많은 수학 교재에 실린 오류 (2)

어김없이 찾아오는 링크!

https://goo.gl/d9ywy6

이 링크는 그냥 댓글에 쓰기만 하면 되는건가요?

b!=0으로 충분한데 신기하군

b!=0이라니... 컴공이시죠?

(뜨끔)

저 컴공 좀 갈쳐주세요

저 해킹배우고싶은데
어디가서 배워야하죠>??좀 고급진거배우려함
독학가능?

고사국가면 배우지 않음?

컴공지망이아니라
그냥 취미로배워보고싶어서요

수학 수식들 한글에 입력하다보면 != 쓰게 되던데..! (잡담)

아무 필요 없는 조건이 아닌데...
두번째 식 왼쪽에 분수의 분모에 gx가 들어있기 때문에
Gx가 0이 아니라는 조건은 필요합니다...

b!=0이 x=a근방에서 g가 0이 아님을 함축하고 있습니다

분자 분모가 수렴하니까 리미트 분리가 가능하니 필요없지 않아여??

그럼 limit( x->a ) g (x)=0일때는 어떻게 되나요
분모가 0이 되지 않나요!
고2라서 아직 잘모르는데 궁금해요

저때는 b=0이라 못 쓰죠

그거는 알아서 걸러서 하면 되는건가요??

알아서랄것도 없이 b!=0에서 걸러져요

님 컴공 좀 갈쳐주세요 ㅜㅜ

근데 진지하게 말씀드리자면 ≠를 !=로 쓰는 건 컴공이거나 관련 수업을 들은 적이 있거나 관련 사실을 알고 있지 않는 한 아무도 못 알아봐요..

하지만 노트북으로 그걸 입력하기 너무 힘든걸 ㅠㅠ

공대는 굳이 컴공 아니어도 무조건 기본적인 프로그래밍 수업을 하나씩은 듣기 마련이라(굳이 C나 java 아니어도 matlab이나 R 등) 웬만한 오퍼레이터는 다 알죠

진인사// 그래서 "관련 수업을 들은 적이 있거나"라고 했습니당

그리고 오르비언의 절대다수는 "공대생"이 아니죠

ㄷ -> 한자 -> 9

이거만 익히면 됩니다 ㅎㅎ (저도 노트북임)


그나저나 컴공 갈쳐달라는 말은 왜 자꾸 무시하심 ㅠ..

코딩은 알아서 배워야죠
공돌이들이 만든 온라인 젖지 사이트가 얼마나 마는데

히잉...ㅠㅜ

그냥 저때는 공식에 달린 조건인 베타≠0에 위배되기 때문에 아녜요

g(x)가 상수함수로서 0이 되면 수렴도 하고 g(x)=0 인 조건도 만족시키므로 저 조건을 써줘야 되는데 오류라고요?

그럴땐 베타가 0이겠죠

애초에 저 조건이 g(x)가 0이 아니라고 했을때 0으로 수렴해도 안되고
g(x)가 0인 상수로써 존재해도 안되므로 저 조건을 쓴건데
즉 모든 것을 아울러서 저 조건을 쓴거고 따라서 베타가 0이 아니라는 조건을 쓴건데 그럴때 베타가 0이 아니라는게 무슨 뜻이죠..??잘 몰라서 ㅎ

g(x)가 0만 아니면 베타가 0이 아니기 때문에 g(x)는 0이 아니다 라고만 써도 된다는 소리는 당연히 아니실테고(무시하는게 아니라 진짜로 이해가 안되서..)추가 설명좀 부탁드립니다

베타가 0이 아니라는 것에서 극한의 정의에 의해 x=a 근방에서 g(x)가 0이 아닌 근방이 있습니다. 따라서 f/g의 분모가 0이 될 가능성을 생각할 필요가 없죠

g(x)가 상수면요?0인 상수도 가능하잖아요..

그럴 때 베타=0이 되서 걸러지죠

부연설명을 하나 덧붙이면 h=f/g 라하면 애초에 h는 g!=0 인 x에서만 정의되기 때문에 아무 의미없는 조건이죠

캐스피언 왕자// 신상 관련 내용 내려주세요 ㅜㅜ

넹 지워드렸습니다
제 댓글에 바로 답글로 다신게 아니라 보는게 좀 늦었네요 ㅠㅜ 죄송합니다

g(x)가 0이 아니라는 조건이 필요없다는 것은 글쓰신 분의 의견이 맞습니다.
그렇지만, 그 조건을 썼다고 해서, 거짓 명제가 되는 것은 아니므로, 결코 저 설명이 오류는 아닙니다. g(x)가 0이 아닐 때에 성립한다고 썼다고 해서, g(x)가 0일 때에 대한 판단을 한 것은 아니니까요.

f(x)=|x|라고 하면, 모든 실수 x에 대하여 f(x)가 0이상인 것은 알 수 있습니다만, 어떤 분이 x>0일 때 f(x)가 0이상이라고 썼다고 해서 오류는 아니잖아요. 그 분에게 왜 모든 실수를 보지 않느냐고 지적할 수는 없는 것입니다.

그냥 저렇게 교과서를 썼다면, 그 저자분들이 g(x)가 0이 아니라는 전제가 있을 때에만 극한 계산을 하겠다는 의지겠거니... 이렇게 생각하고 넘어가야 할 일입니다.

빗자루 너머로 여러 생각 잘 해보고 갑니다

필요없는 식 아닌데...필요없어 보이는 식일 뿐..

일단 맨 처음 식 좌변에서 g(x)가 0이면 식 자체가 정의가 되지 않기 때문에 g(x)가 0이 될 수 없다는 조건은 반드시 필요한 조건인걸요

수학의 기본 정의를 충족시키기 위해서 반드시 필요한 조건이랍니다 :D

윗분이 잘 말씀해주셨듯이 베타≠0 조건만으로 성립이 됩니다

님 말도 맞는데 생략도 함수에서 분모 != 0은 생략도 되는 걸로 알고 있어용 ' -' /

(물론 생략 안해도 되고용...! )

오류의 정의를 잘못 알고 계신듯..

함수의 극한에 대한 '기본 성질'을 설명하는데 불필요한 조건이 삽입된 건 오류 맞음.

네이버 사전에는 '그릇되어 이치에 맞지 않는 일'이 오류라고 적혀있어요. 불필요한것은 맞지만 오류라고 볼수는 없죠. 이치에 맞으니까

1. 기본적으로 위의 흔해빠진 평민님이 잘 설명해주셨듯이 "베타가 0이 아니라는 것에서 극한의 정의에 의해 x=a 근방에서 g(x)가 0이 아닌 근방이 있습니다"라는 게 조건의 문제임
(고등학교 수준에서는 애초에 극한을 엄밀하게 정의하지 않기 때문에, 이에 대한 제대로 된 설명은 엡실론 베타 정의를 사용해야 되고, 따라서 이에 대한 고교과정상의 증명은 불가능함)

2. 아울러 저 조건은 "함수의 극한의 기본 성질"에서 소개됨
"함수의 극한의 기본 성질"에서 제한될 이유가 없는 조건이 설정되는 건 이치에 맞지 않는 일 맞음.

제한될 이유가 없는 조건이 설정되있다..저 조건이 제한은 되지만 이유가 없다라는 의미네요 근데 저 경우가 왜 제한이라는것이 이루어지죠? g(x)=0이면 베타는 당연하게도 0입니다. 단순히 이유가 없는 조건은 맞지만 고등교육과정 내의 범위에서 극한의 기본성질에 제한을 두고 있진 않아요. 오류라는 표현보다는 잉여물이라고 표현하는게 맞죠.

또한 님이 말하신대로 수정이 되려면 그 조건은 윗줄 가정에 포함돼있어야 합니다. 분모가 0이면 정의가 안되거든요.

밑에 제가 답글 달았는데 어떻게 생각하시나요?
졸려서 판단에 이상이 있을 수도 있습니다.
저는 사족으로 봅니다.

이치에 맞지 않는 것은 반례를 보이면 이해가 편하죠.

g(x)가 이런 함수라고 합시다.
x=a → g(x)=0
x≠a → g(x)=1

g(x)≠0 이라는 말은 모든 실수 x에 대하여 'g(x)≠0'라는 것입니다.
그런데 위에 제가 말한 함수는 모든 실수 x에 대하여 g(x)≠0이 아닙니다.
따라서 g(x)≠0이 아닌 함수에 대해서도, β≠0이기만 하면 저 성질은 성립합니다. 그러므로 g(x)≠0은 사족으로 볼 수 있겠습니다.

님 말은 맞아요. 하지만 g(x)=/0이라는 것은 베타=/0이 아닌 집합의 일부에요. 그릇된 것이 아니죠. 사족이라는 표현은 쓸데없는 것이 끼였다고 하더라도 식이 잘못된 것은 아니니까 사용할수 없겠구요.

임의의 명제가 p->q이고 q->r이면 삼단논법이 성립하여 p->r이 되죠. g(x)=/0이 p고 베타=/0이 q고 극한의 기본성질이 r이라고 할때 p->q q->r이 참이니 p->r 도 참이겠네요. 도대체 어느 부분이 잘못된다는 것이죠? 저는 모르겠네요.

g(x)≠0이 아닌 함수가 β≠0이면 저 성질을 만족하는 경우가 있으니까 g(x)≠0을 쓰는 건 잘못으로 생각되는데요?

g(x)=/0이 아닌 함수가 g(x)=0인데 뭔 소리신지..ㅋㅋ

g(x)≠0이 아닌 함수가 어떻게 g(x)=0입니까.

g(x)=/0이 아닌 함수가 g(x)=0말고 더 있나요? 제시해주세요.

g(x)
x=a → g(x)=0
x≠a → g(x)=1

도 g(x)≠0이 아닌 함수입니다.
x는 모든 실수 입니다. x를 특정 값이라고 생각하시면 안 돼요.

그건 g(x)=/0인 함수지 g(x)=/0이 아닌 함수가 아닌데요?

g(x)≠0이 아닌 함수입니다.
왜냐하면 g(a)=0이기 때문이지요.

x는 모든 값이죠 특정값이 0이라고 g(x)=/0이 아닌 함수라는 것은 말이 잘못된 것 같은데요. 예를 들어 그 함수에 a+1을 대입하면 0이 나오지 않네요.

특정 값에서 아닌 거면 모든 값에서 그렇다고 할 수 없지요.
g(x)≠0인 함수는 모든 실수 x에 대하여 g(x)≠0인 함수만을 가리킵니다.
g(a)=0 이라는 건 g(x)가 모든 실수 x에 대해서 g(x)≠0가 아니라는 것입니다. 따라서 g(x)≠0인 함수가 아닙니다.

모든 실수 x라는 조건의 위치에서 서로의 의견이 갈리고 있었네요. 이해했습니다. 하지만 저 교과서 내 정의는 모든 실수 x에 대하여 g(x)=/0이라는 경우가 아닌 g(x)가 모든 실수에서 0이 아니라는 조건으로 저는 해석하고 있습니다만요..? 님이 말하신 경우에선 정의 내 표현이 임의의 실수 x에 대하여 라는 선행표현이 필수적이여야죠. 저 정의표현은 g(x)가 0인 점이 존재하지 않는다가 아니라 g(x)는 0이라는 상수함수가 아니라는 조건으로 적었다고 봐야할탠데요?

g(x)≠0인 함수를 " 'g(x)=0'이라는 상수함수가 아닌 함수"라고 생각하셨군요. 보통 그럴 때는 "어떤 실수 x에 대하여 g(x)는 0이 아니다."라고 쓰지 않을까 싶습니다.

g(x)≠0은 g(x)≠0 for all x∈R (g(x)≠0∀x∈R)로 받아들이는 경우를 많이 봤습니다...제가 본 책이나 논문 등에서는 그런 의미로 쓰더라고요. g(x)=1도 g(x)≠0로 보더라고요. "임의의(모든) 실수 x에 대하여"라는 표현이 없더라도 말이지요.

네,그렇게 볼수도 있지만 가장 교과과정에 충실한 수능문제를 예시로 들어보이겠습니다. 2006학년도 수능 가형(미분과 적분) 26번 문항을 보시면 결국 답을 구하는 과정에는 lim x to 0 4cosx/cos2x를 구해야 답이 나오죠. 저 기본성질을 사용하지 않고 저 극한을 수험생들이 정확히게 구할수 있을까요? cos x는 0인 점이 분명히 존재하는 함수이구요. 대다수의 수험생, 혹은 교육과정평가원마저 저 문제에서 분자,분모에 각각 극한을 씌워 풀기를 바랐을꺼라고 생각하고 만약 그렇다면 저 조건 내에 g(x)=/0은 g(x)=0이라는 상수함수가 아닌 조건이라고 보는게 맞다고 생각합니다.
근본적으로 이 글이 메잘알님의 글과 달리 오류가 없다라는 것은 메잘알님의 경우는 일대일대응이 아니여도 적분값이 성립합니다. 하지만 이경우는 g(x)=0이면 성립하지 않으니 오류라는 지적은 옳지 않다고 생각합니다.

밑에 답글 달았어요.

불필요한 조건이 삽입되었다는 것은 오류랑은 전혀 상관없는 이야기입니다.
오류는 거짓명제를 참이라고 우길 때나 하는 말입니다.

예를 들어 글쓰신 분은 "p이면 q이다."를 주장하고 계신데, 지적된 교과서는 "'p이고 r이면 q이다."를 주장하고 있습니다. "p이면 q이다."가 참이라면, p이고 ~q인 반례가 없다는 것을 의미하는데, 그렇다면, "'p이고 r이면 q이다."도 참이 됩니다. p이고 ~q인 반례가 없다면, p이고 r이고 ~q인 반례도 없으니까요. r이라는 불필요한 조건이 들어가도 명제는 참이 된다는 것입니다. 그러므로 절대로 오류가 아닙니다.

교과서의 서술에서 불필요한 조건이라는 것은 인정해도, 교과서의 서술이 엄연히 참인 명제임에도 불구하고 오류라고 지적하고 있는 것은 논리적 사고라고 볼 수 없습니다. 자신의 입맛에 맞지 않는 식이라는 이유로 오류라고 지적하는 것과 무엇이 다릅니까?

참고로 이 지적은 x가 모든 실수이든 어떤 실수이든 상관없습니다. 어차피 명제는 참입니다. g(x)에 대한 조건이 있으나 없으나 명제는 참입니다.

네 제가 말씀드리고 싶은 부분이 이 점이였습니다. 단지 제가 위에 명제를 저렇게 관계를 설정한 점은 p->q라는 관계가 참이라는 기본전제를 가지고 서술한 것입니다.

근데 댓글보니깐 분모가 0일 때 분모가 정의내려지지 않기 때문에 g(x)!=0이라는 조건이 반드시 필요하다는 분들이 있으시던데, 그게 저 명제랑 무슨 상관이에요? 저 명제는 극한이잖아요. 정의내려지는가의 여부는 함숫값이랑 관련있는 거지 극한이랑은 아무 상관없는 거 아닌가요?

'임의의 혹은 어떤'이라는 말이 없으니깐 오히려 수학과물리와예술님처럼 해석해야 하는 게 맞는 듯 합니다. 구체적인 설명이 없다면 가능한 가장 넓은 범위로 해석하는 것이 올바르다고 생각합니다. 의머가는외고생님이 예로드신 수능 문항 역시 수학과물리와예술님의 해석대로 하더라도 전혀 문제가 없습니다. 왜냐하면 수학과물리와예술님의 해석은 의머가는외고생님의 말을 포함하는 말이니까요. 그렇기에 특별한 전제조건이 없을 때 g(x)=!0의 의미는 의머가는외고생님의 해석보다 오히려 수학과물리와예술님 해석이 더 적절하다고 여겨집니다.

그래도 오류가 아니다라는 외고생님의 의견에는 동의합니다. 그냥 상황을 제한했을 뿐 잘못된 내용은 아니니까요. 따라서 오류라기보다는 오해를 불러일으킬 수 있는 내용이다라는 표현이 더 적절한 듯 싶습니다.

아래 4줄에 동의해 주신 부분은 감사한데.. 임의의 실수라는 의미는 모든 실수와 동치적인 의미입니다. 맨 윗줄에 말이 모순적인것 같습니다. 또한 저 수능문제는 '모든' 실수, 즉 임의의 실수 x에 대하여 g(x)=/0라는 조건의 명제를 p라고 해봅시다. 예술님의 의견처럼요. 그 명제의 역, ~p는 '어떤' 실수 x에 대하여 g(x)=0이다 가 됩니다. 제가 제시한 수능문제 예시는 ~p에 포함되므로 p라는 조건명제에 어긋나기 때문에 극한의 기본성질을 적용하지 못합니다. 결론부터 짧게 말하면 정의 내 조건은 모든 실수에 대하여 g(x)=/0이 아니라 모든 실수에 대하여 g(x)=0이 아니다.즉, 어떤 실수x에 대하여 g(x)=/0이라는 것이죠. 만약 이 조건이 정의의 조건이라고 한다면 ~p는 모든 실수 x에 대하여 g(x)=0이다.가 되므로 위의 수능문제 예시는 ~p가 아닌 p에 속하며 제시된 극한의 기본성질을 적용할수 있습니다. 추가적으로 적자면 어떤 실수 x에 대하여 g(x)=/0이라는 것은 g(x)가 0이 아닌 부분이 존재하기만 한다면 극한의 기본성질을 사용할수 있다가 됩니다. 즉 g(x)=0이라는 상수함수가 아니다. 와 동치적 의미를 가질수 있겠네요. 단 이때 베타는 무조건 성립해야만 합니다. 즉 저 극한의 성질을 적용할수 있는 범위는 g(x)가 0이 아닌 부분이 존재하며 베타가 0일 경우, 즉 lim x to a g(x)=/0이기만 하면 극한의 기본성질을 사용할수 있다. 라는것이 제 의견입니다. 또한 추가적인 반박을 하자면 제 의견은 예술님의 의견의 부분집합이 아닙니다. 모든 실수x에 대하여 g(x)=/0이면 어떤 실수에x에 대하여 g(x)=/0은 성립하지만 어떤 실수x에 대하여 g(x)=/0이라고 모든 실수 x에 대하여 g(x)=/0은 성립하지 않습니다. 제 의견의 부분집합이 예술님의 부분집합이라고 보는것이 맞습니다.즉 님의 논리판단대로 가장 넓은 범위로의 해석이 이루어져야 한다면 제 의견에 동의하는 결과를 낳게 됩니다.논리적인 비판은 언제나 환영합니다.

이런, 제가 착각했습니다. 외고생님 말씀이 맞습니다. 제가 수학과물리와예술님이 예로 드신 함수의 댓글에서 'g(x)=!0이 아닌 함수'를 'g(x)=0이 아닌 함수'로 보고 두 분의 논리를 반대로 이해했네요. (부정이 두 개 나와서 헷갈린 듯....) 그래서 외고생님의 주장이 잘못된 줄 안고 다른 댓글을 제대로 안 읽었었네요. 제 생각도 외고생님의 생각과 같습니다. 이런 실수를ㅜㅜ....(외고생님의 의견과 수학과물리와예술님의 해석을 반대로 착각했네요) 저도 외고생님의 의견과 같습니다. 외고생님의 주장대로 생각해야 오히려 더 넓은 범위가 되죠.

네. 저도 이게 부정표현들 때문에 생각을 서술하기가 힘들었네요..ㅜ

밑에 댓글 썼는데 다시 생각해봐주세요.

아, 그리고 처음의 '임의의 혹은 어떤'의 말은 임의의와 어떤을 동치로 보고 한 말이 아니라 임의의라는 말도 없고 어떤이라는 말도 없다라는 의미로 사용한 것입니다. 제가 오해할 수 있게 썼네요. 죄송합니다.

저는 님 말씀이 뭔지 이해했습니다.

TMAG님도 임의의 실수가 모든 실수를 뜻한다는 것은 알고 계신 듯합니다. 다만 아무 말도 없다면 x를 특정 값으로 보는 게 아니라 임의의 실수로 봐야한다는 말씀으로 생각됩니다.

g(x)≠0의 부정이 g(x)=0이 아닙니다.
g(x)≠0를 말로 풀면 “모든 실수 x에 대하여 g(x)는 0이 아니다.”입니다.
g(x)=0를 말로 풀면 “모든 실수 x에 대하여 g(x)는 0이다.”입니다.
따라서 g(x)≠0와 g(x)=0는 부정(이)의 관계가 아닙니다.
g(x)≠0의 부정은 “어떤 실수 x에 대하여 g(x)값이 0일 수 있는 함수”이고
g(x)=0의 부정은 “어떤 실수 x에 대하여 g(x)값이 0이 아닐 수 있는 함수”입니다.

어떤 실수 a=0의 부정을 a≠0라고 하는 것 때문에 착각 하시는 거 같습니다.

원 명제: g(x)≠0 이면 모든 실수 x에 대하여 g(x)는 0이 아니다.
이: g(x)≠0 이 아니면 어떤 실수 x에 대하여 g(x)는 0이다.
대우: 어떤 실수 x에 대하여 g(x)가 0이면 g(x)≠0이 아니다.

이렇게 보면 님이 제시하신 문제에서 제 주장대로 하더라도 전혀 문제될 게 없어 보입니다.

네. 님이 제시하신 역의 개념 모두 맞는 말씀입니다. 그러나 제가 제시한 내용은 예술님의 의견과 달리 저 극한과 기본성질 내의 g(x)=/0이라는 조건명제가 어떤 실수 x에 대하여 g(x)=/0이라는 것이죠. 님의 의견대로 모든 실수 x에 관하여 g(x)=/0인 경우는 y=g(x)라는 함수가 y=0이 되는점, 즉 x축과의 교점이 존재하지 않아야만 극한의 기본성질이 사용가능하다라는 건데 그렇다면 님이 제시하셨던 함수또한 극한의 기본성질을 적용하지 못하게 됩니다. 부정표현의 다수포함으로 헷갈리시는 건지 혹은 제가 잘못 판단하고 있는지 서술부탁드립니다.

점에 대한 부정이냐 선에 대한 부정이냐가 관건입니다.
이 두 개를 구분해서 생각해야 한다는 것이지요.

제가 제시한 함수가 극한의 기본 성질을 적용하지 못한다는 것은 어떤 이유에서인가요? g(x)≠0을 빼버리면 제가 제시한 함수도 극한의 성질에 맞아 들어갑니다.

네 님 말씀대로 "g(x)≠0조건을 넣는 순간 y=g(x)라는 함수가 y=0이 되는 점, 즉 x축과의 교점이 존재하지 않아야만 극한의 기본 성질이 사용 가능하다." 라는 말인데, 제가 제시한 함수에서 극한의 기본 성질이 적용 되니까 g(x)≠0을 빼야 한다는 것입니다.

하지만 어떤 실수x에 대하여 g(x)=/0이라는 의미로 조건명제를 제시했다면 g(x)=0이라는 상수함수를 제외하곤 베타가 0만 아닐경우 극한의 기본성질을 사용할수 있습니다. 즉 님 말대로 모든의 의미로 조건이 제시되었다면 빠져야 합니다만 저 조건명제의 불확실성으로 제 해석도 충분히 가능합니다. 이경우엔 저 조건이 있다하더라도 오류라는 해석은 불가능합니다.

그렇다면 g(x)≠0을
“모든 x에 대하여 g(x)는 0이 아니다”로 줬는지
“어떤 x에 대하여 g(x)는 0이 아니다”로 줬는지 가 관건이겠네요.
어떤 함수가 주어졌을 때는 그 함수의 모든 정의역 범위를 따지는 게 일반적이지요. 그래서 저는 x를 모든 실수로 보는 게 맞다고 생각합니다.

다음을 보시지요.
f(x)=1
g(x)={x=7 → 1, x≠7 → 2} 이면
f(x)≠g(x)라고 생각하게 마련입니다.
특정 x값 7에서는 f(x)=g(x)이니까 f(x)=g(x)라고 할 수는 없는 것이지요.
x가 모든 실수라는 조건을 주지 않더라도 위의 함수에서 우리는 f(x)≠g(x)로 생각하곤 합니다. 즉 굳이 x가 모든 실수라는 것을 말하지 않더라도 우리는 함수를 생각할 때는 모든 x에 대하여 따져보는 게 자연스럽다는 것이지요.

하지만 님 말씀대로 그렇게 생각할 수도 있다고 봅니다. 저는 모든 x를 따지는 게 자연스럽다고 생각하지만 어떤 실수 x에 대해서 따지는 것인지도 모르니까요. 이에 대하여 명확한 규정이 있는지 수학 사전을 찾아 봤는데, 사례들로 볼 때는 제가 생각한 경우가 있지만 꼭 그렇게 해야 한다는 ‘규정’은 없는 거 같습니다. 제가 못 찾고 있는 것일 수도 있고요.

어찌 됐든 g(x)≠0 보고 저처럼 생각할 수도 있고, 님처럼 생각할 수도 있다면 g(x)≠0를 빼버리는 게 맞다고 생각합니다. g(x)≠0를 무조건 님처럼 봐야 한다는 규정이 있다면 님의 말씀대로 g(x)≠0을 넣는게 군더기일 수는 있더라도 오류는 아니겠습니다만, 그런 규정이 있는 거 같지는 않습니다. 해석이 갈린다면 문제가 있는 표현이니 삭제하는 게 맞다고 봅니다.

근데 극한의 기본성질은 말그대로 극한이고 g(x)=!0은 함숫값과 관련있는 것이므로 극한의 기본성질은 베타=!0이기만 한다면 함숫값과 관련된 g(x)=!0의 해석을 어떻게 하는지는 극한과는 아무 상관없지 않나요?......

그 점에 대해선 공감합니다. 저도 일부 고등학교 교재와 대학 교재 모두 찾아보고 실제로 있는 책들도 있고 없는 책들도 있었습니다. 꼭 있어야만 한다 라는 것은 아니라는 얘기죠. 그 점은 저도 맨위에서부터 계속 주장했던 부분이구요. 허나 제가 맨 위에 댓글 달았다시피 이 부분을 오류라고 보기는 어렵습니다. 위에 to35hour님의 의견처럼 조건의 유무와 상관없이 저 기본성질은 성립됩니다. 즉 오류라는 표현보다는 잉여조건이라는 표현이 더욱 옳다고 봅니다.

TMAG님/만약 예술님의 주장대로 모든 실수 x에 대한 조건일 경우 빠지는게 맞습니다. 함수값이 0인 점이 존재하더라도 극한의 기본성질을 사용해야 하는 문제는 실제로 교과서,평가원 기출등에서 쉽게 찾을 수 있습니다.

TMAG님께.

네 어찌 됐든 상관 없습니다. β≠0만 있으면 됩니다.

그런데 g(x)=0이 군더더기이냐 오류냐로 의견이 갈리는 거 같군요.

의머가는외고생 님께
예 알겠습니다.

예 저 조건을 제시한 인물이 님의 의도대로 그렇게 썼다면, 조건을 제시한 사람의 관념에 군더더기(동어반복적 요소)가 있을 뿐이지 그 발상이 오류는 아닙니다. 다만 읽는 사람에게 오해를 불러일으킬 수는 있겠죠. 저 같은 사람이 보면 "뭐야 사족인데 왜 썼어?" 이럴 테고 님 같은 사람이 보면 "군더더기지만 틀린 말은 아니네"라고 할 것입니다. g(x)≠0표현에 대한 명확한 약속이 있는지 알아봐야겠습니다.

그리고 저도 메잘알2님 글에 댓글 남겼지만,
치환적분에서 일대일 함수 조건도 사족이고
함수의 극한 성질에서도 g(x)=0조건도 사족이라는 것입니다.
그렇게 생각한 이유는 같고요.

제 생각에는 g(x)=!0이라는 조건은 있어도 참이고 없어도 참이긴 한데, 다만 g(x)=!0이라는 조건이 있을 때가 없을 때보다 상황이 제한되는 것 같습니다.

차분히 읽어보니깐 수학과물리와예술님 말씀이 맞네요. 제가 부정을 잘못 생각햇네요. 수학과물리와예술님 말씀대로 저나 외고생님처럼 해석하면 모순된 상황이 발생하는 것 같네요. 아, 명제는 생각하면 할수록 오히려 스스로 말장난에 놀아나는 것 같은 느낌이네요.ㅜㅜ 아직 멀었구나

오류가 아닌 것을 오류라고 하는 오류를 제가 발견했습니다.

모든 실수 x에 대하여 x^2+1은 0보다 크다
이건 오류인가요?!?!? 왜 쓸데 없는 0보다 큰 범위로 했죠? 1 이상이 맞는 건가요? 지금껏 오류를 배우고 있었군요 ㅠㅠ 수학과 버리고 물리학과로 전과하겠습니다.

말 참 예쁘게 하시네요. 평생 그렇게 사세요. 아 참 꼭 친구한테도 이렇게 예쁘게 말하세요.

ㅈㅅ해여 조크를 진담처럼 해버림 죄를 사하여 주세여

제가 단 답글의 의미도 깎는 글이라서 불편하네요. 엉뚱하게 요약하시면 곤란합니다.
김마담님께서 제시하신 명제 "모든 실수 x에 대하여 x^2+1은 0보다 크다."에서 0보다 큰 범위가 쓸데 없는지는 모르기 때문에, 정확하게 이해한 것으로 보이지 않습니다.

g(x)가 0이 아니라는 조건이 있다고 해서 오류가 아닌 것은 그 조건이 명제의 가정에 있기 때문입니다. 그런데 김마담님께서 제시하신 예에서는 0에 대한 언급은 명제의 결론에 있습니다. 즉, 오류가 아닌 이유가 전혀 다른 사례입니다. 이런 착각은 주장과 근거를 구별하려 시도하지 못하고, 가정과 결론을 구별하려 시도하지 못하는 평소 습관에서 비롯된 것입니다.

게다가 이글은 그냥 '오류가 아닌 것'으로 치부해버리면 안되는 중요한 내용입니다. 글 쓰신 분이 g(x)가 0이 아니라는 조건이 불필요한 내용이라고 말씀하신 것은 매우 의미가 있는 지적이기 때문입니다. 다만 오류까지는 아닌 것 뿐입니다. 저도 오류가 아니라는 주장을 해서 비판을 해야 했지만, 글쓰신 분의 최초의 생각이 매우 중요하다는 데에는 동의하고 있습니다.

헐... 약간 소름돋네요. 조크의 뉘앙스만 담는 상황이고 어투 자체가 약올리는 어투인데 이런걸 진지충이라고 하나요? 진지충을 직접 대댓글로 만나긴 처음이라 살짝 오그라들면서 꿀잼이네여. 말의 뉘앙스를 잘 못 느끼시는 군요... 혹시 남들 농담하는데 논리 잘 못 되면 정색하고 따지는 스타일인가요?... 춘추가 좀 있으신가?... 진짜 이건 너무 심한 진지댓글 아닌가요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 전 글쓴이의 오류라는 단어는 좀 그렇긴 하지만 매우 공감하는 글인데ㅋㅋㅋ 위에서 몇분이 투닥투닥 놀길래 달았는데 이거 뭐죠? ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 재밌네요. 농담도 적절하게 받아칠 줄 알아야 주변에 사람들 안 떠납니다;;

그리고 무슨 요약이죠? 님 위에 댓글 다셨나요?? ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 투닥투닥 마니하네 이러면서 쭉 내렸는데 이 토론 광장의 장본인이시군요. 뭔 요약인지 이제 이해했네요. 왜 이런데서 토론하세요 ㅠㅠ 보다 열린 마음으로 옯 하세염

ㅋㅋㅋ 논점을 흐리기는
딴소리 전공자라고 인정해드리지요.

제발 바라는데 조크든 진지한 글이든,
일단 다른 사람들이 말하는 내용을 이해하고 쓰라는 겁니다.
앞에서 다른 사람들이 말한 내용과 무관한 글을 쓰니,
까이는 거고
조크로 받아들여지지 못하는 겁니다.
그래서 정말 좋게 말해서 님께서 엉뚱하게 요약했다는 거고요.

농담이니까 받아들이라고요?
농담은 그래도 대화의 주제가 일치해야 농담도 통하는 겁니다.
당신의 농담을 사람들이 불편해 하는 이유를 알려주려고 노력했건만
농담이니까 받아들이라고 하니 뭐...

그리고 주변에 사람이 떠나든 안떠나든 남이사...
본인 걱정이나 잘하세요.
대부분의 사람들은 주제에 벗어난 조크 던지는 사람을 좋아하지 않거든요.^^

앞 사람들과 대화내용이 유기적으로 연결 된 조크가 아닙니다 ㅠㅠ 왜이렇게 글 이해를 못 하시는 거지... 근데 솔직히 어제 밤에 감성 터지셨습니까? 제가 댓 달아서 박제되긴 했는데 진지충댓글 이불킥 아닙니까?ㅋㅋㅋㅋ 왜 농담을 윗 댓 다 읽고 해야 되죠? 이건 무슨 논리지;;... 일단 제가 보기에 님께 필요한 것은 대인관계와 애써 논리적인 척 하는 습관을 버리는 것입니다. 왤케 마케팅이 오길준 선생님 스멜이 나지 본인이신가요? 그리고 얼른 제 게시글에 댓글 달아주시져 님이 잘 못 이해한 부분을 알게 되실 거임 ㄲㄲㄲㄲ

오류라고 할 순 없는 부분이죠..