수학 칼럼 : 킬러문제를 관통하는 구조의 단순화
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예전 부터 좀 정리해보고 싶었던 주제이긴 한데, 사실 원래 너무 당연한거지만,....음... 암튼 잘 봐주세요 ㅋㅋ
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조건과 미지수의 1:1 대응관계
- 연립의 기본 원리 -
처음 연립방정식을 배울 때, 우리는 다음과 같은 조건을 배웠습니다.
“문자의 개수와 식의 개수가 동일한 방정식”
예를 들면 다음과 같습니다.
또한,
이것도 연립방정식이죠, 문자의 개수와 식의 개수가 같으니까요.
실제로 고난도 (준)킬러 문제에서는 이런 단순한 연립방정식은 산수에 불과합니다.
하지만,
좀 더 거시적으로 바라보면, 킬러문제에서 매우 유용하게 쓰일 수 있습니다.
“문자의 개수와 식의 개수가 동일” 이라는 표현을 같은 의미, 다른 표현으로는
“구하려고 하는 미지수의 개수 와 문제에서 주어진 조건의 개수 가 동일”
이라고 할 수도 있습니다.
즉, 문제에서 구해야 하는 “미지수, 변수, 문자”의 개수를 파악한 후 그 개수에 맞추어
“조건을 추출”하는 과정을 거쳐야 한다고 “의식”하고 “정리”해야 합니다.
- 실전에서의 사고과정 -
이번 2021학년도 수능 나형 30번 입니다.
문제에서 요구하는 것을 살펴보면, 최종적으로는 함수 f(x) 와 g(x) 를 결정해야 합니다. 즉, 두 함수를 결정하기 위해서는 주어지지 않은 미정계수 5개를 찾아야 합니다.
“5개의 미정계수”를 찾기 위해 우리는 문제에서 “5개의 조건”을 추출해야 합니다.
처음 드는 생각에는 다음과 같을 겁니다.
가장 눈에 띄는 것은 이 4가지 조건입니다.
결국, 연립의 기본 원리에 의하면, 우리는 조건 1개를 놓쳤다는 것을 쉽게 알아차릴 수 있습니다.
(나만 놓친건 아니겠지....)
x=0 에서 함수 h(x)는 절댓값으로 표현되어 있으므로, 절댓값 함수의 미분 가능성을 고려하여,
“ x=0 에서 미분 가능하다.” 라는 마지막 5번째 조건을 찾게 됩니다.
이후 풀이과정은 이 5가지 조건을 통해 해결하면 됩니다.
(그럴 시도조차 안하겠지만, 시간이 많다면, 무식하게나마 5원 1차 연립방정식을 풀면 되겠죠...)
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다른 예시입니다.
2021학년도 수능 가형 30번입니다.
이 문제의 경우, 삼차함수를 결정하는 문제이므로, 구해야 하는 것은 “미정계수 3개”입니다.
즉, “조건 3개”를 추출하면 됩니다.
문제에서 처음 보이는 조건을 나열해보면,
입니다.
이 조건을 갖고 좀 더 문제를 분해해보면,
으로 바뀐다는 것을 알 수 있습니다. 좀 더 디테일하게 언급하자면,
변수는 두 개가 늘어 5개의 미지수를 구해야 하고, 조건도 5개가 추출된 셈입니다.
(실제로 계산 과정에서 문자 5개의 연립을 한다는 것은 아닙니다...ㅎ 실제 계산 과정에서는 문자 2개만 필요하죠!)
이제, 비율관계 열심히 써서 연립하면 됩니다.
+) 이 문제를 해결하기 위해, 풀이과정에서 두가지 케이스로 나누어야 합니다. 극솟값이 범위의 양 끝일 수도 있기 때문이죠... 이런식으로 케이스를 나누어야 하는 "문제상황"이 발생했습니다. 그리고 이를 해결하는 과정에서 0<a, b<1 이라는 "조건"을 활용하여 모순을 찾을 수 있죠... 이처럼 케이스를 나누는 상황에서도 새로운 문제상황, 미지수, 변수가 발생한다면, "과조건 요류"가 아닌 이상 반드시 이를 상쇄시켜 줄 새로운 조건을 추출할 수 있습니다!
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그래서 무슨 효용이 있는가? 라고 물어보신다면.... 아마 요것들 아닐까요?
1. 풀이를 시작 하기 전에 전체적인 문제 구조 관통 가능
2. 놓친 조건이 없는지 풀이 중 검토 가능
3. 모든 조건을 다 찾았을 시 문제에 대한 확신과 자신감이 생김
4. 조건을 추출하는 과정에서 자연스럽게 사고와 풀이가 유도됨
5. 내가 정확히 무엇을 해야하는지를 자각함으로써 뇌절 방지
사실 너무 당연한 것들이라 이런거 가지고 칼럼 써도 될지 망설였지만 걍 썼어요.. 머 어때요.. ㅋㅋ
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긴글 읽어주신 분들은 소소하게 감사하네요 ㅋㅋ
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제가 문제 푸는 방법이랑 동일하네요 반갑게 읽고 갑니다
타이밍이 너무 안 좋다,,
언제가 골든 타임인가요 ㅜㅜ
오후 8~11 정도요
칼럼은 잘 읽었습니다!
ㅋㅋ 낼 재업해야겠네요 ㅋㅋㅋ 감사합니다!!
굳
당연한 것도 몰랐네요 ㅠ 이제 알아가요
감사합니다
좋은내용 감사합니다
이게 ㄹㅇ 킬러 해결할 때 갖춰야 할 기본 자세인듯
역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라! 역시 카이스트는 달라!가장 기본적인 태도면서도 중요한 내용인거 같아요 앞으로도 칼럼 기대하겠습니다
함수를 결정하지 않고 푸는 문제들에도 똑같이 적용할수 있나요?
아마 2021수능 가형 20번 같은 문제를 말하시는 것 같네요.
문제마다 쓰일 수 있고 없고가 매우 다양하겠지만, 이 문제 같은 경우는 위 태도가 직접적으로 관여하진 않은 예시가 될 수 있겠어요.. 하지만, 위 태도를 갖고 해결할 수 있는 킬러문제들도 훨씬 많다는 것을 유념해주세요 ㅎㅎ
ㄹㅇ 이거 만능임 ㄹㅇㅋㅋ
변수 찾는게 어렵네요 ㅠㅠ
조건을 찾는게 어렵다는 말인가요? 아마 조건을 찾아가는 역량 자체가 곧 수학 실력을 결정짓는다고 생각합니다
두번째 문제는 왜 f(1)=1/2인건가요...? 그리구 극대랑 최대값,극소랑 최소값 같다고 둔것도 이해가안가요,,ㅠㅠ죄송해요 제가 노베라소,,,,
자세한 풀이는 다른 해설지나 해설강의를 참고하시는게 좋을 듯 하네요...
이 글은 문제 푸는 사고과정과 태도에 대한 내용이기 때문에 너무 자세한 해설은 넣지 않았어요.. 죄송함다
학생들에게 엄청 도움이 될 좋은 내용이네요!!감사합니다! 종종 좋은글 많이 보고 가요!
대단해요! 문제풀 때 고민한답시고 제자리걸음하는 친구들에게 도움이 많이 될 것 같네요.
정확히 무엇을 고민해야 하는지 그 방향을 제시해 줄 수 있다고 생각합니다! ㅎㅎ
함수 식 만들어야 하는 킬러문제가 굉장히 많던데 저 생각이 확실히 도움이 되더라고요. 머리속에서 정리하며 풀 수 있음
이거 한완수에 예외도 있더라고요 ㅋㅋ 좋은 방법이긴 한데 맹신할 방법은 아닌듯
혹시 쪽지로 예외좀 보내주실 수 있나요? ㅎㅎ 궁금해서요 ㅎㅎ
작년 책에있었던갓 같은데 버려서...뭔가 당연하고 어릴 때 배운 내용인데 킬러문제를 풀 때 이걸 이용해 관통할 수 있다는건 생각을 못해본것같아요! 의식적으로 알고 접근하는거랑 풀다가 슬쩍 생각나는건 다르니까요 칼럼 감사합니다!!
ㄹㅇㅅㅌㅊ네