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DHMO [868603] · MS 2019 (수정됨) · 쪽지

2019-08-11 01:57:13
조회수 11,552

수능 때까지 자주 써먹을지도 모르는 수학 편법

게시글 주소: https://orbi.kr/00024077220

갑자기 뭔 바람이 불었는지 수학 칼럼 비스무리하게 쓰고 있는 DHMO이다... 사람 행동이 갑자기 바뀌면 죽을 때가 된 거라는데 나 죽는건가

제목에서 보다시피 수능 때 쓰면 은근히 편할? 편법들이다. 다만 편법이라는 이름에서 보다시피 고등학교 과정에서는 나오지 않는다. 따라서 지금 쓰는 내용들은 전부 논술에서 쓰면 0점이다. 외적 정도는 유도식을 같이 적어두면 써도 될 것이나(외적이 유도하기 가장 간단하거든...) 그 정도면 차라리 유도하는 과정대로 문제를 푸는 게 더 빠를 것이다... 아마?


1. 테일러 급수

탄젠트를 시그마 형태로 적지 않은 것은 거기에 대학 레벨은 되야 나오는 수열이 껴 있기 때문이다. 그거 규칙을 일일이 설명하기도 귀찮으니 그냥 처음 4개 항만 적는 정도로 생략하겠다.


고등학교 레벨에서 이해하기 쉽진 않다. 궁금하면 꺼무위키를 참조하던가 하자.

몰라도 된다만 알면 극한 구할 때 알게 모르게 편하다. 예를 들면 sinx/x의 x->0으로의 극한값이 1인 것은 sinx를 x로 치환하면 나오듯이 매우 간단하다. 요즘 수능은 이런거 쓸 필요 없도록 쉽게 만든다만... 그 극한식을 구하는게 힘들어서 그렇지


2. 로피탈의 정리

0/0 혹은 무한대/무한대의 부정형 극한을 풀 수 있는 그야말로 마검. 다만 테일러와 마찬가지로 요즘은 로피탈을 굳이 써야 하나 싶을 정도로 극한 자체는 쉽다. 그 극한을 찾기가 힘들다는 것이 문제지.

기본형은 다음과 같다.

여기서 조건이 상당히 까다로운데,

① 0/0 혹은 무한대/무한대 꼴의 부정형에서만 사용 가능하며

② f와 g가 극한으로 가는 값을 포함하는 구간에서 연속이며 미분가능해야 한다.(단, 극한으로 간 단 한점 a에서는 미분 불가능하거나 연속이 아니라도 상관없다.)

③ 또한 g'(x)가 x=a가 아닌 지점에서 0이면 안 되며

④ f'/g'의 극한값이 존재해야 한다.


이 중 하나라도 만족하지 않는 경우에는 로피탈의 정리를 사용할 수 없다.

위에서는 x->a만 적었지만 x가 +-무한대로 가는 경우에도 사용 가능하다. 또한 f'/g'이 다시 0/0이거나 무한대/무한대일 경우 위 조건만 만족한다면 다시 사용해도 된다.


이러한 편리한 도구를 평가원도 알고 있기에 대놓고 저격하는 문제를 내기도 한다. 그 예시로 2010학년도 수능 27번 문제가 있다.

로피탈을 쓰면 더 복잡해지는 문제로 유명한 문제이다. (이걸 로피탈로 풀려면 무려 3번이나!!! 미분해야 한다.) 적당히 잘 묶으면 미분계수 모양이 나오는 것을 이용해 풀자.


3. 외적

이번엔 기벡에서 쓸 만한 아주 유용한 도구이다. 


우선 외적의 정의부터 보자면

두 벡터를 외적하면 그 두 벡터에 모두 수직인 벡터가 나오게 된다. 내적의 결과로는 그냥 상수가 나오지만 외적의 결과로는 벡터가 나온다는 점이 특징이다.


응용 방법은 파급 효과님이 내신 교재에도 소개되어 있으니 교재 사서 유용한 방법들을 배워 보자. 나는 여기서 기본 공식만 보여 줄 것이다. (증명은 두 벡터에 수직인 벡터를 유도하는 방법으로 할 수 있다. 약간의 사고력만 있으면 되니 직접 해보자.)

각 선별로 곱해서 뺀 값이 외적한 벡터의 x, y, z값이다.

외적의 이용 방법으로는 세 점/두 직선/한 점과 직선을 포함하는 평면, 좌표공간에서 삼각형/평행사변형의 넓이 등이 있다.


이정도 쓰면 되겠지...? 다른 편법이 생각나는 게 있다면 2탄도 써 볼 생각입니다.(아마 없을거야)

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