만약
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함수 
의 도함수인 
는 정의역 내에서 존재한다고 가정해보면
이 늘 성립할까여 (
가 
에서 잘 정의된다라고 생각하면)
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늘 성립하는 것은 아님
오호라 역시 곹이시군요
항상 그러하냐고 물어보면 보통 아니더라구요
아니니까 물어봤을것.
ㄹㅇㅋㅋ
그럼 당연한것도 물어볼게여
"뭐든지 의심하라"
'잘 정의됨'이 제 머릿속에서 잘 정의되지 않은 것 같습니다 선생님
함수가 잘 정의된다는건 정의역 내에서 f(x)가 x에 대해 오직 한개의 원소로만 대응될때입니다 well defined라고하져
그러면 f'(x)도 잘 정의된다는 조건이 아니라서 sin(1/x) 같은 부류로 반레를 들 수 있는 건가요? 아니면 존재한다는 게 잘 정의됨을 함축하는데 저 경우는 0에서만 불연속이라 되는 건가요?
도함수가 연속이면 미적분의 기본정리로 환원되는 것 같은데...
도함수가 연속이라는 조건도 없고, 0에서만 불연속일 필요가 없습니다. 다만 중요한건 (0, 어쩌구)의 구간에서 도함수가 적분이 가능할까? 라는 것을 묻는 것이지요 sin(1/x)의 도함수가 (0, inf)에서 잘 정의가 되지 않나요? 만약 sin(1/x)가 어떤 함수의 도함수라면 아니라면 sin(1/x)는 (0, inf)에서 정의되고 연속이므로 적분이 가능할겁니다. 다만 여기서의 적분이라면 이상적분이겟지요. 근데 진짜 적분이 되는지는 확인이 필요하다 이거지요
아 그러면 그냥 도함수가 적분이 불가능한 경우만 봐도 된다는 거였군요...sin(1/x)는 미분계수(도함수의 극한)는 모든 실수에서 존재하지만 도함수 자체는 x=0에서 발산하는 함수라 생각났어요
sin(1/x) 같은 경우는 '도함수가 연속이면 원래 함수가 미분가능하다'라는 참인 명제의 역에 대해 반례를 들 때 사용되는 걸 봤었는데, 쓰임이 딱 적절한 건 아니었지만 비슷한 맥락이었네요.
구간이 (0, inf)로 정의됐으니 x가 1이 아닐 때는 f(x)=sin(1/(x-1)), f(1)=0으로 평행이동해서 나타내면 ㅌ=1에서 반례가 될 것 같습니다.
자 그럼 또 생각을 해보지요 왜 적분이 불가능한가요?
x^-1/2의 적분을 생각해봅시다. 얜 0에서 발산해요 근데 적분을 해보면 2x^1/2가 나온단 말이죠? 즉 발산과 적분이 가능하다는 관련은 있겟지만 꼭 그런것도 아닙니다 ㅎㅎ 나중에 시간이 된다면 적분가능성이 뭔지 한번 글을 써볼게여
증명은 안 했지만 결국 sin(inf) 꼴이어서 진동이라 그냥 발산이라 생각만 했네요본격적으로 공부하면 수학 특성상 사소한 것 하나하나 증명하는 게 중요할 것 같긴 해요
맞아요 그 진동이라는 점 때문에 적분이 안되는거죠 ㅎㅎㅎ 굉장히 똑똑하시네요 수학과에 필요한 인재셔요