안녕하세요네 [1053059] · MS 2021 (수정됨) · 쪽지

2021-06-11 21:00:49
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수학 회독법-수학적 사고의 확장

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오랜만에 유익한 글로 온 것 같습니다. 사실 이번 6평 22번이랑 20학년도 수능 나형 30번이랑 비슷한 것 같아서 과외준비하다가 좀 재밌는 풀이가 생각나서 생각난 김에 어떻게 그런 풀이를 떠올렸는지 수학적 사고를 확장하는 법에 대해서 제 나름대로의 방식을 써보려구 합니다.


 저번에 올렸던 수학 n회독 관련 글에서 n회독 할 때는 '처음이랑 다른 관점으로 봐라'라고 말씀드렸었는데 유사한 맥락인 것 같아서 수학 기출 회독법하고도 같은 선에서 생각하셔두 될 것 같습니다.


일단 문제는 이렇습니다.

제가 이 문제를 처음 풀었을 때는 일단 푸는 데에 목적을 두고 풀었기 때문에 y=x와 y=-x를 그리고 f(x)를 요리조리 그려보면서 조건을 만족하는 f(x)를 찾았던 걸로 기억합니다.


 이렇게 말이죠.





 이 문제를 다시 풀 때는 이 문제를 처음 풀 때 단순히 두 개형 중 한 가지를 제거하는 데에만 사용했던 f'(1)=1이라는 조건을 보다 잘 이용할 수는 없을까?라는 생각을 가지고 풀어보았습니다.

 f'(1)=1이기 때문에 이렇게 x=1에서 f(x)와 접하는 직선을 그리고 이를 사용해보기로 했습니다.

그림을 보면 기울기가 1인 직선 두 개와 f(x)가 접하는 모습이 보이죠? 이걸 사용할겁니다.

 

기울기가 1인 직선 두 개와 f(x)가 접하는 두 점 중 하나를 x=1이라고 생각하고 케이스를 나눠서 풀어보면


세 가지 케이스를 그려보면 마지막 케이스만이 답이 될 수 있다는 것을 알 수 있고, 식을 세워 문제를 쉽게 해결할 수 있습니다.



이 방식으로 문제를 풀 때는 y=f(x)와 y=x, y=x+k라는 세 개의 그래프를 이용했습니다.

여기서 f(x)-x를 기준으로 문제를 푼다면 f(x)-x라는 그래프와 x=0, x=k를 이용해서 문제를 풀 수 있지 않을까?

즉, f(x)-x는 1에서 극값을 갖고, 0에서 해를 가지니까 이를 이용한다면 보다 식을 간단하게 쓸 수 있지 않을까라는 생각이 들어서 f(x)-x=0과 f(x)+x=0을 f(x)-x를 기준으로 f(x)-x=0, f(x)-x+2x=0이라는 두 식으로 생각해보기로 했습니다.


이렇게 말이죠.

이렇게 생각한다면 바로 2번 그래프의 개형이 문제에서 구하고자 하는 개형임을 알 수 있고 계산 역시 매우 간단하게 끝낼 수 있습니다.

위의 풀이에서는 3개였던 미지수가 2개로 줄어든 모습이죠.


물론 2번째 풀이에서도 비율관계를 이용하여 x=3/2에서 근을 가지는 것을 알 수는 있지만 y=f(x)와 y=x의 두 그래프를 가지고는 직관적으로 알기가 쉽지는 않습니다. 반면에 y=f(x)-x와 y=0의 두 그래프에서는 보다 쉽게 알 수 있죠.

이러한 방식으로 사고를 확장해나가며 내가 앞으로 비슷한 문제를 만났을 때 어떤 식으로 먼저 시도해봐야지라는 데이터베이스를 쌓아가는 겁니다.




문제를 풀고 난 뒤에는 생각을 해보는 겁니다. 왜 f(x)-x=0이라는 그래프를 중심으로 풀면 더 쉽게 풀 수 있을까?


 문제의 조건에서 f'(1)=1이라는 조건을 주었습니다. f(x)-x=0은 x=1에서 극값을 가진다는 뜻이죠.

f(x)-x=0은 x=0에서도 근을 가집니다. 극점의 x좌표와 하나의 해를 알기 때문에 그래프는 두 개중 하나로 정해집니다.


 f(x)+x=0보다 f(x)-x=0이라는 그래프에 대하여 내가 알 수 있는 것이 더 많기 때문에 이렇게 f(x)-x=0을 중심으로 조건을 해석하고, 그래프의 개형을 줄여놓은 다음 f(x)+x=0을 이용해서 마무리 계산을 하면 보다 쉽게 풀 수 있는 것입니다.




이런 방식으로 내가 처음 풀었던 풀이에서 부족한 점을 찾고, 그 부분을 중심으로 조건을 해석하여 보다 간결한 풀이를 찾아가며, 이 과정 속에서 뭔가 이렇게 해도 될 것 같은데? 라는 생각이 드는대로 문제를 여러 방향으로 풀다 보면 자연스럽게 수학적 사고가 확장되고, 수학 실력이 늘게 될 것입니다.


 좀 이해하기 쉬운 예를 들자면 수열이 있는데, 처음 풀 때는 나열을 하여 답을 구했다면, 두 번째 풀 때는 나열한 것에서 규칙성을 찾고, 문제의 조건을 보며 왜 이런 식으로 규칙성이 나올까에 대하여 생각해보고, 조건을 다시 해석해보는 과정을 거치는 것입니다. 가능하다면 조건에 조금 변화를 준다면 어떤 식으로 규칙성이 변할까에 대해서도 생각해보면 좋겠죠.




 아무튼 긴 글이지만 읽어주셔서 감사하고, 퀄리티가 그렇게 좋지 못한 점은 죄송합니다.(갑자기 생각나서 쓴 글이라..)

궁금한 점이 있으시다면 언제든 댓글이나 쪽지로 질문 주시면 제가 시간 날 때마다 답변 드리도록 하겠습니다.

무엇보다도 수학뿐만 아니라 어떤 과목이든 팁은 팁일 뿐 맹목적으로 이렇게 해야지 하시면 역효과가 날 수도 있습니다. 한 번 시도해보시고 괜찮다 싶으시면 이런 방식으로 공부하시는 걸 추천드립니다.


 마지막으로 수학은 결국 피지컬 싸움입니다. 피지컬 올리고, 새로운 상황에 대처하는 데에는 문제를 많이 풀어보는 것이 최고입니다. 문제를 많이 풀되, 본인에게 맞는 방법을 통해 보다 효율적으로 공부하시기를 바랍니다.

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