더배워와! [1137351] · MS 2022 · 쪽지

2022-05-12 19:24:23
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기하 칼럼) 같은 값을 갖는 점의 자취 1편

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오랜만에 기하 칼럼입니다. 이건 단편으로 끝나지 않을 예감이네요.


작년 기하 29번을 먼저 가져와 보겠습니다


그림에서 나오는 조건 중 저희는

이 조건에 대해서만 좀 분석해볼 예정입니다.

우선

을 만족하는 P는 선분 OB에 수직인 직선을 그립니다.


같은 의미로

을 만족하는 점 P도 자취가 직선입니다. BC에 수직인


그렇다면 이 두가지를 합한 식의 값이 k로 일정한 경우에 P의 자취도 직선을 그립니다.

다시말해

을 만족하는 P의 자취도 직선을 이룹니다.


증명은 안합니다. 귀찮습니다




여기서 더 나아가봅시다. 


다음 사각형에서 점 몇개의 위치는 잘 보입니다. O랑 A랑 B같은 애들이요.

따라서 이런 애들을

에 P 대신 대입해봅시다.


다음과 같은 값이 나옵니다.


O를 대입했을 때 값이 -1이고, B를 대입했을 때 값이 8이 나옵니다. 따라서 값이 2가 나와주려면 O와 B를 1:2로 내분하는 점을 대입해야 합니다.

-1과 8을 1:2로 내분하는 값이 2이기 때문입니다.


따라서 O와 B를 1:2로 내분하는 점 B'에 대해 다음 그림처럼

직선 B'A는 

를 만족하는 P의 자취입니다.




어째저째 말이 길었습니다. 중요한것은 무엇이냐면

저희는 어떠한 식이 있고, 그 식을 만족하는 점의 자취가 직선이기만 하면

머리 아프게 생각할 필요 없이 기존에 존재한 점을 대입하여 값을 계산한 후, 적당한 값을 맞추어 직선을 그려주어 원하는 점의 자취를 구할 수 있습니다.

제가 증명하느라 길게 했지만, 실제로 풀때는 처음부터


"이거는 조건이 딱봐도 더러우니 그냥 있는 점 대입해서 해야겠다... 자취는 선형적으로 나오겠지?"


하고 바로 대입한 후 선 그어서 자취를 구했습니다. 시간을 많이 절약할 수 있죠.


다음칼럼에서는 이 자취가 원형으로 나오는 경우들을 위주로 다루어 보겠습니다.

원형으로 나오게 되는 경우 문제에서 묻는 것은 보통 최댓값 최솟값입니다.

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