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Cantata [348885] · MS 2010 · 쪽지

2022-12-05 17:11:42
조회수 15,880

미적분 1컷 84의 가능세계

게시글 주소: https://orbi.kr/00060046241

이번에는 미적분 1등급 커트라인을 예상해보고,


이를 기준으로 전체적인 성적분포를 추정해보려 합니다.


이 글은 선택과목 미적분에 대한 것이므로 '미적분'이라는 단어는 이하 생략하겠습니다.


그리고 이 글에서 작년 수능수학 누적도수분포표를 사용하는데요.


이는 미적분, 확률과 통계, 기하 선택자 모두 포함하여 작성된 것이지만,


미적분의 성적분포라고 생각해도 무방하기에 그대로 씁니다. 


(그 이유를 설명드리면 너무 장황해져서 일단 스킵하고 기회가 되면 보충설명 하겠습니다.)




1. 1컷이 88 이상이 아닌 이유



작년 수능 1등급 커트라인이 88점이었죠.


혹자는 이를 두고 물로켓 시험이었다고 이야기합니다.


생각해보면 작년과 올해 6평, 9평 모두 1등급 커트라인이 84, 85점이었기 때문에


1등급 커트라인이 88점인 시험은 눈에 띄죠.


그러나 어떤 일이든 결과, 겉모습만 볼 것이 아니라,


과정, 내부 모습도 같이 살펴보아야 합니다.


즉, 똑같이 1등급 커트라인 88점인 수학 시험이라도 성적분포가 제각각이라는 것인데요.


작년 수능은 88점에 백분위 96%이지만, 


84점 백분위는 95%이었던 것을 아시나요?


89점까지는 누적 3%,


88점까지는 누적 4.19%, 


85점까지는 누적 4.76%,


84점까지는 누적 6.18%


의 분포를 하고 있었기 때문입니다. 


1등급 커트라인은 누적 4%를 처음 넘어가는 순간의 원점수가 되는데,


동점자가 많으면 깔끔하게 4% 남짓에서 끊기지 않고, 5%, 6%를 넘어가기도 합니다.


그럼에도 작년 수능의 경우는 4%에서 0.19%만 초과하였으니 꽤 깔끔하게 끊긴 경우이죠.


반면 1등급 커트라인이 88점인 수학시험 중에서


89점까지는 누적 3%대였으나 88점에서 누적 7.6%가 되어


1등급 인원이 7.6%나 되었던 시험이 있습니다. 


그리고 84점에서는 11%가 넘어가서 2등급 커트라인은 84점이었구요.


바로 2018학년도 6월 평가원 가형인데요.


이와 같이 똑같은 1등급 커트라인이더라도


상위 4%대까지만 1등급을 주기도 하고,


상위 7%대까지(이론상으로는 더 많이도 가능) 1등급을 주기도 합니다.


따라서 작년 수능에서 85점 이상을 받는 것은


1등급 커트라인이 상위 5%인 시험에서 1등급을 받는 것보다 어렵습니다.


(작년 수능과 같은 표본인 시험이라 가정)


같은 논리로, 작년 수능에서 84점 이상을 받는 것은


1등급 커트라인이 상위 6.5%인 시험에서 1등급을 받는 것보다 어렵습니다.


즉, 작년 수능 1등급 커트라인이 84~5점인 웬만한 시험과 비교해도 


난이도 차이가 거의 없다고 볼 수 있는 것이죠.


하지만 어쨌든 88점에서 누적 4%를 살짝 넘어갔으니


1등급 커트라인이 88점이 맞긴 합니다.


그렇다면 반대로, 88점 이상 득점한 학생 중에서 조금만 88점 아래로 밀어낼 수 있다면


1등급 커트라인은 88점 아래로 떨어질 것입니다.


즉, 88점 이상 득점한 4.19%의 학생 중에서 0.2%, 


즉 95%는 생존하고 나머지 5%만 88점 아래로 밀어낼 수 있으면 되죠.


그러면 88점에서 4%를 채우지 못하여 1등급 커트라인이 그 아래로 내려갑니다.


저는 한 문제만 바꿔도 손쉽게 가능하다고 생각합니다.


다음 공통 22번 문제를(정답률 20%)






이번 수능 공통 22번 문제(정답률 9%)로 바꾼다면 말이죠. 







작년 수능 22번을 맞힌, 혹은 맞힐 수 있는 실력의 학생 중에서 


올해 22번은 풀지 못하는 학생들이 꽤 많았으니까 5%정도는 충분히 이탈할 만합니다.


이정도만 해도 1등급 커트라인 88점 미만인 시험이 될 확률이 꽤 높은데,


문제는 여기서 끝이 아니라는 것입니다.


작년 수능 1~30번까지의 정답률을 봅시다. (메가스터디에서 채점한 학생들의 정답률)







정답률의 평균을 내보면 73.1%이고,


최고난도 top5 의 평균은 26.4%,


최고난도 top10의 평균은 42.6%가 나옵니다.


최고난도 top5는 1~2등급 학생들의 성적대에 영향을 주고,


최고난도 top5는 1등급에서 3~4등급 학생들의 성적대까지 영향을 줍니다.




그리고 이번 수능 1~30번까지의 정답률은 다음과 같이 나왔는데요.






정답률의 평균을 내보면 70.9%이고,


최고난도 top5 의평균은 23.8%,


최고난도 top10의 평균은 39.3%가 나옵니다.


이 세 수치 모두 작년 수능보다 낮습니다.


그렇게 된 주된 원인은 준킬러~킬러라인의 정답률 차이에 있는데요.


주요 문항별들의 난이도를 비교하여 생각해보면


12번: 22수능<<23수능


13번: 22수능=23수능


14번: 22수능<<23수능


15번: 22수능<<<<23수능


20번, 21번: 22수능=23수능


22번: 22수능<<<<<23수능


28번: 22수능<<23수능


29번, 30번: 22수능=23수능


과 같았기 때문입니다.


그리고 전체 정답률의 평균에서 알 수 있듯이


나머지 문항들도 23수능이 22수능보다 더 쉽다고 볼 수는 없구요.


그런데 앞서 22번 하나만으로


22수능 1등급 커트라인을 88점 아래로 떨어뜨릴 수 있었는데,


여기서 12번, 14번, 15번, 28번까지 가세하면...


결과는 말씀드리지 않아도 될 것 같습니다. 





2. 1컷이 84점일 수 있는 이유



수학 영역의 배점을 생각해봅시다.


가끔 빡센 3점짜리 문항들이 등장하긴 하지만,


그래도 5문제 이내로 틀린다면 대부분은 4점짜리 문항들에서 실점을 합니다.


따라서 80~90점대에서 4n+2점, 4n+3점(n은 자연수)을 받는 학생들은 소수입니다.


예를 들어, 86점, 87점을 받는 학생은 거의 없고 84점, 85점, 88점에 몰려있습니다.


따라서 88점에서 4%를 채우지 못한다면 87, 86점은 건너뛰고 바로 85점까지 떨어진다고 보시면 됩니다.


즉, 앞서 22수능에서 22번을 23수능 22번으로 바꾸면


사실상 1컷 85인 시험지가 완성된다고 보시면 되겠죠.


그리고 여기에 12번, 14번, 15번, 28번까지 고려해보면


1컷이 85점 아래로 떨어지는 경우도 생각할 수 있겠죠.


12번, 14번, 15번, 22번, 28번


이 5문항이 얼마나 강한 힘으로 학생들을 아래로 밀고 있는지 


작년 수능과 올해 수능 각 성적대별로 생각해봅시다.




2-1) 100점의 서바이벌


작년 수능 100점이 100명 있었다면, 이번 수능 100점은 얼마나 될까요?


두 시험의 정답률을 분석해서 논리적으로 판단해도 되고,


주위에서 100점이 작년 대비 얼마나 보이는지 생각해도 좋습니다.


성적발표 직전까지 정답은 없지만,


저는 작년과 올해 커뮤니티를 눈팅해본 결과 작년대비 절반도 보이지 않는 것 같았고,


대충 30~40% 정도가 아닌가 생각했습니다.


그래서 대략 35%라고 가정하였습니다.


즉, 22수능 100점이 23수능을 응시했다면 35%만 생존하여 그대로 100점을 받았거라 가정한 것입니다.


이때 작년 수능 만점자의 비율이 0.63%였으니 여기에 35%(생존자비율)를 곱하면


올해 수능 만점자의 비율은 약 0.22%가 될 것임을 알 수 있습니다. 






2-2) 96점의 서바이벌


마찬가지 방법으로 작년수능 96점 이상 인원 대비


올해 수능 96점 이상 인원은 얼마나 될 지 생각해봅시다.


저는 체감상 절반을 넘긴 한 것 같은데 2/3는 되지 않는 느낌이었습니다.


그래서 그 사이인 60%로 가정해보고 


22수능 96점 이상의 인원 1.5%에 60%를 곱하여 


23수능 96점 예상 누적비율 0.9%를 산출하였습니다.







2-3) 92점의 서바이벌


계속해서 방법은 동일합니다.


작년수능 92점 이상 인원 대비


올해 수능 92점 이상 인원은 얼마나 될 지 생각해보면 되는데,


지금부터는 그 비율을 직접 산출해보려합니다.


앞서 생존자비율은 100점에서 35%, 96점 이상에서 60%였죠.


따라서 60%부터 시작해서 100%까지 남은 비율 40%의 약 40%가 증가한다고 가정해보았더니


92점 이상은 


60%+40%×40%=76%


가 나왔습니다.


그리고 22수능 92점 이상의 인원 2.31%에 76%를 곱하여 


23수능 92점 예상 누적비율 1.75%를 산출하였습니다.







2-4) 88점, 84점의 서바이벌


92점의 생존자비율 76%에 대하여


88점의 생존자비율을


76%+24%×40%=약 86%


로 산출한 후,


22수능 88점 이상의 인원 4.2%에 86%를 곱하여 


23수능 88점 예상 누적비율 3.61%를 산출하였습니다.


또한 88점의 생존자비율 76%에 대하여


84점의 생존자비율을


86%+14%×40%=약 91%


로 산출한 후,


22수능 84점 이상의 인원 6.18%에 91%를 곱하여 


23수능 84점 예상 누적비율 5.62%를 산출하였습니다.






이제 84점에서 4%가 넘어가기 시작했습니다.


그런데 이렇게 4의 배수 점수가 아닌 4n+1점, 


즉 85, 89, 93, 97점에도 인원이 있으니 


이 점수에 대한 누적비율도 생각해봅시다.


어차피 추정치이니까 편의상


93점의 생존자 비율은 92점과 96점의 생존자 비율의 평균,


89점은 88점과 92점의 평균,


85점은 84점과 88점의 평균


을 적용해보려 합니다.


그 결과 85점에서 4.21%가 나와서 처음 4%를 넘었고,


1등급 커트라인이 85점임을 알 수 있었습니다.




그런데 앞서 각 점수대의 생존자비율은 임의로 정한 것이기 때문에


이것은 얼마든지 바꿀 수 있습니다.


100점 35%, 96점 이상 60%, 92점 이상 76%, 88점 이상 86%, 84점 이상 91%던 것을


100점 35%, 96점 이상 55%, 92점 이상 70%, 88점 이상 80%, 84점 이상 86%로 바꾸어보겠습니다.


처음에는


35%부터 시작해서 100%까지 남은 비율 65%의 약 40%가 증가한다고 가정하였던 것인데,


이 증가비율을 40%에서 30%로 바꾼 것입니다.


그 결과 85점에서 누적 3.95%로서 4%를 넘지 못하게 되어 84점까지 1등급이 됨을 알 수 있습니다.




이번에는 1등급 커트라인이 85인 경우와 84인 경우 각각에 대하여


2등급 커트라인까지 어떻게 형성되는지 생각해보고,


백분위까지 산출해보았습니다.




1등급 커트라인이 85점 인 경우:



                            




메가스터디의 예상과 같이 2등급 커트라인은 76점이 나옵니다.





1등급 커트라인이 84점 인 경우:





76점에서 11%를 살짝 채우지 못하고 74점까지 2등급이 나옵니다.




1등급 커트라인이 84점인지 85점인지 결정하는 열쇠는


앞서 산출했던 각 점수대별 생존자비율이 쥐고 있습니다.


저는 이 글에서 100점, 96점, 92점, 88점, 84점 순서대로


35%, 55~60%, 70~76%, 80~86%, 86%~91%


를 예상했는데, 실제로는 어떻게 될 지 모르겠습니다.


이 범위를 벗어날 수도 있구요.


(여러분도 이 비율을 각각 추정해보세요!)


그래서 이 방법만으로는 1등급 커트라인이 84점일 지 85점일 지 확신할 수 없었습니다.


다만 1등급 커트라인이 충분히 84점일 수도 있다는 것만 확인하였을 뿐이죠.


그래서 다른 방법을 도입하여 조금이나마 가능성이 높은 쪽을 선택하여 여러분에게 안내하려 합니다.


글이 너무 길어져서 이만 줄이고...


다음 글에서는 제가 생각하는 


미적분, 확률과 통계, 기하의 최종 등급컷 및 각 점수별 표준점수까지 말씀드리려 합니다!


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