많은 수학 교재에 실린 오류라는 글을 보고
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우선 반박글이라는 단어조차 못붙히는 수jot중의 수jot이라 그냥 너그럽고 편하게 봐주세요 ㅎ
일단 여러 경우를 소개해보겠습니다
g(x)가 이를테면 1/n,즉 g(x)는 0이 아니면서 0으로 수렴하는 경우
g(x) 자체가 상수함수로서 0인 경우,즉 0으로 수렴하고 g(x)도 0인 경우
따라서 lim f(x)/g(x) 를 함수의 극한값의 사칙연산을 소개할때 같이 소개하려면 g(x)는 0이 아니고 베타도 0이 아니다라는 조건이 붙어야됨(위에 소개한 식들은 정의할 수 없으니까)
결론적으로 오류없는거 아님?
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저 g≠0이란 조건은 좌변의 극한에서 분모가 0이 되지 않게 하려는 조건인것 같습니다. 어차피 극한 안에 f/g가 있으므로 g의 값이 x=a근방에서만 0이 아니면 문제가 없습니다. 그리고 x=a 근방에서 g(x)는 베타 근처이므로 베타가 0이 아니란 전제 하에 lim f/g가 잘 정의될 수 있습니다.
결론적으로 저 조건에서 문제는 1) g(x)가 0이 아니어야 하는 x의 범위를 제대로 설명하지 않은 것이고 2) 제대로 설명한다면 그 조건은 베타≠0에 포함되는 조건이란 겁니다.
베타는 극한값일 때이고 애초에 극한값을 얻을려는 함수의 꼴을 생각할때 g(x)가 0이 아님이라는 조건이 붙어야되는거아닌가요?
어... 그러니까 극한의 정의가 g가 x=a 근방(x=a 플러스 마이너스 아주 작은 범위)에서 베타 근처, 즉 0이 아님을 보장해주고 있는건데
이걸 설명하기가 좀 어렵네요
제대로 설명하려면 입실론델타로 극한을 정의해야 되는데
간단히 말했을 때 모두 lim(x->a)에서 일어나는 일이니까 그 근처만 보면 되고 그 때 b≠0이 g≠0을 포함하는 조건이 돼서 g≠0이 필요없는 조건인거죠
굳이 필요없는거지 g=0이어도 된다는 뜻은 아님
앱실론 델타..역시 극한을 바라보는 시각조차 다르시군요..제가 서울대에 비빌수있는 짬도 아니고 무시안하시고 일일히 대답해주신것만으로도 감사합니다
아닙니다 입델은 그냥 배우면 되는거고
중요한건 모르는걸 알려는 님과 같은 호기심이져
그니까 제 말의 요지는
상황을 가상으로 잡아본다면
f(x)/g(x)의 극한값을 누가 구하라고 줬다 칩시다
그럼 리미트를 붙히기 전 식이 있겠죠
그때의 식은 극한값이 뭐던간에 0이 되면 안된다 이말입니다
따라서 g(x)는 0이 아니여야 된다는 조건이 붙었다고 보는데 님 말도 일리가 있으므로 ~여야 한다고 말하기는 그렇네요
제 생각이지만 이건 식을 어떤 관점에서 보냐,즉 정의에 관한 문제인거같습니다(제 생각 ㅠㅠ)
네 이건 정의가 중요한 문제가 맞아요
그런데 극한 정의를 고등과정에서 안배우니 제대로 이해하기 힘들 수 있죠