Delve Too Deep [668096] · MS 2016 · 쪽지

2021-09-15 22:18:34
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아는사람은 다 아는 무한집합의 크기 비교

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유한한 집합은 어떻게 크기를 비교할까요? 

크기 = 원소의 개수로 정하면 잘 비교할 수 있겠죠? 

예를 들어 {1, 2, 3}과 {4, 5, 6}은 원소의 개수가 3으로 서로 같으니까, 크기가 같다고 할 수 있겠죠?


그런데... 원소의 개수가 무한한 집합은 어떻게 크기를 비교할까요?

원소의 개수가 무한하니까 우리가 직접 셀 수는 없어요. 

그래서 각 집합의 원소를 일-대-일로 대응시키는 방법을 생각합니다. 

예를 들어, {1, 2, 3}과 {4, 5, 6, 7}의 각 원소들을 대응시켜 보죠.

1 <-> 4, 2<->5, 3<->6 과 같이 대응시킬 수 있지만, 7이 대응되지 않는 걸 확인할 수 있죠? 

다른 어떠한 방법으로 시도해 봐도 {4, 5, 6, 7}에서 원소가 하나 남는 걸 확인할 수 있습니다. 


이 방법을 무한집합에도 그대로 적용시켜 보는 거에요. 

즉 두 집합 사이에 일-대-일 대응 관계가 존재한다면, 크기가 같은 걸로 정의해요.

모든 자연수들의 집합 N, 모든 짝수들의 집합 E는 서로 크기가 같을까요? 

크기가 같답니다. 


어라라? 누가 봐도 자연수가 개수가 더 많으니까 이건 무적권 자연수들의 집합이 더 크지 ㅋㅋ 

라고 생각할지도 모르겠어요. 

하지만 우리는 두 집합 사이에 일-대-일 대응 관계가 존재하면 크기가 서로 같다고 정의하기로 했었죠? 

그러니까 일-대-일 대응 관계가 존재함을 보이면 크기가 같다고 할 수 있죠. 

실제로 임의의 자연수 n에 대하여, n<->2n 의 일-대-일 대응 관계가 존재하죠? 


다음에 계속...(될수도?)


연습문제: 모든 자연수들의 집합 N과 모든 홀수들의 집합 O 사이에 일-대-일 대응이 존재함을 보이세요.

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