수특에서 배울거리를 정리해보자 수2 11일차
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아래는 오늘 문제인 수특 수2 41p Level2 5번입니다.
먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.
함수 f(x)가 미분가능한 함수일 때 |f(x)|가 미분가능하기 위한 조건을 생각해봅시다.
f(x)가 x축과 만나지 않는다면 |f(x)|는 f(x)와 완전히 같으므로(또는 -f(x)와 완전히 같으므로) 그대로 미분가능합니다.
f(x)가 x축과 만날 때는 |f(x)| 그래프는 x축 기준으로 접어올리는 것인데 접어올릴 때 뾰족한 점이 생기며 미분이 가능하지 않을 수 있습니다.
f(x)가 x=a에서 x축과 만난다고하면 f(a)=0이겠죠. 이때 f'(a)=0임을 두가지로 설명해볼게요.
① 직관적으로 f'(a)=m이였다면 x=a에서 접어올릴 때 x=a 좌우에서 기울기가 ±m이 되며 뾰족한 점이 되는데 뾰족하지 않으려면 f'(a)=0이였어야 합니다.
② f(x)가 다항함수인 경우에 미분계수 정의로 설명해보면, f(a)=0이면 f(x)=(x-a)g(x)라 할 수 있고
|f(x)|의 평균변화율은 |f(x)-f(a)|/(x-a) = |x-a||g(x)|/(x-a) 입니다.
x→a+일 때 순간변화율은 |x-a|=x-a이므로 |g(a)|이고
x→a- 일 때 순간변화율은 |x-a|=-(x-a)이므로 -|g(a)|입니다. 이 값이 서로 같아야하므로 g(a)=0이고
f(x)는 (x-a) 인수가 두개 이상이 되어 f'(a)=0이 되죠.
오늘 문제를 볼게요.
통채로 절댓값이 아니라 절댓값 |x+1|에 이차함수 f(x)를 곱했지만 원리는 비슷합니다.
일단 주어진 극한이 존재하려면 분자에서 g(0)=0이므로 f(0)=0이 되죠.
x+1에 절댓값이 있는데 x=-1에서 미분가능하므로 (x+1) 인수가 하나 더 필요해서 f(-1)=0이 됨을 짐작할 수 있구요.
논리적으로 해보자면 f(0)=0이므로 f(x)=x(ax+b)라 하면 g(x)=x(ax+b)|x+1|이고
g(x)/x = (ax+b)|x+1|입니다. x→0일 때 극한값이 2이므로 b=2이구요.
x=-1에서 미분가능함을 이용해볼게요.
평균변화율은 (g(x)-g(-1))/(x+1) = f(x)|x+1|/(x+1)입니다.
x→-1+일 때 |x+1|=x+1이므로 평균변화율은 f(x)이고 순간변화율은 f(-1),
x→-1- 일 때 |x+1|=-(x+1)이므로 평균변화율은 -f(x)이고 순간변화율은 -f(-1)입니다.
두 값이 같아야하므로 f(-1)=0이 되어 a=2, f(x)=2x(x+1)이 됩니다.
따라서 g(x)=2x(x+1)|x+1|이고 g(1)=8이 되죠.
아래는 관련 기출인 2022년 3월 모의고사 22번입니다.
봐주셔서 감사하고요
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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]
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