Evolved Slave II [872525] · MS 2019 · 쪽지

2021-06-20 18:47:09
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머리 식힐 사람 들어오셈 ㅋㅋ(수2)

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오늘은 약간의 실험 겸 순수 수식이 아닌 직관을 조금 사용해서도 기출 문제를 푸는 방법으로 풀이를 소개해보고자 합니다. 당시 전설의 난이도를 자랑한 11수능 가형 24번입니다.


풀이) g(t)가 t=3과 t=19에서만 불연속이고, f(0)=3에서 f(x)=3인 실근의 개수와 f(x)=19인 실근의 개수가 주변 y값에 대해 차이가 생겼다는 뜻이므로 f'(0)=0 또는 f(x)=3을 만족하는 0이 아닌 실근 b에 대해 f'(b)=0임을 알 수 있다. 또한, 이와 같은 원리로 f(x)=19를 만족하는 한 실근 a에 대해, f'(a)=0임을 알 수 있다. 


이 때, 0<b이면 a<b임을 평균값 정리에 의해 알 수 있다.(f(0)=f(b)=3에서, 0과 b 사이에 반드시 f'(x)=0인 실근이 존재한다.)


같은 원리로 b<0이면 b<a<0임을 알 수 있다.


이를 통해 f'(x)=0을 만족하는 실근이 최소 2개임을 알 수 있고, 만일 f'(x)=0인 실근 m에서 f'(x)가 (x-m)²으로 나누어 떨어진다면 f(m)=t에서 g(t)가 연속이므로 f'(x)=0인 서로 다른 실근의 개수는 3개임을 알 수 있다.


그 외의 t값에서는 g(t)가 불연속이지 않으므로 f(x)=3, f(x)=19인 실근 x 중에서만 실근을 가지므로


f'(x)=4x(x-a)(x-b)(단, a<b)에서, f'(3)=12(3-a)(3-b)<0이므로

(3-a)(3-b)<0에서, 이차함수 (x-a)(x-b)에 대해, a<3<b임을 알 수 있다. 즉, 0<a<3<b이다.


f(a)-f(0)=19-3=16=(2b-a)a³/3, f(b)-f(0)=0=(2a-b)b³/3에서, b=2a, a=2임을 알 수 있다.


f'(x)=4x(x-2)(x-4)=4(x-2){(x-2)²-4}에서, f'(x)=-f'(4-x)이고, 

f(2)=19, f'(2)=0이므로 f(x)=(x-2)⁴-8(x-2)²+19이다.


따라서 f(-2)=147



굳이 마지막 계산식에서 f(x)-3=x²(x-4)²을 쓰지 않고 푼 건, x=2 대칭임을 유도하는 과정을 역순으로 이해할 수 있게 풀어쓴 겁니다! 좀 쓸데없이 복잡해보일 수 있지만, 이것도 나름 그래프 해석을 써서 정당화시킨거지 살짝 뭉개서 표현한 부분도 있고, 이 과정 하나하나는 당연하게 나올 수 있을 정도로 수2를 공부하면 요즘 22번에 걸맞는 분석을 할 수 있을 거라 봅니다.


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