머리 식힐 사람 들어오셈 ㅋㅋ +변형문제

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오늘의 머리 식힐 소재는 171130 (가형)입니다.

문제 원본

표기의 편의 상 알파는 A, 베타는 B로 하겠습니다. 해설지 풀이들이 거의 계산의 편의상 죄다 A+B=0으로 가정하고 풀기에 '일반적인' A,B에 대해서는 어떨까라는 생각에서 한 번 쓰기 시작했습니다. 중간중간에 계산 뛰어넘는 게 있을텐데, 다 쓰기엔 ~~귀찮아서~~ 지저분해서 거의 결과값 위주로 작성하겠습니다. 혹시 계산 실수나 논리과정이 이해가 안 가면 댓글 질문 환영

g(x)=(x-a)f(x)

(나)에 의해 f(A)=f(B)=M이므로 g(x)-M(x-a)=0을 만족하는 실근이 A, B임을 알 수 있다.

또한 (나)에 의해, f'(A)=f'(B)=0이므로 g'(x)=f(x)+(x-a)f'(x)에 의해 g'(A)=g'(B)=M을 만족한다.

따라서 h(x)=g(x)-M(x-a)에서, h(x)=-(x-A)²(x-B)²=g(x)-M(x-a)임을 알 수 있다.

또한, x>a에서 f(x)=-(x-A)²(x-B)²/(x-a)+M이고, a<A<B임을 알 수 있다.

f'(x)=-(x-A)(x-B){3x²-(4a+A+B)x+2a(A+B)-AB}/(x-a)²에서, A+B=2m(단, m은 실수)라 하면, B-A=6sqrt3이므로 A=m-3sqrt3, B=m+3sqrt3이고, a<A=m-3sqrt3에서 m-a>3sqrt3....(1)이 성립한다.(해당 결론이 풀이에서 자주 쓰입니다.)

이를 대입하여 이차식을 정리하면, 3x²-2(2a+m)x+4am-m²+27로 표현 가능하고, 이를 k(x)라 하자. k(x)에서의 판별식 D에 대해, D/4=4m²-8am+4a²-81=4(m-a)²-81>27>0이므로 ((1)에 의해 성립) k(x)=0인 실근 자체는 a,m값과는 무관하게 항상 2개이다.

다만 x>a에서 정의한 함수이므로 해당 실근이 모두 a보다 큼을 보여야 한다.

k(a)=-a²+2am-m²+27=27-(m-a)²<0 ((1)에 의해 성립)이므로 x<a인 실근에서 한 개, x>a인 실근에서 k(x)=0이 성립함을 알 수 있다.

해당 결과를 통해, x>a에서 f'(x)=0을 만족하는 실근의 개수가 3개임을 알 수 있다. (다)에 의해, g(x)의 극값 개수는 2개 이하이어야 하므로 g'(x)=0을 만족하는 실근의 개수가 2개 이하이어야 한다.

g'(x)=-4(x-A)(x-m)(x-B)+M에서, B-A=6sqrt3이고 삼차함수의 1 대 sqrt3 성질에 의해 x=m-3에서 g'(x)가 극소를 가지게 되고 극솟값이 0이상이어야만 g'(x)=0인 실근이 2개 이하가 된다. (g'(x)의 극대에서도 생각할 수 있지만, 조건에 의해 M>0이므로 생략)

g'(m-3)=M-216>=0에서, M>=216이다. 따라서 M의 최솟값은 216이다.

자, 여기까지가 문제에 대한 풀이이고, 변형 문제로 넘어가겠습니다. 제가 이렇게 풀었을 때 다소 아쉬웠던 거는, 힘들게 구한 성질들을 이용해 정작 새롭게 정의한 f(x)의 개형은 구하지 못한 점입니다. 문제 조건을 살짝 바꾸고 ㄱㄴㄷ 문제로 21번으로 냈으면 정답률이 20퍼에 수렴했을 듯합니다.

객관식에서 정답률이 20퍼로 수렴한다는 말은....

변형 문제

최고차항 계수가 -1인 사차함수 g(x)에서 x>a에서 정의된 함수 f(x)가 (x-a)f(x)=g(x)를 만족하고 서로 다른 두 실수 A,B에 대하여 B-A=6sqrt3을 만족할 때 함수 f(x)는 x=A, x=B에서 동일한 극댓값 M을 갖질 때,(단, M>0) 다음 중 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. f'((A+B)/2)>0

ㄴ. f'(x)=0인 실근의 개수는 3개이다.

ㄷ. f(x)=0인 실근 개수가 2개이면 g(x)의 극값 개수는 1개이다.

(1) ㄱ

(2) ㄴ

(3) ㄱ,ㄴ

(4) ㄴ,ㄷ

(5) ㄱ,ㄴ,ㄷ

풀이는 좀 이따 한번 올려보겠습니다. 아마 ㄷ이 상당히 어려울텐데, 힌트를 드린다면 g(x)를 같이 껴둔 데는 이유가 있습니다.