Evolved Slave II [872525] · MS 2019 (수정됨) · 쪽지

2021-05-05 11:59:07
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머리 식힐 사람 들어오셈 ㅋㅋ(190930 가형)

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오늘은 좀 쉬어가자는 느낌으로 평가원 기출을 가져왔습니다. 그래프를 그리는 게 당연하고, 실제로 g(x) 정도까지는 그래프를 그려야 하지만, 솔직히 현장에서 g(x)=2x⁴×e^(-x) 이거 하나만을 못 그려서 못 푼 건 아니니(오히려 이것'만' 그릴 줄 알아서 못 풀었겠죠.) 그냥 g(x) 개형은 당연히 그릴 수 있다는 전제 하에서 진행해보겠습니다. 2019학년도 9월 평가원 가형 30번입니다.



f(x)>=0, g(0)=0, (나)에 의해, 

h(0)=f(g(0))=f(0)=0

h'(0)=f'(g(0))×g'(0)=f'(0)×g'(0)=0


f(x)=1/2×(x-a)x(x²+mx+n)(단, a<0, a,m,n은 실수)라 하자.


하지만 f(x)>=0이고 f(0)=0이므로 실수 전체에서 f(x)<0인 실근을 갖지 않으려면 x²+mx+n에서 x²+mx+n=x(x-a)이어야 한다. 


(여기에서 f(0)=0이고 f(x)>=0이므로 f(x)는 x²을 인수로 가짐을 보일 수 있다. 직관으로 풀 시에 가장 자주 하는 비약인 게, f'(0)=0이어서 f(x)가 x² 인수를 가지는 게 아닌, f(x)>=0이므로 f(0)=0에서 f(x)가 x² 인수를 가지는 거다. 순서가 반대다.)


f(x)=1/2×x²(x-a)²에서, f(x)=0인 실근은 x=a 또는 x=0이므로 h(x)=0인 실근은 g(x)=0 또는 g(x)=a인 실근이고 g(x)=0인 실근은 x=0에서 유일하므로 g(x)=a인 0이 아닌 실근이 (가)에 의해 3개 있어야 한다. g(x)>=0이므로 이는 모순이다. 즉, f(x)는 x<0인 지점에서 f(x)=0인 실근을 가질 수 없다.


위의 결론을 바탕으로, f(x)=1/2×x²(x²+mx+n)(n>0)임을 알 수 있고, 이차방정식 x²+mx+n=0에서, 판별식 D에 대해

D=m²-4n<0이면 f(x)=0인 실근이 x=0에서 유일하므로 위에서 보였듯이 이는 (가)에 대한 모순이다.


따라서 D>=0이고, 특히 f(x)=0인 실근이 더 존재해야 하므로 D=0이어야 함을 알 수 있다.(D>0이면 f(x)=0인 실근이 x=0 외에 2개가 생기는데, 그 실근 사이에서 f(x)<0인 모순이 발생하므로 해당 f(x)는 없다.)


f(x)=1/2×x²(x-b)²(b>0)이고, (가)에 의해 g(x)=b인 실근의 개수가 3개이어야 하므로 y=g(x) 그래프를 참고하면 0<b<g(4)임을 알 수 있다.


이 때, 극댓값인 (f(x)=f(2b-x)이므로 x=b/2에서 극값을 가짐은 미분 없이 자명하다.) f(b/2)=1/32×b⁴<8이면, f(x)=8인 실근이 각각 x<0, x>b인 실근 1개를 가지므로 위의 결론들을 다시 이용하면 h(x)=0인 실근의 개수는 최대 4(=1+3)개임을 알 수 있으므로 (다)에 대한 모순이다.


f(b/2)=8이면 f(x)=8인 실근이 x<0인 실근에서 1개, x=b/2, x>b인 실근에서 1개를 가지게 되므로 g(x)=b/2인 실근은 3개에서, t>b인 실근 t에 대해, g(x)=t>b에 대해 실근을 3개 가져야 하므로 t<g(4)임을 알 수 있다. b=2²=4이므로 4<t<g(4)임이 성립하면 된다.


g(4)=2×4⁴×e^(-4)이므로 e<3에서 

4<6<2×(4/3)⁴=512/81<g(4)이므로 이는 성립한다.


따라서 f(x)=1/2×x²(x-4)²에서, f'(x)=2x(x-2)(x-4)이므로 f'(5)=30이다.



+) 왜 f(b/2)>8인 건 안 따지냐고 하면, f(b/2)>8이면 구간 (0,b/2), (b/2,b)에서 각각 1개씩 f(x)=8인 실근이 1개씩 존재하게 되고 각각 g(x)=t꼴 실근을 3개 가지므로 이미 6개인데 x>b인 실근에서도 f(x)=8을 다시 가지게 되고 b값에 무관하게 g(x)=t꼴 실근을 1개 이상 가지므로 h(x)=8 실근을 최소 7개 가지게 되어 (다)에 대한 모순이다.



물론 현장에서 그래프로 푸는 건 현명한 판단이지만, 다만 엄밀하게 따지고 들어가면 다들 얼버무릴 만한 논리가 있는 문제라 이를 잘 짚고 넘어가라고 작성해봤습니다.

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