자작문항/수학2 - 1
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예시문항 기준 14번에 배치하긴 했는데.... 잘모르겠습니다.
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신성규t 0
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1번
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변곡접선을 쓰고 안 쓰고가 난이도에 너무 차이를 주는 문제 같아요. 안 쓰고 엄밀히 풀면 (f(x)-3)/(x-t)=f'(x)을 만족하는 실근의 개수가 총 2개이므로 케이스 나눠서 해야 하는데 어우...
마자요 저도 변곡접선 이외에는 어떻게 풀어야하는지 잘 모르겠음...
4번 와 어렵네요 맞아요?
ㄷㄷ... f(X)-3 =삼차항 이라는 식 처음에 안쓰고 풀었다가 죽는줄...
엄밀하게 풀 시엔 다음과 같습니다.
y=f(x)를 지나는 실근 s(s=/=t)에 대해, {f(s)-3}/(s-t)=f'(s)를 만족한다. 이를 정리하면, f(s)-f'(s)(s-t)-3=0의 실근의 개수로 판단이 가능하다.
f(s)=(s-t)^3+a(s-t)^2+b(s-t)+c로 표현이 가능하고,(단, a,b,c는 실수) f'(s)=3(s-t)^2+2a(s-t)+b에 대해, f(s)-f'(s)(s-t)-3=-2(s-t)^3-a(s-t)^2+c-3=-{(s-t)^2(2(s-t)+a)+c-3}=0에서, a=0일 경우, f(s)-f'(s)(s-t)가 감소함수가 되므로 해의 개수가 1개로 유일하게 결정된다.
a=0이 아닐 경우 s=t가 아닌 경우에서 해가 1개인 함수가 되므로 총 2개가 불가능하다.
즉, s=t일 때도 근이 존재해야 한다는 소리고, a=0이 아닌데도 s=t일 때 근이 존재하면 g(t)=1 또는 2 또는 3을 만족하므로 이는 가정에 모순이다. 즉, a=0이다.
즉, 실수 t에 대해 t=s를 만족 시 f(s)-(s-t)f'(s)-3=0이 실근을 만족하려면, f(s)=3이고 f'(s)=f"(s)=0을 만족해야 하므로 f(x)=(x-s)^3+3으로 결정된다.
f(1)=3+(1-s)^3=2에서, 실수는 s=2로 유일함을 알 수 있다.
따라서 integral 0 to 4 f(x+2) dx = integral 0 to 4 {(x)^3+3} dx = 64+12=76임을 알 수 있다.
정말 어렵네요,,
4번! 재밌게 풀었습니다 좋은 문제 감사합니다