를 그릴 때 각 차원에서 해야 할 것

레벨	해야 할 것
f	① 정의역 범위 확인 ② 정의역의 양 극단에서의 수렴, 발산여부 확인 : 점근선이 있니? - 점근선이 있다면 접선 개수 셀 때 긴장해야 한다. ③ 쉬운 점 확인 : [eqn: x=0,`1,`-1] 등을 넣어서 쉽게 파악할 수 있는 점 ④ 근 확인 : [eqn: f(x)=0]을 만족하는 근이 쉽게 보인다면 체크
미분이 필요하다면 미분을 한다
f'	① 부호에 영향을 주지 않는 녀석들은 눈길을 주지 말자. ② 부호 변화를 관찰한다. ③ ②로부터 원래함수의 개형을 그린다. - 개형이 하나로 고정되지 않는다면, 경우를 나누어서 그린다. ④ ②, ③으로부터 원래 함수의 극대와 극소를 관찰한다. ⑤ [eqn: f']의 극대와 극소를 관찰하여 변곡점 존재 여부를 파악
미분이 필요하다면 미분을 한다 (이 때, 부호변화에 영향 안준다고 지웠던 놈들도 같이 데리고서 미분을 해야 한다)
f''	① 부호를 관찰 - 원래 함수 [eqn: f]의 오목과 볼록 관찰 ② 변곡점 위치 파악

③ 정교한 그래프의 작도

* 접선의 개수를 살피기 위한 변곡점 관찰에 유용

※ 접선의 개수에 영향을 주는 4가지 요소

a. 함수 [eqn: y=f(x)] 그 자체의 그래프

b. 점근선

c. 변곡점에서의 접선(변곡접선)

d. 유사 변곡접선(작년 수능 21번과 같이 그래프를 억지로 자름으로서 생기는 접선 중 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 서로 다른 영역에 위치시키는 녀석들)

- 풀이의 실마리 -

1. 어려운 문제를 바라볼 때 : Divide & Conquer (나누어서 살피자)

(1) 고정된 것 + 변하는 것

(2) 그릴 수 있는 것(쉬운 것) + 그릴 수 없는 것(어려운 것)

2. 항상 쉬운 것 먼저 처리한다.

(1) 그릴 수 있는 건 그래프를 그린다.

그래프를 그릴 때에는 크고 정확하게 딱 한번 그린다.

(2) 그래프를 그릴 때에는

∙ f-level에서 해야 할 것

a. 지나는 쉬운 점 : [eqn: y]절편

b. 중요한 점 : [eqn: x]절편(방정식의 근)

c. 정의역의 양 극단의 수렴, 발산, 점근선 여부

※ 미분하지 아니하고 그냥 그래프를 그리는 능력이 2017학년도, 2018학년도 수능 30번에서 모두 중요했다는 것을 명심하자.

∙ f'-level에서 해야 할 것

a. 부호 : 함수의 증가 감소 파악

b. 부호의 변화 : 극값

c. 도함수의 극대와 극소 : 변곡점의 존재 여부

∙ f''-level에서 해야 할 것

변곡점 파악

3. 경우가 나누어지는 것에 익숙해지자.

(1) 21, 30은 경우가 반드시 나누어진다.

(2) 생성된 여러 가지 경우 중에 정답 상황을 찾으면 된다.

4. 출제자가 생각한 정답 상황의 그림을 상상하자.

가장 아름답고 하나로 확정될 수 있는 ‘특정한 상황’의 그림이 보통 출제자가 생각하는 정답상황이다.

1. 미분을 왜 해야 하는가?

그래프를 정교하게 그리기 위해서

(미분하지 않고서도 웬만한 함수의 그래프를 그릴 수 있어야 한다)

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 아래의 Framework로 그린다.

레벨	해야 할 것
f	① 정의역 범위 확인 ② 정의역의 양 극단에서의 수렴, 발산여부 확인 : 점근선이 있니? - 점근선이 있다면 접선 개수 셀 때 긴장해야 한다. ③ 쉬운 점 확인 : [eqn: x=0,`1,`-1] 등을 넣어서 쉽게 파악할 수 있는 점 ④ 근 확인 : [eqn: f(x)=0]을 만족하는 근이 쉽게 보인다면 체크
미분이 필요하다면 미분을 한다
f'	① 부호에 영향을 주지 않는 녀석들은 눈길을 주지 말자. ② 부호 변화를 관찰한다. ③ ②로부터 원래함수의 개형을 그린다. - 개형이 하나로 고정되지 않는다면, 경우를 나누어서 그린다. ④ ②, ③으로부터 원래 함수의 극대와 극소를 관찰한다. ⑤ [eqn: f']의 극대와 극소를 관찰하여 변곡점 존재 여부를 파악
미분이 필요하다면 미분을 한다 (이 때, 부호변화에 영향 안준다고 지웠던 놈들도 같이 데리고서 미분을 해야 한다)
f''	① 부호를 관찰 - 원래 함수 [eqn: f]의 오목과 볼록 관찰 ② 변곡점 위치 파악

2. 미분을 한다는 것이 무엇인가?

(1) 도함수를 구한다.

(2) 미분계수를 구한다.

3. [eqn: {d} over {dx} {f(x)}]

(1) 함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: x]에 대하여 미분한다.

(2) 그 결과 나오는 함수는 [eqn: x]에서의 미분계수를 함숫값으로 갖는, 도함수이다.

4. Chain Rule

미분 연산자 [eqn: {d} over {dx}]는 특정 상황을 제외하고서는 분수처럼 사용하여도 된다.

[eqn: {dA} over {da} = {dA} over {db} `times` {db} over {da}]

이로부터 파생되는 것이 음함수 미분과 매개변수 미분(둘의 본질은 같다)

5. [eqn: {d} over {dx} LEFT { f(x) RIGHT } =0]을 만족하는 [eqn: x]의 집합 [eqn: A]

(1) [eqn: y=f(x)]의 그래프에서 접선의 기울기가 [eqn: 0]이 되는 [eqn: x]값들을 모아둔 것

(2) 집합 [eqn: A]의 원소들은 [eqn: f(x)]의 최댓값과 최솟값을 발생시키는 [eqn: x]의 좋은 후보군이다.

(3) 집합 [eqn: A]의 원소들과 [eqn: y=f(x)]가 존재하는 구간의 양 끝에서의 [eqn: x]값들을 모아놓으면

그 안에서 반드시 [eqn: f(x)]의 최대, 최소를 만드는 [eqn: x]를 찾을 수 있다.

(4) 극값이 아닌 함숫값을 만드는 함정들([eqn: y=x ^{3}]에서 [eqn: x=0] 같은 놈들)도 같이 데리고 있다.

(5) [eqn: y=`f``'(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 점들의 [eqn: x]좌표이다.

II. 적분

1. [eqn: int _{a} ^{b} {f(x)dx}]의 세 가지 의미 :

[eqn: {cases{pile{eqalign{정의`:` lim _{n -> INF } {sum _{k=k _{1}} ^{k _{2}} f(n,`k)` {c} over {n}} ``# (구간을`잘게`쪼개고,`x를`연속적으로`움직이면서`f(x)를`dx와`곱한`후``더해나간다.``````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````}#적분`공식`:` {cases{F(b)-F(a)&``(일반`적분,`치환`적분)#xf(x) pile{{} ^{b}#{} _{a}} - int _{a} ^{b} {x}&f prime (x)`dx``(부분`적분)}} ````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````} `````````````````````````&#기하`:``y=f(x)의`그래프와`x=a,`x=b`가`이루는`도형`관찰&}}]

※ 이렇게도 분류 가능

[eqn: {cases{ int _{} ^{} {를`벗긴다}&(직접적분)`:`계산` {cases{기본적분&#고급적분&{cases{부분&#치환&}}}}# int _{} ^{} {를`냅둔다}&(간접적분)`:`관찰 {cases{f(x)`그래프`자체&#F(x)`그래프`자체&}}}}]

2. 적분의 목적

(1) 기하학적 이유 : 길이, 넓이, 부피를 구하기 위해서

(2) 결과 관찰의 목적 : 피적분함수의 결과 나타나는 함수는 어떻게 생겼는가?

(적분 계산을 직접적으로 하지 않고서도 적분 결과를 그릴 수 있어야 한다)

[eqn: g(x)= int _{a} ^{x} {f(t)dt}]은 아래의 Framework로 바라본다. ([eqn: x]에 숫자를 넣으면 정적분)

옵션	방법
[eqn: int _{} ^{} {}]를 없앤다	① 차원 거슬러 올라가기 1 - 직접 [eqn: f(t)]의 원시함수를 구하여 적분의 위끝과 아래 끝을 대입한다. - 어려운 문제에서는 잘 안쓰인다. (왜? 계산력 영역임) ② 차원 거슬러 올라가기 2 [eqn: f(t)]의 원시함수가 잘 안보인다면, a. 치환적분 : 미분된 결과가 곱해져 있음 b. 부분적분 : [eqn: f(t)]를 두 부분으로 쪼개서 하나는 미분하고 하나는 적분하여 곱하면 적분하기가 쉬울 때 ③ 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분한다. - 적분 구간 내에 함수 [eqn: g(x)]의 변수인 [eqn: x]가 포함되어 있을 때 가능 - 적분 구간 내의 변수가 존재하고 그 변수가 [eqn: f(t)]에 같이 섞여있을 때에는 다 전개한 후에 천천히 미분해야 한다.
[eqn: int _{} ^{} {}]를 그대로 둔다.	① [eqn: f(t)]의 입장에서 관찰 - [eqn: y=f(x)]를 그린다. - [eqn: g(x)= int _{a} ^{x} {f(t)dt}]는 [eqn: f(x)]의 그래프에 대해서 [eqn: x=a]와 [eqn: x=x] 사이의 정적분값에 해당한다. ② [eqn: F(t)]([eqn: int _{} ^{} {f(x)dx}])의 입장에서 관찰 - [eqn: g(x)= int _{a} ^{x} {f(t)dt}]는 [eqn: f(x)]의 원시함수 중 [eqn: (a,`0)]을 지나는 함수이다. - [eqn: g(b)= int _{a} ^{b} {f(t)dt}]는 [eqn: F(t)]의 입장에서는 변화량이다. ([eqn: F(b)-F(a)])

2. 적분을 한다는 것이 무엇인가?

(1) 원시함수를 구한다.

(2) 정적분값을 구한다.

3. [eqn: int _{a} ^{x} {f(t)dt}]

(1) 함수 [eqn: f(t)]를 [eqn: t]에 대하여 적분하여 나온 함수 [eqn: F(t)]에 대하여 [eqn: F(x)-F(a)]

(2) 함수 [eqn: y=f(x)]의 [eqn: x=a]부터 [eqn: x=x]까지의 정적분 값

함수 [eqn: y=f(t)], [eqn: x]축, [eqn: x=a], [eqn: x=x]가 이루는 공간의 넓이와 관련이 있음

(3) [eqn: int _{a} ^{x} {f(t)dt} =` LEFT [ tf(t) RIGHT ] pile{pile{{} _{x}#}#{} ^{a}} - int _{a} ^{x} {t`f``'(t)} dt] (부분적분)

- [eqn: f(t)]를 적분하기가 힘들다면, 항상 대안이 있다 : [eqn: t`f``'(t)]를 대신 적분하자.

4. [eqn: int _{} ^{} {} APPROX sum _{} ^{}]

(1) 적분은 본질적으로 더하는 것이다.

(2) 시그마에서 변수 [eqn: k]가 아닌 미지수는 시그마 밖으로 뺄 수 있다

: [eqn: sum _{k=1} ^{5} sk=s sum _{k=1} ^{5} k]

(3) 적분에서도 적분변수 [eqn: x]가 아닌 미지수는 인테그랄 밖으로 뺄 수 있다

:[eqn: int _{a} ^{b} {tf(x)dx=t int _{a} ^{b} {f(x)dx}}]

(4) 시그마는 [eqn: k]의 범위를 적절히 나누어서 처리할 수 있고, 변수 [eqn: k]를 바꿀 수 있다.

(5) 적분도 [eqn: x]의 범위를 적절히 나누어서 처리할 수 있고, 적분 변수 [eqn: x]를 바꿀 수 있다. 여기서 더 나아가면 치환적분이 된다.

5. [eqn: int _{a} ^{x} {f(t)dt=} 0]을 만족하는 [eqn: x]의 집합 [eqn: A]

(1) [eqn: y=f(x)]의 그래프에서 [eqn: a]부터 시작해서 [eqn: x]까지 정적분을 했을 때 그 값이 [eqn: 0]이 되는 [eqn: x]

- [eqn: x=a]를 항상 써먹을 수 있다.

(2) [eqn: y=f(x)]의 그래프를 놓고 관찰해보면 [eqn: a]의 위치에 따라 [eqn: x]의 개수가 달라질 수 있음을 느낄 수 있다.

(3) [eqn: g(x)=][eqn: int _{a} ^{x} {f(t)dt}]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 점들의 [eqn: x]좌표이다.

- [eqn: y=g(x)]는 [eqn: f(x)]의 원시함수 중 [eqn: (a,`0)]를 지나는 녀석이니 [eqn: a]의 위치에 따라 [eqn: x]의 개수가 달라질 수 있다.

(4) [eqn: f(t)]의 원시함수 중 아무녀석([eqn: F(x)= int _{} ^{} {f(x)dx}])을 데리고 왔을 때, [eqn: F(x)-F(a)=0], 즉 변화량이 [eqn: 0]가 되게 하는 [eqn: x]

기벡의 끝

1. 수학문제 풀이의 눈금

(수식)---------A---------(해석)---------B---------(기하)

계산                      Graph                   도형의 성질

근의 공식                 좌표계

인수분해

A : 미적분의 최적 풀이점

B : 기벡의 최적 풀이점

2. 벡터의 본질과 의의

① 벡터 = 좌표 : 무한한 차원 확장이 가능하다.

② 벡터의 연산 : 해석적 의미와 기하학적 의미 모두를 갖는다.

③ 복잡한 상황의 해석에 적극적으로 활용할 수 있다.

④ 특히 벡터는 ‘시점 설정의 자유’라는 중요한 특징을 가지므로 같은 상황을 다양한 관점에서 바라볼 수 있다.

3. 고교과정에서의 3차원 문제의 풀이

① 3차원 그대로 푼다 : 쉬운 문제들. 좌표 도입이 간단한 문제들.

② 2차원으로 바꾸어서 푼다 : 어려운 문제들. 좌표 표현이 힘들거나 복잡한 문제들은 차원을 낮추어서 풀어야 한다.

→ 대칭의 중심을 찾는다.

→ 대칭의 중심을 포함하는, 선대칭평면을 찾는다.

→ 선대칭평면으로 잘라서(단면화) 2차원으로 바꾸어서 푼다.

29. 3차원 상황의 합리적인 관찰(기하 + 해석)을 요구하는 문제

[단원] 기하와 벡터

[도형] 구, 다면체, 평면, 직선 (+ 2차원 도형)

[필수요소]

(1) 처음 보는 상황의 제시

(type I) 줄글로 도형의 배치 설명

(type II) 도형의 방정식으로 도형의 배치 설명

(type III) 벡터 방정식/부등식으로 도형의 배치 설명

(2) 동점의 개수(복잡도) : 1 또는 2

(3) 목적함수(구해야 하는 답의 카테고리)

(type I) 거리, 넓이, 부피 or 거리, 넓이, 부피의 합

(type II) 벡터의 크기(벡터의 합/차)

(type III) 벡터의 내적값

(type IV) 각도([eqn: cos`theta])

(4) (2)에 대하여 다음 두 가지 종류 발생

(type I) 경곗값

(type II) 극값

[설계 과정]

(1) 입체도형 중 2개 이상 선택

(2) 목적함의 선택 : 거리/넓이, 벡터의 크기, 벡터의 내적값

(3) 정답 상황의 결정 : 경곗값, 극값

(4) (1)~(3)의 규명 방법 체크 : 순수 기하, 또는 순수 해석(좌표)만을 사용하는 것보다 둘을 적절하게 조합한 것이 보통 최선이 되도록 함

[평가요소]

(1) 주어진 상황을 이해하고 3차원에서 그림을 정확하게 그릴 수 있는가?

(2) 움직이는 점(동점)이 섞여있는 상황에서 고정된 도형들 사이의 위치관계를 배운 개념을 활용하여 파악할 수 있는가?

(3) 3차원 상황을 적절히 변형하여 2차원 상황으로 변경하여 문제의 복잡도를 낮출 수 있는가?

(4) 무조건적인 순수 기하, 순수해석적 방법이 아니라 둘을 적절히 조합하여 최적의 풀이를 구현할 수 있는가?

- 풀이의 실마리 -

1. 어려운 문제를 바라볼 때 : Divide & Conquer (나누어서 살피자)

(1) 고정된 것 + 변하는 것

(2) 그릴 수 있는 것(쉬운 것) + 그릴 수 없는 것(어려운 것)

2. 항상 쉬운 것 먼저 처리한다.

(1) 문제에서 고정된 것을 먼저 그리자.

도형을 그릴 때에는 크고 정확하게 딱 한번 그린다.

(2) 고정된 것 사이의 위치 관계 파악

∙ [eqn: d] : 고정된 도형들 사이의 거리는 어떠한가?

- 대칭성이 있는가?

∙ [eqn: theta] : 고정된 도형들 사이의 각은 어떠한가?

- 대칭성이 있는가?

- 특수각이 보이는가?

(3) 동점의 존재 범위 파악

동점이 존재할 수 있는 전체 범위 파악

(4) 목적함수 처리

∙ 문제에서 묻는 것 = 목적함수 (합벡터의 크기, 벡터의 내적 등)

∙ 벡터의 성질을 활용하여 목적함수를 적절한 형태로 변환

(그냥 생으로 좌표로 놓고 푸는 방법도 있다는 걸 잊지 말자)

(5) 대칭의 중심 찾기

고정된 도형의 핵심(구의 핵심은 중심에 있다)들을 포함하여 문제 상황을 선대칭으로 만드는 평면을 찾고, 그 평면으로 문제상황을 자르면 3차원 문제가 2차원 문제가 된다.

(6) 동점의 위치 규명

(5)의 평면이 동점의 존재범위와 만나서 이루는 점이 대부분의 경우에 목적함수가 최대 또는 최소가 되는 점이 된다.

- 합벡터 다시 바라보기 -

1. 합벡터가 무엇인가?

두 개 이상의 벡터의 합으로 방향와 크기를 갖는다.

([eqn: vec{a} `-` vec{b}] 조차도 [eqn: vec{a} `+`(- vec{b} )]로 읽을 수 있다)

2, 합벡터의 방향

(기하) 두 벡터가 이루는 평행사변형의 대각선 방향

(해석) 두 벡터의 각 방향의 성분을 다 더하여 얻은 좌표와 원점을 이은 방향

3. 합벡터의 크기

(기하) 두 벡터가 이루는 평행사변형의 대각선의 길이

(해석) 두 벡터와 각 방향의 성분을 다 더하여 얻은 좌표와 원점 사이의 거리

4. 벡터의 성질과 합벡터

벡터는 시점 선택이 자유롭다.

이는 합벡터를 관찰할 때, 기준점 설정이 다양하다는 것을 의미한다.

[eqn: vec{OP} `+` vec{AB} ``=` vec{OP} ``+` vec{OB} ``-` vec{OA} ``=` vec{AP} ``-` vec{AO} `+ vec{AB} `=`...]

(!) 그렇다면 무엇을 기준점으로 잡는 것이 좋은가?

∙ 바보같이 항상 원점으로 잡지 말자.

∙ 기준점은 ‘대칭의 중심’에 해당하며 기하학적으로 ‘좋은 점’을 택하는 것이 좋다.

(예) 원 위의 동점 [eqn: P]에 대하여 [eqn: vec{OP}]

: 원의 핵심은 중심이므로 중심 [eqn: C]를 기준으로 보면 [eqn: vec{OP} ``=` vec{CP} `- vec{CO}]

([eqn: vec{OP}]라는 움직이는 벡터를 [eqn: vec{CO}]라는 고정된 벡터와 [eqn: vec{CP}]라는 움직이는 벡터로 나눈 것에 주목하자. 소름이 안돋는다면 책 앞부분을 다시 펴서 ‘Divide & Conquer'라는 구절을 다시 보고 오시게)

∙ 좋은 기준점들 : 어찌되었든 한 덩어리로 뭉쳐져 있는 합벡터를 고정된 것 + 움직이는 것으로 나누는 방향으로 가기 위하여 기준점을 잡고, 그 기준점을 시점으로 표현을 고치는 것이다.

a. 원의 중심 : 원의 중심으로부터 원 위의 점에 이르는 거리는 모두 반지름으로 같다.

(길이 고정, 오직 각도만 변하게 관찰할 수 있음)

b. 구의 중심 : 구의 중심으로부터 구 위의 점에 이르는 거리는 모두 반지름으로 같다.

(길이 고정, 오직 각도만 변하게 관찰할 수 있음)

c. 선분의 중점 : 두 정점 [eqn: A,B]와 동점 [eqn: P,`Q]에 대하여 [eqn: vec{AP} `+` vec{BQ}]는 크기와 방향이 모두                             변해서 짜증나는데, 이를 고정된 두 점의 중점 [eqn: M]을 기준으로 잡으면

[eqn: vec{AM} + vec{MP} + vec{BM} + vec{MQ} = vec{MP} `+` vec{MQ}] 가 되므로 관찰이 용이함

(2018학년도 수능)

d. 다각형과 다면체의 무게중심 : 삼각형, 사각형, 정사면체, 정육면체는 전체 도형의 무게중심을 기준으로 잡으면 관찰이 용이하다. (무게중심으로부터 각 꼭짓점에 이르는 벡터의 합은 항상 [eqn: 0]이므로)

5. 합벡터의 처리

방법	설명		장점	단점
표현유지	생 좌표	① 모든 점을 좌표성분으로 표현 ② 합벡터의 성분을 규명 ③ 합벡터의 크기의 최대, 최소 규명	표현만 된다면 웬만하면 쉽게 해결할 수 있음	동점의 좌표 표현이 어려운 경우가 많음(원 위의 점, 구 위의 점 등)
	생 내적	① 합벡터 자기자신과 내적하여 전개 ② 전개된 식을 바탕으로 최대, 최소 규명	범용적	풀이 시간, 계산량이 만만치 않음
표현변경	기하	① 기준점을 잡아서 합벡터의 표현을 변경 ② 합벡터를 고정된 벡터와 움직이는 벡터로 분리 ③ 고정된 벡터와 움직이는 벡터의 방향이 같을 때와 반대일 때가 각각 최대, 최소에 해당	① 문제의 높은 복잡도를 낮출 수 있음 ② 계산량이 많지 않음 ③ 풀이 시간도 길지 않음	기준점의 선택이 중요함
	내적	① 기준점을 잡아서 합벡터의 표현을 변경 ② 합벡터를 고정된 벡터와 움직이는 벡터로 분리 ③ 내적 수행	① 문제의 높은 복잡도를 낮출 수 있음 ② 계산량이 많지 않음 ③ 풀이 시간도 길지 않음 ④ 내적 수행에 있어서 기하적인 센스를 발휘할 여지도 있음	표현변경 후 기하로 푸는 것보다는 복잡한 편

- 벡터의 내적 다시 바라보기 -

1. 내적의 정의

[eqn: vec{a} `` BULLET ` vec{b} `=` sum _{} ^{} a _{i} b _{i}]

2. 내적 해석하기

해석	설명	장점	단점
I. 좌표곱의 합	[eqn: vec{a} `` BULLET ` vec{b} `=` sum _{} ^{} a _{i} b _{i}]	① 언제든 사용할 수 있다. ② 표현만 된다면 웬만한 경우에 답을 찾을 수 있다. ③ 벡터가 움직이는 공간이 충분히 제한적일 때 쓰면 유용하다.	두 벡터를 좌표로 온전히 표현하는 것이 어려운 경우들이 있다. (구 위의 동점, 정사면체 위의 동점 등)
II. 길이 [eqn: times] 길이 [eqn: times] 각([eqn: cos`theta])	[eqn: vec{a} `` BULLET ` vec{b} `=` LEFT | vec{a} RIGHT | LEFT | vec{b} RIGHT | cos` theta]	① 길이 또는 각도가 일정할 때 사용하면 편리하다. ② 구, 원과 같이 기준점을 중심으로 잡았을 때 길이가 일정한 상황에 유용하다.	① 길이와 각도가 모두 변하는 상황에서는 사용이 어려울 수 있다. ② 큰 의미에서 [eqn: III]의 하위호환이다.
III. 수선의 발을 내린 후 곱한다	[eqn: vec{a} `` BULLET ` vec{b} `=` LEFT | vec{a} RIGHT | `times`( LEFT | vec{b} RIGHT | cos` theta )]	① 한 벡터를 고정시킬 수 있을 때 유용하다. ② 한 벡터를 고정시키고, 나머지 한 벡터의 시점과 종점에서 고정된 벡터를 연장한 직선 위에 수선의 발을 내려서 탄생하는 선분의 길이만 관찰하면 된다.	① 수선의 발 작도가 필수적이다. (가장 기하를 많이 쓰는 방법) ② 수선의 발 작도가 어렵거나, 수선의 발을 작도하여도 그 길이 규명이 어려울 때에는 사용이 껄끄럽다.

- 각도([eqn: cos` theta]) 내적 다시 바라보기 -

1. 수능에서 다루는 각도

(1) 직선 vs 직선

(2) 직선 vs 평면

(3) 평면 vs 평면

2. 각도의 해석

해석	설명	장점	단점
I. 작도	정의에 입각하여 수선의 발을 내린 후 직각삼각형을 찾아서 [eqn: cos`theta] 규명	가장 간편하다	① 작도가 불가능한 상황이라면 쓰기가 어렵다. (두 평면의 교선이 안 보이는 상황 등) ② 높은 기하학적 센스와 그림 실력이 필요하다. ③ 범용적이지 않다.
II. 정사영	정사영 전후의 길이, 넓이변화를 바탕으로 [eqn: cos`theta]를 간접적으로 규명	① 평면과 평면 사이의 각 규명 시 유용하다. ② 특히 넓이를 구하기 쉬운 삼각형들이 나왔을 때 편리하다.	① 넓이를 두 번이나 구해야 한다. (정사영 전, 정사영 후) ② 정사영 전후의 도형 변화를 면밀하게 관찰할 수 있어야 한다.
III. 벡터 내적	도형을 방정식으로 표현한 후 방향 벡터, 법선 벡터 사이의 내적을 활용하여 [eqn: cos`theta] 규명	① 가장 범용적이다. ② 작도나 정사영으로 안되는 문제조차도 벡터로는 거의 무조건 풀 수 있다.	① 도형을 방정식으로 표현해야 한다. (적어도 방향벡터, 법선벡터는 찾아야 함) ② 계산량이 꽤 된다.