Evolved Slave II [872525] · MS 2019 · 쪽지

2021-01-21 23:27:40
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머리 식힐 사람 들어오셈 ㅋㅋ(210921 해설)

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오늘은 제목처럼 간단하게 210921(나형)을 해설해 보도록 하겠습니다. 수열 문제라 케이스 분류가 익숙하지 않으신 분들에게는 상당히 힘들었던 문제일 듯하네요. 문제는 이렇습니다.

해설)

a(n+2), a(n+1), a(n)에 대한 식이고 a(n)과 a(n+1)의 부등식에 따라 함수가 바뀌므로 a(3)=2에서 a(1)>a(2), a(1)<=a(2), a(2)>a(3)=2, a(2)<=a(3)=2, a(3)=2>a(4), a(3)<=a(4)으로 경우를 나눠야 한다. 이 때, a(3)과 a(4)의 부등호 관계는 어떤 케이스든 a(2)=0을 경계로 갈리므로, a(2)<0, 0<=a(2)<1, 1<=a(2)<=2, a(2)>2으로 나눌 수 있다. 표기의 편의 상 a(2)=k라 하자.


i) k<0

a(1)>a(2)=k이므로 a(3)=a(1)+a(2)=2에서, a(1)=2-k이다.

a(2)<a(3)이므로 a(4)=2a(2)+a(3)=2k+2<a(3)

a(5)=a(3)+a(4)=2k+4>a(4)

a(6)=2a(4)+a(5)=6k+8=19에서, k=11/6이므로 해당 범위에선 성립하지 않는다.


ii) 0<=k<1

2-k>k이므로 a(3)=a(1)+a(2)이다.

즉, a(1)=2-k로 나타낼 수 있다. 

a(4)=2a(2)+a(3)=2k+2>=a(3)(사실 여기서 이미, a(2)>=0이므로 n>=3에서 a(n)<=a(n+1)임이 자명함을 알 수 있다.)

a(5)=2a(3)+a(4)=2k+6

a(6)=2a(4)+a(5)=6k+10=19에서, k=3/2이므로 해당 범위에선 성립하지 않는다.


iii) 1<=k<=2

a(1)<=a(2)이므로 a(3)=2=2a(1)+a(2)에서,

a(1)=(2-k)/2로 표현할 수 있다.

a(2)<=a(3)이므로 a(4)=2a(2)+a(3)=2k+2(사실 여기서 이미, a(2)>0이므로 n>=3에서 a(n)<a(n+1)임이 자명함을 알 수 있다.)

a(5)=2a(3)+a(4)=2k+6

a(6)=2a(4)+a(5)=6k+10=19에서, k=3/2이고, 이를 a(1)에 대입하면 a(1)=1/4임을 알 수 있다.


iv) k>2

a(2)>a(3)>a(1)이므로 a(3)=2=2a(1)+a(2)에서, a(1)=(2-k)/2로 표현 가능하다.


a(4)=a(2)+a(3)=k+2(사실 여기서 이미, a(2)>0이므로 n>=3에서 a(n)<a(n+1)임이 자명함을 알 수 있다.)

a(5)=2a(3)+a(4)=k+6

a(6)=2a(4)+a(5)=3k+10=19에서, k=3이므로 a(1)=-1/2임을 알 수 있다.


즉, 이를 종합하면, 가능한 모든 a1값의 합은 1/4+(-1/2)=-1/4임을 알 수 있다.

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