201120(나)를 풀어보자
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일단 함수 f(x)의 그래프를 그려 봅시다.
함수 f(x)는 x=0에서는 불연속이고, x=2에서는 연속이지만 미분가능하지 않습니다.
ㄱ
p(x)f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 x=0에서 연속이어야 합니다.
p(0)=0이어야 연속이므로 옳은 선지입니다.
ㄴ
p(x)f(x)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 x=0, x=2에서 미분가능해야 합니다.
p(x)f(x)의 도함수가 p'(x)f(x)+p(x)f'(x)인데, f'(x)가 x=2에서 불연속이기 때문에 p(2)=0이면 도함수가 연속이게 되고, 미분가능성도 만족하게 되므로 옳은 선지입니다.
ㄷ
{f(x)}^2는 x=0에서 불연속이고, x=2에서는 연속이지만 미분가능하지 않게 됩니다.
p(x){f(x)}^2는 일단 p(2)=0이면 x=2에서 미분가능하게 됩니다. p(x)가 x-2만 인수로 가져도 x=2에서의 미분가능성을 만족할 테니, (x-2)^2를 인수로 가질 필요는 없습니다. 그래서 p(x)가 x^2(x-2)^2로 나누어떨어지지 않아도 됩니다. 즉, 틀린 선지입니다.
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