괴델의 불완전성 정리 반박+a
게시글 주소: https://orbi.kr/00072540180
불완전성 정리란?
제1정리. 페아노 공리계를 포함하는 어떠한 공리계도 무모순인 동시에 완전할 수 없다. 즉 자연수 체계를 포함하는 어떤 체계가 무모순이라면, 그 체계에서는 참이면서도 증명할 수 없는 명제가 적어도 하나 이상 존재한다.
제2정리. 페아노 공리계가 포함된 어떠한 공리계가 무모순일 경우, 그 공리계로부터 그 공리계 자신의 무모순성을 도출할 수 없다.
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
불완전성 정리 요약
B="페아노 공리계를 포함하는 어떠한 공리계"
제1정리. B는 무모순인 동시에 완전할수 없다
제2정리. B가 무모순이면 B로부터 B자신의 무모순성을 증명할수 없다
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
준비물
모든 논리체계는 명제논리로 나타낼수 있다
명제논리는 무모순성과 완전성이 증명되어있다
명제논리의 무모순성을 증명하는 논리체계 역시 명제논리로 나타낼 수 있다
이말은 명제논리로부터 명제논리 자신의 무모순성을 증명할수 있다는 말임
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
제1정리 반박
B는 명제논리로 나타낼 수 있다
따라서 B는 무모순이고 완전하다
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
제2정리 반박
B는 무모순이고 완전하다
따라서 "B는 무모순"는 참
B를 명제논리로 나타낼 수 있다
명제논리로부터 명제논리 자신의 무모순성을 증명할수 있다
따라서
B(명제논리)로부터 B(명제논리)자신의 무모순성을 증명할수 있다
"B는 무모순" and "B(명제논리)로부터 B(명제논리)자신의 무모순성을 증명할수 있다"
위 명제가 참.
따라서
B가 무모순이면 B로부터 B자신의 무모순성을 증명할수 있다
가 참
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
결론
1. B는 무모순인 동시에 완전하다
2. B가 무모순이면 B로부터 B자신의 무모순성을 증명할수 있다
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
괴델의 문제
G="G는 증명불가능"
괴델은 "G가 증명불가능"함을 증명함
그런데 이는 G를 증명한것
G의 내용과 모순
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
완전성 증명
1. (Not A->모순)->(A의 증명있음)
2. (Not A->모순)<->A
3. A->(A의 증명있음)
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
공리의 실체
1. (A가 거짓->모순)->(A의 증명있음)
2. (A의 증명없음)->(A가 거짓 and 무모순)
3. (A는 공리)->(A의 증명없음)
4. (A는 공리)->(A가 거짓 and 무모순)
무모순=참
5. (A는 공리)->(A가 거짓)
6. (A가 참)->(A는 공리아님)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
긱사가는동안 할거없으니까 질받 6 0
질문없으시면..? 어쩔수없고요
-
기다리던 0 0
봄이 오고 있는데 이리
-
5분?
-
N수 수학시험 긴장감 5 0
작수 4등급에서 올해 1월초부터 지금까지 뉴런 수1 완강 수2 90프로 수분감도 다...
-
내일봅세당 좋은꿈꾸셔요 다들 4 0
사이좋게 지내요
-
저 사실 구라 좀 많이쳤어요 7 1
게이가 아니에요
-
강기원 vs 김범준 3 0
둘이 스타일이 비슷하다는 얘기 들은 거 같은데 구체적으로 어떤 면에서 비슷한가요?
-
저도 저격먹은 적 0회 4 0
흐흐
-
모고 보러 갈게요 2 0
오천덕 얻고 싶으면 전글 참고
-
[칼럼] 오답노트를 만들 때는 3 6
오답노트는 데스노트입니다. 기억하고 싶은 내용을 오답노트에 적으면 내용이 머릿속에서...
-
각하 3 2
지하실에 가실 시간입니다.
-
군수 사탐런 1 0
알바로 애들 수학 가르치고 있는 중입니다. 이제 5월달에 군 입대를 앞두고 있구요....
-
3모 미적 vs 기하 1 0
기하러인데 3모는 미적이 더 어렵나요 기하가 더 어렵나요? 기하 1컷이 81 정도로...
-
ㅂㅂ 1 0
자러감 ㅂㅂ
-
얌전히 기다리기 14일차 1 0
보고싶네
-
하 시발!
-
저랑 대화나 할까요. 3 0
0.2초 정도
-
심심한데 7 3
진짜 공부 해야 되나..
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.