(미적황초대석) 수열의극한 간단한 질문좀드립니다..
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n제풀다보면 lim an= lim a(n+1)= lim a(2n+1) , lim sn=lim s(n+1)=,lim s(2n+1) (여기서 n은모두 무한대로갑니다)
이런개념을 자연스럽게 쓰던데요
솔직히 직관적으로보면 당연한듯보이나,
부분수열의 수렴여부를 교과개념으로 엄밀히 증명할수가 있나요?
한편으론 당연한거같은데 한편으론 괴리감이 생겨서 여쭙습니다..
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직관적으로 공리처럼 받아드리기에는 역이 성립하지않아(a(2n+1)->a수렴할때 an->a수렴함을 보장할수없음. 이런경우도 직관으로만보면 a로 수렴하는것처럼 혼동할수있음) 규명이좀 필요하다고 생각해서..
이런 부분수열 극한 개념을 진짜 수능에서 낼수있는지도 모르겠어요
수열의 극한의 교과과정의 정의는 어떤 수열을 나열했을 때의 경향성을 보는거임
그게 어떠한 수로 무한히 갔을 때 그쪽으로 수렴하는거니까
2n이나 n이나 무한히 가는 건 같으니까 당연한거라 생각해요
이건 뭐랄까 정의의 문제라
그렇다면 a2n->a로수렴할떄 an->a라고 착각하는경우엔 어떻게하나요?
그말에따르면 둘다 무한으로가니깐 같은것으로 수렴하지 않을까라고 생각할텐데요
그건 애초에 수렴한다는 조건이 없으니까 틀린명제에요
수렴하면 둘다 똑같은 수렴값이 나오겠죠
결국 수렴해야 똑같은 값이 나올수 있다는 선험적 지식을 요구하는거아닌가요?
문제에서 lim a2n=a을 주고 lim an의 수렴여부는 안줬다면, 이를 직관으로만 파악하는 학생은 lim an=a를 가정하고 문제풀이를 잘못된방향으로 전개할수도 있다는거죠
뭐 어떻게 보면 선험적 지식이라고 할 수도있겠지만
애초에 a2n이랑 an은 완전 다른 수열이니까요
예를 들어 an을 (1,1,1,2,1,3,1,4 ...)으로 보면
a2n에서는 수렴하지만
an에서는 발산하거든요
이런 간단한 반례만 떠올릴 수 있어도 쉽게 해결되는 문제에요
뭐 몇몇학생들은 문제없이 떠올릴수도있겠지만, 수능에 대놓고내기엔 너무 맥락없는 개념이라는 생각이드네요
근데 수능이란 게 사실 교과과정의 변형 그런 것도 엄청 잘 물어봅니다
그런걸 가정에 깔고 공부하셔야돼요
새로운걸 해석하는 능력이죠
배운것만 쓰는 게 아니라
그리고 왠만한 것들은 기출에 포함된 요소라 새롭다할것도 없어요
흐음.. 저도 어느정도 당연하게 받아들여지는건 태클안걸고 넘어가는타입인데 이건웰케 꺼림칙한지
교과서 정의는 모르겠는데 정의로 보일 수 있을듯 싶어요