22학년도 6월 평가원 21번에서 자연수 k에 대해
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일 때, n이 12의 약수이어야 함이 와닿지 않으시면 한 번 볼 만한 글일 겁니다. 증명은 매우 간단합니다. 귀류법으로 보여보죠.
자연수 k가 2보다 큰 소수 p에 대해 나누어떨어진다고 하자. 그럼 위에 나온 k의 n제곱은 p로 나누어 떨어진다.
반면, 2의 12 거듭제곱은 소수 2만을 인수로 갖는 수이다. 즉, 우변은 p에 대해 나누어떨어지고 좌변은 p에 대해 나누어 떨어지지 않는다. 따라서 2보다 큰 소수 p로 나누어 떨어지는 k가 존재하지 않는다.
위의 내용을 바탕으로 자연수 a에 대해,
가 성립함을 알 수 있으므로 an=12에서, 자연수 a, n 조건을 생각하면 a,n 모두 12의 양의 약수임을 알 수 있다.
따라서 n은 12의 양의 약수이다.
솔직히 막 이렇게 엄밀하게 현장에서 따져들 필요는 없는데, 6평 풀었을 때 저 지점에서 한 치의 망설임이라도 있었다면 꼭 짚어갈 만한 요소라서 증명해봤습니다.
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