통계적 추정 부분의 한가지 오개념에 관하여
게시글 주소: https://orbi.kr/0003727027
일단, 글을 쓰기에 앞서 이 내용은 "통계부분을 적어도 한 번 이상 공부한 적이 있는 분"들을 대상으로 하고 있다는 것을 밝힙니다.
또한 항상 1~3등급 이내로 수학등급을 받아오셨던 분들에게는 너무 당연한 이야기일 가능성이 높습니다.
또한 본인의 수학 실력은 지나가던 초등학생도 비웃고 갈 정도로 아주 하찮은 실력임을 감안해주세요.
가령 이러한 문제가 있다고 합니다.
또한, 이런 풀이가 있다고 합시다.
결론부터 말씀드리면, 위의 풀이는 엄연히 잘못된 풀이입니다.
위의 풀이의 잘못된 점을 지적하기 위해서는 다음과 같은 사실을 미리 알아두셔야 할 필요가 있습니다.
- 신뢰도 구간 계산시, "실제의 경우 모집단의 표준편차를 모르고 있는 경우가 대부분이다. 이런 경우 표본의 표준편차를 이용해도 된다는 것이 알려져 있다." (수학의 정석 p.312)
본론으로 들어가서,
위에서 제시된 저 방법에서 무엇이 잘못된 것일까요?
위의 방법에서는 "표본표준편차"와 "표본 평균의 표준편차" 이 두가지를 혼동하여 사용했습니다.
즉, 위에서 구해야 할것은 표본표준편차를 이용한 신뢰구간 계산이나, 실제로 해버린 것은 표본표준편차를 표본 평균의 표준편차로 혼동 ㅡ> 표본 평균의 표준편차로 착각한 수치를 이용하여 모표준편차 계산 ㅡ> 잘못된 답 도출의 과정으로 가버린 것입니다.
종종 보면, 의외로 많은 수의 수험생들이 이 두가지를 혼동하여 잘못된 계산절차를 밟는 경우가 많습니다.
이 두가지 개념에 대하여 자세히 알아두는것이 중요합니다.
상당히 헷갈리기 쉬운 개념이니까요.
자잘하지만 어느정도의 과외경험도 있었고, 본인 또한 고등학교 수학 교육과정을 밟아온 사람입니다.
이 부분에 대해서는 한번만에 헷갈리지 않고 바로 독파해낸 사람이 정말 드물었습니다.
개인적으로는 "독학이 느려도 가장 완벽한 공부방법이다"라는 주의를 표방하고 있긴 하지만, 이 부분에서만큼은 아닙니다.
이 부분은 독학으로 공부하면 오개념이 생길 위험이 상당히 높은 부분입니다. 용어가 비슷하고 외워야 할 공식또한 많기에 상당히 헷갈립니다.
ebs인강으로도 충분합니다. 이틀, 혹은 단 하루만이라도 이 부분에 관하여 인강을 잠시 들어보며 정리해보는 것도 나쁘지는 않을것 같습니다.
또한, 위에서 제가 언급했던 표본표준편차, 표본 평균의 표준편차를 혼동하는 실수를 저지른다고 해서 부끄러워할 이유가 전혀 없습니다. 오히려 그런 실수를 하시고, 그 실수를 극복하려고 하는 자기 자신에 대하여 자랑스러워 하셔야 할것입니다. (저 또한 현역때 공부하면서 이 개념을 받아들이는데 꽤나 오래 걸렸으니까요.)
이 글 전체의 결론 : 표본표준편차와 표본평균의 표준편차를 헷갈리지 맙시다.
이 글의 구성 : 기-승-전-병 (내가 글쓰면 항상 이러더라 ㅠㅠ)
표본표준편차와 표본 평균의 표준편차 두개의 차이점은 제가 예전 어느분께 해드렸던 설명으로 대신하겠습니다.
* "표본의 표준편자" 와 "표본 평균의 표준편차"에 대해서 차이점을 설명하면 다음과 같습니다.*
1000개의 아이스크림이 있다고 합니다. 이 중, 포도맛을 0, 딸기맛을 1, 사과맛을 2 라고 해보죠. (이 세가지 맛으로만 이루어진 아이스크림 집단입니다.)
시행 1 : 일단 100개를 묶습니다. 평균을 구합니다. 이 평균의 값을 a라고 합니다. 그리고, 이 집단의 표준편차를 "알파"로 정의합시다.
시행 2 : 시행1의 100개를 다시 흩트려서 1000개에 포함시키고, 다시 임의로 100개 추출합니다. 평균을 구합니다. 이 평균의 값을 b라고 합니다. 그리고, 이 집단의 표준편차를 "베타" 라고 합니다.
.
.
.
.
시행 n번째 : 위와 마찬가지로 이 때의 평균을 "n"이라 합니다. 그리고, 이때의 표준편차를 "뉴"라고 합니다.
이제 가능한 모든 시행을 하였을때를 생각해보죠.
"알파, 베타, 감마...뉴" 이것들은 각 표본집단들의 표준편차인 "표본표준편차"입니다.
한편, "표본 평균의 표준편차"는 다릅니다.
a,b,c,d,....n의 값들을 또다시 집단으로 묶어봅니다. (순수히 "평균의 값들"만 집단으로 묶습니다."
a,b,c,d,....,n의 값들을 평균낸 것을 "표본 평균의 평균"이라고 합니다.
a,b,c,d,....,n의 값들의 표준편차를 계산한것을 "표본평균의 표준편차"라고 합니다.
그리고, 공식 (시그마)/sqrt(표본집단의 크기)공식은 "표본평균의 표준편차"를 구할때 쓰는 공식입니다.
위의 "표본표준편차"와는 전혀 관련이 없는 내용입니다.
또한 이 공식에 대한 고등학교 교육과정 내의 증명은 없습니다. "알려져있다."라고만 나와 있지요.
그림으로 나타내면 다음과 같습니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
왜 다들 실패하는지 알겠음.. 공부시간이 4교시동안 1시간임ㅎㅎ 기파급 공부하는데...
-
기본 정보 수정 0
오르비에 기본 정보 수정(이름이랑 성별 같은 거) 자기말고 다른 사람이 볼 수...
-
우리나라는 1950년대 이후 경공업을 발전 시켜 경제의 기반을 다진 뒤 중공업을...
-
이감 모의고사 2
모의고사만 따로 구매는 불가한가요? 28.5 주고 연간 패키지 사야하는 건가오?
-
나이로차별함.. 나같은 어린애는 안준데.
-
학교 너무 시끄럽고 집중하기도 어려운 환경인데 학교에서 인강만 들을까요 그냥.. 하교하고 자습하고
-
오늘 저녁 17시... 이미지 모의고사 무료배포 선착순 3000명인걸로 알고있음...
-
이제 얘가 오르비알면 전 ㅈ된거예요 ㅇㅇ
-
내년 이맘때쯤이면 나도 군대에 있으려나... 나만 힘든 거 아니라지만 20대 초반에...
-
자원 미쳤는데 ㄹㅇ
-
지구...하기가 싫군
-
안녕하십니까 한양대학교 ERICA 홍보대사 사랑한대 19기입니다! 만나서 반갑습니다...
-
5모 국어 2
뽑아서 풀어봤는데 이거 원랜 이것보다 어려운거지? 그냥 고1인데이건
-
일반생물학 중간고사 범위랑 광합성/세포호흡 부분은 겹치는 내용이라 노베치고는 나쁘지 않게 받았네요
-
. 1
물치 받는중인데 뭔가 넘 뜨겁당.. 타고 있는 듯한 느낌
-
내가 좋아하는 노래는 어째 한번씩은 고음 쎄게 나가거나 그런 종류의 노래들.. 역시...
-
2011년 북한의 조선중앙 TV는 각 국가의 행복지수를 조사하여 발표했는데,...
-
배달시켜서...
-
교재비 생각보다 많이빠진다… 교재 캐쉬 보너스라도 아껴야지…
-
. 0
몬가 다같이 열심히 하는 분위기면 좋겠다 그런 느낌.. 허허 뭔가 애들이 인강만...
-
이게 맞다
-
오 수학 이왜1 7
그래도 나만 어려웠던 게 아니구나 14 20 22 29 30틀..
-
오늘 가바야징
-
특히 최근 며칠처럼 이렇게 무서운 뉴스가 많을 때
-
재수동안 여친만 두번 바뀌고 풀빌라에 타지 여행 등등 다 하고 다니는 애가...
-
기레기 제목뽑는거 보고 감탄만 나온다 살인사건나건 피해자가 어떠하건 알빠아니고 바로...
-
오늘의 디저트 1
꿀떡 며칠전부터 이상하게 땡김 ㅎㅎ
-
N수생 5모 3
갈길이 멀다
-
처음 배웠는데 10kg도 쉽지 않군
-
임용시험 문제 2
심심해서 대체 뭐가 나오나 하고 봤더니 ㅎㄷㄷ하네... 대학교 개념 가지고 수능마냥 내는듯 ㅋㅋㅋㄴ
-
선형대수 머노ㅅㅃ
-
5모 수학 진짜 3
너무어렵네요. 미쳤음 그냥
-
“사례금 대신 기부 어때요?”…5천만원 찾아준 시민의 제안 5
모두 5000만원 상당의 수표를 습득해 주인에게 돌려준 시민이 자신에 대한 사례...
-
누가 털어가는걸까 발주를 안하는걸까
-
???: 과연 3월 첫주여서일까? 같은 댓글 달면 차단함 ㅅㄱ
-
국어는 그래도 무난해서 기분 좋았는데 수학은 ㄹㅇ 진짜 욕나온다 평소 수학 성적의 반밖에 안됨 ㅠㅠ
-
킬캠 사는 김에 배송비 아낄 겸 국어 실모도 사려는데 뭐가 괜찮나요?
-
다른 친구들 다 내년에 군대 가는데 나 혼자 남아서 친구 다시 사귈 자신이 없다
-
장교 순서가 11
중대장 -> 대대장-> 연대장 -> 여단장 -> 사단장 -> 군단장이 맞나
-
다이어 <<< 얘 도대체 어떤 이미지길래 김민재가 얘보다 못하는거에서 충격을...
-
오운완 3
오공시
-
가계도 상에서 '나'의 입장에서는 5촌이니까 멀게느껴지지만 거꾸로 생각해보면...
-
흐르는 건 눈물만이 아니오..
-
파스타 먹고싶다 5
바로 배달시키기
-
계속 배운거 생각하면서 문제푸는게 맞겠죠? 해설들을때는 아 여기서 배웠었지라고...
-
연대랑 비교해서 나오는거지 12등급차이가 3점감점이면 마냥 작은건 아닌거같음
-
미적 고정2틀이상이면 확통런 ㄹㅇ 괜찮아보이는데
-
이번엔 걍 집에서 보는건가
-
나랏말쌈 개좋당 0
개조와
가장 마지막 그림에서 빨간색 글씨 수정합니다 - 3.번에서 "모평균의 표준편차"를 "모표준편차"로 바꿉니다.
졸면서 만들었나 보군요. 또 하나 더 수정합니다. 저 위에 잘못된 풀이 예시에서 m(모집단)=65로 고치겠습니다.
그러면 위 표본의 평균을 표본평균x바 로놓고 우리가모르는 모평균m의 신뢰구간을 구하기위한식으로 [65- 1.96*15,65+1.96*15] 가 올바른 풀이인가요?
아뇨, [65-1.96*(15/sqrt(2500))], [65+1.96*(15/sqrt(2500))]이 옳은 풀이죠.
아하 표본의 표준편차가 모표준편차가되고 2500명에대한 표본평균의 표준편차를 구해서 표본평균으로부터 모집단을 추출해내는게 맞나요? 어지럽네요ㅠ
아뇨ㅠㅠㅠ
표본평균의 표준편차는 저 문제와 전혀 상관없는 개념이예요 ㅠㅠ
표본의 표준편차가 모표준편차가 되어서 저 신뢰도구간 공식에 넣는것이고,
가끔 어떤 분들이 표본의 표준편차와 표본평균의 표준편차가 같은것인줄 착각하고, (표본평균의 표준편차) = (모집단의 표준편차)/sqrt(n)공식 이용해서 (잘못된)모집단의 표준편차를 구해서는 답을 계산하기도 해서 그런겁니다.
공식에 넣어서 구한다 는표현을 풀어서 표본평균으로부터 모집단의 신뢰도를 추정한다 고 보면틀린건가요?ㅠ
아뇨 맞습니다.
일단 정리해보면요,
틀린 풀이
1. 문제에서 주어진 "표본 표준편차"를 이용해서 모표준편차를 구한다.
2. 신뢰도 추정공식의 (시그마)에 1번에서 구한 모표준편차를 넣어서 신뢰구간을 구한다.
여기서 틀린점은, 1번과정에서 쓰이는 공식이 "표본표준편차"가 아니라 "표본평균의 표준편차"를 구하는 공식이기때문입니다.
제대로 된 방식은 아래와 같습니다.
1. "모표준편차"를 모를때는 "표본표준편차"를 이용하여 신뢰구간을 구할수 있다는 것이 알려져있다.
2. 위에서 주어진 숫자 그대로 신뢰구간 공식에 넣어서, 모집단의 신뢰도를 추정한다.
감사합니다! 덕분에 개념확실히다지고가네요ㅎㅎ
스승님 수학에서 한 수 또 배워갑니다.(스크랩 좀 해갈게요~)
프로필 사진 바꾸셨군요... 그 전 프로필 사진이 인상깊었는데 ...ㅋㅋ
(시그니쳐에 담긴 말들이 궁금증을 자아내는 군요. project VT?)
하하;;; 그냥 컨셉 전환용으로 바꿔봤어요ㅋㅋㅋ
project VT는 내년되면 잘 알게 되실거예요 ㅋㅋㅋ
닉도 바꾸셨네요 ㅋㅋ 뭔진 모르겠지만 기대하고 있겠습니다~
진리의 정석
정석은 진리입니다!!
저도 문제풀면서 깨달았던건데 다시확인하고가네요
임의추출이 한번 뽑는거죠 여러번 뽑는게 아니라...??..
임의추출은 한번, 반복의 개념이라기 보다는 [랜덤으로 추출한다]는 개념으로 받아들여야 하지 않을까요.
용어의 개념을 뭉뚱그리지 않으려하며 교과서를 몇
.......네?
저도 이부분 헷갈려서 인강으로 해결했었는데 해결하고 나서 학교 수업을 들어보니 학교 선생님도 표본평균의 표준편차와 표본표준편차의 차이점을 모르더군요..
허허.....학교 선생님이 아무래도 오랫동안 가르치지 않는 부분이다 보니 잊으셨나 보네요.
하긴, 통계부분은 몇개월만 지나도 바로 싹 다 잊어버리고 새로 공부해야 될 지경이긴 하지요 ㅠㅠ
통계부분은 독학을 주로 하여 인강을 곁들이는 것이 진리!
조금 수정할 부분이 있는 것 같은데요,,
위에 적어놓은부분에 모평균이랑 표본평균이랑 같다고 되있서요.
어느 부분인지 구체적으로 말씀해 주실수 있나요?
'또한 이런 풀이가 있다고 합시다.'
밑에 글에서,
'm표본=m모집단'부분이요.
모평균을 추정하는 문제인데,
모평균이 표본평균과 같다고 하면 논리적으로 모순인거 같고요,
원래 모평균은 표본평균의 평균과 같다고 하잖아요 ㅎㅎ
제가 뭘 설명하고자 하는건지 글을 끝까지 읽어보시면 알거예요ㄷㄷㄷ;;;
앞부분만 읽으시면 오류가 있는것처럼 보이는게 당연합니다.
이 글의 메인 주제는 언급된 "저 풀이가 틀렸다"는 것을 설명하는 글입니다.
"표본 평균의~~~" 와 "표본의 ~~~"가 다르다는 것을 설명하는 것이 포인트.
저 예시로 든 풀이에서는 설명을 위해 일부러 논리적 오류가 있는 풀이를 넣어두었고요,
지금 이 글의 메인 포인트는 "저 풀이가 왜 틀렸는가?" 에 대해서 설명하는 거예요.
수정할것이 있는게 당연합니다. 틀린 풀이를 일부러 넣어둔거니까요.....^^;;;
제 글에 관심 가져주셔서 감사합니다~~!!