확률 유명 기출문제 풀이
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문제) 주머니 안에 스티커가 1개, 2개, 3개 붙어 있는 카드가 각각 1장씩 들어 있다. 주머니에서 임의로 카드 1장을 꺼내어 스티커 1개를 더 붙인 후 다시 주머니에 넣는 시행을 반복한다. 주머니 안의 각 카드에 붙어 있는 스티커의 개수를 3으로 나눈 나머지가 모두 같아지는 사건을 A라하자. 시행을 6번 하였을떄, 1회부터 5회까지는 사건 A가 일어나지 않고, 6회에서 사건 A가 일어날 확률을 q/p 라하자. p+q의 갑을 구하시오. (단, p와 q는 서로소인 자연수이다.)
이 문제 인데요. 선생님이나 주위 사람들에게 질문도 여러번해보고, 어떻게 풀어내는지 충분히 봤습니다.그런데도 불구하고 제 풀이에 어디가 맹점이 있는지는 잘 모르겠습니다. 알려주실 수 있을까요?
-처음 문제를 보고 6회의 시행의 경로가 너무 많을 것같다는 생각이 들었습니다. 그래서 수학적 확률의 정의를 이용하고 싶어졌습니다. 6회의 시행. 1을 6번 더하는 것이니, 임의로 (1a, 1b, 1c, 1d, 1e, 1f) 라고 두고, 1a는 첫번째 시행에 더 해지는 1, 1b는 2번째 시행에서 더해지는 1 이라는 식으로 생각하기로 한 뒤, 조합을 사용하기로 했습니다.
-총 6번의 시행을 통해 나머지가 같아지는 경우는 (4, 4, 4) (5, 2, 5)임으로,
(4, 4, 4)의 경우 처음 (1, 2, 3)이라는 수에서 1에 3개, 2에 2개, 3에 1개의 1을 더하면 된다고 생각. 조합을 사용합니다. 6C3 * 3C2*1C1 = 60
(5, 2, 5)의 경우 처음 (1, 2, 3)이라는 수에서 1에 4개, 2에 0개, 3에 2개 의 1을 더하면 된다고 생각. 조합을 사용합니다. 6C4 * 2C0 * 2C2 = 15
-그러나 시행을 6번하기 이전까지는 나머지가 같아져서는 안됨으로, 위의 경우 중 , 3회의 시행을 통해 나머지가 같아지는 (3, 3, 3) (1, 4, 4) (2, 5, 5)를 만들 수 있는 경우를 제하기로 합니다.
총 3회의 시행을 통해 만들어지기 때문에,
(3, 3, 3)의 경우 (4, 4, 4)를 만드는 경로 중에 있음으로, 처음 (1, 2, 3)이라는 수에서 (1a, 1b, 1c)를 1에 2번, 2에 1번 뽑고, 나머지 (1d, 1e, 1f)를 1에 1번, 2에 1번, 3에 1번 뽑는다고 생각.
(3C2 *1C1) * (3C1 * 2C1 * 1C1) = 18 을 (4, 4, 4)를 만드는 경우의 수인 60에서 빼줍니다.
= 42
(1, 4, 4)의 경우도 (4, 4, 4)를 만드는 경로 중에 있음으로, 처음 (1, 2, 3)이라는 수에서 (1a, 1b, 1c)를 2에 2번, 3에 한번 뽑고, 나머지 (1d, 1e ,1f)를 1에 3번 뽑는다고 생각.
(3C2 *1C1) * (3C3) = 3 을 (4, 4, 4)에서 (3, 3, 3)을 거치는 경우를 제회한 경우의 수인 42에서 빼줍니다.
=39
한편, (2, 2, 5)의 경우 (5, 2, 5)를 만드는 경로 중에 있음으로, 처음 (1, 2, 3)이라는 수에서 (1a, 1b, 1c)를 1에 1번, 3에 2번 뽑고, 나머지 (1d, 1e, 1f)를 1에 3번 뽑는다고 생각.
(3C1* 2C2) * (3C3) = 3 을 (5, 2, 5)를 만드는 경우의 수인 15에서 뺍니다.
= 12
- 위의과정을 통해 얻어낸 (3, 3, 3), (1, 4, 4), (2, 2, 5)를 거치지 않고 (4, 4, 4), (5, 2, 5)를 만드는 경우의 수인 51.
전체 경우의 수 729(3의6제곱)
따라서 51/729
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6번 시행 후 나머지가 같아지는 경우는 1 4 7도 있고 3 3 6도 있네요
헐.
풀이 자체는 문제없나요?
예 좋은 풀이라고 생각합니다. 빠뜨린걸 추가해서 구하시면 답이 나올지않을까요?