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그래프를찢어 [1366010] · MS 2024 (수정됨) · 쪽지

2025-12-02 07:49:18
조회수 118
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[지2] 푄 완성

게시글 주소: https://orbi.kr/00075980912

■ 지2 칼럼 모음 : https://orbi.kr/00075642632

안녕하세요. 지2 여섯번째 칼럼입니다.

이번 칼럼은 잠시 쉬어가는 느낌으로다가 썼습니다. 이전에 작성한 게시글을 통합한 느낌으로 다시 썼으니 복습하는 차원에서 읽어주시면 좋을 것 같습니다.

푄은 문제 풀이보다 실전개념 나열 위주로 설명할 생각입니다. 칼럼 2개 분량의 글이니 집중해서 따라오셨으면 좋겠습니다.

문제 들어가기 전에 개념부터 정리하도록 하겠습니다.

수적 동치

공기덩어리가 산을 넘어간 다음 산을 넘기 전과 동일 고도에 도달했을 때 공기덩어리의 온도가 상승하고 이슬점이 하락합니다. 이러한 현상을 푄이라고 부릅니다.

그림에 나와있듯이 공기덩어리는 5가지 상태를 가질 수 있는데 이 중 1, 2번째와 4,5번째는 각각 수(水)적 동치라는 표현을 사용해 묶겠습니다.

각 상태의 특징을 살펴보면

1번 : 수평 운동. 기온 변화X

2번 : 상승 운동. 건조단열팽창

3번 : 상승 운동. 습윤단열팽창

4번 : 하강 운동. 건조단열압축

5번 : 수평 운동. 기온 변화X

1, 2번째는 응결 전이고 4, 5는 응결 후입니다.

같은 수적 동치에 속한 상태들은 일정 범위 내에서 고도가 달라진다면 한 상태에서 다른 상태로 변할 수 있습니다. 즉 공기덩어리의 수증기량이 같습니다. 반대로 다른 수적 동치에 속한 상태들은 고도 변화에 의해서는 동일한 속성을 가질 수 없게 됩니다. 상승응결고도를 상승하면서 지나지 않으면 수적 동치가 유지됩니다.

예를 들어 상승응결고도가 1km인 공기덩어리가 500m까지 상승한 상태 A와 지표면에 그대로 머무른 상태 B는 수적 동치입니다. 왜냐하면 A를 지표면까지 하강시킨다면 B와 온도, 이슬점이 같아지기 때문입니다.

반대로 1.2km까지 상승시킨 C는 다시 하강한다고 해도 B와 온도, 이슬점이 동시에 같을 수 없으므로 수적 동치가 아닙니다. C가 지표면까지 하강하면 B'에 도달하고 B'은 C와 수적 동치입니다.

여기까지 공기덩어리의 상태를 소개했고 이제 정량 계산으로 넘어가도록 하겠습니다.

정량 계산

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가장 기본적인 식입니다. 온도와 이슬점 차이 8도마다 상승응결고도는 1km씩 상승합니다. 이걸 모르는 분은 아마 없을거라 생각합니다.

$zpRUIDogzpRUZCA9IDUgOiAtMw==$

이것도 상당히 유명한 식입니다. 산을 넘은 후 공기덩어리의 온도가 5도 상승했다면 이슬점은 3도 하락합니다.

$aCAtIEggPSAgLVxmcmFjIHsxfXszfc6UVGQ=$

$aCAtIEggPSAgXGZyYWMgezF9ezV9zpRU$

2번째 식을 유도하는 두 식입니다. h는 산의 높이입니다. h - H를 응결한 높이라고 하면 응결한 높이 1km당 산을 넘은 후 온도는 5도 상승하고 이슬점은 3도 하락합니다.

이 식을 두 가지 방법으로 유도할 수 있습니다. 계산으로도 할 수 있고 그래프로도 유도할 수 있습니다.

계산을 통해 유도해보겠습니다.(건조단열감률=10°C/km, 습윤단열감률=5°C/km, 이슬점감률=2°C/km)

지표면에서 공기덩어리의 온도를 T0, 이슬점을 Td0이라고 하자.

산의 높이를 h라고 하고 상승응결고도를 H라고 할 때 산을 넘어간 후 온도(T)는 T0 - H*10 - (h-H)*5 +h*10이고 이슬점(Td)은 Td0 - H*2 - (h-H)*5 +h*2다. 식을 정리하면 T = T0 + 5(h-H), Td = Td0 - 3(h-H).

그래프로도 보여드리겠습니다.

지표면에서 온도가 24도고 이슬점이 16도인 공기가 2km 산을 넘어갈 때의 온도와 이슬점의 변화를 나타낸 그래프입니다.

습윤단열상승(파란선)에서 온도(초록선)와 이슬점(빨간선)이 각각 2.5 : 1.5 비율로 떨어져 있습니다. 이슬점은 감소하는 방향이니 -를 붙이면 됩니다.

$zpRUID0gzpRUZCA9IFxmcmFjIHs1fXs4fcQTMA==$

이전 미니 칼럼에서 다룬 식입니다. 초기 이슬점이 8도 증가하면 산을 넘은 후 온도와 이슬점이 초기 이슬점 증가 전보다 5도 상승합니다.

초기 이슬점이 상승하면 상승응결고도 H가 낮아지니 응결한 높이 h-H가 커져서 온도가 더 많이 상승하고 이슬점이 더 많이 하락해야 하지만 초기에 이슬점 온도가 증가한 값이 어느정도 상쇄합니다.

$zpRUID0gzpRUZCA9IFxmcmFjIHszfXs4fc6UVDA=$

이 식도 미니 칼럼에서 다룬 식입니다. 초기 온도가 8도 증가하면 산을 넘은 후 온도와 이슬점이 초기 이슬점 증가 전보다 3도 상승합니다.

이것도 비슷하게 초기 온도가 높아지면서 상승응결고도 H가 더 상승하니 응결한 높이 h-H가 작아져서 이슬점 감소량이 더 작아졌다고 생각할 수 있습니다. 그럼 온도 증가량이 작아져야 하지만 초기 온도 증가가 이를 상쇄합니다.

이 두 식은 그래프나 식이나 둘 다 너무 길어져서 자세한 증명 과정은 생략하도록 하겠습니다.

(개인적으로 증명을 끝냈지만 서술하기가 너무 힘들어서..)

내분

푄은 지2에서 내분이 쓰이는 몇 안되는 주제 중 하나입니다.

상승응결고도를 모르지만 상승한 높이와 온도 변화량을 안다면 상승응결고도를 구할 수 있습니다. 상승응결고도는 지표면에서의 온도-이슬점에만 영향을 받기 때문에 이슬점을 미지수로 잡아 식을 쓰면서 구할 수 있습니다. 그러나 이것은 매우 번거롭고 시간도 많이 잡아먹는 작업입니다. 내분을 이용한다면 이러한 상황에서 답을 빠르게 구할 수 있습니다.

기본적으로 온도 변화량은 건조단열과 습윤단열의 영역싸움입니다. 건조단열로 상승한 비율이 높다면 같은 높이에 대해서 더 많은 변화량이 생기고 습윤단열의 비율이 높다면 더 적은 변화량이 생깁니다. 건조단열감률을 10°C/km 습윤단열감률을 5°C/km라고 하겠습니다.

2km 상승한 공기덩어리의 온도가 18도 감소했을 때 상승응결고도를 구해보겠습니다. 2km를 건조단열만으로 상승했다면 20도만큼 감소했을 것이고 습윤단열로만 상승했다면 10도만큼 감소했을겁니다. 18은 그 사이 어딘가이므로 내분을 통해서 정확한 위치를 알 수 있습니다.

20과 10을 2:8로 내분하면 18입니다. 건조단열의 비율이 8/10이라는 말이므로 2km의 8/10에 해당하는 만큼 건조단열로 상승했음을 알 수 있습니다. 따라서 상승응결고도는 1.6km입니다.

그럼 이제 이 개념들을 이용해서 문제를 풀어보도록 하겠습니다.

#151120

고대 유물 문제입니다. 그렇게 만만한 문제는 아닙니다.

푄 문제를 다시 어렵게 낸다면 이런 식으로도 낼 수 있을 것 같습니다. 정량적인 계산보다 정성적인 판단을 요구하는 문제가 생각보다 되게 어렵습니다.

문제를 슬쩍 읽어보니 세 지점과 세 공기덩어리를 제시해줬습니다. 공기덩어리 각각의 상태는 전부 알고 있습니다. 일단 이슬점과 온도를 보니 딱히 수적 동치에 있는 공기덩어리는 없는 것 같습니다. (나)가 A에서의 공기덩어리 상태를 나타낸건데 수적 동치라면 온도와 이슬점이 모두 같아야 합니다.

ㄱ에서 상승응결고도(H)를 물어봤습니다. 지표면에서의 H는 T-Td에 비례하므로 T-Td가 가장 작은 P가 H 또한 가장 작습니다. y=x 그래프를 그려서 판단해도 좋습니다. T와 Td가 최대한 비슷해야 H가 작기 때문입니다.

ㄴ에서도 상승응결고도(H)를 물어보고 있습니다. 정확히는 H가 2km보다 큰 공기덩어리가 무엇인지 묻고 있습니다. 선지에서 온도와 이슬점이 다른 것은 Q이다 라고 했기 때문에 Q 외에는 H가 2km보다 작아야 합니다. R의 T-Td가 10도고 Q의 T-Td가 20도인데 H가 2km이려면 T-Td가 16도여야 합니다.

ㄷ에서는 산을 넘은 후 공기덩어리의 온도를 물어보고 있습니다. R이 가장 크냐고 물어봤으니 P와 R Q와 R만 비교하면 됩니다. P와 R을 비교하면 P에서 R로 상태가 변한다면 초기 온도와 초기 이슬점이 둘 다 상승했으니 최종 온도는 당연히 상승합니다. Q와 R을 비교할때도 Q에서 R로 상태가 변한다면 초기 온도는 그대로지만 초기 이슬점이 증가했으니 최종 온도도 당연히 상승합니다.

저는 제 논리를 만든 다음 이 문제를 풀어봤기 때문에 이 풀이가 최초풀이입니다. 정석풀이라면 여러가지 감률을 다 줬으니 하나하나 계산해서 답을 구해야 합니다. EBS 해설지에는 Q와 R의 비교만으로 답을 냈는데 P와 비교를 왜 하지 않았는지는 의문입니다. 얼핏 봤을때는 상승응결고도가 더 낮으니 최종 온도가 더 높을 여지가 있지 않나?라고 생각할 수 있는데 그 부분을 배제한 채 마무리 지은 점이 아쉽습니다.

#260618

푄 문제 중에서는 중간 난이도 수준의 문제입니다.

문제에서 지점 A, B, C를 제시해줬습니다. 각각의 상태를 확인해보고 어느 상태가 수적 동치인지 파악해봅시다.

일단 하강하는 구간은 모두 수적 동치입니다. 따라서 B와 C는 수적 동치입니다.

당장 궁금한 것은 A와 B의 관계입니다. A와 B 구간 사이에 상승응결고도가 있다면 수적 동치가 깨지지만 상승응결고도가 더 높이 있다면 수적 동치가 유지됩니다. 문제에서 A와 C에서 기온-이슬점 값이 같다고 했는데 기온-이슬점은 현재 지점으로부터 상승응결고도까지의 높이 차입니다. 상승응결고도 - 현재고도를 임의로 응결거리라고 하겠습니다.

A와 C의 응결거리가 h로 서로 같지만, 상승응결고도는 서로 다릅니다. 수적 동치에 있는 두 공기덩어리는 상승응결고도도 같아야 합니다. 따라서 A와 C는 수적 동치가 아닙니다. 물론 상승응결고도가 같다고 해서 수적 동치는 아닙니다. 상승응결고도는 지표면에서의 기온-이슬점 값에만 영향을 받기 때문입니다.

이때까지 첫번째 언덕을 넘을 때 수적 동치가 깨지지 않은 사례가 거의 없었는데 만약 푄에서 킬러가 나온다면 이런 부분에서 함정을 걸어서 나올 것 같습니다. 이 문제에서는 언덕이 하나라서 힘들겠지만 언덕이 2개 이상인 문제라면 충분히 낼 수 있습니다.

다시 문제로 돌아가서 B가 상승응결고도 이후라는 사실을 알아냈으니 B의 기온과 이슬점은 17도로 같습니다. A에서 상승응결고도=응결고도가 h이므로 절반은 건조로 나머지 절반은 습윤으로 단열팽창합니다. 내분점 1:1이므로 단열감률이 7.5°C/km이라고 생각할 수 있습니다. A -> B 과정에서 온도가 15도만큼 하강했으니 2h는 2km입니다.

이제 C를 구해야 하는데 C는 B와 수적 동치입니다. B에서 C로 이동할 때 1km만큼 하강하므로 C의 온도와 이슬점은 각각 27도와 19도입니다.

A의 이슬점만 구한다면 빈칸을 전부 채울 수 있습니다. A의 상승응결고도는 1km입니다. 상승응결고도 1km는 기온-이슬점 8도와 대응되는 값이기 때문에 ㄱ은 24입니다.

ㄱ. h는 1000m입니다.(x)

ㄴ. ㄱ은 24입니다.(x)

ㄷ. ㄴ은 27입니다.(ㅇ)

여담으로, 푄 문제에서 보통 h는 1km로 자주 제시됩니다. 1km일 때 가장 계산이 깔끔한가봅니다. 1km가 아닌 경우라면 400이나 800같은 계산에 유리한 숫자들로 나올 때가 많습니다.

이쯤에서 용어 정리를 하고 가겠습니다.

■ 상승응결고도(H) : 이슬점과 기온이 같아지는 고도

■ 응결한 높이(h-H) : 응결이 일어난 높이

■ 응결거리(H-h0) : 현재 고도로부터 응결까지 남은 고도

상승응결고도를 제외한 나머지 용어들은 제가 임의로 지은 것입니다.

#201116

푄 문제 중에서는 중간 난이도에 속하는 문제입니다.

이전 문제와 달리 이번에는 봉우리가 2개입니다. 동치인지 아닌지 잘 따져가면서 진행해보도록 하겠습니다.

문제에서 지점 A, B, C, D 네 곳을 지정해주었습니다. A와 B의 기온을 제시해줬으니 단서를 얻을 수 있을 것 같습니다.

A에서 B까지 2km 상승했는데 기온은 17.5도만큼 하강했습니다. 내분을 사용해보면 10-17.5-20은 3:1 내분이므로 건조단열로 75%만큼 상승했습니다. 따라서 상승응결고도는 1.5km입니다.

문제에서 따로 요구하지는 않았으나 A의 이슬점까지 구해보면 상승응결고도가 1.5km인데 지표면에서의 기온이 30도이므로 30 - 1.5*8 = 18도입니다.

ㄴ에서 B에서 C로 이동하는 동안 기온-이슬점 값이 일정한지 물어보고 있습니다. B에서 C로 가는 동안 수적 동치가 유지되기 때문에 상승응결고도는 같습니다. 기온-이슬점 값은 상승응결고도가 아니라 응결거리에 대응하는 값입니다. 응결거리는 고도에 따라 달라지는 값입니다.

ㄷ에서 D의 이슬점을 물어보고 있습니다. C는 B와 수적 동치이기 때문에 같은 고도상에서 온도와 이슬점이 같습니다. B는 포화상태이기 때문에 온도와 이슬점의 온도가 같으므로 C의 이슬점은 12.5도입니다. C에서 D로 이동할 때 응결한 높이(h-H)는 1km이므로 이슬점 변화는 -3도입니다. 따라서 D의 이슬점은 9.5도입니다.

ㄱ. 처음으로 구름이 생성되는 높이는 상승응결고도와 같습니다. 1.5km 맞습니다.(ㅇ)

ㄴ. B에서 C로 이동하는 동안 응결거리는 계속 변화합니다.(x)

ㄷ. D의 이슬점은 9.5도입니다. (ㅇ)

궁여지책

앞에서 따로 언급은 안 했는데 건조단열감률과 이슬점감률은 지2 범위 내에서는 거의 일정한 값이지만 습윤단열감률은 정말 크게 바뀌는 값입니다. 만약 문제에서 습윤단열감률을 6°C/km로 주었다면 앞에서 알려드린 공식이 대부분 무효화됩니다. 그럼에도 불구하고 바뀌지 않는 사실 몇 가지만 정리하겠습니다.

1. 습윤단열감률은 절대 건조단열감률보다 클 수 없다.

건조단열감률을 숨은열이 상쇄하기 때문에 습윤단열감률은 건조단열감률보다 항상 작습니다.

2. 푄의 기본 결론은 바뀌지 않는다. 즉, 산을 넘은 후 기온은 상승하고 이슬점은 하강한다.

1번이 충족되는 한 항상 성립합니다. 습윤단열감률이 증가하면 산을 넘은 후 기온과 이슬점은 계속 감소합니다.

3. 습윤단열감률에 관계없이 산을 넘은 후의 (온도-이슬점)은 일정하다.

산을 넘은 후 (온도-이슬점)은 오직 건조단열감률과 이슬점 감률에 의해서만 영향을 받습니다.

여기까지가 당장 알려드릴 수 있는 푄 풀이 팁입니다. 나중에 더 좋은 풀이를 발견하게 된다면 보강하도록 하겠습니다.

실전개념 정리하고 칼럼 마무리하겠습니다.

■ 상승하면서 상승응결고도를 지나지 않는 한 수적 동치가 유지된다.

■ 수적 동치이면서 고도가 같은 두 공기덩어리는 성질이 완전히 같다.

■ 기온-이슬점은 상승응결고도에 대응되는 값이 아니다.

■ 상승응결고도를 모를 때 내분을 사용하면 좋을 때가 많다.