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Evolved Slave II [872525] · MS 2019 (수정됨) · 쪽지

2020-10-22 20:13:43
조회수 699

머리 식힐 사람 들어오셈 ㅋㅋ(아까 문제 풀이)

게시글 주소: https://orbi.kr/00032766000

문제 원본

실계수 삼차함수 f(x)=x^3+ax^2+bx+c 에 대하여, |a|,|b|,|c| 중 최대인것을 m이라 하자.방정식 f(x)=0의 임의의 실근 alpha에 대하여 |alpha|<1+m 임을 보여라.


우선 해당 문제가 최고차항 계수가 1인 삼차함수이므로 그래프 개형이 극값이 2개 있거나 0개 있는 함수 중 하나일 거다. 극값이 0개일 때부터 증명해보자.


(1) 극값이 0개일 때

f'(x)=3x^2+2ax+b>=0에서, f(-1-m)<f(alpha)=0<f(1+m)임을 증명하면 된다.

f(-1-m)=-(1+m)^3+a(1+m)^2-b(1+m)+c<=-(1+m)^3+m(1+m)^2+m(1+m)+m=-2m^2+m-1<0

f(1+m)=m^3+(a+3)m^2+(2a+b+3)m+a+b+c+1>=m^3+(3-m)m^2+(3-3m)m+1-3m=1>0이므로 해당 상황에서는 자명하다.


(2) 극값이 2개일 때

(1)에 의해, f(-1-m)<0, f(1+m)>0임은 명확하다.

f'(x)=3x^2+2ax+b에서, 판별식 D/4=a^2-3b>0이므로 극대 극소인 실근 x에서, (-1-m)은 두 실근보다 작아야 하고, (1+m)은 두 실근보다 커야 한다.

f'(x)=0인 실근에 대해, 극대인 실근 x를 x1, 극소인 실근 x를 x2라 하면, x1<x2이고, x1=(-a-sqrt(a^2-3b))/3>=(-m-sqrt(m^2+3m))/3>(-2m-2)/3>-(m+1)에서, (m>=0인 실근이니 성립)


x2=(-a+sqrt(a^2-3b))/3<=(m+sqrt(m^2+3m))/3<2(m+1)/3<m+1이므로 (극소에서와 같은 원리) 성립


따라서 해당 명제는 참이다.


사실 이걸 두 번 미분해서 변곡점으로도 풀 수도 있는데 나형 풀이로 한 번 풀어봤습니다 ㅋㅋㅋ


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