[칼럼] 생1 복합 확률 1탄

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모두 같을 확률에 대해서 물어보는 경우가 대다수이지만, 한 가지만 같을 확률 등 복합적인 확률에 대해서 물어볼 때도 있어요. 직접 하나하나 계산해도 되지만, 확률에 1/2이 포함되어 있는 경우에 대한 공식을 암기해 두면 더 편하게 계산할 수 있어요. (가)~(다)에 대한 복합 확률을 계산하기 위해서는 염색체별로 확률을 분리해야 돼요.

형질 (가)~(다)가 있고 (가)~(다)의 유전자가 모두 다른 상염색체에 있다고 해 볼게요. (가)의 표현형이 같을 확률을 A, (가)의 표현형이 다를 확률을 a, (나)의 표현형이 같을 확률을 B, (나)의 표현형이 다를 확률을 b, (다)의 표현형이 같을 확률을 D, (다)의 표현형이 다를 확률을 d라고 할게요.

A+a, B+b, D+d의 값은 모두 1이기 때문에 a=1-A, b=1-B, d=1-D와 같이 식 변형을 통해 A, a, B, b, D, d가 모두 포함된 식을 세 문자 A, B, D에 대한 식 또는 세 문자 a, b, d에 대한 식으로 정리할 수 있어요. 문자를 통일하면 경우에 따라 식을 간단하게 만들 수 있어요.

(가)~(다)의 표현형 중 한 가지만 같을 확률은 Abd+aBd+abD이고 문자를 A, B, D로 통일하면 Abd+aBd+abD=A(1-B)(1-D)+(1-A)B(1-D)+(1-A)(1-B)D=A+B+D-2AB-2BD-2DA+3ABD이에요. 이렇게 문자 A, B, D가 모두 사용된 식은 복잡하기도 하고 암기할 필요도 없어요.

이때 D=d=1/2인 경우 (가)~(다)의 표현형 중 한 가지만 같을 확률은 Abd+aBd+abD=(Ab+aB+ab)÷2인데 (A+a)(B+b)=AB+Ab+aB+ab=1이므로 (Ab+aB+ab)÷2=(1-AB)÷2로 나타나요. 식이 아주 간단해졌죠? 매번 식을 요약하는 과정을 거칠 필요도 없이 한 가지만 같을 확률은 (1-AB)÷2이라는 것을 공식으로 외워 두면 돼요.

확률 중 하나가 1/2인 경우 다른 복합 확률들도 간단한 형태로 나타나요. 한 가지만 같을 확률은 (1-AB)÷2, 두 가지만 같을 확률은 (1-ab)÷2, 한 가지 이상 같을 확률은 1-ab÷2, 한 가지 이상 다를 확률은 1-AB÷2, 두 가지 이상 같을 확률은 (A+B)÷2, 두 가지 이상 다를 확률은 (a+b)÷2예요.

형질들 중 하나의 확률이 1/2임을 아는 상황에서 공식을 사용하는 경우가 일반적이지만, 반대로 공식을 사용해서 확률들 중에 1/2이 존재하지 않음을 증명할 수 있는 경우도 있어요. 확률들 중에 1/2이 존재하지 않을 가능성이 많이 낮기는 하지만요.