질문의 시작점임
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순서대로 산수킬코
킬코 해당문제 해설
드릴미1 판서 필기
물론 킬코에서 양승진t 가 설명해주신게 문제의 특성상 그렇게 될 수밖에 없다는 점은 충분히 인지하고 있으니 패스
문제는 다항함수+ 구간에 따라 나눠진 함수 라는 전제하에
실수전체에서 역함수를 가진다는 조건이 실수전체집합에서 연속이다 라는 걸로 치환이 될수 있는가??
만약 안된다면 어떤 상황에서 혹은 된다면 어떤 조건에서 되는가 그 점을 확립하고 싶은거임..
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산수러한텐 너무 어려운..
다항함수+구간에 따른 함수여도 불연속 될 수 있지않음?
케이스가 많아서 일일히 분류하긴 힘든데
저 문제같은 경우에는 연속입니당
결국 실전에서 만나면 잘 판단해서 써야된다는 거죠?
오류인지 댓글이 이상하게 달려서
그니까 킬코 문제에는 맞는 이야기라는 걸 알겠는데..
문제는 이걸 마음놓고 아무때나 쓸수 있는가 그게 걱정인거죠
구간이 위 문제처럼 2개면 연속성 보장 되는데
3개 이상이면 보장 안됨
ㅇㅎ 정리감사합니다
실수 전체의 집합에서 조각마다 다항 함수인 경우를 말합니까?
넵
x (x < 0)
1 - x (0 ≤ x < 1)
x (x ≥ 1)
을 생각해 보십시오.
근데 킬코 (첫번째 사진)을 보면 또 맞는 얘기라
실전에서 만났을때 맹목적으로 써도 되나..그거 고민하는 거였어요
2개인 경우, 연속성은 보장됩니다. 먼저, 구간에서 연속인 함수에 대해 전단사 함수인 것과 강단조 (강한 증가하거나 감소) 함수인 것은 필요충분조건입니다 [보조정리 1]. 이는 중간값의 정리로 쉽게 증명할 수 있습니다. (이에 대한 증명은 직접 해보시길 권장합니다)
그렇다면 실수점 a 및 다항 함수 g, h를 주고, 조각마다 다항 함수 f : R -> R의 함수값을 다음과 같이 정합니다:
f(x) = g(x) ... x ≤ a
f(x) = h(x) ... x > a
그렇다면, g와 h 모두 [보조정리 1]에 의해 강단조임을 알 수 있습니다.
이제, 편의상 g가 (-∞, a]에서 증가한다고 해봅시다. 그렇다면 h는 다항 함수이므로, f의 역함수가 존재하기 위해서는 (a, ∞)에서 강한 증가해야 합니다. 이 때, h(a) > g(a)이면, 치역에 (g(a), h(a)]가 포함되지 않으므로 ∴ g(a) = h(a)여야 합니다. h(a) < g(a)이면, 역함수를 구성할 수 없습니다.
∴ f는 전 실수에서 연속입니다.
감소하는 경우에 대한 증명은 직접 해보시지요.