Evolved Slave II [872525] · MS 2019 · 쪽지

2020-11-30 19:07:46
조회수 2,062

머리 식힐 사람 들어오셈 ㅋㅋ

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문제 읽다가 뭔가 점화식 자체는 이것저것 넣다보면 그래도 나름 간단히 나오길래 한 번 일반항을 구해보는 것도 재밌겠다 해서 구해보니 나오긴 하더군요 ㅋㅋ


점화식 a(n+2)=2a(n)+a(n+1)의 일반항을 구해보자.

a(n+2)=2a(n)+a(n+1)이니 a(n+2)-2a(n+1)=-(a(n+1)-2(a(n))이므로 b(n)=a(n+1)-2a(n)이라 하면,(단, n은 자연수)
b(n)=(-1)^(n-1)×b(1)=(-1)^(n-1)

a(n)-2a(n-1)=b(n-1)
2a(n-1)-4a(n-2)=2×b(n-2)
....
....
2^(n-2)a(2)-2^(n-1)a(1)=2^(n-2)×b(1)
a(n)-2^(n-1)=2^(n-2)-2^(n-3)+....

i) n=2k+1(k는 0이상의 정수) -> a(n)=2^(n-1)+(4^k-1)/3=4/3×2^(n-1)-1/3

ii) n=2k(k는 자연수) -> a(n)=2^(n-1)+(4^(k-1)-1)×2/3+1=4/3×2^(n-1)+1/3

따라서 a(n)의 일반항은
4/3×2^(n-1)-1/3(n이 홀수)
4/3×2^(n-1)+1/3(n이 짝수)임을 알 수 있다. 실제로 a(1)=1, a(2)=3이므로 해당 식이 임의의 자연수 n에 대해 모두 성립함을 알 수 있다.


편-안

rare-오르비 A+ rare-경찰 오리비 rare-의사양반 rare-올해 끝내숑 rare-기출파급 수학2하 rare-기출파급 수1 rare-기출파급 미적분하

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