[기벡] 각도와 자취
게시글 주소: https://orbi.kr/00023965021
모두들 안녕.
똥글만 싸지르다 두달만에 칼럼으로 찾아뵙는다.
솔직히 이번 6평같은 트렌드면 무언가 빛나는 발상보단
구몬수학 누가 잘푸느냐가 중요한 상황이긴 하다
만,
각종N제와 생존(S)이나 살인기지(K)와 같은 고난도 모의고사에 지치신 여러분들을 위한
[사설 부수기] 에 관한 내용을 써볼까 해본다.
한 글에 너무 많은 주제를 다룰 수는 없기에,
이번엔 필자가 최근에 본 (문제를 봤다는 뜻입니다.) S모의고사 29번에 출제된 내용이기도 한
'각도'와 '자취'에 관한 내용을 다루어보겠다.
우선, '두 점'과 '일정한 각도'와 관련된 내용을 보도록 하자.
예제1)
기본문제이다.
답은 '선분 AB를 지름으로 하는 원'이 되겠다.
(엄밀하게는 점 A 와 B를 제외시켜야 함. 지름 양쪽에 구멍이 뽕 뚫린 모양새겠죠)
(참고 그림)
예제2)
숫자 2를 3으로 바꾼 변형문제. 이전 문제보다 어려운 감이 확 들 것이다.
모르시겠다면 밑으로 내려보자.
힌트를 먼저 제시하자면,
정답은
AB를 한 변으로 하는 정삼각형의 외접원의 일부이다.
두 빨간 호가 될 것이다. (A,B는 이번에도 제외해야 한다.)
증명은 한 원에서 동일한 현에 대한 원주각은 같다는 것을 이용.
이를 일반화하여,
예제3)
정답은
두 각 알파와 베타가 각각 2theta인 AB의 수직이등분선 위의 점을 중심으로 하는 원호의 일부이다.
(A와B는 제외시켜주어야 하며, 더 긴 쪽의 호를 선택하여야 한다. Theta가 둔각인 경우에는 더 짧은 호를 선택.)
음, 이로써 우리는 '두 정점’에 대해 ‘일정한 각도’의 정의가 붙은 점은
‘원’의 관점에서 생각해주면 편하겠다는 생각을 할 수 있다.
이를 3차원으로 확장하면,
세타가 둔각이나 예각이면 앞에서 구한 호의 회전 형태,
세타가 직각이면 구의 형태를 가짐은
평면에서의 자취를 회전시켜보면 알 수 있다.
사실 이건 몸풀기에 가깝고, (그렇다고 중요하지 않다는 것은 아니다. 원주각 관련 내용은 사설 모의에 종종 출제되는 내용임.)
여기서부터가 핵심적인 내용. (자주 출제가 된다는 뜻.)
이하의 내용은 공간도형의 범주에서 서술되었음.
예제4)
정답은 ‘A를 지나고 v에
수직인 평면’.
교과서적 개념을 묻는 문제이다.
그럼 문제를 변형하여,
예제4의 90도를 60도로 바꾸어 풀어보자.
정답은
쌍원뿔이다.
여기서 벡터 AP의 크기를 일정한 수로 제한하면,
P는 v를 법선벡터로 하는
한 평면 위의 원이 된다.
(원은 A 위아래로 두 개 생김.)
원뿔의 형태는 어마어마한 장점이 있다.
바로 ‘대칭성’와 ‘일정함’ 인데,
이는 한 벡터에 대해 모든 방향으로 선대칭이며,
‘어떤 벡터와 이루는 각이 일정함’을
알기 때문이다.
참고로, 일정한 값(아는 값)과 변하는 값(모르는 값)을 구분하는 것은 수학/과학 문제해결에 상당히 중요한 부분을 차지한다.
이 원뿔과 각도 테마는 이를 단적으로 보여주는 좋은 예시.
관련 기출로,
이 문제가 있다. ‘어떤 벡터와 각이 일정한’ 모든 방향의 벡터를 보면 다른 벡터와 이루는 각의 최대, 최소를
쉽게 알 수 있게 된다.
예를 들어, 이루는 각이 70도인 벡터 a와 b가 있고, 벡터 p가 벡터 a와 이루는 각이 30도인 것을 알면 b와 p가 이루는 각은 40도에서 100도 사이인 것을 알 수 있음.
하지만, 모든 수학 개념이 그렇듯이, 개념을 한 방향으로 적용하는 것은 고난도 문제 풀이에 도움이 되기가 힘들다.
그말인 즉슨, 우리는 ‘원뿔’ 혹은 ‘구와 평면의 교선’과 같은 내용을 보면 자연스레 ‘어떤 벡터와 이루는 각이 일정한’ 벡터의 종점의 집합을 생각해낼 수 있어야 한다는 것이다. (역발상)
관련 기출문제들은 다음 문제들이 있다.
아래 네 문항은 평가원, 사관학교 기출문항 중 '어떤 벡터'와 이루는 각도가 '어떤 값'으로 일정할 때의 상황을 묻는 문제이다.
(두번째 문항은 왜 원뿔문항인지 모르겠다면 엄밀하게 풀이를 작성해보시길.)
(세번째 문항은 각도가 일정한 것은 아니지만, 원뿔 테마가 사용된 것은 맞음.)
원뿔과 각의 차이를 이용한 문제들이 한두번 나오니까 사설모의에서 자꾸 내는 분위기이다.
어쨌든, 본인이 최근에 봤던 ‘그’ S모의 29번에 관한 내용을 보여드리자면,
시점을 통일시켜준 후에, 두 벡터가 어느 한 벡터와 이루는 각이 같으면 ‘같은 원뿔 상’에 있다는 것을 이용해주면 된다.
그림으로 표현하면 이렇다. 무한원뿔과 xy평면의 교선이 파랑 벡터와 초록 벡터의 종점이 된다. (이 부분은 문제될 시 삭제됩니다.)
이 주제는 어차피 이번 수능에 나오기 힘들다 ㅋㅅㅋ; 워낙 많이 출제되서
그래도 사제 문제에 나오는 것은 어쩔 수 없는게,
원뿔테마 한번만 넣으면 문제의 계산량과 난이도를 확! 하고 올리기 쉽기 때문에,
안내기도 힘든 실정이긴 함.
아무튼, 복잡해보이는 사제 기하 문항 중 이러한 원뿔테마로 꼬아버리는 경우가 많으니 참고해서 다들 문제 빨리빨리들 풀고 모의고사 100점을 노려보자.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
수잘싶 4
아.
-
공부 ㅇㅈ 3
사문유기함 정법에 힘 너무 썼어요
-
물리 글이 조회수가 안나온다고 요즘 다른 주제로 글을 쓰는게 아니라는 점.. 그냥...
-
싶을정도로 ㅈㄴ 답답한 큐브마스터한테 걸렸는데.. 진짜 저 수학실력으로 설대를...
-
이영수t 유베가는길 전에 중등 영문법 부터 하라는데 ebs 중등영문법 추천 가능할까요?
-
수고하십시오
-
개이조이고 3
게이는 문화다
-
ㄴ 남캐좋아함 0
ㅇㅇ
-
겁먹었는데 생각보다 많이 풀어서 기쁨ㅋㅋ 바로 ktx타러 기차역간다 ㅎㅎㅎ 집간더 ㄱㅇㄷ
-
시발 2
자동차 .
-
전반사 2
굴절률조이고
-
대 승 리
-
ㄴ못생김 0
리젠 봉인 술법
-
저요 8
ㅇ
-
.
-
5덮은 더 잘봐볼게....
-
러브토쵸라이크 2
파티션와나이나이 키미다케가 토쿠베츠쟈나인다
-
역시 멘탈이갈릴땐 문제를만들어야 **B가 직선 B'C' 위에**
-
수잘싶광울 1
-
인종은 종인가? 4
인종은 종이 아니다. 당연히 인간끼리는 생식에 아무런 제약이 없기 때문 그렇다면...
-
전공 망햇농 1
내일이 시험인데 일주일 전에 끝난 수업진도를 못따라잡은 사람이 있다❗️❓
-
라는 생각이 종종 든다 사람마다 다르겠지만 내 인생에 영향을 정말 많이 준듯 많이 씁쓸하다
-
뇌가 굳은거같음 더프 풀 때도 그렇고 풀어본 유형 아니면 잘 접근을 못함 내일 수학...
-
인문논술 공개특강 - 연세대 기출로 알아보는 논술의 기본 유형 0
안녕하세요 :) 오르비에서 인문논술을 가르치는 문해력 훈련 전문가 최은식입니다....
-
4월 더프 2
현역입니다 국어 보정 4, 수학 미적 84점(29번 실수로 틀렸어요) 국어 문학이...
-
과목 분화돼서 등급 인원수 준다는것때문 같은데 정확히 어떤원리로 어려워지는거임? 각...
-
노랫소리 들린다고 한게 뒷자리분이 저한테 남겨주신거고 저렇게 코멘트 달아서 뒷자리에...
-
잡) 어릴때 부잣집 친구집에서 저녁을 먹은적이 있는데 메뉴가 2
메추리 임 님들이 알고있는그 메추리알의 그 메추리 (치킨보다 작음) 그거...
-
두꺼우면 좋겟음 ㅇㅅㅇ
-
야메추 해주세용 18
그거 아니고 먹는거 말입니다
-
시대인재 수학 0
시대인재 수학 그냥 스탠다드같이 주차별로 나눠져있는 교재만 풀려그러는데 괜찮나요...
-
일녀 만나고싶어 16
지하돌 빨면서 일녀 만나고 대충 일하고 지하돌에 돈 쓰는 삶을 살고프다
-
어떠셨나요 24사관,24기출만 있는거로 알고있는데 기출 복습겸 함 달려볼깡
-
작수 22 풀고 보니 개쉬운 건데 왜 풀 때는 바로바로 생각이 안 나는 걸까
-
뭐가 더 좋을까
-
강의에서만 알려주는거 있나요? 책보니 타강사 책에도 있는내용들이라 또듣는건...
-
제가 주제 넘게 더프를 샀습니다.. (ㅈ망한 점수가 나와야 공부를 할 것 같았거든요...
-
해·공군본부 휴대폰 보안 강화…아이폰 등 소지 못해 7
녹음·와이파이도 막는 보안 앱 2차차단기능 의무화…아이폰은 적용 불가...
-
교과서에서 정석풀이는 사진 1번인데.. 혼자 오기가 생겨서 전개해서 수렴시켜보고...
-
하하하
-
응원해
-
3모 3등급 이하 분들 투표 부탁드립니다. 6모 이후 사탐런 재투표
-
버스에서 ㅅㅁ심해여
-
왜 계속 생각나는거지
-
내 인생의 가치에 대해 고민해봤는데 한 1억이어도 그냥 죽는게 나을거 같음 5천...
-
주작 해명감 16
저 빡갤 인증 나 맞음 그리고 글 올린 적 처음이라 한 건 전에 쓴 글 쪽팔려소...
-
전적대가 셤자첸 훨씬 어려웠던것같네요 작년엔 a0였는데 올핸 과연..? 3번째...
-
아미닌님. 3
나가뒤지십쇼..
소재를 일단 끌어내서 그걸 아예 외워버리는것도 도움이 되겠네요
이거 진짜 좋은주제네요ㅎㅎ
저 모의문제 절케 푸는거였군요... 시점통일하고 어째해야할지몰라서 뇌절했는데...배워갑니다!
ㄱㅁㄱㅁ
이게 공도회 입니다.
7월대성 29번에도 나왔죠
교육과정 밖인건가요?
아뇨 교육과정입니다 ㅋ
살인기지는 뭘까여?
살인야영이라고 하면 이해가 될련지요.
일단 좋아요 스크랩
원뿔 보자마자 배성민생각이..
Good
저거 서X이벌 29 답이 먼가요 그래서??
현강생이면 아실텐데요 ㅋㅅㅋ
저 이번주부터 다녀서 기원쌤이 푸는 방법 공통모선 머 그런거 말해주셔서 그대로 풀긴 풀었는데 답을 몰라서여. 신규생 자료로 받은거에는 해설이 없더라구요
20입니당
r^2 값 좀.. 아 전 왜 27 나왔을까여 으엉.... 그 p/q 문제 맞죠? 맞게 풀은 것 같은뎅 ㅜ.ㅠ
9/11인데오, r값에 맞춰서 다시 그림을 그려보세요. 원뿔의 교선이 한 쪽에만 있어야 하는 것이 아닙니다.
강기원T가 각이 벌어지면 유일하지가 않다고 0도 180도 먼저 따져봐야헌다고 해서 0도부터 따졌고 각의 이등분 꼴이 되길래 피타 연립했는뎅... ㅜ.ㅠ 0도일때가 아닌가요?
0도는 애초에 안되는 조건인뎅...
님이 구하신 27의 상황은 세타를 조금만 키우면 바로 PQ 쌍이 4개가 되어버립니다.