➀ n이 자연수일 때는 a를 n번 곱한 것을 a^n으로 정의하고, ➁ 음의 정수 n에 대해서는 a^n = 1/a^(-n)으로 정의한다. ➂ 그리고 a^0 = 1로 정의하여 모든 정수 m에 대해 a^m을 알게 된다. ➃ 계속하여 거듭제곱근을 이용하여 유리수 m/n에 대해 a^(m/n)을 정의하고, ➄ 실수 x로 수렴하는 유리수수열의 극한을 생각하여 일반적으로 실수 x에 대해 a^x을 정의한다.

이렇게 지수함수를 정의하면 잘 알려진 지수법칙

a^(x+y) = a^x a^y

가 성립한다는 것을 확인할 수 있다. 또한, 지수함수는 애당초 유리수 집합에서 실수 집합으로 정의역을 확장할 때 연속함수가 되게끔 정의했고, a가 1이 아니면 증가 또는 감소하는 함수이며 함숫값이 항상 양수이므로, 양의 실수에서 정의되는 역함수가 존재하는데, 지수함수의 역함수로서 밑이 a인 로그함수를 정의한다.

한편, 극한을 배우면 무리수 e를 알게 된다. n이 무한히 커질 때 수열 (1+1/n)^n이 어떤 실수로 수렴하고 이 수를 e로 정의한다. 이 수열이 수렴한다는 사실은 고등학교에서 자세하게 배우지는 않지만 대학에서는 단조수렴정리를 이용하여 증명한다.

이제 밑이 e인 로그함수를 ln(x)로 정의하고, 이를 자연로그 함수라고 한다. 이렇게 정의된 ln(x)는 연속함수인 지수함수의 역함수이므로 역시 연속함수이고, 잘 알려진 로그의 성질

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

를 만족한다는 것을 쉽게 보일 수 있고, 수학적 귀납법과 연속함수의 성질을 이용하여 임의의 실수 t에 대해

ln(x^t) = t ln(x)

를 만족한다는 것도 알 수 있다. 그리고 도함수의 정의와 실수 e의 정의, 로그함수의 성질을 알고 있으면 ln(x)를 미분하면 1/x가 된다는 것을 보일 수 있다. 즉,

{ ln(x+h) - ln(x) } / h = (1/h) ln(1+ h/x)

이고, 이때 t=h/x로 치환하면 위의 식은

(1/x) ln(1+t)^(1/t)

로 변형할 수 있다. 여기서 t→0일 때의 극한을 생각하면

(1+t)^(1/t) → e

로 수렴하므로 ln(x)의 도함수는 (1/x) ln(e), 즉 1/x임을 알 수 있다.

결국 ln(x)는 도함수가 1/x인 함수이니 에 의해 함수 y=1/t를 구간 [1, x]에서 정적분하면 ln(x)가 된다는 것도 알 수 있다.

(2) 함수 y=1/x의 정적분으로 로그함수를 정의하는 방법

이 방법은 지수함수를 먼저 정의하지 않고 로그함수를 먼저 정의하는 방법이다. 즉, 함수 y=1/t를 구간 [1, x]에서 정적분하면 ln(x)라고 정의한다. 그러면 정적분의 성질을 이용하여

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

가 성립한다는 것을 보일 수 있고, 정적분의 정의에 의해 ln(1)=0인 것은 자명하다. 또한, 위의 관계식에서 y 대신에 1/x을 대입하면 ln(1/x) = - ln(x)가 되는 것도 쉽게 알 수 있고, 수학적 귀납법을 이용하여 자연수 n에 대해 ln(x^n) = n ln(x)가 성립하는 것도 보일 수 있다.

이제 가 중요한 역할을 할 차례인데, 이렇게 정의된 함수 ln(x)는 미적분학의 기본 정리에 의해 미분가능하고 도함수가 1/x이 된다는 것을 쉽게 알 수 있고, 미분가능하므로 역시 연속함수이다. 또한, 도함수가 항상 0보다 크므로 증가하는 함수인 것도 알 수 있다.

한편, 조화급수가 발산한다는 사실을 비교판정법을 통해 알 수 있는데, 구간 [k-1, k]에서 정적분 넓이를 비교하면

ln(k) - ln(k-1) > 1/k

이므로 k=2, 3, ..., n에 대해 더하면

ln(n) > 1/2 + 1/3 + ... + 1/n

임을 알 수 있다. 이제 또한 임의의 1보다 큰 양의 실수 x에 대해 n≤x

ln(x) ≥ ln(n) > 1/2 + ... + 1/n

이 된다. 이제 x가 무한히 커지면 n도 무한히 커지므로 ln(x)는 무한히 커진다.

또는 조화급수를 이용하지 않고 같은 결과를 설명하겠다면, 임의의 2보다 큰 양의 실수 x에 대해 2^n ≤ x < 2^(n+1)을 만족하는 자연수 n이 존재하므로

ln(x) ≥ ln(2^n) = 2^n ln(2)

임을 알 수 있어서 x가 무한히 커지면 n도 무한히 커지고 결국 ln(x)도 무한히 커진다는 것을 알 수 있다.

또한, ln(x) = - ln(1/x) 이므로 x가 0에 가까워질 때 ln(x)가 음의 무한대로 발산한다. 이로써 ln(x)의 치역이 실수 전체인 것도 알 수 있다.