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변형'해줘'
f'(1)=f'(0)+1
거기까진 저도 알아요. 근데 결국에는 저 함수 f(x)가 뭘 의미하는지가 궁금해서요.
선생님 미분가능하다는 조건이,,
아 그렇네요 ㅋㅋ 그럼 저거 어떻게 해석해야 할까요?
일단 저 식 자체로는 f(×)를 정확히 특정지을 수 없어요
문제에서 실수 전체에서 미분가능하다던지 f(×)가 어디서 극값을 갖는다거나 적분값이 몇이라거나 등등 조건이 더 필요합니다 만
그냥 저 식 자체만 놓고 보면 구간별로 함수가 정의되어 있다는 것을 느낄 수 있고
구간 길이가 1인 함수 f(×)가 주어지면 저 식을 이용하여 연속인 구간 전체로 확장시킬 수 있다고 느껴주면 됩니다
식 자체만 놓고 그래프로 해석하기는 힘들어 보입니다
구간 길이가 1씩 증가할 때마다 일정하지 않은 값 x가 증가된다 뭐 이런식으로 해석할 수 있긴하지만..
그냥 문제상황이 저렇게 주어지면 단위구간 내에서 함수 f(×)가 주어진 경우, 그 바깥 구간에서 정의된 함수들을 단위 구간으로 끌고와서 비교하며 식/그래프 를 완성해야 합니다
x=0에서 x=1까지의 적분값이 1이라네요.
일단 양변 미분 때려서 f'(x)=x+a로 놓고 계산 버억 하면 답 나오긴 하는데 님이 지적하신 것처럼 애초에 이 f(x)라는 함수가 미분가능한 함수인지는 모르는거라..
혹시 추가 조건까지 해서 f(x)를 해석해주실 수 있으신가요?
인테그랄f(t)dt에 위끝 아래끝이 각각 x+1,x인 식이 1/2x^2+c로 변형합니다.
이 소재로 나왔던 기출문제로는
2019학년도 6월 30번, 2015학년도 9월 30번 문제가 있습니다.
근데 그렇게 변형하려면 f(x)가 미분가능하다는 조건하에서만 가능한거 아닌가요? 님이 제시한 변형식을 양변 미분하면 f(x+1)=f(x)+x가 나오니까요.
처음 주어진 식을 도함수라고 생각해야 합니다.
양변을 미분하면 f(x+1)-f(x)=x 로 모양이 똑같이 나오며,적분한 함수를 F(x)라고 했을 때 F(x)의 도함수가 연속이므로 미분가능합니다.
즉, 문제에서 연속인 것은 원함수가 아닌 도함수이므로 적분이 가능합니다.
실제로, 제가 위에서 말씀드렸던 2015학년도 9월 30번의 발문을 보시면 처음 주어진 함수 f(x)는 연속조건만 나온 것을 확인하실 수 있습니다.
감사합니다. 가려운 곳을 벅벅 긁어주시는군요.
님님
혹시 이 문제는 (나)조건 보고 인테그랄 x에서 x+1까지 f(t)dt=x+c로 세팅할 수 없는거죠?
문제에서 f(x)가 연속이라고는 안 했으니까요.
가능합니당
작성자분 말대로 연속이라는 말이 나오지는 않았지만
구간 (0,1) 내에서는 연속이며
함수가 달라지는 구간에서의 연속성을 판단하였을 때
f(1)-f(0)=1 이며 따라서 x=1에서의 연속이 성립하기 때문입니다.
또한 구간 (0,1)에서 식을 적분한 값은 숫자로 나오니 이를 적분상수를 구할 때 사용하면 됩니다.
추가적으로, 고등 과정 내에서는 함수의 적분 문제가 나왔을 시 피적분함수는 연속 함수일수밖에 없으니 그걸로 판단해도 좋습니다. 시험이니까요.
int_x^(x+1) {f’(t)} = x
여기서 한 번 더 적분할 듯요
int_x^(x+1)
이게 무슨 뜻인가요? 적분 구간이 안 보여서요.
그게 적분 구간 표시에요 아래끝이 x 위끝이 (x+1)
아하!
님이 제시한 식이랑 인테그랄f(t)dt에 위끝 아래끝이 각각 x+1,x인 식이 1/2x^2+c로 변형한 식이랑은 어떤 점이 다를까요?
그냥 본질은 똑같으니 그만인가요?
여기서 한 번 더 적분한 식이 말씀해주신 식이에요