5minutes [364272] · MS 2011 · 쪽지

2015-05-06 21:53:53
조회수 922

부등식의 영역은 기하와 벡터에서도 항상 성립하나요?

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부등식의 영역을 이용하면 서로 다른 두점과 직선의 위치관계를 알 수 있잖아요. 고1수학 내용.

그런데 그게 직선뿐만 아니라 공간에서 서로 다른 두점과 평면의 위치관계를 따질 때도
항상 성립해요?

예를 들어, 직선이나 평면의 방정식(이 때 방정식 형태는 좌변으로 식을 다 이항하고 우변엔 0만 남긴 형태)에 그 두 점을 대입한 값을 곱한 값이 0보다 작을 때, "무조건적으로" 그 두 점은 직선이나 평면을 경계로 서로 반대쪽에 있냐는 말이에요!

예외도 없이요?

부등식의 영역이 기하의 벡터에서 유용함이 있나요?

답변 좀 부탁드려요..

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  • 대음순연구가 · 470895 · 15/05/06 21:59 · MS 2013

    직선은 3변수 2등호라 좌우변이 없다.

    평면은 생각을 해보면 쉬운데 애초에 도형의 방정식이 부정방정식의 해집합의 특수한 경우들의 예이므로 그 등호가 부등호로 바뀌었다함은 경계를 기준으로 한 덩어리 방향이 되어야 되지 않겠니?

  • 5minutes · 364272 · 15/05/06 22:44 · MS 2011

    잘 모르겠어요 ㅠㅠ 좀 더 자세히 알려주세요 !

  • 박수칠 · 423466 · 15/05/07 00:57 · MS 2012

    좌표평면에 직선 하나를 그리면 그 직선을 경계로 두 개의 영역이 생깁니다.
    이때, 직선의 방정식이 f(x,y)=0이라면 각 영역은 부등식 f(x,y)>0 또는 f(x,y)<0로 표현되죠.

    좌표평면에 원 하나를 그리면 그 원을 경계로 두 개의 영역(원의 내부와 외부)이 생깁니다.
    이때도 원의 방정식의 등호를 부등호로 바꿔서 원의 내부와 외부를 나타낼 수 있습니다.

    이제 공간으로 가봅시다.
    좌표공간에 평면 하나를 그리면 그 평면을 경계로 두 개의 영역이 생깁니다.
    평면의 방정식이 f(x,y,z)=0이라면 각 영역은 부등식 f(x,y,z)>0 또는 f(x,y,z)<0로 표현되구요.
    따라서 서로 다른 영역에 속한 두 점을 f(x,y,z)에 대입하면 부호가 반대로 나타나게 됩니다.

    구를 그린 경우도 마찬가지겠죠.

    그런데 평면, 구와 달리 공간에 직선을 그리면 그 직선이 공간을 나누지 못합니다.
    따라서 공간에서의 직선의 방정식을 부등식으로 바꾸더라도 직선에 의해 나뉘는 영역을 나타낼 수 없죠.
    대신 평면의 방정식의 등호를 부등호로 바꾼 식이 두 개 나타나기 때문에
    대개의 경우 두 개의 평면에 의해 나뉜 네 개의 영역 가운데
    한 영역을 나타낼 수 있겠네요.