무브

오르비

아톰

내 태그

내 태그 설정

입시
학습
생활
클럽
직업·취업
Epioptimus
Centurion

Evolved Slave II [872525] · MS 2019 · 쪽지

2021-05-08 13:23:28
조회수 909

머리 식힐 사람 들어오셈 ㅋㅋ

게시글 주소: https://orbi.kr/00037520637

이번에는 머리 식힐 겸 수특 미적분 문제로 하려 합니다. 아이러니하게도 이 문제는 미적분을 쓰는 것보다 수2 지식을 얼마나 잘 이해하느냐에 따라 문제 푸는 속도가 차이가 많이 나는 문제입니다. 한 번 보시죠.


기본 상황 정리) f(x)=a/(x²+1)이라 하면, f(-x)=f(x)이므로 x>0 범주에서 분석으로 해당 문제를 해결할 수 있다. 이 때, 점 C의 x좌표가 양의 실수값이라 하면, 각 OAC=theta/2임을 알 수 있다.


※해당 계산은 교과 과정 외이지만 계산의 편의성을 위해 제가 도입한 풀이이므로 교과 과정 내로 풀고 싶으시면 바로 밑에 풀이로 넘어가시면 됩니다. tan(theta)=4/3이므로 tan(theta/2)=4/(3+sqrt(3²+4²))=4/(3+5)=1/2이다.


풀이) tan(theta)=tan(2×theta/2)

=2tan(theta/2)/(1-tan²(theta/2))=4/3이므로

2tan²(theta/2)+3tan(theta/2)-2=(2tan(theta/2)-1)(tan(theta/2)+2)=0이므로 tan(theta/2)=1/2이다.


즉, 접선의 y절편이 a에서, 접선의 x절편이 a/2임을 알 수 있으으로 접선의 방정식이 y=-2x+a임을 알 수 있다.


접점은 아래와 같은 2가지 조건을 모두 만족하는 점임을 알 수 있다.


(1) 두 함수의 교점

(2) 두 함수의 차이함수가 중근을 가지는 점


(1)을 살펴보자. y=a-2x=a/(x²+1)에서, x²+1>0이므로 

a=(a-2x)(x²+1)임을 알 수 있다. 여기서 별 고민없이 (2)를 쓰면, 삼차함수를 전개해서 상수 a값을 구할 수 있다.

-2x³+ax²-2x+a=a에서, x(2x²-ax+2)=0에서, (2)에서 이차방정식 2x²-ax+2=0에서 이 다항식의 판별식이 0임을 알 수 있으므로 D=a²-16=0, a>0에서 a=4이다.


하지만 다시 한 번 생각해보자. x=0에서 교점을 갖고 있고 x=0이 아닌 실근에서 (2)임을 알고 있다면 과연 전개를 해야만 할까? 당연히 아니다. 


삼차방정식 (a-2x)(x²+1)-a=0에서, 세 실근의 합은 근과 계수의 관계에 의해, a/2이고, 접점의 x좌표를 b라 하면, 

0+b+b=a/2임을 알 수 있으므로 b=a/4임을 구해낼 수 있다.

즉, x=a/4에서 (a-2x)(x²+1)-a=0은 실근을 가진다. 이를 대입하면,


(a/2)(a/4)²+1)-a=(a/2){(a/4)²-1}=0임을 알 수 있다.

a>0이므로 a/4=1에서, a=4이다.



보자마자 (t,f(t))에서의 접선의 방정식 생각나서 계산만 생각했으면 다시 풀어볼 만한 문제입니다.

rare-경찰 오리비 rare-기출파급 미적분상 rare-기출파급 수학2상 rare-골드바

0 XDK (+0)

  1. 유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.

Evolved Slave II [872525]

쪽지 보내기

글쓰기
오르비 1314280번째 회원 가입
ddna
1,421,980 건의 게시물이
블록체인에 디지털 공증되었습니다.
901,659
497,321
22,267
574
159

오늘의 추천 글

2025 수능D - 203

오르비 플레이

오르비 RARE

오르비 과외시장
Move
our corporate site
Orbi Class
on-line classes
Atom
educational books & resources
Gae9
humor and fun

© 2000-2024 Move Inc.

orbisoptimus (v17-18f97d)