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무지외반증 [825490] · MS 2018 · 쪽지

2019-10-22 20:17:12
조회수 1,915

기벡 팁 완전정리판입니다

게시글 주소: https://orbi.kr/00025054371

 

아까 이 문제와 관련되서 글이 하나 올라왔다.

소개해준 풀이는 평면의 방정식을 a(x-2)+by+z-5=0으로 두고 푸는 것이다.

사실 대부분의 학생들이 이런식으로 풀었을거라고 본다.

일부는 직선위의 점을 잡아서 외적을 통해 평면의 법선벡터를 구하고 점을 대입해서 풀었을 것이다.(나중에 설명할거임)

하지만 우리는 아마 까먹었을테지만 무려 고 1때 배운 무기를 통해 이를 더욱 효율적으로 풀수 있다.

바로 '두 함수를 포함하는 방정식'이다.

저 문제를 예시로 보면,



이런식으로 풀 수가 있다.

핵심은,

직선의 방정식은 두 평면의 방정식의 교집합이고, 방정식 f, g의 교집합을 만족하는 방정식을 kf +g=0 꼴로 둘 수 있다는 것이다.

이 풀이가 a,b를 미지수로 두고 푸는 풀이보다 인위적이지 않고 자연스럽게 느껴질 것이다.





두번째로 알려줄거는 외적의 쓰임새이다.

외적의 계산법과 의미는 인터넷에서 찾아봐도 나오고 좀 한다하는 친구한테 물어보면 알려줄테니 넘어가겠다.

사실 위의 문제에서도 외적을 사용해 풀 수 있으나 나는 위에서 말한방법이 더 간단하다고 느껴서 의미가 없다고 본다.

하지만 외적을 이용해 분단위로 시간단축을 할 수 있는 유형이 존재한다.

꼬인위치에 있는 직선 사이의 거리를 구하는 문제에서 외적풀이는 빛을 발한다.



마땅한 문제가 안보여서 만들어봤다.

내신에서 흔히 보이는 유형으로 직선위의 점을 각각 t, s(또는 k)로 표현하고, AB벡터랑 직선의 방향벡터랑 내적해서 연립방정식을 풀던 좆같은 기억이 떠오를 것이다. 계선실수하면 ㅈ같아서 때려치고싶은 문제 1위라고도 할수 있지만,

사실 그렇게 풀 필요가 없다.



우선 두 직선의 방향벡터를 외적해서

법선벡터가 두 직선에 모두 수직인 평면의 방정식을 구할 것이다. 이때 외적은 그 평면의 법선벡터가 된다.


L2위의 점C(1,0,0)을 쉽게 찾을 수 있으므로,이 점을 대입하면 평면의 방정식을 다음과 같이 결정할 수 있다.



이 평면을 alpha라고 두면 이는 직선 L2를 포함하고 L1에 평행한 평면이 된다. 이 성질이 중요한데,

이걸로 어떻게 두 직선 사이의 거리를 구할 수 있을까?

바로 직선L1 위의 모든 점과, 평면alpha와의 거리는 일정하다는 사실을 이용한다. 평행하니까



L1위의 점 D(0,2,4)를 마찬가지로 쉽게 찾을 수 있으므로

D와 alpha 사이의 거리는 모든 지성인 이과 수험생들이 알고 있는 점과 평면 사이의 거리 공식을 이용해 구할 수 있다.(답은 2root21/3)

사실 이 유형은 내신에 많이 나오지만 수능에는 잘 안나오는데, 그 이유는 교과외인 외적풀이가 막강한 위력을 발휘하기 때문인 것으로 생각된다.


수능 잘보기를 바랍니다.






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