19년 10월 교육청 21번을 순수 수식으로 풀어보자
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문제 원본
풀이) (x-n)e^x/(x-a)=h(x)라 하자.(단, x !=a)
점 (a,0)을 지나는 직선이 y=(x-n)e^x 그래프 위의 점 위에 접하게 만나려면 임의의 실수 t에 대해 (t,(t-n)e^t) 점에서 다음 식이 만족한다.
h(t)=((t-n)e^t)'....(1)
(1)을 정리하면 t !=a에 대해, (t-a)(t-n+1)=t-n(e^t>0이므로 양변을 나눌 수 있다.)이므로 이를 다시 t에 대한 이차방정식으로 정리하면 t^2-(a+n)t+an+n-a=0이 성립한다. 해당 이차방정식의 판별식 D에 대해, D의 부호에 따라 실근의 개수가 판정된다.
D=(a+n)^2-4(an+n-a)=n^2-2(a+2)n+4a+a^2=(n-(a+2))^2-2^2=(n-a)(n-(a+4))이므로 n<a이나 n-4>a이면 2개, n=a 또는 n-4=a이면 1개, n-4<a<n일 경우 0개가 된다. 이에 따라 ㄱ,ㄷ이 옳음을 바로 확인할 수 있다.
사실 이 문제는 n이 정수 조건 말고 n이 자연수 조건 걸면 수식으로 풀기 훨씬 복잡해집니다 ㅋㅋㅋ 케이스 나누는 방식이 고1 어려운 이차함수 문제 판별식 동원하는 문제 하나하나씩 넣어놓은 느낌으로
올해 수능 보는 사람이면 이렇게 풀지 마세요.
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? 당연히 저렇게 풀어야 하는것 아닌지요
변곡접선으로 그래프 두쪽으로 나눠 점근선이랑 함께 x축에서 a값에 따른 접선 개수 변화를 관찰하는게 의도같네요
변곡접선 풀이면 눈풀이 될 수도...
아아.. 뇌가 논술에 절여진 상태라 이성적 사고가 잘 안됬네요ㅎㅎ
처음봣는데 교육청은 유행한참지난 변곡접선 교점 묻고앉아잇네요...유행뒤쳐지는군.
솔직히 저거 좀 많이 구닥다리 문제긴 해서....그리고 진짜 참신했으면 수능으로 내긴 했겠죠. 솔직히 미적 킬러도 참신함이나 완전성이 점점 낮게 평가받는 게 수능이라....