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#42 [964199] · MS 2020 · 쪽지

2021-05-09 22:12:40
조회수 948

머리 식히기 정삼각형 풀이

게시글 주소: https://orbi.kr/00037538031

펜슬은 맨날없음 ㅅㄱ


문제:

넓이가 1인 정사각형이있다.

이 안에 들어갈수 있는 가장큰 정삼각형의 한변의 길이를 구하시오.










일단 정삼각형이 정사각형 안에잇는 경우를 생각해봅시다.


변끼리 공유된경우와 안된경우가있죠.

공유된경우는 최대 한변이 1입니다.

최대 1인데 1이 가능하니까 그냥 넘어갈게요




공유 안된경우는

정삼각형의 꼭짓점이 정사각형과 몇개만나는지 생각해 봅시다.

먼저 안만날 경우는 정삼각형의 중심을 닮음 중심으로 확대시킬수

있기에 절대 최대가아닙니다.


한개만날경우는 그 만나는 한점을 닮음 중심으로 확대시킬수있기에

또 최대가아닙니다.



두개 만날 경우는 두가지 가있을수있죠.

이웃하는 변으로 두개만날경우와

마주보는 변으로 두개만날경우.


전자의 경우는 안만나는 한점을 반대쪽 꼭짓점으로 평행이동시키면

한점에서 만나는 삼각형과 넓이가 같기에 최대가 아닙니다.


후자의 경우는 평행이동 시켜서 정사각형의 꼭짓점과 닿게 할수있습니다.


세개의 꼭짓점이 만날경우는 후자와 비슷하게 평행이동으로 정사각형의 꼭짓점과 닿게 할수 있습니다.



즉, 최대의 넓이를,

정사각형과 하나의 꼭짓점을 공유하고 하나의 꼭짓점은 만나는 경우에서 찾을 수 있습니다.

그러면 위에서 만난 두 꼭짓점을 이은 선분이 정삼각형의 한변이되고, 이 선분이 정사각형의 모서리와 이루는 각을 a도 라고 잡을 수있습니다.


a도가 클수록 정삼각형은 커지니, a의 최댓값을 구해야합니다.

a는 15를 초과할 수없습니다. 15를 초과하면 정삼각형의 한 각이 60도이므로 반대쪽 각이 15보다 작아지는데, 이러면 반대쪽 선분은 정사각형 밖으오 나가게됩니다.


따라서 15도일때를 살펴보면

양쪽이 같게되어서

위와같이 뚱땅뚱땅 식세워서 풀면

답이나옵니다.


15도 이하여야하는데 

15도가 가능하므로 15도일때가 최대인거죠

답은 루트6-루트2




뭐 충분히 엄밀한거같지는 않은거 같기도한데

좆반고 고등학생한테 기대할수잇는 엄밀함이 이정도죠뭐...

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#42 [964199]

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