2014년도 수학 B29번 간결 풀이
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2개월 전쯤 공부하다가 2014년도 수학 B형 29번 문제를 풀었는데
간결하게 푸는 방법을 하나 알아내서 올립니다.
인강 강사님들이 푸는 것도 보긴했는데, 아이디어 하나 만 있으면 간결하게 풀 수 있습니다.
핵심 아이디어
직관적으로 보면 ϕ =0 일 때 a 가 최소가 될 것 같죠?
좌표에서 계산해보면 cos(a)= cos(θ)*cos(ϕ) 로 나와 ϕ =0 일 때 a 가 최소 임을 알 수 있습니다. (한번 계산해 보세요)
그럼 위 문제에서 구와 평면을 옆에서 바라보면
이런 모양이 나오겠죠?
두 a,b 벡터는 각각 두 평면 a, b의 법선 벡터입니다.
우리가 구하고자 하는건 PQ 벡터의 평면 a,b 위로의 내적의 합이 최소가 되도록 해야하니
벡터 PQ가 벡터 a,b와 이루는 각이 가능한 한 작아야 합니다.
그럼 위 그림에서 저 구를 좀 돌려서 한번 보죠.
보면 벡터 PQ 가 벡터 a,b 랑 이루는 각을 α,β 라 할 때
이 α,β 는 PQ가 a,b가 이루는 평면 위에 존재 할 때 최소가 됨을 알 수 있습니다.
(기억하세요 모든건 θ가 고정된 상태에서 생각하는겁니다.)
그럼 구 위에서 최소가 되는 PQ의 방향이 1개의 평면위로 한정이 되네요?
심지어 옆에서 봤던 바로 구 평면도에서의 원이군요?
그럼 이렇게 구할 수 있죠.
그럼 이렇게 식하나로 답을 구할 수 있습니다.
요약하자면
PQ가 두 평면의 법선과 이루는 각을 α,β 로 보았을 때
이 두 α,β 를 (θ,ϕ)를 인수로 가지는 함수라 생각하고
θ를 고정 시켰을 때 최소가 되는 ϕ를 구함 -> PQ 의 범위를 한정시킴
ϕ=0 인 상태에서 내적이 최소가 되는 θ를 구함
이런 순서로 보면 됩니다.
원래 이 문제를 처음 풀 때
맨 아래에 있는 저 식으로 풀고 ( 어차피 pq가 저 평면위로 한정 될 것 같다고 생각해서) 맞긴 했는데
야매로 푼 느낌이 강하게 나서 이게 맞기 위한 전제와 조건을 생각해 본거라서 좀 그럴 수 있습니다.
한마디로
과정 -> 답 이아니라
직관으로 답 내고
이게 맞을려면 어찌해야 하는지를 생각해본거라
설명이 부족해 보일지도 모르겠네요.
몇일 뒤에 다듬어서 다시한번 올려보겠습니다.
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이미 2013년도에 같은 풀이가 올라와 있었을 줄이야
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??? : 답은 특수할때니깐... 답은 정삼각형이야!
어 진짜 정삼각형 모양이네
옛날 교육과정으로 들어가면, 삼각함수 합성을 써야 하는데
이렇게 하면 정삼각형 나옴 ㅠㅠ.....
요즘은 신기한 방법도 많아서 참고 많이 하구 있어요!