공집합에서 적분하면 적분값은 0 아닌가요?
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가끔씩 정적분 할때 이상한 구간이 주어지는데 (위보다 아래에 더 큰 수가 적힌다던지...)
그런 구간은 공집합이여서 적분값이 0 나오는게 맞지 않습니까?
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위보다 아래가 더 크면 부호가 반대가되죠
네? 잘 이해가 안됩니다. 왜 그렇습니까?
F(b)-F(a)=-(F(a)-F(b))
네. 확실히 그것은 맞습니다. 하지만, 미적분학의 기본정리는 a＜b일 때 닫힌구간 [a, b]에서 연속이여야만 쓸 수 있는 것 아닙니까? 공집합에서 연속이 정의될 수 있나요? 물론 고등학교에서 그렇게 문제를 풀곤 합니다만, 저는 그게 엄밀히는 잘못되었다고 봅니다.
네? 저가 교과서가 없어서 그런데, 그 정의가 교과서에 있는 건가요?
알겠습니다. 고등학교 교과서에서는 그렇게 정의하는군요. 사실 저가 중학생이라, 다른 교재를 참고하기 때문에 벌어진 일인 거 같습니다.
예를들어 인테그랄 1부터 -1까지면 그냥 앞에 -붙이고 -1부터 1까지 적분하면 됩니다
수학적으로는 엄밀하지 못한 것 아닌가요
음... 개념서를 좀 더 읽어보시는걸 추천드려요
고교 과정에서는 대충 넘어가곤 하지만... 엄밀성이 심각할 정도로 부족해 보입니다.
더 파고 들어가면 뭐가 있지 않을까 싶네요 제가 수학과가 아니라 잘 모르겠지만요
+엄밀하게 말하면 닫힌 구간은 1D simplex로 볼 수 있고, 이때 orientability를 고려하면 용이하기 때문에 암묵적으로 1D oriented simplex로 봅니다. 높은 차원에서도 마찬가지로 oriented simplex 및 oriented complex에 대해 적분을 정의할 수 있고 적당한 embedding을 통해 Riemann measurable set으로 확장할 수 있습니다. 그것의 integral norm completion이 Lebesgue integral이 될 것이고요. 더 나아가 general measure space 또는 general manifold (with differential structure)로 확장 가능하며, 이때 orientability를 고려하는 것은 상당히 유의미합니다. 이는 curvature와 관련이 있습니다. 따라서 결론은 “고등학교 미적에서 -를 붙이는 게, 학부 미적 및 측도론에서는 이상해보일 수 있지만, 더 나아가서 배우면 이는 엄밀하게 맞는 이야기로 귀결된다는 것”입니다. 따라서 적당히 지금 배우는 수준에서 맥락에 맞게 인식하시면 됩니다.
--- 질문 결과.