26)기벡 노베의 가형풀이&외적
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안녕하세요 !
미적분도 못하지만 기벡, 그중에서도 특히 기하를 오질라게 못하는
Fifty shades of Grey, 전 포린스턴 공대입니다.
뻘글만 오지게 싸지르다가 지금부터 세번째 정보글을 써보려고 해요.
나형분들도 내려서 좋아요 댓글 눌러주시면 감사하겠습니다 !
첫번째 공부글은 외적에 대해서 한번 적어볼게요.
교육과정 외이므로 몰라도 되는데 알면 좋아서...
그럼 시작해보도록 하겠습니다!
0. 기벡이라는 단원에 대한 소감
현역 때 평면코인 타서 떡상했지만 국어크리 맞아서 결국은 S대 못가고 포항에 있습니다.. 노베에요 진짜. 이번에도 평면코인을 다시 탈까 생각해봤지만 아무리봐도 공간나올 각인것 같아요.
인강 강사들의 고난도 교재라던지, N제라던지 그런 책들에서 공간도형이 나오면 삼수선에 삼수선이 꼬리를 무는, 굉장히 변태적인 공간도형해석문제가 많이 보여요. 저는 거의 못풀겠더라고요. 하지만 요즘 추세가 공간 도형 그 자체에 대한 해석 보다는 벡터방정식을 이용한 문제들이 나오잖아요?
이 말인 즉슨 더 이상은 '기하' 문제를 내는 것이 아니라 '기하와 벡터' 문제를 내기로 했다! 이 말이라고 생각해요. 기본적인 기하 해석을 바탕으로 두고 벡터를 이용하여 쉽게 계산해내는, 그게 우리가 벡터를 사용하는 이유이자 벡터의 장점이라고 생각해요.
그러면 본격적으로 글을 써볼게요.
1. (노베가 보는) 기벡과 미적분의 상관관계
보통 미적분 킬러 할때 그래프, 식, 직관의 삼위일체가 이루어져야 뭐 잘 풀수 있다, 이런 소리를 하는데 맞는말이죠. 어떤 방식이던지 다 풀리긴 풀릴거에요. 그렇지만 여러 가지 관점이라는 무기들을 가지고 있어야 한 가지 방식으로 해결이 힘들 때 다른 측면으로 분석해 나갈 수 있고, 맞출 수 있는 확률이 높아지잖아요. 다양한 관점을 합치면 쉽게 풀리는 문제로는 20180630이 대표적인 것 같아요. (ln(x4+1)-c 나오는 문제)
기벡도 기하만으로 다 커버쳐지지가 않잖아요? 벡터, 좌표, 그리고 거기에 기하라는 기본기가 바탕이 되어야 잘할 수 있는 것 같아요.(저는 기하를 못해서 기벡도 못해요 ㅠ)
그런데 벡터나 좌표를 이용한 풀이를 하다보면, 계산량이 오지기 때문에 빡치는 경우가 많아요. 그 경우들 중 대표적인게 t 사용하는 문제들이죠. 직선이 나오는 경우.
꼭 t를 사용해야만 풀릴까요? 다른 방법은 없을까요? 한번 알아보도록 하겠습니다!
2. 외적이란 무엇일까?
맨 처음 내적을 배울때를 생각해보면, 점 대신에 익숙한 곱셈 기호를 적었다가 혼난 기억이 있을거에요. 그 이유가 벡터의 곱에는 두 종류가 있기 때문입니다. 아래의 사진에 정리되어 있어요!
i, j, k 벡터는 각각 x, y, z축방향의 단위벡터입니다. 뭔가 계산과정이 복잡해보이죠? 하지만 다각형 넓이 구할때 쓰는 신발끈공식? 사용하는 방법하고 같습니다. 계산방법을 다시 한번 표현해볼게요.
이렇게 보통 표시를 한답니다. 어쨌든 결과만 알고 있으면 되겠죠?
그러면 이 외적이라는 것은 무엇이냐? 바로 법선벡터를 작도하는 과정입니다. 아래의 사진을 보시면, 외적을 했을 때의 크기와 법선벡터가 되는 과정이 나와 있습니다. 크기가 왜 저렇게 되는지는 평행사변형의 넓이를 구한다고 생각하시고 평면좌표에 한번 올려 보시면 나올 거에요!
결국은 a벡터와 b벡터의 외적이 의미하는 것은 a와 b가 만드는 평면(꼬인위치가 아니라면)의 법선벡터가 될 수도 있고, 만약 꼬인 위치라면 두 벡터와 공동으로 수직인 벡터가 되는 것입니다. 그러면 이 외적이라는 아이를 어떤 곳들에 사용할 수 있는지 알아보도록 할게요!
3. 외적의 활용
일단 이 아이는 제가 오르비에 한번 올렸었던 문제에요.
단순해 보이는 문제죠? 하지만 계산은 단순하지가 않아요 ㅠ 강기원T가 벡터+t법선벡터 가 정사영벡터가 된다는 사실을 통해서 풀어주셨다고 하던데, 그러면 t 2개에 관해서 식이 나오기 때문에 복잡해져요. 그리 어려운 문제는 아니지만 t 때문에 빡이 쳐요. 여기서 외적을 이용해볼게요.
이렇게 하면 t 등의 매개변수를 도입할 필요 없이 바로 풀 수 있습니다. 정말 쉽죠?
한 문제 더 해 보도록 하겠습니다.
마지막 문제입니다. 작년 수능에 나왔던 문제죠. 이 문제는 외적 풀이로 유명합니다. 외적 쓰면 바로 나오거든요. 위의 문제와 사실상 같은 문제죠. 풀이는 하지 않겠습니다.
이 문제들 말고도, 직선이 포함된, 또는 t를 사용해왔던 많은 상황들에서 외적을 쓸 수가 있습니다. 예를 들면 세 점을 지나는 평면을 들 수 있겠죠. 다른 상황들의 문제를 찾을 수가 없네요 지금은.. 앞으로 기회가 된다면 더 추가하도록 하겠습니다.
두 벡터가 있다면 바로 그 두 직선이 이루는 평면의 법선벡터를 작도할 수 있으니까 훨씬 빠른 풀이가 가능하고요, 법선벡터를 (1,a,b)로 두는 그러한 행위도 할 필요가 없습니다. 한번 어떤 상황들이 있는지 생각해 보시고, 정리한 후에 반응할 수 있도록 하시면 조금 더 빠르게 풀 수 있을 것 같습니다.
긴 글 읽어주셔서 감사합니다!
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선추천후감상
누르라고해서 눌렀음
누르라 해서 눌름ㄱㅁ
깔끔하네요근데 평생 좌표만 잡던 흑우라 체화 할 수 있을지는 미지수에오
이게 보이면 정말 계산이 많이 줄어요.. 한번 시도해보세요
문과지만 추천누르고갑니다
대학생은 인강안듣고 외적을 쓸수있네 ㄱㅁㄱㅁ
좋아요좀 눌러주세요
눌렀어요 ㅋㅋㅋ
외적으로 구한 법선벡터의 크기가 두 벡터가 이루는 평행사변형의 면적이란거 이용해서 공간도형문제 푸는거도 괜찮을거같아요
크기 이야기하면서 평사 살짝 언급은 핻는데?????
아 구러네욧..
미적분학에서 외적 배우고 ㄹㅇ 부랄탁쳣는데
치면 아파요 ㅠㅠ
ㅋㅋㅋㅋㅋ배우면서 동기하고 야 저거 기벡에 쓰면 개굴이겟는데?? 하면서 낄낄댓는데 ㄹㅇ 반수중...
보여서 쓰면 좋죠..
공업수학에서 개꿀 도구☆
적외 조아
25번 문제 숏컷에.있는 문제네요 ㅋㅋㅋㅋ 고생해서 풀었는데...아 현타오네요
ㅋㅋ사실 둘다 숏컷문제에요
엌ㅋㅋ
올려쥬셧네용 기다리고잇엇음넵 읽어보시고 맘에 안드시면 버려도 됩니당
맘에 드신다면 한번 체화해 보시구요
멋져요봐도 이해를 못하겠다..나는 빡대가리인것인가
외적이 정확히 무얼하고 어디에 활용해야하는건지 모르겠어요ㅠㅠ
두 벡터의 공통 법선벡터를 작도하는 과정이에요!
하나의 예를 들어볼게요
만약에 세 점이 주어진다면, 그 세 점을 잇는 두 벡터를 외적하면 세점이 이루는 평면의 법선벡터를 작도할수 있겠죠?
헐진짜네여 ㅠㅠㅠ힝 빡대가리 이해시켜주셔서 감사해오
그럼 평면의 법선벡터를 구할 때 사용하는거군요
벡터문제에서는 그렇게 사용하구요,
크기가 absintheta 이다 보니 삼각형, 평행사변형의 넓이나 사면체, 육면체의 부피 등을 구하는 데도 사용할 수 있습니다!
공대생 못쪄!!! 꺆!!!!!
이렇게 달면 되는거지 형?
응! 계좌불러줘!
26
26 첨해봐요 이런맛이구나저도 사용은 합니다만 외적풀이가 더 쉽게 설계되는거는 의도에는 안맞는거죵??
평가원에서는 그렇게 안내도록 노력하고 잇죠.
그런데 어쨋든간에 직선을 섞으려면 외적이 들어갈 수 있는 경우가 많아져서 뚫리는게 가끔씩 있는것 같아요.
중간에 되게 눈에 익는 문제가 있다 싶었는데 오늘 풀다 때려친 숏컷 문제였네요...ㅋㅋㅋ 덕분에 풀이 하나 더 배워 갑니당 감사해요
넵 ㅎㅎ 다른방법도 많으니 하나의 도구로만 받아들여주세욥
사랑해요
뇌섹남
여중생이에요!
작년 수능때도 외적 썼는데
눌러 드렸어요전 안쓰고 눈대중으로 때려잡았지만..
외적을 사용할 기출이 생각이 안나서 집어넣었어요
뭔가 이 오빠 졸X 멋있어..
아 여자신가 죄송해여
남자 맞아요 ㅋㅋㅋ..
저거 기출 문제요 직선위 지나는 한점이랑 주어진 한점 엮어서 벡터 만든담에 방향벡터랑 외적시키는거 맞나용
네 맞아요! 그렇게 사용하는거죠
키키키 감사합니다 잘써먹을게요
그래도 너무 집착하지는 마세요 하나의 도구일 뿐이니까요25어 그제 숏컷에서푼건데 했는데 진짜숏컷이네요ㅋㅋㅋ
네 맞아요 ㅋㅌㅋ
머래 씹덕이 ㅡㅡhttps://youtu.be/s2j9FFiUyTE
네 정리해주셔서 감사합니다
저렇게 정형화된 상황에서만 적용할 수 있는게 아니라 25번처럼 특수한 상황을 포함해서 많은 상황에 사용할 수 있어요!
25번에서 (2, -2, -a)×(1, -1, 1) 계산이 틀린 거 같아요
맞네요 저 전체에 마이너스가 붙어야겠죠? 죄송합니다
하지만 답은 안변하니 한번만 봐주세용♥
포스텍 ㄱㅁ
좋아요 누르고 갑니다
고맙읍니다정사면체 부피 구할 때 외적 내적 같이 쓰면 금방 구해요! 밑면의 두 벡터 외적해서 법선벡터를 찾으면 그 법선벡터와 문제에서 주어진 xyz값을 갖는 벡터랑 내적하면 높이를 구할 수 있고, 외적으로 구한 밑면의 평행사변형의 넓이에 1/2하면 부피 순-삭
그렇죠! 위에분이 올리신 링크한번 보시는것도 괜찮을것 같아요!그래서 외적 알라는거야 말라는거야ㅠㅠ 윽건이는 외적 좀 적당히 쓰라구하는뎅
맹목적으로 사용하지 말라는 것 같아요!어찌됐든 이거 안쓰고 못푸는 문제는 없으니까요
그냥 하나의 도구라고 생각해 주시고 버리려면 버리셔도 되는 개념입니당
이제 봤네오 ㅠㅠㅠㅠㅠ 조금 어렵지만 너무 설명을 깔끔하게 잘 해주셔서 이해가 너무 잘 되네요!!
네 감사합니다어쨌든 하나의 도구일 뿐이니 너무 집착하지 마시길 바래요
와 현우쌤 첫번째 풀이와 거의 같아요~ l, m을 법선으로 보는 게 포인트라 하셨어요! 계산은 내적해서 법선구하든 외적알면 외적하든 알아서하라고 안 보여주셨는데ㅎㅎ 자세히 설명해주셔서 감사해용
네 읽어주셔서 고마워용첫번째 문제 출처좀 알려주세요!
시대숏컷 문제에요 ㅠㅠ
혹시나 문제된다면 바로 삭제할게요
글 올라오자마자 좋아요 누르고 나중에 읽어야지 하다가 좀 전에 읽어보고 공부하고 있어요ㅠㅠㅠㅠ 외적이 뭔지, 뭘 구할 때 쓰는 건지 대충 알고는 있었는데 대체 어떤 문제에서 써야하는지, 외적 쓰는 문제가 따로 보이는 건지 너무 궁금했거든요! 친절하게 설명해주셔서 감사해요. 마지막 13번 문제 외적 써서 해보는 중인데, 여기서는 외적을 어떻게 써야 하는지 잘 모르겠어요ㅠㅠ점 (2,0,5)와 방향벡터(1,-1,2)가 한 평면에 있는 걸 이용해야 하나요? 아무리 생각해도 벡터가 방향벡터 밖에 안 떠올라여,,, 법벡은 외적을 통해거 구하려는 거라 아닌 것 같은데....ㅠㅠㅠㅠㅠ도와주세요ㅠㅠㅠ
직선과 평면이 (1,2,-1)을 지나므로 이 점과 (2,0,5)를 연결한 벡터도 평면위의 벡터입니다
그래서 그 벡터와 직선의 방향벡터를 외적해주시면 됩니다 :)
해결했어요! 엉엉 감사해요ㅠㅠㅠ 선생님 혹시 다른 칼럼들도 쓰실 예정이세요...? 제가 본 수학 칼럼 중 제일 친절하고 도움이 많이 된 것 같아요ㅠㅠㅠ!!
아이고 감사합니다.. 아직 정해진 주제는 없는데 쓸 생각은 있습니다! 혹시 원하시는거 있으신가요?
앗 딱히 주제는 생각 안 해봤네요..! 제가 사실 전반적으로 수학을 잘 못하고 그래서 자신감도 별로 없어서요.... 허허 뭐든 올려주시면 보고 열심히 익혀서 문제도 풀어보고 그럴게요! 감사합니당!ㅅ!