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Evolved Slave II [872525] · MS 2019 · 쪽지

2021-01-18 10:38:01
조회수 1,120

머리 식힐 사람 들어오셈 ㅋㅋ(해설)

게시글 주소: https://orbi.kr/00035316137

문제 원본입니다. 한 번 고2들이 볼 관점과 고3들이 볼 관점이 사뭇 달라 두 개 다 풀이해보겠습니다.



아마 고2들 풀이) x=k 대입 시에 2^(-a)로 값이 같고, 0<k<1, k>1로 나눠서 생각해보자. 


우선 k>1일 때부터 살펴보면 logk(x)는 증가함수이므로 x>=k에서 증가하고, log(1/k)(-x)=-logk(-x)이므로 x<k에서 증가하므로 f(x)는 실수 전체에서 증가함수이다. 즉, f(x)=x에서 f(x)=g(x)를 만족하므로 x=-3/4, x=t, x=5/4에서 y=x와 y=f(x)가 교점을 갖는다.


하지만, a가 양수이고 logk(x)가 위로 볼록인 함수이고 f(k)=2^(-a)<1<k에서, f(x)=x를 만족하는 실근 x가 k보다 큼을 알 수 있다. 즉, 이는 0<t<1에 대해 모순이다. 따라서 0<k<1임을 알 수 있다.


위에서 보인 방법과 같은 원리를 이용하면 0<k<1에서 f(x)는 감소함수임을 알 수 있다. f(x)=g(x)를 만족하려면 우선 x<k와 x>=k에서 함수가 서로 y=x 대칭이어야 하므로 a=b가 아닌 실근 a,b에 대해, (a,b)에서 실근이 있으면 (b,a)에도 실근이 있어야 한다. 즉, f(x)는 (-3/4,5/4), (5/4,-3/4)을 지난다고 해석이 가능하다. 


식을 대입하면, 2logk(9/4-k)+2^(-a)=-3/4, -2logk(7/4+k)+2^(-a)=5/4이고, 이를 정리하면 -1=logk((9/4-k)(7/4+k))이 성립하므로 1/k=(9/4-k)(7/4+k)임을 알 수 있다.(0<k<1이므로  실근의 개수가 유지된 채로 로그를 제거 가능)


이를 다시 정리해서 보면, 16k^3-8k^2-63k+16=0이고, 이를 인수분해하면 (4k-1)(4k^2-4k-16)=0에서, 0<k<1을 만족하는 실수 k는 k=1/4가 유일함을 알 수 있다. k값이 나왔으므로 다시 두 점에 대입해보면, 2^(-a)-1=-3/4에서, a=2임을 알 수 있고, f(x)가 (1/4,1/4)을 지남을 알 수 있다.


또한 f(x)=x일 때도 f(x)=g(x)가 성립하므로 t=f(t)임도 알 수 있다. 그런데 (-3/4,5/4)는 y>x이고, (5/4,-3/4)은 x>y이므로  연속인 감소함수 f(x)는 사잇값 정리에 의해 f(x)=x인 실근의 개수가 1개 이상 존재하고, 이 실근이 x=t=1/4로 유일함을 알 수 있다. 


따라서 30(a+k+t)=30(2+1/4+1/4)=75이다.



여기까지가 고 2였고요, 고 3은 '쉽게' 풀어봅시다.


고3 풀이) 연속함수 f(x)에 대해 역함수 g(x)인 교점은 f(x)가 증가함수일 경우 f(x)=x인 실근이고 f(x)가 감소함수인 경우 x+y=k 위에 있는 짝수 개의 점과 y=x에서의 점 하나에서 실근을 가지므로 f(x)가 증가함수이면 y=x와 x=-3/4, x=t, x=5/4에서 실근을 가지고 f(x)가 감소함수이면 x=t에서 y=x와 교점이고 f(x)가 (-3/4,5/4), (5/4,-3/4)을 지나고 (t,t)도 x+y=1/2위에 존재하므로 t=1/4임을 알 수 있다.


k>1이라 하면 f(x)가 증가함수임을 알 수 있는데, 0<t<1이고, a>0에서 f(k)=2^(-a)<1<k이므로 f(t)=t인 실근은 t>k>1이어야 하는데 이는 가정에 모순이다. 즉, 0<k<1이고, f(x)는 감소함수이므로 t=1/4이고 x<k, x>=k일 때 로그함수는 계수가 같고 대칭이동한 함수이므로 t=k이어야지 f(x)=g(x)인 실근 (a,b)에서(a,b)<->(b,a) 대칭 관계로 그래프가 그려진다. 


즉, t=k=1/4이고 이에 따라 a=2이므로 30(a+k+t)=75이다.



물론, 저 고3 풀이에 약간의 논리적 비약은 엄연히 있고, k값을 구하려면 고2 풀이에서 했던 것처럼 인수분해해서 풀어야 합니다.(이거 찾는 것도 꽤나 좋은 공부가 될 듯하군요.) 다만, 문제를 빠르게 파악할 때는 얻어갈 만한 관점이고, 숙달되면 눈으로 바로 풀리는 문제 범주가 확 바뀔 정도로 파악력은 좋아질 겁니다.



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