더프 기하 30번 질문
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정사영 어떻게 구하나요 그 삼각형 모양이 뭔줄은 알겠는데 정사영 최대값을 못 구하겠어요 그림으로 설명해주실분
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이따 확인해볼게요넵 저도 잘하지는 않지만 기하러로써 동질감느껴서 주제넘게 알려드립니다ㅎㅎ…
일단 원상이 밑변이 2, 높이가 (2 + 루트3) 인 상황이에요
여기에서 선분AB의 중점 즉 원의 중심을 M이라고 했을때, 삼각형 ABT'과 xy평면이 이루는 각의 크기는 선분MT' 과 xy평면이 이루는 각의 크기와 같아요 그러하니, 구를 선분PQ와 구의 중심(편의상 C로 할게요)을 모두 지나는 평면으로 잘라볼게요
그러면 단면으로 잘린 원과 함께 삼각형 PQC가 나옵니다. 그 삼각형 자세히보시면, 모든 변의 길이가 2인 정삼각형이에요. 선분AB와 선분PQ가 직교하기 때문에 단면으로 잘린 원에서 A, B, M은 모두 같은점처럼 보이고, 그 점을 N이라고 해볼게요. 점 N과 점 C를 이은 직선은 정삼각형의 각이등분선이 되므로 각 NCQ는 30도 입니다. 또한 직선 NC와 단면인 원의 교점중 멀리떨어진 곳이 T'입니다.
선분PC와 수직인 직선을 단면으로 잘린 원에 그었을 때, 오른쪽에서 만나는 점을 R이라 했을 때, 각PCR이 90도인데, 각PCQ가 60도이므로, 각QCR은 30도입니다.
그러므로 이면각의 크기는 60도입니다. 왜냐하면 선분NT'과 바닥이 이루는 각은 선분NC와 선분CR이 이루는 각과 같기 때문이죠
원상의 넓이가 2+루트3, 이면각의 코사인값이 2분의 1이므로, 넓이의 최댓값은 1+2분의 루트3 입니다.
p와 q가 각각 1과 2분의 1이므로 12(p+q)는 18입니다.
그림은 여기있습니다
이해했습니다 A와B가 선분 PQ와 수직할때에 정사영이 최대가 된다는 말씀이신거죠?
넵!! 태엽돌리거나, 일자나사 돌린다고 생각하면 편할듯합니다.
정사영을 굳이 할 필요가 없습니다
저가 정사영 숭배자긴 한데
이 문제는 사실 구의 중심만 원점에서 이으면 끝나는 문제입니다
원점 이었을때사 6이라 거기서 반지름만큼 더간게 8,
이때 새로 만들어지는 지름 2짜리 원이 생기고
거기서 xy 평면에 평행한 지름을 가지고, 그 지름과 구의 중심을 포함한 평면이 삼각형의 최대입니다.
이때 이면각의 크기도 그냥 새로 만들어진 원의 중심과
구의 중심과 이은 선분과 xy 평면이 이루는 각이라
그냥 다른 정리를 쓸필요도 없이 cos값은 1/2가 되고,
답이 나옵니다