왜 두 점을 잇는 최단 거리의 곡선은 직선인가
게시글 주소: https://orbi.kr/00067964512
당연한 명제지만 이를 증명해 본 적이 있는가?
당연히 없을 것이다. 왜냐하면 이를 증명하기는 생각보다 꽤 어렵기 때문이다. (미적분 개념을 알고 있으면 좋다.)
먼저, 두 점
를 가져와 보자.
이 두 직선을 잇는 아무 곡선 y(x)를 생각해보자.
곡선의 길이를 측정하는 함수 L(y)에 대해서,
L(y)의 극값, 즉 극솟값이 최단 길이가 될 것이다.
L의 극값을 구하기 위해 y를 살짝 변형해보자.
이때, y_0(x)는 우리가 구하고자 하는 최단 거리의 곡선이고
αη(x)는 그 곡선으로부터 얼마나 변형되었는지를 나타내는 추가 함수이다. 당연히 시작점과 끝점은 같아야 하기 때문에
이 된다. 이때, 최단거리 곡선은 y_0이므로, α가 0일때, L이 최소가 될 것이다. 그러면, L의 α 에 대한 편미분
이 되도록 하는 α 가 0이라는 뜻이다.
그런데 L은 우리가 미적분에서 배웠듯이
가 된다. 이때,
이므로
적분식의 첫번째에서 두번째 식으로 가는건 연쇄법칙을 이용한 결과이다.
이를 부분적분해주면
이때, 우변의 두번째 항은 η의 양 끝값이 0이므로, 0이 된다.
그렇다면,
이렇게 된다. 임의의 η에 대해 항상 α=0일때 저 식이 성립하려면
이어야 하고, 그러면
가 됩니다. 결과적으로 y_0'는 상수가 되고 y_0는 직선이 된다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
1. 서울대 카이스트 포스텍 2. 연고 3. 서성한 및 과기원 4. 중경외시 5....
-
김현우 스탠다드 수1 도형처럼 수1 도형 문제만 있는 문제집 있나요? 추천부탁드립니다
-
저는 피곤하면 머리가 안돌아가더라구요 ㅠㅠ 목표는 22115 > 11112인데...
-
에메랄드는 이제 질렸어.
-
제발 입좀 다물어
-
1. 서울대 인문 / 연고 공대 2. 서강 성균 경영 / 중앙 공대 3. 외대 문과...
-
때는 2019년, 매미가 한참 울던 여름으로 돌아갑니다. 구분구적법이 포함되었던...
-
문제가 있는데 꽤 많이 꼬여있고 해결할 길도 잘 안 보임 근데 주변인들은 잘들 풀어나감
-
MBTI뭐냐이거 0
이거 ㄹㅇ 난데
-
작수 138 140 1 1 1 이면 의대 가능했음? 7
영어 3에서 1로 바꾼거임 언매 미적 과탐
-
ㄹㅇ? 4
-
천장만 바라봐 2
아무 것도 없는 바탕에 그림 그려 봤자
-
졸업사진 도감작하기 11
친구들이랑 한명씩 찍기 성공 여러분도 이런거 한번 해보세요
-
하…
-
과탐 하루에 3시간정도 투자하려고 하는데 하루에 두 과목하는게 나을까요 아님 격일로...
-
일주일이사라졋어..,,
-
행복이란 뭘까
-
잠을 못 자겠네….에휴
-
엔써 플랜써 엔티켓 4규 드릴 이해원 조지고싶다
-
그냥 주변 애들이 공부를 안해서 비교군이 없었고 내 시야가 좁았던거였음 고3 지나고...
-
현 4규 시즌1 완료 드릴하기 전에 할 N제 고민 중인데 문해전 시즌1은 너무...
-
계속 마음이 뒤숭숭하네 10
맞는 표현인지 모르겠는데 정확히 어떤 감정인지도 모르겠고 그러니 해결도 못하겠고...
-
2등은 못해 3
그건 첫번째로 지는거지
-
군복학하니까 5
수업 적응도 안되고 너무 힘드네
-
기하런데 꽤 어렵덩데 15 22 30 27 25 크흠 ㅋㅋㅋ 내가 이상하냐
-
다시 기출로 회귀해야겠다
-
너무 대충한게 티가남 내가 하고 싶은 파트였는데 자원해서 할걸
-
수학기출 0
너기출vs마더텅
-
아니직구금지뭐임 4
미친건가
-
오르비언들은 상상도 못하겠지만, 내가 살던 동네에선 보통 모의고사날=대충 풀다 자고...
-
현재 백분위가 작수였다면 대학 어디까지 갈 수 있을지 계산햐봤는데 목표가 너무 멀어서 너무 심란함
-
몬스터 흰색 캔 마시면 원래 잠이 꽤 잘 깼었는데 한 이틀 전부터 몬스터 효과가...
-
저랑 도킹해요 1
도킹도킹
-
인생처음으로5이상의등급을받아보려나
-
원래 22번 버리고 한두문제정도 더 틀리는게 목표였는데 미적이랑 표점차 보니까...
-
이게 가장 어려우면서도 수험때 가져야 할 이상적인 태도를 한마디로 압축해놓은 것 같음
-
진짜 요즘 상태보면 걱정이 많이됨 성적도 성적이고 공부 진행도도 그렇고 너무 걱정도...
-
구드나잇 6
잘자요
-
뱃지달고싶다 0
-
인생 망한줄 알고 진지하게 자살하고싶었는데 다행히 꿈이었음 씹ㄹ
-
실모든 뭐든 뭔가 평가원이랑 괴리감이 크면 점수가 안나옴 5모 교육청도 작수...
-
그냥 살빼고 공부 다시하는게 나을까요.. 수험생이 뭔 외모냐 하실수 있는데 저는 제...
-
그래야 6모 안망칠듯
-
새벽에 무등산 등산해서 사람들 안보는곳에서 군기잡는선배 밀어버리기~
-
뉴분감 다했고 드릴, n티켓 , 핀셋 중에 고민중인데 ㅊㅊ좀 해줘라 딴거도 ㄱㅊ
-
D-18 5
수학1 22번 출제까지
-
. 0
윗몸일으키기 100회 하고 자면 내일 아침에 배 뚫어지겠지 ㅇㅁㅇ.. 기냥 해야지...
-
없애는 거 어떰??? 그니까 그냥 모든 의사가 의대 졸업만 하고 각자 하고 싶은 과...
-
1년전이였나 조선대 치대에서 군기 심하게 잡는다고 논란 터져서 오르비 메인글에...
(뒤로돌아가기)
헉
이거보고수학과포기하기로했다
이거는 진짜 개쉬운건데...
글고 수학 아니고 물리에요
이건 변분법을 이용한 증명인데 실제로는 미분가능하지 않은 곡선도 있기 때문에 엄밀함을 추구하는 수학에서는 사용할 수 없는 증명이에요
이거보고물리학과포기하기로했다
천천히 읽어보시면 그렇게 어려운 내용은 아니에요 ㅎㅎ
그냥 고등학교 적분규칙정도만 잘 알고 있어도 이해 가능티비
이거보고 유미q 직선으로 날리기로 함
그거는 트롤로 가는 직선 경로
이거보고 케인코 미분했다
근데 왜 시간이 갈 수록 코 크기가 안 줄어드나요
기울기는 -3000이지만 이미 코 크기가 26.7Gpc이라 작아지는게 안보이는 나